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黑龙江省哈尔滨市香坊区2019-2020学年中考数学一模测试试卷 含解析
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这是一份黑龙江省哈尔滨市香坊区2019-2020学年中考数学一模测试试卷 含解析，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年中考数学一模试卷
一、选择题
1．某天最高气温是2℃，最低气温是﹣11℃，则这天最高气温与最低气温的差是（ ）
A．﹣9℃ B．9℃ C．13℃ D．﹣l3℃
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．6a﹣5a＝1 B．a2•a3＝a5 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a5
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线y＝﹣x2+4的顶点坐标是（ ）
A．（4，0） B．（0，﹣4） C．（0，4） D．（﹣4，4）
5．如图所示的几何体是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数是（ ）
A．50° B．60° C．40° D．30°
8．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
9．在菱形ABCD中，对角线BD＝4，∠BAD＝120°，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．15 B．16 C．18 D．20
10．小元步行从家去火车站，走到6分钟时，以同样的速度回家取物品，然后从家乘出租车赶往火车站，结果比预计步行时间提前了3分钟．小元离家路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图，那么从家到火车站路程是（ ）
A．1300米 B．1400米 C．1600米 D．1500米
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．将519000用科学记数法表示为 ．
12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
13．计算﹣的结果是 ．
14．不等式组的解集是 ．
15．把多项式a4﹣a2分解因式的结果是 ．
16．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是 度．
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，则AB＝ ．AD＝ ．
18．据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，则这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 ．
19．在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F，若AD＝11，EF＝5，则AB＝ ．
20．如图所示，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点M为AB边的中点，点N为射线AC上一点，连接BN，过点C作CD⊥BN于点D，连接MD，作∠BNE＝∠BNA，边EN交射线MD于点E，若AB＝20，MD＝14，则NE的长为 ．
三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）
21．先化简，再求代数式的值，其中a＝tan60°﹣6sin30°．
22．如图所示，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB为一腰的等腰△ABC，点C在小正方形顶点上，△ABC为钝角三角形，且△ABC的面积为．
（2）在图中画出以AB为斜边的直角三角形ABD，点D在小正方形的顶点上，且AD＞BD．
（3）连接CD，请你直接写出线段CD的长．
23．哈市某中学为了丰富校园文化生活．校学生会决定举办演讲、歌唱、绘画、舞蹈四项比赛，要求每位学生都参加．且只能参加一项比赛．围绕“你参赛的项目是什么？（只写一项）”的问题，校学生会在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．将调查问卷适当整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图．其中参加舞蹈比赛的人数与参加歌唱比赛的人数之比为1：3．请你根据以上信息回答下列问题：
（1）通过计算补全条形统计图；
（2）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（3）如果全校有680名学生，请你估计这680名学生中参加演讲比赛的学生有多少名？
24．已知，在等边△ABC中，点E在BA的延长线上，点D在BC上，且ED＝EC
（1）如图1，求证：AE＝DB；
（2）如图2，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF（点B、E的对应点分别为点A、F），连接EF．在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对线段长度之差等于AB的长．
25．为了抓住开阳南江枇杷节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不超过7650元，那么该商店最多可购进A纪念品多少件？
26．已知：四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD，∠BAD+2∠ACB＝180°．
（1）如图1，求证：点A为弧BD的中点；
（2）如图2，点E为弦BD上一点，延长BA至点F，使得AF＝AB，连接FE交AD于点P，过点P作PH⊥AF于点H，AF＝2AH+AP，求证：AH：AB＝PE：BE；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接AE，并延长AE交⊙O于点M，连接CM，并延长CM交AD的延长线于点N，连接FD，∠MND＝∠MED，DF＝12﹒sin∠ACB，MN＝，求AH的长．
27．已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＜0）交x轴于点A、B，与y轴交于点C，AB＝6．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点R为第一象限的抛物线上一点，分别连接RB、RC，设△RBC的面积为s，点R的横坐标为t，求s与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，如图3，点D在x轴的负半轴上，点F在y轴的正半轴上，点E为OB上一点，点P为第一象限内一点，连接PD、EF，PD交OC于点G，DG＝EF，PD⊥EF，连接PE，∠PEF＝2∠PDE，连接PB、PC，过点R作RT⊥OB于点T，交PC于点S，若点P在BT的垂直平分线上，OB﹣TS＝，求点R的坐标．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．某天最高气温是2℃，最低气温是﹣11℃，则这天最高气温与最低气温的差是（ ）
A．﹣9℃ B．9℃ C．13℃ D．﹣l3℃
解：2﹣（﹣11）＝2+11＝13，
故选：C．
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．6a﹣5a＝1 B．a2•a3＝a5 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a5
解：A、6a﹣5a＝a，故此选项错误；
B、a2•a3＝a5，正确；
C、a6÷a3＝a3，故此选项错误；
D、（a2）3＝a6，故此选项错误；
故选：B．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．
故选：D．
4．抛物线y＝﹣x2+4的顶点坐标是（ ）
A．（4，0） B．（0，﹣4） C．（0，4） D．（﹣4，4）
解：∵抛物线y＝﹣x2+4，
∴该函数的顶点坐标为（0，4），
故选：C．
5．如图所示的几何体是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
解：从上面看，左边和中间都是2个正方形，右上角是1个正方形，
故选：D．
6．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：列表如下：
共有6×6＝36种等可能的结果数，其中向上一面的两个骰子的点数相同的占6种，
所以向上一面的两个骰子的点数相同的概率＝＝．
故选：D．
7．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数是（ ）
A．50° B．60° C．40° D．30°
解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°
∴∠A＝∠C，∠AOC＝80°
∴∠DOC＝80°﹣α
∵∠A＝2∠D＝100°
∴∠D＝50°
∵∠C+∠D+∠DOC＝180°
∴100°+50°+80°﹣α＝180° 解得α＝50°
故选：A．
8．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
解：连接OA，OB．根据正方形的性质，得∠AOB＝90°．再根据圆周角定理，得∠APB＝45°．
故选：B．
9．在菱形ABCD中，对角线BD＝4，∠BAD＝120°，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．15 B．16 C．18 D．20
解：如图，连接AC、BD，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，OB＝BD＝×4＝2，
∵∠BAD＝120°，
∴∠BAO＝60°，
在Rt△AOB中，AB＝OB÷＝2÷＝4，
所以，菱形ABCD的周长＝4×4＝16．
故选：B．
10．小元步行从家去火车站，走到6分钟时，以同样的速度回家取物品，然后从家乘出租车赶往火车站，结果比预计步行时间提前了3分钟．小元离家路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图，那么从家到火车站路程是（ ）
A．1300米 B．1400米 C．1600米 D．1500米
解：步行的速度为：480÷6＝80米/分钟，
∵小元步行从家去火车站，走到6分钟时，以同样的速度回家取物品，
∴小元回到家时的时间为6×2＝12（分钟）
则返回时函数图象的点坐标是（12，0）
设后来乘出租车中s与t的函数解析式为s＝kt+b（k≠0），
把（12，0）和（16，1280）代入得，
，
解得，
所以s＝320t﹣3840；
设步行到达的时间为t，则实际到达是时间为t﹣3，
由题意得，80t＝320（t﹣3）﹣3840，
解得t＝20．
所以家到火车站的距离为80×20＝1600m．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．将519000用科学记数法表示为 5.19×105 ．
解：将519000万用科学记数法表示为5.19×105．
故答案为：5.19×105．
12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≠0 ．
解：由题意得，x≠0，
所以，自变量x的取值范围是x≠0．
故答案为：x≠0．
13．计算﹣的结果是 ．
解：原式＝2﹣
＝．
故答案为：．
14．不等式组的解集是 x≤3 ．
解：解不等式3x﹣2≥4x﹣5，得：x≤3，
解不等式＞﹣3，得：x＜5，
则不等式组的解集为x≤3，
故答案为：x≤3
15．把多项式a4﹣a2分解因式的结果是 a2（a+1）（a﹣1） ．
解：原式＝a2（a2﹣1）＝a2（a+1）（a﹣1），
故答案为：a2（a+1）（a﹣1）
16．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是 150 度．
解：扇形的面积公式＝lr＝240πcm2，
解得：r＝24cm，
又∵l＝＝20πcm，
∴n＝150°．
故答案为：150．
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，则AB＝ 5 ．AD＝ ．
解：过C作CF⊥AB于F，
在Rt△ACB中，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝5，
由三角形的面积公式得：S＝×AC×BC＝×AB×CF，
则CF＝，
在Rt△CFA中，由勾股定理得：AF＝＝，
∵CF⊥AD，CF过圆心C，
∴AD＝2AF＝，
故答案为：5，．
18．据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，则这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 20% ．
解：设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x，
根据题意得：5000（1+x）2＝7200，
解得：x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．
故答案为：20%．
19．在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F，若AD＝11，EF＝5，则AB＝ 8或3 ．
解：①如图1，在▱ABCD中，∵BC＝AD＝11，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∴AB＝BE＝CF＝CD
∵EF＝5，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝2AB﹣5＝11，
∴AB＝8；
②在▱ABCD中，∵BC＝AD＝11，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∴AB＝BE＝CF＝CD
∵EF＝5，
∴BC＝BE+CF＝2AB+EF＝2AB+5＝11，
∴AB＝3；
综上所述：AB的长为8或3．
故答案为：8或3．
20．如图所示，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点M为AB边的中点，点N为射线AC上一点，连接BN，过点C作CD⊥BN于点D，连接MD，作∠BNE＝∠BNA，边EN交射线MD于点E，若AB＝20，MD＝14，则NE的长为 或 ．
解：连接CM．
∵△ACB是等腰直角三角形且∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝B＝20，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵M为AB中点，
∴CM＝AM＝BM＝AB＝10，∠CMB＝90°，∠ACM＝∠BCM＝45°，
∵CD⊥BN于D，
∴∠CDB＝∠CDN＝90°，
∴C、M、B、D四点共圆，
延长DB至F，使BF＝CD，连接MF，则∠MCD＝∠MBF，
在△MCD和△MBF中：
∴△MCD≌△MBF（SAS）
∴MD＝MF，∠CMD＝∠BMF，
∴∠DMF＝∠CMB＝90°，
∴CD+BD＝DB+BF＝DF＝MD＝28，
又∵CD2+BD2＝BD2＝400，
解得：CD＝12，BD＝16或CD＝16，BD＝12．
∵∠NCD+∠BCD＝∠NCD+∠ANB＝90°，
∴∠ANB＝∠BCD＝∠BMD，
∵∠ANB＝∠BNE，
∴∠BMD＝∠BNE，
∴△BMD∼△END，
∴＝＝＝，
∴NE＝ND．
当CD＝12，BD＝16时，
由射影定理有：ND＝＝＝9，
∴NE＝．
当CD＝16，BD＝12时，
同理可得ND＝，所以NE＝．
综上所述，NE的长为或．
三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）
21．先化简，再求代数式的值，其中a＝tan60°﹣6sin30°．
解：原式＝÷
＝﹣•
＝﹣，
当a＝tan60°﹣6sin30°＝﹣3时，原式＝﹣＝﹣．
22．如图所示，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB为一腰的等腰△ABC，点C在小正方形顶点上，△ABC为钝角三角形，且△ABC的面积为．
（2）在图中画出以AB为斜边的直角三角形ABD，点D在小正方形的顶点上，且AD＞BD．
（3）连接CD，请你直接写出线段CD的长．
解：（1）如图，△ABC即为所求．
（2）如图，△ABD即为所求．
（3）连接CD，CD＝＝．
23．哈市某中学为了丰富校园文化生活．校学生会决定举办演讲、歌唱、绘画、舞蹈四项比赛，要求每位学生都参加．且只能参加一项比赛．围绕“你参赛的项目是什么？（只写一项）”的问题，校学生会在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．将调查问卷适当整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图．其中参加舞蹈比赛的人数与参加歌唱比赛的人数之比为1：3．请你根据以上信息回答下列问题：
（1）通过计算补全条形统计图；
（2）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（3）如果全校有680名学生，请你估计这680名学生中参加演讲比赛的学生有多少名？
解：（1）12×＝4（名）；
（2）6+12+18+4＝40（名），
∴在这次调查中，一共抽取了40名学生；
（3）680×＝102（名），
∴估计这680名学生中参加演讲比赛的学生有多102名．
24．已知，在等边△ABC中，点E在BA的延长线上，点D在BC上，且ED＝EC
（1）如图1，求证：AE＝DB；
（2）如图2，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF（点B、E的对应点分别为点A、F），连接EF．在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对线段长度之差等于AB的长．
解：（1）如图，作DK∥AC交AB于K，则△BDK是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠EKD＝∠EAC＝120°，∠B＝∠BKD＝60°，
∴DK＝BD，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠B+∠KED＝∠EDC，
∵∠ECA+∠ACB＝∠ECD，
∴∠B+∠KED＝∠ECA+∠ACB，
∵∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠KED＝∠ECA，
在△DKE与△EAC中，
，
∴△DKE≌△EAC（AAS），
∴AE＝DK，
∴BD＝AE．
（2）BE﹣AE＝AB；BE﹣BD＝AB；AF﹣AE＝AB；AF﹣BD＝AB．
理由：由旋转可得，△BCE≌△ACF，
∴BE＝AF，
又∵BD＝AE，AB＝BE﹣AE，
∴BE﹣AE＝AB；BE﹣BD＝AB；AF﹣AE＝AB；AF﹣BD＝AB．
25．为了抓住开阳南江枇杷节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不超过7650元，那么该商店最多可购进A纪念品多少件？
解：（1）设A种纪念品每件x元，B种纪念品每件y元，由题意，得
，
解得：，
答：A种纪念品每件100元，B种纪念品每件50元；
（2）设商店最多可购进A纪念品a件，则购进B纪念品（100﹣a）件，由题意得
100a+50（100﹣a）≤7650，
解得：a≤53，
答：商店最多可购进A纪念品53件．
26．已知：四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD，∠BAD+2∠ACB＝180°．
（1）如图1，求证：点A为弧BD的中点；
（2）如图2，点E为弦BD上一点，延长BA至点F，使得AF＝AB，连接FE交AD于点P，过点P作PH⊥AF于点H，AF＝2AH+AP，求证：AH：AB＝PE：BE；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接AE，并延长AE交⊙O于点M，连接CM，并延长CM交AD的延长线于点N，连接FD，∠MND＝∠MED，DF＝12﹒sin∠ACB，MN＝，求AH的长．
【解答】（1）证明：连接OA、OB、OD，
∵∠BAD+2∠ACB＝180°，∠BAD+∠BCD＝180°，
∴2∠ACB＝∠BCD，即∠ACB＝∠ACD，
∵∠AOD＝2∠ACD，∠AOB＝2ACB，
∴∠AOD＝∠AOB，
∴，
即点A为弧AB的中点；
（2）在HF上截取点Q，使HQ＝AH，连接PQ、AE，
∵PH⊥AF，
∴PH是AQ的垂直平分线，
∴PA＝PQ，
∴∠PAQ＝∠PQA，AH＝HQ，
∴QF＝AF﹣AQ＝AF﹣2AH，
又∵PQ＝AP＝AF﹣2AH，
∴PQ＝QF，
∴∠F＝∠FPQ＝PQA＝PAQ，
∵，
∴∠ABD＝∠ADB＝PAQ，
∴∠F＝∠ABD，
∴EB＝EF，
∵AB＝AF，
∴EA⊥BF，
∵FH⊥BF，
∴∠EAF＝∠PHF＝90°，
∴EA∥PH，
∴＝，
又∵AF＝AB，EF＝BE，
∴＝；
（3）连接MD、MB，
∵，，
∴∠AMB＝∠AMD，∠MBD＝∠MAD，
∴∠MED＝∠AMB+∠MBD，∠MDN＝∠AMD+∠MAD，
∴∠MED＝∠MDN，
∵∠MED＝∠MND，
∴∠MDN＝∠MND，
∴MD＝MN＝，
∵，
∴AB＝AD，
∵AB＝AF，
∴AD＝AF，
∴∠ADF＝∠AFD，
由（1）知∠ABD＝∠BDA，
∴∠BDF＝∠ADF+∠ADB＝（∠ADF+∠AFD+∠ABD+∠BDA）＝×180°＝90°，
∴DF＝12•sin∠ACB＝12•sin∠ABD＝12×，
∴BF＝12，
∴AF＝AB＝6，
由（2）知∠MAB＝∠MAF＝90°，
∴MB为直径，
∴∠MDB＝90°，
∴∠MDB+∠BDF＝180°，
∴M、D、F共线，
∵，
∴∠ABD＝∠AMD，
∴sin∠ABD＝sin∠AMD，
∴＝，
即＝，
∴DF1＝，DF2＝﹣10（舍去），
∴BD＝＝，
∵∠BMD+∠BAD＝180°，∠PAH+∠BAD＝180°，
∴∠BMD＝∠PAH，
∴tan∠BMD＝＝＝＝tan∠PAH，tan∠PFH＝tan∠EBA＝＝，
设PH＝24k，则AH＝7k，FH＝32k，
∴32k+7k＝6，
∴k＝，
∴AH＝7k＝．
27．已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＜0）交x轴于点A、B，与y轴交于点C，AB＝6．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点R为第一象限的抛物线上一点，分别连接RB、RC，设△RBC的面积为s，点R的横坐标为t，求s与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，如图3，点D在x轴的负半轴上，点F在y轴的正半轴上，点E为OB上一点，点P为第一象限内一点，连接PD、EF，PD交OC于点G，DG＝EF，PD⊥EF，连接PE，∠PEF＝2∠PDE，连接PB、PC，过点R作RT⊥OB于点T，交PC于点S，若点P在BT的垂直平分线上，OB﹣TS＝，求点R的坐标．
解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，AB＝6，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
将点A代入y＝ax2﹣2ax+4，则有0＝4a+4a+4，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+x+4；
（2）设R（t，﹣t2+t+4），
过点R作x、y轴的垂线，垂足分别为R'，R''，
则∠RR'O＝∠RR''O＝∠R'OR''＝90°，
∴四边形RR'OR''是矩形，
∴RR''＝OR'＝t，OR''＝RR'＝﹣t2+t+4，
∴S△OCR＝OC•RR''＝×4t＝2t，
S△ORB＝OB•RR'＝×4（﹣t2+t+4）＝﹣t2+2t+8，
∴S△RBC＝S△ORB+S△OCR﹣S△OBC＝﹣t2+2t+8+2t﹣×4×4＝﹣t2+4t；
（3）设EF、PD交于点G'，连EG，
∵PD⊥EF，
∴∠FG'G＝∠DG'E＝90°＝∠DOG，
∴∠OFE＝∠GDO，
∵∠DGO＝∠FOE＝90°，EF＝DG，
∴OP是EG的垂直平分线，
∴OP平分∠COB，
过P作KP⊥x轴于K，PW⊥y轴于W，交RT于点H，
则PW＝PK，∠PWO＝∠PKO＝∠WOK＝90°，
∴四边形PWOK是正方形，
∴WO＝OK，
∵OC＝OB＝4，
∴CW＝KB，
∵P在BT垂直平分线上，
∴PT＝PB，
∴TK＝KB＝CW，
设OT＝2a，则TK＝KB＝CW＝2﹣a，
HT＝OK＝PW＝2+a，
∵OB﹣TS＝，
∴HS＝TS﹣HT＝﹣（2+a）＝﹣a，
∵tan∠HPS＝＝，
∴＝，
∴a＝1或a＝，
当a＝1时，R（2，4），
当a＝时，R（，）．
2020年中考数学一模试卷
一、选择题
1．某天最高气温是2℃，最低气温是﹣11℃，则这天最高气温与最低气温的差是（ ）
A．﹣9℃ B．9℃ C．13℃ D．﹣l3℃
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．6a﹣5a＝1 B．a2•a3＝a5 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a5
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线y＝﹣x2+4的顶点坐标是（ ）
A．（4，0） B．（0，﹣4） C．（0，4） D．（﹣4，4）
5．如图所示的几何体是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数是（ ）
A．50° B．60° C．40° D．30°
8．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
9．在菱形ABCD中，对角线BD＝4，∠BAD＝120°，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．15 B．16 C．18 D．20
10．小元步行从家去火车站，走到6分钟时，以同样的速度回家取物品，然后从家乘出租车赶往火车站，结果比预计步行时间提前了3分钟．小元离家路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图，那么从家到火车站路程是（ ）
A．1300米 B．1400米 C．1600米 D．1500米
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．将519000用科学记数法表示为 ．
12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
13．计算﹣的结果是 ．
14．不等式组的解集是 ．
15．把多项式a4﹣a2分解因式的结果是 ．
16．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是 度．
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，则AB＝ ．AD＝ ．
18．据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，则这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 ．
19．在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F，若AD＝11，EF＝5，则AB＝ ．
20．如图所示，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点M为AB边的中点，点N为射线AC上一点，连接BN，过点C作CD⊥BN于点D，连接MD，作∠BNE＝∠BNA，边EN交射线MD于点E，若AB＝20，MD＝14，则NE的长为 ．
三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）
21．先化简，再求代数式的值，其中a＝tan60°﹣6sin30°．
22．如图所示，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB为一腰的等腰△ABC，点C在小正方形顶点上，△ABC为钝角三角形，且△ABC的面积为．
（2）在图中画出以AB为斜边的直角三角形ABD，点D在小正方形的顶点上，且AD＞BD．
（3）连接CD，请你直接写出线段CD的长．
23．哈市某中学为了丰富校园文化生活．校学生会决定举办演讲、歌唱、绘画、舞蹈四项比赛，要求每位学生都参加．且只能参加一项比赛．围绕“你参赛的项目是什么？（只写一项）”的问题，校学生会在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．将调查问卷适当整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图．其中参加舞蹈比赛的人数与参加歌唱比赛的人数之比为1：3．请你根据以上信息回答下列问题：
（1）通过计算补全条形统计图；
（2）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（3）如果全校有680名学生，请你估计这680名学生中参加演讲比赛的学生有多少名？
24．已知，在等边△ABC中，点E在BA的延长线上，点D在BC上，且ED＝EC
（1）如图1，求证：AE＝DB；
（2）如图2，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF（点B、E的对应点分别为点A、F），连接EF．在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对线段长度之差等于AB的长．
25．为了抓住开阳南江枇杷节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不超过7650元，那么该商店最多可购进A纪念品多少件？
26．已知：四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD，∠BAD+2∠ACB＝180°．
（1）如图1，求证：点A为弧BD的中点；
（2）如图2，点E为弦BD上一点，延长BA至点F，使得AF＝AB，连接FE交AD于点P，过点P作PH⊥AF于点H，AF＝2AH+AP，求证：AH：AB＝PE：BE；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接AE，并延长AE交⊙O于点M，连接CM，并延长CM交AD的延长线于点N，连接FD，∠MND＝∠MED，DF＝12﹒sin∠ACB，MN＝，求AH的长．
27．已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＜0）交x轴于点A、B，与y轴交于点C，AB＝6．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点R为第一象限的抛物线上一点，分别连接RB、RC，设△RBC的面积为s，点R的横坐标为t，求s与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，如图3，点D在x轴的负半轴上，点F在y轴的正半轴上，点E为OB上一点，点P为第一象限内一点，连接PD、EF，PD交OC于点G，DG＝EF，PD⊥EF，连接PE，∠PEF＝2∠PDE，连接PB、PC，过点R作RT⊥OB于点T，交PC于点S，若点P在BT的垂直平分线上，OB﹣TS＝，求点R的坐标．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．某天最高气温是2℃，最低气温是﹣11℃，则这天最高气温与最低气温的差是（ ）
A．﹣9℃ B．9℃ C．13℃ D．﹣l3℃
解：2﹣（﹣11）＝2+11＝13，
故选：C．
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．6a﹣5a＝1 B．a2•a3＝a5 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a5
解：A、6a﹣5a＝a，故此选项错误；
B、a2•a3＝a5，正确；
C、a6÷a3＝a3，故此选项错误；
D、（a2）3＝a6，故此选项错误；
故选：B．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．
故选：D．
4．抛物线y＝﹣x2+4的顶点坐标是（ ）
A．（4，0） B．（0，﹣4） C．（0，4） D．（﹣4，4）
解：∵抛物线y＝﹣x2+4，
∴该函数的顶点坐标为（0，4），
故选：C．
5．如图所示的几何体是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
解：从上面看，左边和中间都是2个正方形，右上角是1个正方形，
故选：D．
6．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：列表如下：
共有6×6＝36种等可能的结果数，其中向上一面的两个骰子的点数相同的占6种，
所以向上一面的两个骰子的点数相同的概率＝＝．
故选：D．
7．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数是（ ）
A．50° B．60° C．40° D．30°
解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°
∴∠A＝∠C，∠AOC＝80°
∴∠DOC＝80°﹣α
∵∠A＝2∠D＝100°
∴∠D＝50°
∵∠C+∠D+∠DOC＝180°
∴100°+50°+80°﹣α＝180° 解得α＝50°
故选：A．
8．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
解：连接OA，OB．根据正方形的性质，得∠AOB＝90°．再根据圆周角定理，得∠APB＝45°．
故选：B．
9．在菱形ABCD中，对角线BD＝4，∠BAD＝120°，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．15 B．16 C．18 D．20
解：如图，连接AC、BD，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，OB＝BD＝×4＝2，
∵∠BAD＝120°，
∴∠BAO＝60°，
在Rt△AOB中，AB＝OB÷＝2÷＝4，
所以，菱形ABCD的周长＝4×4＝16．
故选：B．
10．小元步行从家去火车站，走到6分钟时，以同样的速度回家取物品，然后从家乘出租车赶往火车站，结果比预计步行时间提前了3分钟．小元离家路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图，那么从家到火车站路程是（ ）
A．1300米 B．1400米 C．1600米 D．1500米
解：步行的速度为：480÷6＝80米/分钟，
∵小元步行从家去火车站，走到6分钟时，以同样的速度回家取物品，
∴小元回到家时的时间为6×2＝12（分钟）
则返回时函数图象的点坐标是（12，0）
设后来乘出租车中s与t的函数解析式为s＝kt+b（k≠0），
把（12，0）和（16，1280）代入得，
，
解得，
所以s＝320t﹣3840；
设步行到达的时间为t，则实际到达是时间为t﹣3，
由题意得，80t＝320（t﹣3）﹣3840，
解得t＝20．
所以家到火车站的距离为80×20＝1600m．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．将519000用科学记数法表示为 5.19×105 ．
解：将519000万用科学记数法表示为5.19×105．
故答案为：5.19×105．
12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≠0 ．
解：由题意得，x≠0，
所以，自变量x的取值范围是x≠0．
故答案为：x≠0．
13．计算﹣的结果是 ．
解：原式＝2﹣
＝．
故答案为：．
14．不等式组的解集是 x≤3 ．
解：解不等式3x﹣2≥4x﹣5，得：x≤3，
解不等式＞﹣3，得：x＜5，
则不等式组的解集为x≤3，
故答案为：x≤3
15．把多项式a4﹣a2分解因式的结果是 a2（a+1）（a﹣1） ．
解：原式＝a2（a2﹣1）＝a2（a+1）（a﹣1），
故答案为：a2（a+1）（a﹣1）
16．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是 150 度．
解：扇形的面积公式＝lr＝240πcm2，
解得：r＝24cm，
又∵l＝＝20πcm，
∴n＝150°．
故答案为：150．
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，则AB＝ 5 ．AD＝ ．
解：过C作CF⊥AB于F，
在Rt△ACB中，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝5，
由三角形的面积公式得：S＝×AC×BC＝×AB×CF，
则CF＝，
在Rt△CFA中，由勾股定理得：AF＝＝，
∵CF⊥AD，CF过圆心C，
∴AD＝2AF＝，
故答案为：5，．
18．据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，则这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 20% ．
解：设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x，
根据题意得：5000（1+x）2＝7200，
解得：x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．
故答案为：20%．
19．在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F，若AD＝11，EF＝5，则AB＝ 8或3 ．
解：①如图1，在▱ABCD中，∵BC＝AD＝11，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∴AB＝BE＝CF＝CD
∵EF＝5，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝2AB﹣5＝11，
∴AB＝8；
②在▱ABCD中，∵BC＝AD＝11，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∴AB＝BE＝CF＝CD
∵EF＝5，
∴BC＝BE+CF＝2AB+EF＝2AB+5＝11，
∴AB＝3；
综上所述：AB的长为8或3．
故答案为：8或3．
20．如图所示，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点M为AB边的中点，点N为射线AC上一点，连接BN，过点C作CD⊥BN于点D，连接MD，作∠BNE＝∠BNA，边EN交射线MD于点E，若AB＝20，MD＝14，则NE的长为 或 ．
解：连接CM．
∵△ACB是等腰直角三角形且∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝B＝20，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵M为AB中点，
∴CM＝AM＝BM＝AB＝10，∠CMB＝90°，∠ACM＝∠BCM＝45°，
∵CD⊥BN于D，
∴∠CDB＝∠CDN＝90°，
∴C、M、B、D四点共圆，
延长DB至F，使BF＝CD，连接MF，则∠MCD＝∠MBF，
在△MCD和△MBF中：
∴△MCD≌△MBF（SAS）
∴MD＝MF，∠CMD＝∠BMF，
∴∠DMF＝∠CMB＝90°，
∴CD+BD＝DB+BF＝DF＝MD＝28，
又∵CD2+BD2＝BD2＝400，
解得：CD＝12，BD＝16或CD＝16，BD＝12．
∵∠NCD+∠BCD＝∠NCD+∠ANB＝90°，
∴∠ANB＝∠BCD＝∠BMD，
∵∠ANB＝∠BNE，
∴∠BMD＝∠BNE，
∴△BMD∼△END，
∴＝＝＝，
∴NE＝ND．
当CD＝12，BD＝16时，
由射影定理有：ND＝＝＝9，
∴NE＝．
当CD＝16，BD＝12时，
同理可得ND＝，所以NE＝．
综上所述，NE的长为或．
三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）
21．先化简，再求代数式的值，其中a＝tan60°﹣6sin30°．
解：原式＝÷
＝﹣•
＝﹣，
当a＝tan60°﹣6sin30°＝﹣3时，原式＝﹣＝﹣．
22．如图所示，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB为一腰的等腰△ABC，点C在小正方形顶点上，△ABC为钝角三角形，且△ABC的面积为．
（2）在图中画出以AB为斜边的直角三角形ABD，点D在小正方形的顶点上，且AD＞BD．
（3）连接CD，请你直接写出线段CD的长．
解：（1）如图，△ABC即为所求．
（2）如图，△ABD即为所求．
（3）连接CD，CD＝＝．
23．哈市某中学为了丰富校园文化生活．校学生会决定举办演讲、歌唱、绘画、舞蹈四项比赛，要求每位学生都参加．且只能参加一项比赛．围绕“你参赛的项目是什么？（只写一项）”的问题，校学生会在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．将调查问卷适当整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图．其中参加舞蹈比赛的人数与参加歌唱比赛的人数之比为1：3．请你根据以上信息回答下列问题：
（1）通过计算补全条形统计图；
（2）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（3）如果全校有680名学生，请你估计这680名学生中参加演讲比赛的学生有多少名？
解：（1）12×＝4（名）；
（2）6+12+18+4＝40（名），
∴在这次调查中，一共抽取了40名学生；
（3）680×＝102（名），
∴估计这680名学生中参加演讲比赛的学生有多102名．
24．已知，在等边△ABC中，点E在BA的延长线上，点D在BC上，且ED＝EC
（1）如图1，求证：AE＝DB；
（2）如图2，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF（点B、E的对应点分别为点A、F），连接EF．在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对线段长度之差等于AB的长．
解：（1）如图，作DK∥AC交AB于K，则△BDK是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠EKD＝∠EAC＝120°，∠B＝∠BKD＝60°，
∴DK＝BD，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠B+∠KED＝∠EDC，
∵∠ECA+∠ACB＝∠ECD，
∴∠B+∠KED＝∠ECA+∠ACB，
∵∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠KED＝∠ECA，
在△DKE与△EAC中，
，
∴△DKE≌△EAC（AAS），
∴AE＝DK，
∴BD＝AE．
（2）BE﹣AE＝AB；BE﹣BD＝AB；AF﹣AE＝AB；AF﹣BD＝AB．
理由：由旋转可得，△BCE≌△ACF，
∴BE＝AF，
又∵BD＝AE，AB＝BE﹣AE，
∴BE﹣AE＝AB；BE﹣BD＝AB；AF﹣AE＝AB；AF﹣BD＝AB．
25．为了抓住开阳南江枇杷节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不超过7650元，那么该商店最多可购进A纪念品多少件？
解：（1）设A种纪念品每件x元，B种纪念品每件y元，由题意，得
，
解得：，
答：A种纪念品每件100元，B种纪念品每件50元；
（2）设商店最多可购进A纪念品a件，则购进B纪念品（100﹣a）件，由题意得
100a+50（100﹣a）≤7650，
解得：a≤53，
答：商店最多可购进A纪念品53件．
26．已知：四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD，∠BAD+2∠ACB＝180°．
（1）如图1，求证：点A为弧BD的中点；
（2）如图2，点E为弦BD上一点，延长BA至点F，使得AF＝AB，连接FE交AD于点P，过点P作PH⊥AF于点H，AF＝2AH+AP，求证：AH：AB＝PE：BE；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接AE，并延长AE交⊙O于点M，连接CM，并延长CM交AD的延长线于点N，连接FD，∠MND＝∠MED，DF＝12﹒sin∠ACB，MN＝，求AH的长．
【解答】（1）证明：连接OA、OB、OD，
∵∠BAD+2∠ACB＝180°，∠BAD+∠BCD＝180°，
∴2∠ACB＝∠BCD，即∠ACB＝∠ACD，
∵∠AOD＝2∠ACD，∠AOB＝2ACB，
∴∠AOD＝∠AOB，
∴，
即点A为弧AB的中点；
（2）在HF上截取点Q，使HQ＝AH，连接PQ、AE，
∵PH⊥AF，
∴PH是AQ的垂直平分线，
∴PA＝PQ，
∴∠PAQ＝∠PQA，AH＝HQ，
∴QF＝AF﹣AQ＝AF﹣2AH，
又∵PQ＝AP＝AF﹣2AH，
∴PQ＝QF，
∴∠F＝∠FPQ＝PQA＝PAQ，
∵，
∴∠ABD＝∠ADB＝PAQ，
∴∠F＝∠ABD，
∴EB＝EF，
∵AB＝AF，
∴EA⊥BF，
∵FH⊥BF，
∴∠EAF＝∠PHF＝90°，
∴EA∥PH，
∴＝，
又∵AF＝AB，EF＝BE，
∴＝；
（3）连接MD、MB，
∵，，
∴∠AMB＝∠AMD，∠MBD＝∠MAD，
∴∠MED＝∠AMB+∠MBD，∠MDN＝∠AMD+∠MAD，
∴∠MED＝∠MDN，
∵∠MED＝∠MND，
∴∠MDN＝∠MND，
∴MD＝MN＝，
∵，
∴AB＝AD，
∵AB＝AF，
∴AD＝AF，
∴∠ADF＝∠AFD，
由（1）知∠ABD＝∠BDA，
∴∠BDF＝∠ADF+∠ADB＝（∠ADF+∠AFD+∠ABD+∠BDA）＝×180°＝90°，
∴DF＝12•sin∠ACB＝12•sin∠ABD＝12×，
∴BF＝12，
∴AF＝AB＝6，
由（2）知∠MAB＝∠MAF＝90°，
∴MB为直径，
∴∠MDB＝90°，
∴∠MDB+∠BDF＝180°，
∴M、D、F共线，
∵，
∴∠ABD＝∠AMD，
∴sin∠ABD＝sin∠AMD，
∴＝，
即＝，
∴DF1＝，DF2＝﹣10（舍去），
∴BD＝＝，
∵∠BMD+∠BAD＝180°，∠PAH+∠BAD＝180°，
∴∠BMD＝∠PAH，
∴tan∠BMD＝＝＝＝tan∠PAH，tan∠PFH＝tan∠EBA＝＝，
设PH＝24k，则AH＝7k，FH＝32k，
∴32k+7k＝6，
∴k＝，
∴AH＝7k＝．
27．已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＜0）交x轴于点A、B，与y轴交于点C，AB＝6．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点R为第一象限的抛物线上一点，分别连接RB、RC，设△RBC的面积为s，点R的横坐标为t，求s与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，如图3，点D在x轴的负半轴上，点F在y轴的正半轴上，点E为OB上一点，点P为第一象限内一点，连接PD、EF，PD交OC于点G，DG＝EF，PD⊥EF，连接PE，∠PEF＝2∠PDE，连接PB、PC，过点R作RT⊥OB于点T，交PC于点S，若点P在BT的垂直平分线上，OB﹣TS＝，求点R的坐标．
解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，AB＝6，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
将点A代入y＝ax2﹣2ax+4，则有0＝4a+4a+4，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+x+4；
（2）设R（t，﹣t2+t+4），
过点R作x、y轴的垂线，垂足分别为R'，R''，
则∠RR'O＝∠RR''O＝∠R'OR''＝90°，
∴四边形RR'OR''是矩形，
∴RR''＝OR'＝t，OR''＝RR'＝﹣t2+t+4，
∴S△OCR＝OC•RR''＝×4t＝2t，
S△ORB＝OB•RR'＝×4（﹣t2+t+4）＝﹣t2+2t+8，
∴S△RBC＝S△ORB+S△OCR﹣S△OBC＝﹣t2+2t+8+2t﹣×4×4＝﹣t2+4t；
（3）设EF、PD交于点G'，连EG，
∵PD⊥EF，
∴∠FG'G＝∠DG'E＝90°＝∠DOG，
∴∠OFE＝∠GDO，
∵∠DGO＝∠FOE＝90°，EF＝DG，
∴OP是EG的垂直平分线，
∴OP平分∠COB，
过P作KP⊥x轴于K，PW⊥y轴于W，交RT于点H，
则PW＝PK，∠PWO＝∠PKO＝∠WOK＝90°，
∴四边形PWOK是正方形，
∴WO＝OK，
∵OC＝OB＝4，
∴CW＝KB，
∵P在BT垂直平分线上，
∴PT＝PB，
∴TK＝KB＝CW，
设OT＝2a，则TK＝KB＝CW＝2﹣a，
HT＝OK＝PW＝2+a，
∵OB﹣TS＝，
∴HS＝TS﹣HT＝﹣（2+a）＝﹣a，
∵tan∠HPS＝＝，
∴＝，
∴a＝1或a＝，
当a＝1时，R（2，4），
当a＝时，R（，）．
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