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第4章 第1讲 曲线运动 运动的合成与分解—2022届高中物理一轮复习讲义（机构专用）学案
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这是一份第4章 第1讲 曲线运动 运动的合成与分解—2022届高中物理一轮复习讲义（机构专用）学案，共23页。学案主要包含了教学目标，重、难点，知识梳理，能力展示，小试牛刀，大显身手等内容，欢迎下载使用。
【教学目标】1、知道曲线运动中速度的方向，理解曲线运动是一种变速运动，必具有加速度；
2、知道曲线运动的条件；
3、掌握运动的合成与分解的方法。
【重、难点】1、运动的合成与分解的方法；2、小船过河问题；3、绳端速度分解问题
【知识梳理】
（1）速度发生变化的运动，一定是曲线运动。（ ）
（2）做曲线运动的物体加速度一定是变化的。（ ）
（3）做曲线运动的物体速度大小一定发生变化。（ ）
（4）曲线运动可能是匀变速运动。（ ）
（5）两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等。（ ）
（6）合运动的速度一定比分运动的速度大。（ ）
（7）只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。（ ）
（8）合运动不一定是物体的实际运动．（ ）
（9）分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则。（ ）
考点一 物体做曲线运动的条件与轨迹分析
1．运动轨迹的判断
（1）若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动。
（2）若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。
2．质点做曲线运动的轨迹在________________________之间，且弯向______的一侧。如图所示．
3．合力方向与速率变化的关系
例1、内壁光滑的牛顿管抽成真空，现让牛顿管竖直倒立，同时水平向右匀速移动，则管中羽毛的运动轨迹可能是( )
例2、如图所示为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，且质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是 ( )
A．质点经过D点时的加速度比B点的大
B．质点经过A点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90°
C．质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小
D．质点经过C点的速率比D点的大
变式1、（多选）关于曲线运动，下列说法中不正确的是( )
A．做曲线运动的物体速度方向必定变化
B．速度变化的运动必定是曲线运动
C．加速度恒定的运动不可能是曲线运动
D．加速度变化的运动必定是曲线运动
变式2、一个质点受两个互成锐角的恒力F1和F2作用，由静止开始运动，若运动过程中保持二力方向不变，但F1突然增大到F1＋ΔF，则质点以后( )
A．继续做匀变速直线运动 B．在相等时间内速度的变化一定相等
C．可能做匀速直线运动 D．可能做变加速曲线运动
考点二 运动的合成与分解的应用
1．合运动与分运动的关系
2．运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则。
名师点拨：在进行运动的合成时，可以利用三角形定则，如图所示，v1、v2的合速度为v。
3．合运动的性质和轨迹的判断
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(合加速度(或合外力)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(变化：非匀变速运动,不变：匀变速运动)),合加速度(或合外力)方向与速度方向\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共线：直线运动,不共线：曲线运动))))4．两个直线运动的合运动性质的判断
标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线
例3、（多选）一物体的运动规律是，则下列说法中正确的是 ( )
A．物体在x和y方向上都是做初速度为零的匀加速直线运动
B．物体的合运动是做加速度为5m/s2的曲线运动
C．物体的合运动是初速度为零、加速度为5m/s2的匀加速直线运动
D．物体的合运动是初速度为零、加速度为l0m/s2的匀加速直线运动
例4、（多选）如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩．在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以h＝H－2t2规律变化（H为塔吊高），则物体B做 ( )
A．速度大小不变的曲线运动 B．加速度大小、方向均不变的曲线运动
C．速度大小增加的曲线运动 D．加速度大小、方向均变化的曲线运动
变式3、如图a所示，甲车自西向东做匀加速运动，乙车由南向北做匀速运动，到达O位置之前，乙车上的人看到甲车运动轨迹大致是图b中的( )
O
东
南
北
西
乙
甲
a
b
A
B
C
D
变式4、（多选）在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从t＝0时刻起，由坐标原点O（0，0）开始运动，其沿x轴和y轴方向运动的速度—时间图象如图甲、乙所示，下列说法中正确的是 ( )
A．前2 s内物体沿x轴做匀加速直线运动
B．后2 s内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y轴方向
C．4 s末物体坐标为（4 m，4 m）
D．4 s末物体坐标为（6 m，2 m）
“化曲为直”思想在运动合成与分解中的应用
1．分析运动的合成与分解问题时，要注意运动的分解方向，一般情况下按运动效果进行分解，切记不可按分解力的思路来分解运动．
2．要注意分析物体在两个方向上的受力及运动规律，分别在两个方向上列式求解．
3．两个分方向上的运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点．
考点三 小船渡河模型
1．小船渡河问题的分析思路
2．小船渡河的两类问题、三种情景
题型一 小船渡河的轨迹分析
例5、（多选）下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。则其中可能正确的是( )
题型二 小船渡河情景分析
例6、船在静水中的速度为3.0 m/s，它要渡过宽度为30 m的河，河水的流速为2.0 m/s，则下列说法中正确的是( )
A．船不能渡过河 B．船渡河的速度一定为5.0 m/s
C．船不能垂直到达对岸 D．船到达对岸所需的最短时间为10 s
例7、有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为( )
A．eq \f(kv,\r(k2－1)) B．eq \f(v,\r(1－k2)) C．eq \f(kv,\r(1－k2)) D．eq \f(v,\r(k2－1))
例8、如图所示，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝eq \f(3,400)x（m/s）（x的单位为m），让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v船＝4 m/s，则下列说法正确的是( )
A．小船渡河的轨迹为直线
B．小船在河水中的最大速度是5 m/s
C．小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200 m处的速度
D．小船渡河的时间是160 s
变式5、在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为（ ）
A． B．0 C． D．
变式6、一条船要在最短时间内渡过宽为100 m的河，已知河水的流速v1与船离河岸的距离x变化的关系如图甲所示，船在静水中的速度v2与时间t的关系如图乙所示，则以下判断中正确的是 ( )
A．船渡河的最短时间25 s B．船运动的轨迹可能是直线
C．船在河水中航行的加速度大小为a＝0.4 m/s2 D．船在河水中的最大速度是5 m/s
变式7、（多选）如图所示，河宽为L，河水流速为u，甲、乙两船均以静水中的速度大小v同时出发渡河。出发时两船相距x，甲、乙船头均与岸边成45°角，且乙船恰好能直达正对岸的A点。则下列说法正确的是（）
x
A
甲
乙
45°
45°
A．甲乙两船在水中行驶的路程相等 B．甲乙两船同时到达河对岸
C．v∶u=eq \r(2)∶1 D．为确保两船在河中不相撞，x不得小于2L
求解小船渡河问题的方法
求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移，无论哪类都必须明确以下四点：
（1）解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头所指方向的运动，是分运动，船的运动也就是船的实际运动，是合运动，一般情况下与船头指向不共线．
（2）运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解．
（3）渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关．
（4）求最短渡河位移时，根据船速v船与水流速度v水的大小情况用三角形定则求极限的方法处理．
考点四 绳（杆）端速度分解模型
两物体通过绳（杆）相牵连，当两物体都发生运动时，两物体的速度往往不相等，但因绳（杆）的长度是不变的，因此两物体的速度沿绳（杆）方向的分速度大小是相等的。
1．模型特点：沿绳（杆）方向的速度分量大小相等．
2．思路与方法：合速度→绳拉物体的实际运动速度v
分速度→eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(其一：沿绳(或杆)的速度v1,其二：与绳(或杆)垂直的分速度v2))
方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则．
3．解题的原则：
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如下图所示．
如图甲所示，绳子在被沿径向拉动的同时，还在绕滑轮运动，可见：被拉物体既参与了沿绳子径向的分运动，又参与了绕滑轮运动的分运动，被拉物体的运动应是这两个分运动的合运动，其速度是这两个分速度的合成．
题型一 绳牵连物体运动问题
例9、如图所示，在河岸上用绳匀速拉船，拉绳的速度是v，当绳与水平方向夹角为θ时。
（1）求船的速度；（2）试判断船在靠岸过程中做的是加速运动还是减速运动。
v
θ
变式8、如图所示，一辆汽车沿水平地面匀速行驶，通过跨过定滑轮的轻绳将一物体A竖直向上提起，在此过程中，物体A的运动情况是 ( )
A．加速上升，且加速度不断增大 B．加速上升，且加速度不断减小
C．减速上升，且加速度不断减小 D．匀速上升
题型二 杆牵连物体运动问题
例10、两根光滑的杆互相垂直地固定在一起，上面分别穿有一个小球，小球a、b间用一细直棒相连，如图所示．当细直棒与竖直杆夹角为θ时，求两小球实际速度大小之比．
题型三 其他类型
例11、如图所示 ，长为L的直棒一端可绕固定轴转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为( )
A．eq \f(vsin α,L) B．eq \f(v,Lsin α) C．eq \f(vcs α,L) D．eq \f(v,Lcs α)
例12、如图所示，AB杆以恒定角速度绕A点转动，并带动套在水平杆OC上的质量为M的小环运动，运动开始时，AB杆在竖直位置，则小环M的加速度将( )
A．先减小后增大 B．逐渐增大 C．先增大后减小 D．逐渐减小
变式9、（多选）如图所示，一铁球用细线悬挂于天花板上，静止垂在桌子的边缘，悬线穿过一光盘的中间孔，手推光盘在桌面上平移，光盘带动悬线紧贴着桌子的边缘以水平速度v匀速运动，当光盘由A位置运动到图中虚线所示的B位置时，悬线与竖直方向的夹角为θ，此时铁球( )
A．竖直方向速度大小为vcs θ B．竖直方向速度大小为vsin θ
C．相对于地面速度大小为veq \r(1＋cs2 θ) D．相对于地面速度大小为veq \r(1＋sin2 θ)
绳（杆）牵连物体的分析技巧
1．解题关键：找出合速度与分速度的关系是求解关联问题的关键．
2．基本思路：
（1）先确定合速度的方向(物体实际运动方向)．
（2）分析合运动所产生的实际效果：一方面使绳或杆伸缩；另一方面使绳或杆转动．
（3）确定两个分速度的方向：沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度大小相同．
考点四 生活中的运动合成问题
(一)骑马射箭
例13、（多选）民族运动会上有一骑射项目如图所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d。要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则( )
A．运动员放箭处离目标的距离为eq \f(dv2,v1) B．运动员放箭处离目标的距离为eq \f(d\r(v12＋v22),v2)
C．箭射到固定目标的最短时间为eq \f(d,v2) D．箭射到固定目标的最短时间为eq \f(d,\r(v22－v12))
(二)下雨打伞
例14、雨滴在空中以4 m/s的速度竖直下落，人打伞以3 m/s的速度向西急行，如果希望雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应指向什么方向？
(三)转台投篮
例15、趣味投篮比赛中，运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上，相对平台静止，向平台圆心处的球筐内投篮球。则下图各俯视图中篮球可能被投入球筐（图中箭头指向表示投篮方向）的是( )
(四)风中骑车
例16、某人骑自行车以4 m/s的速度向正东方向行驶，天气预报报告当时是正北风，风速为4 m/s，那么，骑车人感觉到的风向和风速为( )
A．西北风 风速为4 m/s B．西北风 风速为4 eq \r(2) m/s
C．东北风 风速为4 m/s D．东北风 风速为4 eq \r(2) m/s
【能力展示】
【小试牛刀】
1．下列关于运动和力的叙述中，正确的是 ( )
A．做曲线运动的物体，其加速度方向一定是变化的
B．物体做圆周运动，所受的合力一定指向圆心
C．物体所受合力方向与运动方向相反，该物体一定做直线运动
D．物体运动的速率在增加，所受合力方向一定与运动方向相同
2．（多选）关于曲线运动的性质，以下说法正确的是 ( )
A．曲线运动一定是变速运动
B．曲线运动一定是变加速运动
C．变速运动不一定是曲线运动
D．运动物体的速度大小、加速度大小都不变的运动一定是直线运动
3．一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内（ ）
A．速度一定在不断地变化，加速度也一定不断地改变
B．速度一定在不断地改变，加速度可以不变
C．速度可以不变，加速度一定不断地改变
D．速度可以不变，加速度也可以不变
4．（多选）下列说法中正确的是 ( )
A．物体在恒力作用下不可能做曲线运动
B．物体在变力作用下不可能做曲线运动
C．物体在变力作用下有可能做曲线运动
D．做曲线运动的物体，其速度方向与加速度的方向不在同一直线上
5．（多选）物体受几个恒力的共同作用做匀速直线运动，突然撤去其中一个力，则物体的可能运动形式是 ( )
A．匀速直线运动 B．匀加速直线运动 C．匀变速曲线运动 D．变加速曲线运动
6．（多选）设空中的雨滴从静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下列说法中正确的是 ( )
A．风速越大，雨滴下落的时间越长 B．雨滴下落时间与风速无关
C．风速越大，雨滴着地时的速度越大 D．雨滴着地速度与风速无关
7．（多选）有关运动的合成，以下说法正确的是 ( )
A．两个直线运动的合运动一定是直线运动
B．两个不在一条直线上的匀速直线运动的合运动一定是直线运动
C．两个初速度为零的匀加速（加速度大小不相等）直线运动的合运动一定是匀加速直线运动
D．匀加速直线运动和匀速直线运动的合运动一定是直线运动
8．一轮船的船头指向始终垂直于河岸的方向，并以一定的速度向对岸行驶，水匀速流动，则关于轮船通过的路程、渡河经历的时间与水流速度的关系，下列说法正确的是( )
A．水流速度越大，路程越长，时间越长 B．水流速度越大，路程越短，时间越短
C．渡河时间与水流速度无关 D．路程和时间都与水流速度无关
9．如图所示，红蜡块可以在竖直玻璃管内的水中匀速上升，若在红蜡块从A点开始匀速上升的同时，玻璃管从AB位置水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块的实际运动轨迹可能是图中的（ ）
A
B
C
D
R
Q
P
A．直线P B．曲线Q C．曲线R D．三条轨迹都有可能
10．一架飞机水平地匀速飞行，从飞机上每隔1秒钟释放一个铁球，先后共释放4个。若不计空气阻力，则四个球 ( )
A．在空中任何时刻总是排成抛物线；它们的落地点是等间距的
B．在空中任何时刻总是排成抛物线；它们的落地点是不等间距的
C．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线；它们的落地点是等间距的
D．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线；它们的落地点是不等间距的
11．（多选）如图所示为一个做匀变速曲线运动的质点的轨迹示意图，已知在B点的速度与加速度相互垂直，则下列说法中不正确的是( )
A．D点的速率比C点的速率大 B．A点的加速度与速度的夹角小于90°
C．A点的加速度比D点的加速度大 D．从A到D加速度与速度的夹角先增大后减小
12．（多选）小船横渡一条两岸平行的河流，船本身提供的速度（即静水速度）大小不变、船身方向垂直于河岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图所示，则( )
A．越接近河岸水流速度越小 B．无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短
C．越接近河岸水流速度越大 D．该船渡河的时间会受水流速度变化的影响
13．如图甲所示，在粗糙的水平面上，质量分别为m和M（m∶M＝1∶2）的物块A、B用轻弹簧相连，两物块与水平面间的动摩擦因数相同。当用水平力F作用于B上且两物块共同向右加速运动时，弹簧的伸长量为x1；当用同样大小的力F竖直加速提升两物块时(如图乙所示)，弹簧的伸长量为x2，则x1∶x2等于 ( )
A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．2∶3
14．帆船船头指向正东以速度v（静水中速度）航行，海面正刮着南风，风速为eq \r(3)v，以海岸为参考系，不计阻力。关于帆船的实际航行方向和速度大小，下列说法正确的是( )
A．帆船沿东偏北30°方向航行，速度大小为2v
B．帆船沿东偏北60°方向航行，速度大小为eq \r(2)v
C．帆船沿北偏东30°方向航行，速度大小为2v
D．帆船沿东偏南60°方向航行，速度大小为eq \r(2)v
15．（多选）质量为2 kg的质点在x－y平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点的初速度为5 m/s B．质点所受的合外力为3 N
C．质点初速度的方向与合外力方向垂直 D．2 s末质点速度大小为6 m/s
16．如图所示，两次渡河时船相对水的速度大小和方向都不变。已知第一次实际航程为A至B，位移为x1，实际航速为v1，所用时间为t1。由于水速增大，第二次实际航程为A至C，位移为x2，实际航速为v2，所用时间为t2。则( )
A．t2>t1，v2＝eq \f(x2v1,x1) B．t2>t1，v2＝eq \f(x1v1,x2) C．t2＝t1，v2 ＝eq \f(x2v1,x1) D．t2＝t1，v2＝eq \f(x1v1,x2)
【大显身手】
17．（多选）小河宽为d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，，x是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为，则下列说法中正确的是（ ）
A．小船渡河时的轨迹为直线 B．小船到达离河岸处，船渡河的速度为
C．小船渡河时的轨迹为曲线 D．小船到达离河岸处，船的渡河速度为
18．（多选）质量为0.2 kg的物体在水平面上运动，它的两个正交分速度图线分别如图甲、乙所示，由图可知( )
A．从开始至6 s末物体都做曲线运动
B．最初4 s内物体的位移为8eq \r(2) m
C．最初4 s内物体做曲线运动，接下来的2 s内物体做直线运动
D．最初4 s内物体做曲线运动，接下来的2 s内物体还是做曲线运动
19．如图所示，河的宽度为L，河水流速为u，甲、乙两船均以静水中的速度v同时渡河。出发时两船相距2L，甲、乙船头均与岸边成60°角，且乙船恰好能直达正对岸的A点。则下列说法中正确的是（ ）
A．甲船在A点右侧靠岸 B．甲船在A点左侧靠岸
C．甲乙两船到达对岸的时间不相等 D．甲乙两船可能在未到达对岸前相遇
20．（多选）一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动规律为x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t（式中的物理量单位均为国际单位），关于物体的运动，下列说法正确的是( )
A．物体在x轴方向上做匀减速直线运动 B．物体运动的轨迹是一条直线
C．物体在y轴方向上做匀加速直线运动 D．物体运动的轨迹是一条曲线
21．一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（可视为质点）。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，B球的速度大小为v2，则( )
A．v2＝eq \f(1,2)v1 B．v2＝2v1 C．v2＝v1 D．v2＝eq \r(3)v1
22．如图所示，开始时A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，则下列v t图像中，最接近物体B的运动情况的是( )
第1讲 曲线运动 运动的合成与分解
答案
例1、C 例2、D 变式1、BCD 变式2、B 例3、AD 例4、BC
变式3、C 变式4、AD 例5、AB 例6、D 例7、B 例8、B
变式5、C 变式6、C 变式7、BCD 例9、（1）（2）加速 变式8、B
例10、tanθ 例11、B 例12、B 变式9、BD 例13、BC 例14、略
例15、C 例15、D
【能力展示】
1、C 2、AC 3、B 4、CD 5、BC 6、BC 7、BC 8、BC 9、B
10、C 11、BCD 12、AB 13、A 14、C 15．AB 16．C 17、BC
18、BC 19、B 20、BC 21、C 22、A
等时性
各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等（不同时的运动不能合成）
等效性
各分运动叠加起来与合运动有相同的效果
独立性
一个物体同时参与几个运动，其中的任何一个分运动都会保持其运动性质不变，并不会受其他分运动的干扰。虽然各分运动互相独立，但是合运动的性质和轨迹由它们共同决定
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
渡河时间最短
当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝eq \f(d,v船)（d为河宽）
渡河位移最短
如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cs θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船
【教学目标】1、知道曲线运动中速度的方向，理解曲线运动是一种变速运动，必具有加速度；
2、知道曲线运动的条件；
3、掌握运动的合成与分解的方法。
【重、难点】1、运动的合成与分解的方法；2、小船过河问题；3、绳端速度分解问题
【知识梳理】
（1）速度发生变化的运动，一定是曲线运动。（ ）
（2）做曲线运动的物体加速度一定是变化的。（ ）
（3）做曲线运动的物体速度大小一定发生变化。（ ）
（4）曲线运动可能是匀变速运动。（ ）
（5）两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等。（ ）
（6）合运动的速度一定比分运动的速度大。（ ）
（7）只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。（ ）
（8）合运动不一定是物体的实际运动．（ ）
（9）分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则。（ ）
考点一 物体做曲线运动的条件与轨迹分析
1．运动轨迹的判断
（1）若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动。
（2）若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。
2．质点做曲线运动的轨迹在________________________之间，且弯向______的一侧。如图所示．
3．合力方向与速率变化的关系
例1、内壁光滑的牛顿管抽成真空，现让牛顿管竖直倒立，同时水平向右匀速移动，则管中羽毛的运动轨迹可能是( )
例2、如图所示为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，且质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是 ( )
A．质点经过D点时的加速度比B点的大
B．质点经过A点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90°
C．质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小
D．质点经过C点的速率比D点的大
变式1、（多选）关于曲线运动，下列说法中不正确的是( )
A．做曲线运动的物体速度方向必定变化
B．速度变化的运动必定是曲线运动
C．加速度恒定的运动不可能是曲线运动
D．加速度变化的运动必定是曲线运动
变式2、一个质点受两个互成锐角的恒力F1和F2作用，由静止开始运动，若运动过程中保持二力方向不变，但F1突然增大到F1＋ΔF，则质点以后( )
A．继续做匀变速直线运动 B．在相等时间内速度的变化一定相等
C．可能做匀速直线运动 D．可能做变加速曲线运动
考点二 运动的合成与分解的应用
1．合运动与分运动的关系
2．运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则。
名师点拨：在进行运动的合成时，可以利用三角形定则，如图所示，v1、v2的合速度为v。
3．合运动的性质和轨迹的判断
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(合加速度(或合外力)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(变化：非匀变速运动,不变：匀变速运动)),合加速度(或合外力)方向与速度方向\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共线：直线运动,不共线：曲线运动))))4．两个直线运动的合运动性质的判断
标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线
例3、（多选）一物体的运动规律是，则下列说法中正确的是 ( )
A．物体在x和y方向上都是做初速度为零的匀加速直线运动
B．物体的合运动是做加速度为5m/s2的曲线运动
C．物体的合运动是初速度为零、加速度为5m/s2的匀加速直线运动
D．物体的合运动是初速度为零、加速度为l0m/s2的匀加速直线运动
例4、（多选）如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩．在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以h＝H－2t2规律变化（H为塔吊高），则物体B做 ( )
A．速度大小不变的曲线运动 B．加速度大小、方向均不变的曲线运动
C．速度大小增加的曲线运动 D．加速度大小、方向均变化的曲线运动
变式3、如图a所示，甲车自西向东做匀加速运动，乙车由南向北做匀速运动，到达O位置之前，乙车上的人看到甲车运动轨迹大致是图b中的( )
O
东
南
北
西
乙
甲
a
b
A
B
C
D
变式4、（多选）在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从t＝0时刻起，由坐标原点O（0，0）开始运动，其沿x轴和y轴方向运动的速度—时间图象如图甲、乙所示，下列说法中正确的是 ( )
A．前2 s内物体沿x轴做匀加速直线运动
B．后2 s内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y轴方向
C．4 s末物体坐标为（4 m，4 m）
D．4 s末物体坐标为（6 m，2 m）
“化曲为直”思想在运动合成与分解中的应用
1．分析运动的合成与分解问题时，要注意运动的分解方向，一般情况下按运动效果进行分解，切记不可按分解力的思路来分解运动．
2．要注意分析物体在两个方向上的受力及运动规律，分别在两个方向上列式求解．
3．两个分方向上的运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点．
考点三 小船渡河模型
1．小船渡河问题的分析思路
2．小船渡河的两类问题、三种情景
题型一 小船渡河的轨迹分析
例5、（多选）下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。则其中可能正确的是( )
题型二 小船渡河情景分析
例6、船在静水中的速度为3.0 m/s，它要渡过宽度为30 m的河，河水的流速为2.0 m/s，则下列说法中正确的是( )
A．船不能渡过河 B．船渡河的速度一定为5.0 m/s
C．船不能垂直到达对岸 D．船到达对岸所需的最短时间为10 s
例7、有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为( )
A．eq \f(kv,\r(k2－1)) B．eq \f(v,\r(1－k2)) C．eq \f(kv,\r(1－k2)) D．eq \f(v,\r(k2－1))
例8、如图所示，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝eq \f(3,400)x（m/s）（x的单位为m），让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v船＝4 m/s，则下列说法正确的是( )
A．小船渡河的轨迹为直线
B．小船在河水中的最大速度是5 m/s
C．小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200 m处的速度
D．小船渡河的时间是160 s
变式5、在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为（ ）
A． B．0 C． D．
变式6、一条船要在最短时间内渡过宽为100 m的河，已知河水的流速v1与船离河岸的距离x变化的关系如图甲所示，船在静水中的速度v2与时间t的关系如图乙所示，则以下判断中正确的是 ( )
A．船渡河的最短时间25 s B．船运动的轨迹可能是直线
C．船在河水中航行的加速度大小为a＝0.4 m/s2 D．船在河水中的最大速度是5 m/s
变式7、（多选）如图所示，河宽为L，河水流速为u，甲、乙两船均以静水中的速度大小v同时出发渡河。出发时两船相距x，甲、乙船头均与岸边成45°角，且乙船恰好能直达正对岸的A点。则下列说法正确的是（）
x
A
甲
乙
45°
45°
A．甲乙两船在水中行驶的路程相等 B．甲乙两船同时到达河对岸
C．v∶u=eq \r(2)∶1 D．为确保两船在河中不相撞，x不得小于2L
求解小船渡河问题的方法
求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移，无论哪类都必须明确以下四点：
（1）解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头所指方向的运动，是分运动，船的运动也就是船的实际运动，是合运动，一般情况下与船头指向不共线．
（2）运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解．
（3）渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关．
（4）求最短渡河位移时，根据船速v船与水流速度v水的大小情况用三角形定则求极限的方法处理．
考点四 绳（杆）端速度分解模型
两物体通过绳（杆）相牵连，当两物体都发生运动时，两物体的速度往往不相等，但因绳（杆）的长度是不变的，因此两物体的速度沿绳（杆）方向的分速度大小是相等的。
1．模型特点：沿绳（杆）方向的速度分量大小相等．
2．思路与方法：合速度→绳拉物体的实际运动速度v
分速度→eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(其一：沿绳(或杆)的速度v1,其二：与绳(或杆)垂直的分速度v2))
方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则．
3．解题的原则：
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如下图所示．
如图甲所示，绳子在被沿径向拉动的同时，还在绕滑轮运动，可见：被拉物体既参与了沿绳子径向的分运动，又参与了绕滑轮运动的分运动，被拉物体的运动应是这两个分运动的合运动，其速度是这两个分速度的合成．
题型一 绳牵连物体运动问题
例9、如图所示，在河岸上用绳匀速拉船，拉绳的速度是v，当绳与水平方向夹角为θ时。
（1）求船的速度；（2）试判断船在靠岸过程中做的是加速运动还是减速运动。
v
θ
变式8、如图所示，一辆汽车沿水平地面匀速行驶，通过跨过定滑轮的轻绳将一物体A竖直向上提起，在此过程中，物体A的运动情况是 ( )
A．加速上升，且加速度不断增大 B．加速上升，且加速度不断减小
C．减速上升，且加速度不断减小 D．匀速上升
题型二 杆牵连物体运动问题
例10、两根光滑的杆互相垂直地固定在一起，上面分别穿有一个小球，小球a、b间用一细直棒相连，如图所示．当细直棒与竖直杆夹角为θ时，求两小球实际速度大小之比．
题型三 其他类型
例11、如图所示 ，长为L的直棒一端可绕固定轴转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为( )
A．eq \f(vsin α,L) B．eq \f(v,Lsin α) C．eq \f(vcs α,L) D．eq \f(v,Lcs α)
例12、如图所示，AB杆以恒定角速度绕A点转动，并带动套在水平杆OC上的质量为M的小环运动，运动开始时，AB杆在竖直位置，则小环M的加速度将( )
A．先减小后增大 B．逐渐增大 C．先增大后减小 D．逐渐减小
变式9、（多选）如图所示，一铁球用细线悬挂于天花板上，静止垂在桌子的边缘，悬线穿过一光盘的中间孔，手推光盘在桌面上平移，光盘带动悬线紧贴着桌子的边缘以水平速度v匀速运动，当光盘由A位置运动到图中虚线所示的B位置时，悬线与竖直方向的夹角为θ，此时铁球( )
A．竖直方向速度大小为vcs θ B．竖直方向速度大小为vsin θ
C．相对于地面速度大小为veq \r(1＋cs2 θ) D．相对于地面速度大小为veq \r(1＋sin2 θ)
绳（杆）牵连物体的分析技巧
1．解题关键：找出合速度与分速度的关系是求解关联问题的关键．
2．基本思路：
（1）先确定合速度的方向(物体实际运动方向)．
（2）分析合运动所产生的实际效果：一方面使绳或杆伸缩；另一方面使绳或杆转动．
（3）确定两个分速度的方向：沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度大小相同．
考点四 生活中的运动合成问题
(一)骑马射箭
例13、（多选）民族运动会上有一骑射项目如图所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d。要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则( )
A．运动员放箭处离目标的距离为eq \f(dv2,v1) B．运动员放箭处离目标的距离为eq \f(d\r(v12＋v22),v2)
C．箭射到固定目标的最短时间为eq \f(d,v2) D．箭射到固定目标的最短时间为eq \f(d,\r(v22－v12))
(二)下雨打伞
例14、雨滴在空中以4 m/s的速度竖直下落，人打伞以3 m/s的速度向西急行，如果希望雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应指向什么方向？
(三)转台投篮
例15、趣味投篮比赛中，运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上，相对平台静止，向平台圆心处的球筐内投篮球。则下图各俯视图中篮球可能被投入球筐（图中箭头指向表示投篮方向）的是( )
(四)风中骑车
例16、某人骑自行车以4 m/s的速度向正东方向行驶，天气预报报告当时是正北风，风速为4 m/s，那么，骑车人感觉到的风向和风速为( )
A．西北风 风速为4 m/s B．西北风 风速为4 eq \r(2) m/s
C．东北风 风速为4 m/s D．东北风 风速为4 eq \r(2) m/s
【能力展示】
【小试牛刀】
1．下列关于运动和力的叙述中，正确的是 ( )
A．做曲线运动的物体，其加速度方向一定是变化的
B．物体做圆周运动，所受的合力一定指向圆心
C．物体所受合力方向与运动方向相反，该物体一定做直线运动
D．物体运动的速率在增加，所受合力方向一定与运动方向相同
2．（多选）关于曲线运动的性质，以下说法正确的是 ( )
A．曲线运动一定是变速运动
B．曲线运动一定是变加速运动
C．变速运动不一定是曲线运动
D．运动物体的速度大小、加速度大小都不变的运动一定是直线运动
3．一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内（ ）
A．速度一定在不断地变化，加速度也一定不断地改变
B．速度一定在不断地改变，加速度可以不变
C．速度可以不变，加速度一定不断地改变
D．速度可以不变，加速度也可以不变
4．（多选）下列说法中正确的是 ( )
A．物体在恒力作用下不可能做曲线运动
B．物体在变力作用下不可能做曲线运动
C．物体在变力作用下有可能做曲线运动
D．做曲线运动的物体，其速度方向与加速度的方向不在同一直线上
5．（多选）物体受几个恒力的共同作用做匀速直线运动，突然撤去其中一个力，则物体的可能运动形式是 ( )
A．匀速直线运动 B．匀加速直线运动 C．匀变速曲线运动 D．变加速曲线运动
6．（多选）设空中的雨滴从静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下列说法中正确的是 ( )
A．风速越大，雨滴下落的时间越长 B．雨滴下落时间与风速无关
C．风速越大，雨滴着地时的速度越大 D．雨滴着地速度与风速无关
7．（多选）有关运动的合成，以下说法正确的是 ( )
A．两个直线运动的合运动一定是直线运动
B．两个不在一条直线上的匀速直线运动的合运动一定是直线运动
C．两个初速度为零的匀加速（加速度大小不相等）直线运动的合运动一定是匀加速直线运动
D．匀加速直线运动和匀速直线运动的合运动一定是直线运动
8．一轮船的船头指向始终垂直于河岸的方向，并以一定的速度向对岸行驶，水匀速流动，则关于轮船通过的路程、渡河经历的时间与水流速度的关系，下列说法正确的是( )
A．水流速度越大，路程越长，时间越长 B．水流速度越大，路程越短，时间越短
C．渡河时间与水流速度无关 D．路程和时间都与水流速度无关
9．如图所示，红蜡块可以在竖直玻璃管内的水中匀速上升，若在红蜡块从A点开始匀速上升的同时，玻璃管从AB位置水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块的实际运动轨迹可能是图中的（ ）
A
B
C
D
R
Q
P
A．直线P B．曲线Q C．曲线R D．三条轨迹都有可能
10．一架飞机水平地匀速飞行，从飞机上每隔1秒钟释放一个铁球，先后共释放4个。若不计空气阻力，则四个球 ( )
A．在空中任何时刻总是排成抛物线；它们的落地点是等间距的
B．在空中任何时刻总是排成抛物线；它们的落地点是不等间距的
C．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线；它们的落地点是等间距的
D．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线；它们的落地点是不等间距的
11．（多选）如图所示为一个做匀变速曲线运动的质点的轨迹示意图，已知在B点的速度与加速度相互垂直，则下列说法中不正确的是( )
A．D点的速率比C点的速率大 B．A点的加速度与速度的夹角小于90°
C．A点的加速度比D点的加速度大 D．从A到D加速度与速度的夹角先增大后减小
12．（多选）小船横渡一条两岸平行的河流，船本身提供的速度（即静水速度）大小不变、船身方向垂直于河岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图所示，则( )
A．越接近河岸水流速度越小 B．无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短
C．越接近河岸水流速度越大 D．该船渡河的时间会受水流速度变化的影响
13．如图甲所示，在粗糙的水平面上，质量分别为m和M（m∶M＝1∶2）的物块A、B用轻弹簧相连，两物块与水平面间的动摩擦因数相同。当用水平力F作用于B上且两物块共同向右加速运动时，弹簧的伸长量为x1；当用同样大小的力F竖直加速提升两物块时(如图乙所示)，弹簧的伸长量为x2，则x1∶x2等于 ( )
A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．2∶3
14．帆船船头指向正东以速度v（静水中速度）航行，海面正刮着南风，风速为eq \r(3)v，以海岸为参考系，不计阻力。关于帆船的实际航行方向和速度大小，下列说法正确的是( )
A．帆船沿东偏北30°方向航行，速度大小为2v
B．帆船沿东偏北60°方向航行，速度大小为eq \r(2)v
C．帆船沿北偏东30°方向航行，速度大小为2v
D．帆船沿东偏南60°方向航行，速度大小为eq \r(2)v
15．（多选）质量为2 kg的质点在x－y平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点的初速度为5 m/s B．质点所受的合外力为3 N
C．质点初速度的方向与合外力方向垂直 D．2 s末质点速度大小为6 m/s
16．如图所示，两次渡河时船相对水的速度大小和方向都不变。已知第一次实际航程为A至B，位移为x1，实际航速为v1，所用时间为t1。由于水速增大，第二次实际航程为A至C，位移为x2，实际航速为v2，所用时间为t2。则( )
A．t2>t1，v2＝eq \f(x2v1,x1) B．t2>t1，v2＝eq \f(x1v1,x2) C．t2＝t1，v2 ＝eq \f(x2v1,x1) D．t2＝t1，v2＝eq \f(x1v1,x2)
【大显身手】
17．（多选）小河宽为d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，，x是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为，则下列说法中正确的是（ ）
A．小船渡河时的轨迹为直线 B．小船到达离河岸处，船渡河的速度为
C．小船渡河时的轨迹为曲线 D．小船到达离河岸处，船的渡河速度为
18．（多选）质量为0.2 kg的物体在水平面上运动，它的两个正交分速度图线分别如图甲、乙所示，由图可知( )
A．从开始至6 s末物体都做曲线运动
B．最初4 s内物体的位移为8eq \r(2) m
C．最初4 s内物体做曲线运动，接下来的2 s内物体做直线运动
D．最初4 s内物体做曲线运动，接下来的2 s内物体还是做曲线运动
19．如图所示，河的宽度为L，河水流速为u，甲、乙两船均以静水中的速度v同时渡河。出发时两船相距2L，甲、乙船头均与岸边成60°角，且乙船恰好能直达正对岸的A点。则下列说法中正确的是（ ）
A．甲船在A点右侧靠岸 B．甲船在A点左侧靠岸
C．甲乙两船到达对岸的时间不相等 D．甲乙两船可能在未到达对岸前相遇
20．（多选）一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动规律为x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t（式中的物理量单位均为国际单位），关于物体的运动，下列说法正确的是( )
A．物体在x轴方向上做匀减速直线运动 B．物体运动的轨迹是一条直线
C．物体在y轴方向上做匀加速直线运动 D．物体运动的轨迹是一条曲线
21．一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（可视为质点）。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，B球的速度大小为v2，则( )
A．v2＝eq \f(1,2)v1 B．v2＝2v1 C．v2＝v1 D．v2＝eq \r(3)v1
22．如图所示，开始时A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，则下列v t图像中，最接近物体B的运动情况的是( )
第1讲 曲线运动 运动的合成与分解
答案
例1、C 例2、D 变式1、BCD 变式2、B 例3、AD 例4、BC
变式3、C 变式4、AD 例5、AB 例6、D 例7、B 例8、B
变式5、C 变式6、C 变式7、BCD 例9、（1）（2）加速 变式8、B
例10、tanθ 例11、B 例12、B 变式9、BD 例13、BC 例14、略
例15、C 例15、D
【能力展示】
1、C 2、AC 3、B 4、CD 5、BC 6、BC 7、BC 8、BC 9、B
10、C 11、BCD 12、AB 13、A 14、C 15．AB 16．C 17、BC
18、BC 19、B 20、BC 21、C 22、A
等时性
各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等（不同时的运动不能合成）
等效性
各分运动叠加起来与合运动有相同的效果
独立性
一个物体同时参与几个运动，其中的任何一个分运动都会保持其运动性质不变，并不会受其他分运动的干扰。虽然各分运动互相独立，但是合运动的性质和轨迹由它们共同决定
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
渡河时间最短
当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝eq \f(d,v船)（d为河宽）
渡河位移最短
如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cs θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船
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