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高中人教版新课标A第一章 三角函数1.1 任意角和弧度制优秀课件ppt
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这是一份高中人教版新课标A第一章 三角函数1.1 任意角和弧度制优秀课件ppt，共51页。PPT课件主要包含了栏目导航，自主预习学案，互动探究学案，课时作业学案等内容，欢迎下载使用。
在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．你能算出他们在一次原地转身三圈的动作中转过的角度吗？
1．任意角的概念(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着________从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
(2)角的表示如图所示：①始边：射线的起始位置OA．②终边：射线的终止位置OB．③顶点：射线的端点O.④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．
[知识点拨](1)角的概念推广后，角度的范围不再限于0°～360°(0°～360°是指0°≤α<360°)．(2)当射线绕其端点按照逆时针方向或按照顺时针方向旋转时，旋转的绝对量可以是任意的．在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量．旋转生成的角，又常叫做转角．如图所示．(3)引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α－β可化为α＋(－β)．这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和．
2．象限角与轴线角使角的顶点与________重合，角的始边与______轴的非负半轴重合．那么，角的________(除原点外)在第几象限，就说这个角是第几__________，即象限角的终边在第一或第二或第三或第四象限内，不与__________重合．如果角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，称为轴线角(象限界角)．
[知识点拨] 锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？小于90°的角与它们有什么联系？(1)由锐角的范围知锐角是第一象限角．(2)第一象限的角不一定是锐角，满足{α|k·360°<α
[知识点拨]理解集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}要注意以下几点：(1)式中角α为任意角；(2)k∈Z这一条件必不可少；(3)k·360°与α之间是“＋”，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，即与－30°角终边相同；(4)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍，终边不同则表示的角一定不同．
[拓展]象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示(1)象限角：
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)第一象限的角都是锐角．( )(2)终边相同的角一定相等．( )(3)第四象限角可以是负角．( )(4)三角形的内角必是第一、二象限的角．( )(5)－435°是第三象限角．( )
2．将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为( )A．120° B．－120° C．60° D． 240°3．(2018·济南外国语期中)下列各角中，与－1110°的角终边相同的角是( )A．60° B．－60°C．30° D．－30°[解析] －1110°＝－3×360°－30°，所以与－30°的角终边相同．
4．若－30°角的始边与x轴的非负半轴重合，现将－30°角的终边按逆时针方向旋转2周，则所得角是____________.[解析] 因为逆时针方向旋转为正角，所以α＝－30°＋2×360°＝690°.
如图(1)(2)，射线OA绕端点O旋转到OB，OB1，OB2位置所成的角α＝____________，β＝______________，γ＝__________.
[思路分析] 1.明确角的始边与终边． 2．明确逆时针还是顺时针．[解析] 图(1)中，OA旋转到OB所成的角是一个正角，α＝360°＋30°＝390°.图(2)中，OA旋转到OB1，OB2所成的角分别是一个负角和一个正角，β＝－(360°－210°)＝－150°，γ＝210°－150°＝60°.
〔跟踪练习1〕如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC＝____________.[解析] 由角的定义可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋(－120°)＝－75°.
已知角α＝2 020°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.[思路分析] 先求出β，判断角α所在的象限；用终边相同的角表示θ满足的不等关系，求出k和θ.
命题方向2 ⇨终边相同的角
『规律总结』 1.把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
〔跟踪练习2〕若将例题中“角α＝2 020°”改为“α＝－315°”，其他条件不变，结果如何？
写出终边在如图所示的直线上的角的集合．[思路分析] 首先确定0°～360°范围内终边在所给直线上的两个角，然后分别写出与两个角终边相同的角的集合，最后写出两个集合的并集即可。
命题方向3 ⇨终边在某条直线上的角的集合
[解析] (1)在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，又所有与0°角终边相同的角的集合为S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，所有与180°角终边相同的角的集合为S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．(2)由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．
(3)由教材例题知终边在直线y＝x上的角的集合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，结合(2)知所求角的集合为S＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}．
『规律总结』 求解终边在某条直线上的角的集合的思路(1)若所求角β的终边在某条射线上，则集合的形式为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．(2)若所求角β的终边在某条直线上，则集合的形式为{β|β＝k·180°＋α，k∈Z}．
〔跟踪练习3〕若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，则α的终边在第几象限( )A．第一或第三 B．第二或第三C．第二或第四 D．第三或第四[解析] 分k为奇数，偶数讨论角α的终边所在象限．
若角α的终边在下图中阴影所表示的范围内，则α角组成的集合为_____________________________________________.[解析] 在0°～360°范围内，终边落在阴影范围内的角是60°≤α≤150°，故满足条件的角的集合为{α|k·360°＋60°≤α≤k·360°＋150°，k∈Z}．
命题方向4 ⇨区域角的表示
{α|k·360°＋60°≤α≤k·360°＋150°，k∈Z}
『规律总结』 区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α
分角、倍角所在角限的判断
[解析] ∵α是第一象限角，∴k·360°<α
对任意角的概念不清导致角的范围写错
[错解] 错解一：终边为OA的角为k·360°＋30°(k∈Z)，终边为OB的角为k·360°＋150°(k∈Z)，所以终边在阴影部分内的角的集合为{α|k·360°＋30°<α
〔跟踪练习6〕若角α的终边在如图所示的阴影部分中，试写出其集合．[解析] 以OA为终边的角为75°＋k·360°(k∈Z)，以OB边终边的角为k·360°－30°(k∈Z)．因此终边落在阴影部分中的角的集合可以表示为{α|k·360°－30°<α
2．－215°是( )A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角[解析] 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．3．下列各组角中，终边相同的是( )A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3 000°，－840°
4．如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是( )A．{α|－45°≤α≤120°}B．{α|120°≤α≤315°}C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}
5．若角α与β的终边互为反向延长线，则有( )A．α＝β＋180°B．α＝β－180°C．α＝－βD．α＝β＋(2k＋1)·180°，k∈Z[解析] 角α与β的终边互为反向延长线，则α＝β＋180°＋k·360°＝β＋(2k＋1)180°，故选D．
在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．你能算出他们在一次原地转身三圈的动作中转过的角度吗？
1．任意角的概念(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着________从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
(2)角的表示如图所示：①始边：射线的起始位置OA．②终边：射线的终止位置OB．③顶点：射线的端点O.④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．
[知识点拨](1)角的概念推广后，角度的范围不再限于0°～360°(0°～360°是指0°≤α<360°)．(2)当射线绕其端点按照逆时针方向或按照顺时针方向旋转时，旋转的绝对量可以是任意的．在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量．旋转生成的角，又常叫做转角．如图所示．(3)引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α－β可化为α＋(－β)．这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和．
2．象限角与轴线角使角的顶点与________重合，角的始边与______轴的非负半轴重合．那么，角的________(除原点外)在第几象限，就说这个角是第几__________，即象限角的终边在第一或第二或第三或第四象限内，不与__________重合．如果角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，称为轴线角(象限界角)．
[知识点拨] 锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？小于90°的角与它们有什么联系？(1)由锐角的范围知锐角是第一象限角．(2)第一象限的角不一定是锐角，满足{α|k·360°<α
[知识点拨]理解集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}要注意以下几点：(1)式中角α为任意角；(2)k∈Z这一条件必不可少；(3)k·360°与α之间是“＋”，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，即与－30°角终边相同；(4)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍，终边不同则表示的角一定不同．
[拓展]象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示(1)象限角：
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)第一象限的角都是锐角．( )(2)终边相同的角一定相等．( )(3)第四象限角可以是负角．( )(4)三角形的内角必是第一、二象限的角．( )(5)－435°是第三象限角．( )
2．将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为( )A．120° B．－120° C．60° D． 240°3．(2018·济南外国语期中)下列各角中，与－1110°的角终边相同的角是( )A．60° B．－60°C．30° D．－30°[解析] －1110°＝－3×360°－30°，所以与－30°的角终边相同．
4．若－30°角的始边与x轴的非负半轴重合，现将－30°角的终边按逆时针方向旋转2周，则所得角是____________.[解析] 因为逆时针方向旋转为正角，所以α＝－30°＋2×360°＝690°.
如图(1)(2)，射线OA绕端点O旋转到OB，OB1，OB2位置所成的角α＝____________，β＝______________，γ＝__________.
[思路分析] 1.明确角的始边与终边． 2．明确逆时针还是顺时针．[解析] 图(1)中，OA旋转到OB所成的角是一个正角，α＝360°＋30°＝390°.图(2)中，OA旋转到OB1，OB2所成的角分别是一个负角和一个正角，β＝－(360°－210°)＝－150°，γ＝210°－150°＝60°.
〔跟踪练习1〕如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC＝____________.[解析] 由角的定义可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋(－120°)＝－75°.
已知角α＝2 020°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.[思路分析] 先求出β，判断角α所在的象限；用终边相同的角表示θ满足的不等关系，求出k和θ.
命题方向2 ⇨终边相同的角
『规律总结』 1.把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
〔跟踪练习2〕若将例题中“角α＝2 020°”改为“α＝－315°”，其他条件不变，结果如何？
写出终边在如图所示的直线上的角的集合．[思路分析] 首先确定0°～360°范围内终边在所给直线上的两个角，然后分别写出与两个角终边相同的角的集合，最后写出两个集合的并集即可。
命题方向3 ⇨终边在某条直线上的角的集合
[解析] (1)在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，又所有与0°角终边相同的角的集合为S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，所有与180°角终边相同的角的集合为S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．(2)由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．
(3)由教材例题知终边在直线y＝x上的角的集合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，结合(2)知所求角的集合为S＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}．
『规律总结』 求解终边在某条直线上的角的集合的思路(1)若所求角β的终边在某条射线上，则集合的形式为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．(2)若所求角β的终边在某条直线上，则集合的形式为{β|β＝k·180°＋α，k∈Z}．
〔跟踪练习3〕若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，则α的终边在第几象限( )A．第一或第三 B．第二或第三C．第二或第四 D．第三或第四[解析] 分k为奇数，偶数讨论角α的终边所在象限．
若角α的终边在下图中阴影所表示的范围内，则α角组成的集合为_____________________________________________.[解析] 在0°～360°范围内，终边落在阴影范围内的角是60°≤α≤150°，故满足条件的角的集合为{α|k·360°＋60°≤α≤k·360°＋150°，k∈Z}．
命题方向4 ⇨区域角的表示
{α|k·360°＋60°≤α≤k·360°＋150°，k∈Z}
『规律总结』 区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α
分角、倍角所在角限的判断
[解析] ∵α是第一象限角，∴k·360°<α
对任意角的概念不清导致角的范围写错
[错解] 错解一：终边为OA的角为k·360°＋30°(k∈Z)，终边为OB的角为k·360°＋150°(k∈Z)，所以终边在阴影部分内的角的集合为{α|k·360°＋30°<α
〔跟踪练习6〕若角α的终边在如图所示的阴影部分中，试写出其集合．[解析] 以OA为终边的角为75°＋k·360°(k∈Z)，以OB边终边的角为k·360°－30°(k∈Z)．因此终边落在阴影部分中的角的集合可以表示为{α|k·360°－30°<α
2．－215°是( )A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角[解析] 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．3．下列各组角中，终边相同的是( )A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3 000°，－840°
4．如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是( )A．{α|－45°≤α≤120°}B．{α|120°≤α≤315°}C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}
5．若角α与β的终边互为反向延长线，则有( )A．α＝β＋180°B．α＝β－180°C．α＝－βD．α＝β＋(2k＋1)·180°，k∈Z[解析] 角α与β的终边互为反向延长线，则α＝β＋180°＋k·360°＝β＋(2k＋1)180°，故选D．
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