2019学年湖北省鄂州市人教版八年级（上）期末数学试卷（解析版） (1)

这是一份2019学年湖北省鄂州市人教版八年级（上）期末数学试卷（解析版） (1)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2018-2019学年湖北省鄂州市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列图形：①三角形，②线段，③正方形，④直角、⑤圆，其中是轴对称图形的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜ C．﹣＜a＜1 D．a＞
3．下列各式计算正确的是（　　）
A．（a5）2＝a7 B．2x﹣2＝
C．3a2•2a3＝6a6 D．a8÷a2＝a6
4．把代数式3x3﹣12x2+12x分解因式，结果正确的是（　　）
A．3x（x2﹣4x+4） B．3x（x﹣4）2
C．3x（x+2）（x﹣2） D．3x（x﹣2）2
5．一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．化简（1﹣）÷（1﹣）的结果为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．2+
8．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数是（　　）

A．106° B．108° C．110° D．112°
9．若数a使关于x的分式方程+＝4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
10．若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值为（　　）
A．﹣1.5 B．1 C．﹣1.5或2 D．﹣0.5或﹣1.5
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．细胞的直径只有1微米，即0.000 001米，用科学记数法表示0.000 001为　 　．
12．计算a﹣2b2•（a2b﹣2）﹣3÷（a﹣4）2＝　 　．
13．分式方程＝有增根，则m的值为　 　．
14．已知2x＝3，2y＝5，则22x﹣y﹣1的值是　 　．
15．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC＝24，∠B＝30°，则DE的长是　 　．

16．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC＝　 　°．

17．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（2，0），点B的坐标是（0，3），以AB为腰作等腰三角形，则另一顶点在坐标轴上的有　 　个．

18．已知三个数x，y，z满足，，，则的值为　 　．
三、解答题（共66分）
19．（12分）（1）化简：[（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷（﹣2y）
（2）因式分解：①2m（a﹣b）﹣6n（b﹣a）
②（a﹣2b）2+8ab
20．解方程
（1）+＝1
（2）+＝
21．（10分）如图，已知△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，AE⊥EC，BD＝EC．
（1）求证：△BDA≌△CEA；
（2）请判断△ADE是什么三角形，并说明理由．

22．化简•﹣，并求值，其中a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF．求证：∠ADC＝∠BDF．

24．某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．
（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；
（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%．按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．
25．（12分）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立；请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是直线l上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DF＝EF．


2018-2019学年湖北省鄂州市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列图形：①三角形，②线段，③正方形，④直角、⑤圆，其中是轴对称图形的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：
线段，正方形，圆、直角是轴对称图形，
三角形不一定是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，难度适中．
2．已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜ C．﹣＜a＜1 D．a＞
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”，再根据各象限内的点的坐标的特点列出不等式组求解即可．
【解答】解：∵点P（a+1，2a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，
∴点P在第四象限，
∴，
解不等式①得，a＞﹣1，
解不等式②得，a＜，
所以，不等式组的解集是﹣1＜a＜．
故选：B．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，以及各象限内点的坐标的特点，判断出点P在第四象限是解题的关键．
3．下列各式计算正确的是（　　）
A．（a5）2＝a7 B．2x﹣2＝
C．3a2•2a3＝6a6 D．a8÷a2＝a6
【分析】根据负整数指数幂、同底数乘除法、幂的乘方与积的乘方的知识进行解答．
【解答】解：A、选项属于幂的乘方，法则为：底数不变，指数相乘．（a5）2＝a5×2＝a10，错误；
B、2x﹣2中2是系数，只能在分子，错误；
C、选项是两个单项式相乘，法则为：系数，相同字母分别相乘．3a2•2a3＝（3×2）•（a2•a3）＝6a5，错误；
D、选项属于同底数幂的除法，法则为：底数不变，指数相减a8÷a2＝a8﹣2＝a6．
故选：D．
【点评】幂的乘方，单项式与单项式相乘，同底数幂的乘法和除法，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
4．把代数式3x3﹣12x2+12x分解因式，结果正确的是（　　）
A．3x（x2﹣4x+4） B．3x（x﹣4）2
C．3x（x+2）（x﹣2） D．3x（x﹣2）2
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝3x（x2﹣4x+4）＝3x（x﹣2）2，
故选：D．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
5．一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据多边形的外角和为360°及题意，求出这个多边形的内角和，即可确定出多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的外角和是内角和的，且外角和为360°，
∴这个多边形的内角和为900°，即（n﹣2）•180°＝900°，
解得：n＝7，
则这个多边形的边数是7，
故选：C．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式及外角和公式是解本题的关键．
6．化简（1﹣）÷（1﹣）的结果为（　　）
A． B． C． D．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝÷＝•＝，
故选：A．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．2+
【分析】连接CC′，根据△ABC、△A′BC′均为正三角形即可得出四边形A′BCC′为菱形，进而得出点C关于BC'对称的点是A'，以此确定当点D与点B重合时，AD+CD的值最小，代入数据即可得出结论．
【解答】解：连接CC′，如图所示．
∵△ABC、△A′BC′均为正三角形，
∴∠ABC＝∠A′＝60°，A′B＝BC＝A′C′，
∴A′C′∥BC，
∴四边形A′BCC′为菱形，
∴点C关于BC'对称的点是A'，
∴当点D与点B重合时，AD+CD取最小值，
此时AD+CD＝2+2＝4．
故选：A．

【点评】本题考查了轴对称中的最短线路问题以及等边三角形的性质，找出点C关于BC'对称的点是A'是解题的关键．
8．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数是（　　）

A．106° B．108° C．110° D．112°
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA＝OB，根据等边对等角可得∠ABO＝∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB＝OC，再根据等边对等角求出∠OCB＝∠OBC，根据翻折的性质可得OE＝CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC＝54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝∠BAC＝×54°＝27°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣54°）＝63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝27°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝63°﹣27°＝36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB＝∠OBC＝36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，
∴∠COE＝∠OCB＝36°，
在△OCE中，∠OEC＝180°﹣∠COE﹣∠OCB＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
故选：B．

【点评】本题考查了翻折变换的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
9．若数a使关于x的分式方程+＝4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a＜6且a≠2，根据不等式组的解集为y＜﹣2，即可得出a≥﹣2，找出﹣2≤a＜6且a≠2中所有的整数，将其相加即可得出结论．
【解答】解：分式方程+＝4的解为x＝且x≠1，
∵关于x的分式方程+＝4的解为正数，
∴＞0且≠1，
∴a＜6且a≠2．
，
解不等式①得：y＜﹣2；
解不等式②得：y≤a．
∵关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，
∴a≥﹣2．
∴﹣2≤a＜6且a≠2．
∵a为整数，
∴a＝﹣2、﹣1、0、1、3、4、5，
（﹣2）+（﹣1）+0+1+3+4+5＝10．
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为y＜﹣2，找出﹣2≤a＜6且a≠2是解题的关键．
10．若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值为（　　）
A．﹣1.5 B．1 C．﹣1.5或2 D．﹣0.5或﹣1.5
【分析】方程无解即是分母为0，由此可得：原分式方程中的分母为0：x＝0或x＝3，解方程后x＝﹣，分母2m+1＝0，解出即可．
【解答】解：﹣1＝，
方程两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+2m）﹣x（x﹣3）＝2（x﹣3），
整理，得：（2m+1）x＝﹣6，
x＝﹣，
∵原分式方程无解，
∴2m+1＝0或﹣＝3或﹣＝0，
解得：x＝﹣0.5或x＝﹣1.5，
故选：D．
【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型，分式方程无解，则分母为0．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．细胞的直径只有1微米，即0.000 001米，用科学记数法表示0.000 001为　1×10﹣6　．
【分析】对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00 000 1＝1×10﹣6，
故答案为：1×10﹣6．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．计算a﹣2b2•（a2b﹣2）﹣3÷（a﹣4）2＝　b8　．
【分析】先算乘方，再算乘除即可．
【解答】解：原式＝a﹣2b2•a﹣6b6÷a﹣8
＝b8，
故答案为：b8．
【点评】本题考查了整式的混合运算的应用，能灵活运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
13．分式方程＝有增根，则m的值为　3　．
【分析】方程两边都乘以最简公分母（x﹣1）（x+2）把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根是使最简公分母等于0的未知数的值，求出增根，然后代入进行计算即可得解．
【解答】解：方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得，
x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝m，
x2+2x﹣x2﹣x+2＝m，
m＝x+2，
∵分式方程有增根，
∴（x﹣1）（x+2）＝0，
∴x﹣1＝0，x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣2，
当x1＝1时，m＝x+2＝1+2＝3，此时原方程化为﹣1＝，方程确实有增根，
当x2＝﹣2时，m＝x+2＝﹣2+2＝0，此时原方程化为﹣1＝0，所以x﹣（x﹣1）＝0，此方程无解，所以m＝0不符合题意，
所以m的值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了分式方程的增根，增根就是使最简公分母等于0的未知数的值，确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14．已知2x＝3，2y＝5，则22x﹣y﹣1的值是　　．
【分析】根据同底数幂的除法底数不变指数相减，幂的乘方，可得答案．
【解答】解：22x﹣y﹣1＝22x÷2y÷2
＝（2x）2÷2y÷2
＝9÷5÷2
＝，
故答案为：．
【点评】本题考察了同底数幂的除法、幂的乘方，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
15．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC＝24，∠B＝30°，则DE的长是　8　．

【分析】由折叠的性质可知；DC＝DE，∠DEA＝∠C＝90°，在Rt△BED中，∠B＝30°，故此BD＝2ED，从而得到BC＝3BC，于是可求得DE＝8．
【解答】解：由折叠的性质可知；DC＝DE，∠DEA＝∠C＝90°，
∵∠BED+∠DEA＝180°，
∴∠BED＝90°．
又∵∠B＝30°，
∴BD＝2DE．
∴BC＝3ED＝24．
∴DE＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、含30°直角三角形的性质，根据题意得出BC＝3DE是解题的关键．
16．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC＝　45　°．

【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝BE，然后求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAE＝∠ABE＝45°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后求出∠CBE，根据等腰三角形三线合一的性质可得BF＝CF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF＝EF，根据等边对等角求出∠BEF＝∠CBE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∵BE⊥AC，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝∠ABE＝45°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝CF，
∵EF＝BC（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴BF＝EF＝CF，
∴∠BEF＝∠CBE＝22.5°，
∴∠EFC＝∠BEF+∠CBE＝22.5°+22.5°＝45°．
故答案为：45．

【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并求出△ABE是等腰直角三角形是解题的关键．
17．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（2，0），点B的坐标是（0，3），以AB为腰作等腰三角形，则另一顶点在坐标轴上的有　6　个．

【分析】根据等腰三角形的性质，作出图即可解答．
【解答】解：如图，

以AB为腰的三角形有4个，
分别是△ABP1，△ABP2，△ABP3，△ABP4；
以AB为底的三角形有两个，
分别是△ABP5，△ABP6．
因此，以点A、B、P为顶点的等腰三角形共有6个，
故答案为：6．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及坐标与图形性质；做题时需注意两点，一是注意点P必须位于坐标轴上；二是注意不能漏解，应分A、B为顶角两种情况分别解答．
18．已知三个数x，y，z满足，，，则的值为　﹣4　．
【分析】所求式子分子分母除以xyz变形后，将已知三等式左边变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：∵＝﹣2，＝，＝﹣，
∴+＝﹣， +＝， +＝﹣，
∴++＝﹣，
则＝＝﹣4．
故答案为：﹣4
【点评】此题考查了分式的化简求值，将已知等式及所求式子进行适当的变形是解本题的关键．
三、解答题（共66分）
19．（12分）（1）化简：[（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷（﹣2y）
（2）因式分解：①2m（a﹣b）﹣6n（b﹣a）
②（a﹣2b）2+8ab
【分析】（1）根据平方差公式、完全平方公式、单项式乘以多项式和多项式除以单项式的方法可以解答本题；
（2）①根据提公因式法可以解答本题；
②根据完全平方公式可以解答本题．
【解答】解：（1）[（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷（﹣2y）
＝（x2﹣y2﹣x2+2xy﹣y2+2xy﹣2y2）÷（﹣2y）
＝（﹣4y2+4xy）÷（﹣2y）
＝2y﹣2x；
（2）①2m（a﹣b）﹣6n（b﹣a）
＝2m（a﹣b）+6n（a﹣b）
＝2（a﹣b）（m+3n）；
②（a﹣2b）2+8ab
＝a2﹣4ab+4b2+8ab
＝a2+4ab+4b2
＝（a+2b）2．
【点评】本题考查整式的混合运算、因式分解，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法和因式分解的方法．
20．解方程
（1）+＝1
（2）+＝
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）3+x（x+3）＝x2﹣9
解得：x＝﹣4
经检验x＝﹣4是分式方程的解；
（2）x﹣1+2（x+1）＝4
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．
21．（10分）如图，已知△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，AE⊥EC，BD＝EC．
（1）求证：△BDA≌△CEA；
（2）请判断△ADE是什么三角形，并说明理由．

【分析】（1）易证∠ADB＝∠AEC＝90°，AB＝AC，即可证明Rt△BDA≌Rt△CEA，即可解题；
（2）根据（1）中结论可得AE＝CD，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质可得AD＝DE，即可解题．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵D是AC中点，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°，∠BDA＝90°，
∵AE⊥EC，
∴∠AEC＝90°，
在Rt△BDA和Rt△CEA中，
，
∴Rt△BDA≌Rt△CEA（HL）；
（2）∵△BDA≌△CEA，
∴AE＝AD，
∵D为边AC的中点，AE⊥EC，
∴AD＝DE，
∴AD＝DE＝AE，
∴△ADE是等边三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BDA≌△CEA是解题的关键．
22．化简•﹣，并求值，其中a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数．
【分析】原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•+＝+＝＝＝，
∵a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数，
∴1＜a＜5，即a＝2，3，4，
当a＝2或a＝3时，原式没有意义，
则a＝4时，原式＝1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及三角形三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF．求证：∠ADC＝∠BDF．

【分析】作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，由ASA证明△ACD≌△CBG，得出CD＝BG，∠CDA＝∠CGB，证出BG＝BD，∠FBD＝∠GBF＝∠CBG，再由SAS证明△BFG≌△BFD，得出∠FGB＝∠FDB，即可得出结论．
【解答】证明：作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，如图所示：
∵∠CBG＝90°，CF⊥AD，
∴∠CAD+∠ADC＝∠BCG+∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠BCG，
在△ACD和△CBG中，
，
∴△ACD≌△CBG（ASA），
∴CD＝BG，∠CDA＝∠CGB，
∵CD＝BD，
∴BG＝BD，
∵∠ABC＝45°，
∴∠FBD＝∠GBF＝∠CBG，
在△BFG和△BFD中，
，
∴△BFG≌△BFD（SAS），
∴∠FGB＝∠FDB，
∴∠ADC＝∠BDF．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结论．
24．某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．
（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；
（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%．按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．
【分析】（1）可设原计划每天生产的零件x个，根据时间是一定的，列出方程求得原计划每天生产的零件个数，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，即可求得规定的天数；
（2）可设原计划安排的工人人数为y人，根据等量关系：恰好提前两天完成2400个零件的生产任务，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设原计划每天生产的零件x个，依题意有
＝，
解得x＝2400，
经检验，x＝2400是原方程的根，且符合题意．
∴规定的天数为24000÷2400＝10（天）．
答：原计划每天生产的零件2400个，规定的天数是10天；
（2）设原计划安排的工人人数为y人，依题意有
[5×20×（1+20%）×+2400]×（10﹣2）＝24000，
解得y＝480，
经检验，y＝480是原方程的根，且符合题意．
答：原计划安排的工人人数为480人．
【点评】考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间．
25．（12分）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立；请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是直线l上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DF＝EF．

【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA＝CE，AE＝BD，可得DE＝BD+CE；
（2）由条件可知∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，可得∠DBA＝∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论．
（3）由（2）知，△ADB≌△CAE，得到BD＝EA，∠DBA＝∠CAE，再△DBF≌△EAF（SAS），得到DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，求出∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，所以△DEF为等边三角形．即可得到DF＝EF．
【解答】解：（1）∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°
又∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵DE＝AD+AE，
∴DE＝CE+BD；
（2）成立
∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴BD+CE＝AE+AD＝DE；
（3）由（2）知，△ADB≌△CAE，
∴BD＝EA，∠DBA＝∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF＝∠CAF＝60°，
∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF＝∠FAE，
∵BF＝AF
在△DBF和△EAF中，
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
∴DF＝EF．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等是解题的关键．