还剩52页未读，
继续阅读
七年级上册4.2 直线、射线、线段测试题
展开
这是一份七年级上册4.2 直线、射线、线段测试题，共55页。
第04章 重点突破训练：与线段和角有关的证明与计算
考点体系
考点1：与线段有关的计数问题
典例：(2018·内蒙古宁城·初一期末)探究归纳题：
(1)试验分析：
如图1，经过A点与B、C两点分别作直线，可以作____________条；同样，经过B点与A、C两点分别作直线，可以作______________条；经过C点与A、B两点分别作直线，可以作___________条.
通过以上分析和总结，图1共有___________条直线.
(2)拓展延伸：
运用(1)的分析方法，可得：
图2共有_____________条直线；
图3共有_____________条直线；
(3)探索归纳：
如果平面上有n(n≥3)个点，且每3个点均不在同一直线上，经过其中两点共有________条直线．(用含n的式子表示)
(4)解决问题：
中职篮(CBA)2017——2018赛季作出重大改革，比赛队伍数扩充为20支，截止2017年12月21日赛程过半，即每两队之间都赛了一场，请你帮助计算一下一共进行了多少场比赛？
【答案】(1)2 2 2 3 (2)6 10 (3) (4)190
【解析】(1)2；2；2；3；
(2)6；10；
(3)
(4)当n=20时，=(场).
故一共进行了190场比赛.
方法或规律点拨
本题考查了直线射线和线段，要知道从一般到具体的探究方法，并找到规律．
巩固练习
1．(2019·河南许昌·)观察表格：
1条直线
0个交点
平面分成(1+1)块
2条直线
1个交点
平面分成(1+1+2)块
3条直线
(1+2)个交点
平面分成(1+1+2+3)块
4条直线
(1+2+3)个交点
平面分成(1+1+2+3+4)块
根据表格中的规律解答问题：
(1)5条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；
(2)n条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；
(3)应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10刀(不许重叠)，最多可得到 块饼．
【答案】(1)10，16；(2)n(n﹣1)；1+n(n+1)；(3)56
【解析】解：(1)5条直线两两相交，有10个交点，平面被分成16块；
故答案为：10，16；
(2)2条直线相交有1个交点；
3条直线相交有1+2＝3个交点；
4条直线相交有1+2+3＝6个交点；
5条直线相交有1+2+3+4＝10个交点；
6条直线相交有1+2+3+4+5＝15个交点；
…
n条直线相交有1+2+3+4+…+(n﹣1)＝n(n﹣1)；
平面被分成1+1+2+3+4+…+(n+1)＝1+n(n+1)；
故答案为：n(n﹣1)；1+n(n+1)；
(3)当n＝10时，(块)，
故答案为：56
2．(2019·全国)平面内5条相交直线最多可以有几个交点？条直线呢？
【答案】10个交点；个.
【解析】解：平面内2条直线相交有1个交点，第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2＝3个交点，第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3＝6个交点，第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4＝10个交点；
第n条直线和前n−1条直线都相交，增加了n−1个交点，得1＋2＋3＋…n−1，其和为：1＋2＋3＋…n−1＝个交点．
3．(2018·浙江全国·初一课时练习)观察图形找出规律，并解答问题．
(1)5条直线相交，最多有_____个交点，平面最多被分成_____块；
(2)n条直线相交，最多有__________个交点，平面最多被分成____________块．
【答案】(1)10,16;(2),[1＋]
【解析】如图，
(1)任意画2条直线，它们最多有1个交点；
(2)任意画3条直线，它们最多有3个交点；
(3)任意画4条直线(只画交点个数最多的情况)，最多有6个交点；
(4)5条直线最多有10个交点；
n条直线最多有n(n-1)个交点．
一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n条时比原来多了n部分．
因为n=1，a1=1+1，
n=2，a2=a1+2，
n=3，a3=a2+3，
n=4，a4=a3+4，
…
n=n，an=an-1+n，
以上式子相加整理得，an=1+1+2+3+…+n=1+．
当n=5时，1+=16．
4．(2019·全国初一)往返于A、B两地的客车,途中要停靠C、D两个车站,如图所示. 则需要设定几种不同的票价?需要准备多少种车票?
【答案】设定6种，准备12种车票.
【解析】总线段条数为3+2+1=6,所以需要设定6种不同的票价.因为同一段路,往返时起点和终点正好相反,所以需要准备12种车票.
5．(2019·全国初一课时练习)(1)观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；
(2)模型构建：如果线段上有m个点(包括线段的两个端点)，则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；
(3)拓展应用：8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制(即每两位同学之间都要进行一场比赛)，那么一共要进行多少场比赛？
请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题.
【答案】(1)6；(2) ；(3)28
【解析】解：(1)∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，
以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，
以点D为左端点的线段有线段DB，
∴共有3+2+1=6条线段；
(2)
理由：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，
则x=(m−1)+(m−2)+(m−3)+…+3+2+1，
∴倒序排列有x=1+2+3+…+(m−3)+(m−2)+(m−1)，
∴2x=m+m+…+m,(m−1)个m,
(3)把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段，
直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，
因此一共要进行场比赛.
考点2：线段作图与计算的综合题
典例：(2020·恩施市崔坝镇民族中学初一期末)如图，平面上有射线AP和点B，C，请用尺规按下列要求作图：
(1)连接AB，并在射线AP上截取AD＝AB；
(2)连接BC、BD，并延长BC到E，使BE＝BD．
(3)在(2)的基础上，取BE中点F，若BD＝6，BC＝4，求CF的值．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)CF的值为1
【解析】解：如图所示，
(1)连接AB，并在射线AP上截取AD＝AB；
(2)连接BC、BD，并延长BC到E，使BE＝BD．
(3)在(2)的基础上，
∵BE＝BD＝6，BC＝4，
∴CE＝BE﹣BC＝2
∵F是BE的中点，
∴BF＝＝＝3
∴CF＝BC﹣BF＝4﹣3＝1．
答：CF的值为1．
方法或规律点拨
本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是根据语句准确画图．
巩固练习
1．(2020·全国单元测试)如图所示，已知线段的长为．
(1)用直尺和圆规按所给的要求作图：点在线段的延长线上，且；
(2)在上题中，如果在线段上有一点，且线段、长度之比为，求线段的长．
【答案】(1)见解析；(2)3.5cm或1.4xcm
【解析】(1)反向延长BA，以点A为圆心，AB为半径作圆交BA的延长线于点C，则线段AC即为所求;
(2)当在线段上时，
∵,，
∴.∵，
∴．
当在线段上时，
∵，，
∴.∵，
∴．
2．(2020·福建宁化·初一期末)如图，已知线段a和线段AB，
(1)延长线段AB到C，使BC＝a(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，若AB＝5，BC＝3，点O是线段AC的中点，求线段OB的长．
【答案】(1)见解析；(2) OB长为1．
【解析】解：(1)如图：延长线段AB，在AB的延长线上截取BC＝a．
(2)∵AB＝5，BC＝3，
∴AC＝8，
∵点O是线段AC的中点，
∴AO＝CO＝4，
∴BO＝AB﹣AO＝5﹣4＝1，
∴OB长为1．
3．(2020·河北涞源·初一期末)已知：如图，线段AB.
(1)根据下列语句顺次画图.
① 延长线段AB至C，使BC=3AB，
② 画出线段AC的中点D.
(2)请回答：
① 图中有几条线段；
② 写出图中所有相等的线段.
【答案】(1)画出图形，如图所示见解析；(2)① 6；② .
【解析】解：(1)画出图形，如图所示.
(2)①图中的线段有：AB、BD、DC、AD、BC、AC，共6条；
②相等的线段有：AB=BD，AD=CD.
故答案为：(1)画图见解析；(2)①6；②AB=BD，AD=CD.
4．(2019·广西防城港·初一期末)如图，已知线段a和射线OA，射线OA上有点B．
(1)用圆规和直尺在射线OA上作线段CD，使点B为CD的中点，点C在点B的左边，且BC=a．(不用写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的基础上，若OB=12cm，OC=5cm，求线段OD的长．
【答案】(1)详见解析；(2)19cm
【解析】解：(1)如图所示：以B为圆心，a的长为半径画弧，交OA于C、D两点
(2)∵OB=12cm，OC = 5cm，
∴ BC= OB -OC =12-5 =7cm，
∵ B为CD的中点，
∴ BC =BD = 7cm，
∴ OD = OB +BD =12+7 = 19cm．
5．(2019·江苏沛县·初一期末)如图，已知四点A、B、C、D．
(1)用圆规和无刻度的直尺按下列要求与步骤画出图形：
①画直线AB．
②画射线DC．
③延长线段DA至点E，使．(保留作图痕迹)
④画一点P，使点P既在直线AB上，又在线段CE上．
(2)在(1)中所画图形中，若cm，cm，点F为线段DE的中点，求AF的长．
【答案】(1)见解析；(2)0.5cm．
【解析】解：(1)如图，该图为所求，
(2)∵AB=2cm，AB=AE，
∴AE=2cm，AD=1cm，
∵点F为DE的中点，
∴EF=DE=cm，
∴AF=AE-EF=2-=cm；
∴AF=0.5cm.
6．(2019·广东龙华·初一期末)如图，已知不在同一条直线上的三点、、，其中，且．
(1)按下列要求作图(用尺规作图，保留作图痕迹)
①作射线；
②在线段上截取；
③在线段上截取．
恭喜您！通过刚才的动手操作画图，你作出了闻名世界的“黄金分割点”．像这样点就称为线段的“黄金分割点”．
(2)阅读下面材料，并完成相关问题；
黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分的长约是全长的0．618倍，则称这个点为黄金分割点．如图，为线段上一点，如果，那么点为线段的黄金分割点．
已知某舞台的宽为30米，一次演出时两位主持人分别站在舞台上的两个黄金分割点和处，如图，则这两位主持人之间的距离约为_________米．
【答案】(1)见解析；(2)7.08
【解析】解：(1)如图1，点E就称为线段AB的“黄金分割点”；
(2)∵点Q是MN的黄金分割点，
∴MQ≈0.618MN＝18.54，
∴QN＝MN﹣MQ＝11.46，
∵点P是MN的黄金分割点，
∴NP≈0.618MN＝18.54，
∴PQ＝NP﹣QN＝18.54﹣11.46＝7.08(米)，
故答案为：7.08．
7．(2019·闽清县教育局初一期末)如图，已知线段a，b，用尺规作图(不用写作法，保留作图痕迹)，并填空．
(1)作线段AB，使得AB＝a＋b；
(2)在直线AB外任取一点C，连接AC，BC，可得AC＋BC AB(填“＜”或“＞”号)，理由是 ．
【答案】(1)图见解析； (2)＞；两点之间线段最短．
【解析】
(1)如图所示：
(2)由题意，得AC＋BC＞AB
理由是两点之间线段最短.
考点3：动点有关的线段问题
典例：(2020·江西东湖·期末)已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示(C在线段AM上，D在线段BM上)
(1)若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝ ，DM＝ ；(直接填空)
(2)当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．
(3)若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝ (填空)
(4)在(3)的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
【答案】(1)2，4；(2)6 cm；(3)4；(4)或1．
【解析】(1)根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm，
∵AB＝12cm，AM＝4cm，
∴BM＝8cm，
∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，
故答案为：2cm，4cm；
(2)当点C、D运动了2 s时，CM＝2 cm，BD＝4 cm
∵AB＝12 cm，CM＝2 cm，BD＝4 cm
∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6 cm；
(3)根据C、D的运动速度知：BD＝2MC，
∵MD＝2AC，
∴BD+MD＝2(MC+AC)，即MB＝2AM，
∵AM+BM＝AB，
∴AM+2AM＝AB，
∴AM＝AB＝4，
故答案为：4；
(4)①当点N在线段AB上时，如图1，
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣AM＝MN
∴BN＝AM＝4
∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4
∴；
②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣BN＝AB
∴MN＝AB＝12
∴；
综上所述或1
故答案为或1．
方法或规律点拨
本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题(4)，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
巩固练习
1．(2020·浙江镇海·期末)已知数轴上，点为原点，点对应的数为9，点对应的数为，点在点右侧，长度为2个单位的线段在数轴上移动．
(1)当线段在、两点之间移动到某一位置时恰好满足，求此时的值．
(2)当线段在射线上沿方向移动到某一位置时恰好满足，求此时的值．
【答案】(1)b=3.5；(2)或—5
【解析】解：(1)线段AC可以表示为，
根据AC=OB，列式，解得；
(2)当B在O点右侧(或O点)时，，解得 ，
当B在O点左侧时，，解得 ，
∴b的值为或．
2．(2021·重庆开学考试)如图，是线段上任意一点，，两点分别从点开始，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动时间为．
(1)若．
①求运动后，的长；
②当点在线段上运动时，试说明．
(2)如果，试探索的长．
【答案】(1)①3cm；②见解析；(2)9或11
【解析】解：(1)①由题可知：
②
(2)当时，
当点在的右边时，如图所示：
由于
当点在的左边时，如图所示：
综上所述，或11
3．(2020·全国初一课时练习)已知，两点在数轴上表示的数为和，，均为数轴上的点，且．
(1)若，的位置如图所示，试化简：；
(2)如图，若，，求图中以，，，，这5个点为端点的所有线段(无重复)长度的和；
(3)如图，为中点，为中点，且，，若点为数轴上一点，且，试求点所对应的数．
【答案】(1)b-a；(2)41.6；(3)或3．
【解析】(1)由已知得，．
∵，
∴，
∴，，
∴；
(2)∵，
∴，
又∵，
∴
；
(3)∵，
∴．
∵为的中点，为的中点，
∴，，
∴．
又∵，
所以，
解得，
∴．
当点在点的左边时，点在原点的左边，，
故点所对应的数为；
当点在点的右边时，点在原点的右边，，
故点所对应的数为3．
综上，点所对应的数为或3．
4．(2020·河南太康·初一期末)(1)如图，已知点C在线段AB上，AC＝6 cm，且BC＝4 cm，M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；
(2)在(1)题中，如果AC＝a cm，BC＝b cm，其他条件不变，你能猜出MN的长度吗？请你用一句简洁的话表述你发现的规律；
(3)对于(1)题，如果我们这样叙述它：“已知线段AC＝6 cm，BC＝4 cm，点C在直线AB上，M，N分别是AC，BC的中点，求MN的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果．
【答案】(1)5 cm;(2)MN＝cm.MN的长度为线段AC，BC长度和的二分之一．(3)有变化．当AB在点C同侧时，MN＝1 cm.
【解析】解：(1)∵AC=6cm，BC=4cm，点M，N分别是AC，BC的中点，
(2)
直线上相邻两线段中点间的距离为两线段长度和的一半；
(3)如图，有变化，会出现两种情况：
①当点C在线段AB上时,
②当点C在AB或BA的延长线上时,
5．(2020·深圳市高级中学初一期末)如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动(C在线段AP上，D在线段BP上)，运动的时间为t.
(1)当t=1时，PD=2AC，请求出AP的长；
(2)当t=2时，PD=2AC，请求出AP的长；
(3)若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP的长；
(4)在(3)的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ的长.
【答案】(1)4cm；(2)4cm；(3)4cm；(4)4cm或12cm
【解析】解：(1) 因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=1(s)，所以(cm).
因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=1(s)，所以(cm).
故BD=2PC.
因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.
故AB=AP+PB=3AP.
因为AB=12cm，所以(cm).
(2) 因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=2(s)，所以(cm).
因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=2(s)，所以(cm).
故BD=2PC.
因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.
故AB=AP+PB=3AP.
因为AB=12cm，所以(cm).
(3) 因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t(s)，所以(cm).
因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t(s)，所以(cm).
故BD=2PC.
因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.
故AB=AP+PB=3AP.
因为AB=12cm，所以(cm).
(4) 本题需要对以下两种情况分别进行讨论.
(i) 点Q在线段AB上(如图①).
因为AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ.
因为AQ=AP+PQ，所以AP=BQ.
因为，所以.
故.
因为AB=12cm，所以(cm).
(ii) 点Q不在线段AB上，则点Q在线段AB的延长线上(如图②).
因为AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ.
因为AQ=AP+PQ，所以AP=BQ.
因为，所以.
故.
因为AB=12cm，所以(cm).
综上所述，PQ的长为4cm或12cm.
6．(2020·山东崂山·初一期末)如图，已知线段AB、a、b．
(1)请用尺规按下列要求作图：(不要求写作法，但要保留作图痕迹)
①延长线段AB到C，使BC＝a；
②反向延长线段AB到D，使AD＝b．
(2)在(1)的条件下，如果AB＝8cm，a＝6m，b＝10cm，且点E为CD的中点，求线段AE的长度．
【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)AE＝2cm．
【解析】(1)①如图所示，线段BC即为所求，
②如图所示，线段AD即为所求；
(2)∵AB＝8cm，a＝6m，b＝10cm，
∴CD＝8+6+10＝24cm，
∵点E为CD的中点，
∴DE＝DC＝12cm，
∴AE＝DE﹣AD＝12﹣10＝2cm．
7．(2019·河北初三二模)如图，已知数轴上有两点，它们的对应数分别是，其中
(1)在左侧作线段，在的右侧作线段(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)若点对应的数是，点对应的数是，且，求的值
(3)在(2)的条件下，设点是的中点，是数轴上一点，且，请直接写出的长
【答案】(1)见解析；(2)c=-68；d=92；(3)28或
【解析】(1)解：如图，线段为所求的线段
(2)因为
；
(3)分情况讨论：
①点N在线段CD上，
由(2)得CD＝92−(−68)＝160，点B对应的数为12−40＝−28，
∴BD＝92−(−28)＝120，
∵点M是BD的中点，
∴点M对应的数为92−60＝32，
∵CN＝4DN，
∴DN＝CD＝32，
∴点N对应的数为92−32=60，
∴MN＝60−32＝28；
②点N在线段CD的延长线上，
∵CN＝4DN，
∴DN＝CD＝，
∴点N对应的数为92＋＝，
∴MN＝−32＝．
故的长为28或．
8．(2019·江西贵溪·初一期末)如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动(点在线段上，点在线段上)．
(1)若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置；
(2)在(1)的条件下，点是直线上一点，且，求的值；
(3)在(1)的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动(点在线段上)，点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
【答案】(1)点P在线段AB的处；(2)或；(3)结论②的值不变正确，.
【解析】解：(1)设运动时间为t秒，则，
由得，即
，，，即
所以点P在线段AB的处；
(2)①如图，当点Q在线段AB上时，
由可知，
②如图，当点Q在线段AB的延长线上时，
，
综合上述，的值为或；
(3)②的值不变.
由点、运动5秒可得，
如图，当点M、N在点P同侧时，
点停止运动时，，
点、分别是、的中点，
当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；
如图，当点M、N在点P异侧时，
点停止运动时，，
点、分别是、的中点，
当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；
所以②的值不变正确，.
考点4：静态图形中的角度计算与证明
典例：(2020·江西东湖·期末)若的度数是的度数的k倍，则规定是的k倍角.
(1)若∠M=21°17'，则∠M的5倍角的度数为 ；
(2)如图1，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，若∠AOC=∠COE，请直接写出图中∠AOB的所有3倍角；
(3)如图2，若∠AOC是∠AOB的5倍角，∠COD是∠AOB的3倍角，且∠AOC和∠BOD互为补角，求∠AOD的度数.
【答案】(1)106°25'；(2)∠AOD，∠BOE；(3)120°.
【解析】解：(1)；
故答案为： .
(2)∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOC=∠COE，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，
∴∠AOD=3∠AOB，∠BOE=3∠AOB；
∴图中∠AOB的所有3倍角有：∠AOD，∠BOE；
(3)设∠AOB=x，则∠AOC=5x，∠COD=3x.
∴∠BOC=4x，
∵∠AOC和∠BOD互为补角，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠BOC+∠COD=180°，
即5x+7x=180°，
解得：x=15°.
∴∠AOD=8x=120°.
方法或规律点拨
此题主要考查了角的计算以及解一元一次方程，关键是理清图中角之间的关系，掌握两角和为180°为互补．
巩固练习
1．(2020·全国单元测试)如图所示，已知，平分，，，求、的度数．
【答案】，
【解析】解：由题意得：
平分，，
，
又，
，解得，
∴，．
2．(2020·岳阳市第十中学初一期末)如图1，已知∠AOB的内部有一条射线OC，OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC．
(1)若∠AOB＝120°，∠BOC＝40°，求∠MON的度数．
(2)若取掉(1)中的条件∠BOC＝40°，只保留∠AOB＝120°，求∠MON的度数．
(3)若将∠AOB内部的射线OC旋转到∠AOB的外部，如图2，∠AOB＝120°，求∠MON的度数，并请用一句话或一个式子概括你发现的∠MON与∠AOB的数量关系．
【答案】(1)∠MON＝60°；(2)∠MON＝60°；(3)．
【解析】解：(1)∵∠AOB＝120°，∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣40°＝80°，
∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠MOC＝，，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝40°+20°＝60°；
(2)∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠MOC＝，，
∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝120°，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝＝＝＝60°；
(3)∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，
所以∠MON＝∠COM﹣∠CON＝∠AOC﹣∠BOC＝(∠AOC﹣∠BOC)＝＝×120°＝60°，
综上可知．
3．(2020·甘肃肃州·初一期末)如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，求∠AOB的度数．
【答案】120°
【解析】解：设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x．
∴∠AOB＝3x．
又OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝1.5x．
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝1.5x﹣x＝20°．
∴x＝40°
∴∠AOB＝120°．
4．(2019·山西浑源·初一期末)已知∠COD＝90°，且∠COD的顶点O恰好在直线AB上．
(1)如图1，若∠COD的两边都在直线AB同侧，回答下列问题：
①当∠BOD＝20°时，∠AOC的度数为 °；
②当∠BOD＝55°时，∠AOC的度数为 °；
③若∠BOD＝α，则∠AOC的度数用含α的式子表示为 ；
(2)如图2，若∠COD的两边OC，OD分别在直线AB两侧，回答下列问题：
①当∠BOD＝28°30′时，∠AOC的度数为 ；
②如图3，当OB恰好平分∠COD时，∠AOC的度数为 °；
③图2中，若∠BOD＝α，则∠AOC的度数用含α的式子表示为 ．
【答案】(1)①70；②35；③90°－α；(2)①118°30′；②135；③90°＋α
【解析】解：(1)①∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠COD=90°，∠BOD=20°，
∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-90°-20°=70°．
②∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠COD=90°，∠BOD=55°，
∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-90°-55°=35°．
③∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠COD=90°，∠BOD=α，
∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-90°-α=90°-α．
(2)①∵∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，∠BOD=28°30′，
∴∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-28°30′=61°30′，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-61°30′=118°30′．
②∵∠COD=90°，OB平分∠COD
∴∠BOC=∠COD=45°，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-45°=135°．
③∵∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，∠BOD=α，
∴∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-α，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-(90°-α)=90°+α．
5．(2020·全国初一课时练习)如图，O在直线AC上，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内．
(1)若OE是∠BOC的平分线，则有∠DOE=90°，试说明理由；
(2)若∠BOE=∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC的度数．
【答案】(1)见解析；(2)72°
【解析】(1)如图，因为OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，
所以∠BOD=∠AOB，∠BOE=∠BOC，
所以∠DOE=(∠AOB+∠BOC)=∠AOC=90°；
(2)设∠EOB=x，则∠EOC=2x，
则∠BOD=(180°–3x)，
则∠BOE+∠BOD=∠DOE，
即x+(180°–3x)=72°，
解得x=36°，
故∠EOC=2x=72°．
6．(2020·湖北广水·初一期末)已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，并在∠MON内部作射线OC．
(1)如图1，三角板的一边ON与射线OB重合，且∠AOC＝150°．若以点O为观察中心，射线OM表示正北方向，求射线OC表示的方向；
(2)如图2，将三角板放置到如图位置，使OC恰好平分∠MOB，且∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数；
【答案】(1)射线OC表示的方向为北偏东60°；(2)∠AOM＝45°；
【解析】解：(1)∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°﹣90°＝60°，
∴射线OC表示的方向为北偏东60°；
(2)∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，
∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，
∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，
∴3∠NOC+∠NOC＝90°，
∴∠NOC＝22.5°，
∴∠BON＝2∠NOC＝45°，
∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°．
7．(2020·全国初一课时练习)如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
(1)如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？
(2)如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON与α的数量关系；
(3)如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．
【答案】(1)45°；(2)∠MON=α．(3)∠MON=α
【解析】解：(1)如图1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，
∴∠AOC=90°+60°=150°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=∠AOC=75°，∠NOC=∠BOC=30°
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=45°．
(2)如图2，∠MON=α，
理由是：∵∠AOB=α，∠BOC=60°，
∴∠AOC=α+60°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=∠AOC=α+30°，∠NOC=∠BOC=30°
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=(α+30°)﹣30°=α．
(3)如图3，∠MON=α，与β的大小无关．
理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=α+β．
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠MOC=∠AOC=(α+β)，
∠NOC=∠BOC=β，
∴∠AON=∠AOC﹣∠NOC=α+β﹣β=α+β．
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC
=(α+β)﹣β=α
即∠MON=α．
8．(2020·内蒙古杭锦后旗·初一期末)如图，∠AOB＝90°，∠AOC=50°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．
(1)求∠MON的大小；
(2)当∠AOC＝时，∠MON等于多少度？
【答案】(21)45°；(2)45°
【解析】解：(1)∵∠AOB是直角，∠AOC=50°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+50°=140°，
∵ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，
∴∠COM=∠BOC=×140°=70°，
∠CON=∠AOC=×50°=25°，
∴∠MON=∠COM-∠CON
=70°－25°
=45°；
(2)当∠AOC=时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+，
∵ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，
∴∠COM=∠BOC=(90°+)，
∠CON=∠AOC=，
∴∠MON=∠COM－∠CON=(90°+)－=45°.
9．(2019·内蒙古临河·初一期末)已知，O为直线AB上一点，∠DOE=90°．
(1)如图1，若∠AOC=130°，OD平分∠AOC．
①求∠BOD的度数；
②请通过计算说明OE是否平分∠BOC．
(2)如图2，若∠BOE：∠AOE=2：7，求∠AOD的度数．
【答案】(1)①115°；②答案见解析；(2)∠AOD＝50°
【解析】解：(1)①∵OD平分∠AOC，∠AOC=130°，
∴∠AOD=∠DOC=∠AOC=×130°=65°，
∴∠BOD=180°－∠AOD=180°－65°=115°；
②∵∠DOE=90°，又∠DOC=65°，
∴∠COE=∠DOE－∠DOC=90°－65°=25°，
∵∠BOD=115°，∠DOE=90°，
∴∠BOE=∠BOD－∠DOE=115°－90°=25°，
∴∠COE=∠BOE，
即OE平分∠BOC；
(2)若∠BOE：∠AOE=2：7，
设∠BOE=2x，则∠AOE=7x，
又∠BOE＋∠AOE=180°，∴2x+7x=180°，
∴x=20°，∠BOE=2x=40°，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOD＝90°－40°=50°.
10．(2020·辽宁庄河·期末)如图，将一副直角三角尺的顶点叠一起放在点处，，，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线
(1)求的度数；
(2)如图，若保持三角尺不动，三角尺绕点逆时针旋转时，其他条件不变，求的度数(提示：旋转角)
(3)在旋转的过程中，当时，直接写出的值．
【答案】(1)；(2)75º；(3)．
【解析】(1)∵，，射线、分别是、的角平分线，
∴∠COM=∠AOC=45º，∠BON=∠BOD=30º，
∴∠MON=∠COM+∠BON=75º；
(2)∵，，，
∴∠AOC=90º-nº，∠BOD=60º-nº，
∵射线、分别是、的角平分线，
∴∠COM=∠AOC=(90º-nº)= 45º-nº，∠BON=∠BOD=(60º-nº)=30º-nº，
∴∠MON=∠COM+∠BON+∠BOC=45º-nº+30º-nº+ nº=75º；
(3)由叠合可得=150 º，
∴=(150 º-120 º)=15 º.
11．(2019·四川雁江·初一期末)如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处()，一边在射线上，另一边在直线的下方．
(1)将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数；
(2)将图1中的三角板绕点以每秒5〫的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，求的值；
将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图3，使一边在的内部，请探究的值．
【答案】(1)35°；(2)11或47；(3)∠AOM-∠NOC=20°．
【解析】解：(1)如图2中，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB，
又∵∠BOC=110°，
∴∠MOB=55°，
∵∠MON=90°，
∴∠BON=∠MON-∠MOB=35°；
(2)(2)分两种情况：
①如图2，∵∠BOC=110°
∴∠AOC=70°，
当当ON的反向延长线平分∠AOC时，∠AOD=∠COD=35°，
∴∠BON=35°，∠BOM=55°，
即逆时针旋转的角度为55°，
由题意得，5t=55°
解得t=11；
②如图3，当射线ON平分∠AOC时，∠NOA=35°，
∴∠AOM=55°，
即逆时针旋转的角度为：180°+55°=235°，
由题意得，5t=235°，
解得t=47，
综上所述，t=11s或47s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；
故答案为：11或47；
(3)∠AOM-∠NOC=20°．
理由：∵∠MON=90°，∠AOC=70°，
∴∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=70°-∠AON，
∴∠AOM-∠NOC=(90°-∠AON)-(70°-∠AON)=20°，
∴∠AOM与∠NOC的数量关系为：∠AOM-∠NOC=20°．
12．(2020·山西浑源·初一期末)综合与探究：
问题情境：如图，已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB的外部且0°＜∠BOC＜180°．OM是∠AOC的角平分线，ON是∠BOC的角平分线．
特例探究：(1)如图1，
①当∠BOC＝40°时，∠MON的度数为 °；
②当∠BOC＜90°时，求∠MON的度数；
猜想拓广：(2)若∠AOB＝α(0＜α＜90°)，
①当∠AOB＋∠BOC＜180°时，则∠MON的度数是 °；(用含α的代数式表示)
②当∠AOB＋∠BOC＞180°时，请在图2中画出图形，并直接写出∠MON的度数．(用含α的代数式表示)
【答案】(1)①45；②45°；(2)① ②画图见解析；．
【解析】(1)①
平分
平分
故答案为：45．
②如图1，
∵OM是∠AOC的角平分线，ON是∠BOC的角平分线．
∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC．
∵∠MON＝∠MOC－∠NOC
∴∠MON＝∠AOC∠BOC．
＝(∠AOC－∠BOC)
＝∠AOB＝×90°＝45°．
(2)①∵OM是∠AOC的角平分线，ON是∠BOC的角平分线．
∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC．
∵∠MON＝∠MOC﹣∠NOC
∴∠MON＝∠AOC∠BOC．
＝(∠AOC﹣∠BOC)
＝∠AOB
．
故答案为：
②当∠AOB＋∠BOC＞180°时补全图形如图2．
∵OM是∠AOC的角平分线，ON是∠BOC的角平分线．
∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC．
∵∠MON＝∠MOC＋∠NOC
∴∠MON＝∠AOC∠BOC．
＝(∠AOC＋∠BOC)
＝
．
所以∠MON的度数为
考点5：与旋转角有关的计算与证明
典例：(2020·全国初一课时练习)[阅读理解]射线是内部的一条射线，若则我们称射线是射线的伴随线．
例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线：同时，由于，称射线是射线的伴随线．
[知识运用]
(1)如图2，，射线是射线的伴随线，则 ，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是 ．(用含的代数式表示)
(2)如图，如，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止，现在两射线同时开始旋转．
①是否存在某个时刻(秒)，使得的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
②当为多少秒时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
【答案】(1)，；(2)①存在，当秒或25秒时，∠COD的度数是20；②当，，，时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
【解析】(1)∵，射线是射线的伴随线，
根据题意，，则；
∵的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，
∴，，
∴；
故答案为：，；
(2)射线OD与OA重合时，(秒)，
①当∠COD的度数是20°时，有两种可能：
若在相遇之前，则，
∴；
若在相遇之后，则，
∴；
所以，综上所述，当秒或25秒时，∠COD的度数是20°；
②相遇之前：
(i)如图1，
OC是OA的伴随线时，则，
即，
∴；
(ii)如图2，
OC是OD的伴随线时，
则，
即，
∴；
相遇之后：
(iii)如图3，
OD是OC的伴随线时，
则，
即，
∴；
(iv)如图4，
OD是OA的伴随线时，则，
即，
∴；
所以，综上所述，当，，，时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
方法或规律点拨
本题是几何变换综合题，考查了角的计算，考查了动点问题，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
巩固练习
1．(2020·宿迁市钟吾初级中学初一期末)如图，以直线 AB 上一点 O 为端点作射线 OC，使∠BOC=70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点 O 处．(注：∠DOE=90°)
(1)如图①，若直角三角板 DOE 的一边 OD 放在射线 OB 上，则∠COE= °；
(2)如图②，将直角三角板 DOE 绕点 O 逆时针方向转动到某个位置，若 OC 恰好平分∠BOE，求∠COD 的度数；
(3)如图③，将直角三角板 DOE 绕点 O 转动，如果 OD 始终在∠BOC 的内部， 试猜想∠BOD 和∠COE 有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)20；(2)20 º；(3)∠COE﹣∠BOD=20°．
【解析】(1)如图①，∠COE=∠DOE﹣∠BOC=90°﹣70°=20°；
(2)如图②，∵OC平分∠EOB，∠BOC=70°，
∴∠EOB=2∠BOC=140°，
∵∠DOE=90°，
∴∠BOD=∠BOE﹣∠DOE=50°，
∵∠BOC=70°，
∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=20°；
(3)∠COE﹣∠BOD=20°，
理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，
∴(∠COE+∠COD)﹣(∠BOD+∠COD)
=∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD
=∠COE﹣∠BOD
=90°﹣70°
=20°，
即∠COE﹣∠BOD=20°．
2．(2020·宿迁市钟吾初级中学初一期末)如图①，已知线段AB=20cm，CD=2cm，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点.
(1)若AC=4cm，则EF=_________cm.
(2)当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变请求出EF的长度，如果变化，请说明理由.
(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知在内部转动，OE、OF分别平分在，则、和有何关系，请直接写出_______________________.
【答案】(1)11(2)11cm(3)
【解析】(1)∵AB=20cm，CD=2cm，AC=4cm，
∴ BD=AB－AC－CD= 20－2－4=14cm，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
∴EC=2cm，DF=7cm，
∴EF=2+2+7=11cm；
(2)EF的长度不发生变化，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
∴EC=AC，DF=DB，
∴EF=EC+CD+DF
=AC+CD+DB
=(AC+BD)+CD
=(AB－CD)+CD
=(AB+CD)，
∵AB = 20cm， CD = 2cm，
∴EF =(20+2)=11cm；
(3)∠EOF=(∠AOB+∠COD).
理由：∵OE、OF分别平分∠AOC在∠BOD，
∴∠COE=∠AOC,∠DOF=∠BOD，
∴∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF
=∠AOC+∠COD+∠BOD
= (∠AOC+∠BOD)+∠COD
= (∠AOB−∠COD)+∠COD
= (∠AOB+∠COD).
故答案为：∠EOF= (∠AOB+∠COD).
3．(2020·江苏南京·南师附中宿迁分校初一期末)已知直线AB过点O，∠COD＝90°，OE是∠BOC的平分线．
(1)操作发现：①如图1，若∠AOC＝40°，则∠DOE＝
②如图1，若∠AOC＝α，则∠DOE＝ (用含α的代数式表示)
(2)操作探究：将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，②中的结论是否成立？试说明理由．
(3)拓展应用：将图2中的∠COD绕顶点O逆时针旋转到图3的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数，(用含α的代数式表示)
【答案】(1)20°，；(2)成立，理由见详解；(3)180°－．
【解析】解：(1)如图1，∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝40°，
∴∠BOD＝50°，
∴∠BOC＝∠COD＋∠BOD＝90°＋50°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝70°，
∴∠DOE＝∠BOE－∠BOD＝20°，
②如图1，由(1)知：∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝α，
∴∠BOD＝90°﹣α，
∴∠BOC＝∠COD＋∠BOD＝90°＋90°﹣α＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝90°﹣α，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°﹣α﹣(90°﹣α)＝α，
(2)(1)中的结论还成立，理由是：
如图2，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝∠BOC＝90°﹣α，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣(90°﹣α)＝α；
(3)如图3，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝∠BOC＝90°﹣α，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD＋∠COE＝90°＋(90°﹣α)＝180°﹣α．
4．(2020·全国初一课时练习)如图①②所示，将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起．
(1)若，如图①，请求出的度数；
(2)若，如图②，请求出的度数；
(3)猜想：和的关系(请直接写出答案即可)
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)∵，
∴
(2)∵，
∴
∴
(3)∠AOD和∠BOC的关系是：∠AOD+∠BOC=180°．理由如下：
如图①，∠AOD+∠BOC=360°－∠AOB－∠DOC=360°－90°－90°=180°；
如图②，∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠COD=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°．
综上所述：∠AOD+∠BOC=180°．
5．(2020·全国初一课时练习)已知是内部的一条射线，，分别为，上的点，线段，同时分别以，的速度绕点逆时针转动，设转动时间为．
(1)如图(1)，若，，逆时针转动到，处．
①若，的转动时间为2，则________；
②若平分，平分，求的值．
(2)如图(2)，若，当，分别在，内部转动时，请猜想与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①40゜；②60゜；(2)，理由见解析．
【解析】(1)∵线段OM、ON分别以30°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转2s，
∴∠AOM′=2×30°=60°，∠CON′=2×10°=20°，
∴∠BON′=∠BOC-20°，∠COM′=∠AOC-60°，
∴∠BON′+∠COM′=∠BOC-20°+∠AOC-60°=∠AOB-80°，
∵∠AOB=120°，
∴∠BON′+∠COM′=120°-80°=40°；
故答案为：40°；
②∵OM′平分∠AOC，ON′平分∠BOC，
∴∠AOM′=∠COM′=∠AOC，∠BON′=∠CON′=∠BOC，
∴∠COM′+∠CON′=∠AOC+∠BOC=∠AOB=×120°=60°，
即∠MON=60°；
(2)∠COM=3∠BON，理由如下：
设∠BOC=，则∠AOB=4，∠AOC=3，
∵旋转t秒后，∠AOM=30t，∠CON=10t，
∴∠COM=3 -30t=3( -10t)，∠NOB= -10t，
∴∠COM=3∠BON．
6．(2020·全国初一课时练习)一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下.
(发现猜想)(1)如图①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC为∠BOD的角平分线，则∠AOC的度数为 ；.
(探索归纳)(2)如图①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC为∠BOD的角平分线. 猜想∠AOC的度数(用含m、n的代数式表示)，并说明理由.
(问题解决)(3)如图②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°.若射线OB绕点O以每秒20°逆时针旋转，射线OC绕点O以每秒10°顺时针旋转，射线OD绕点O每秒30°顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停止运动. 运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？
【答案】(1)85°；(2)∠AOC＝；理由见解析；(3)经过，，4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线.
【解析】(1)85°；
(2)∵∠AOB＝m，∠AOD＝n
∴∠BOD＝n－m
∵OC为∠BOD的角平分线
∴∠BOC＝
∴∠AOC＝+m＝
(3)设经过的时间为x秒，
则∠DOA＝120°－30x；∠COA＝90°－10x；∠BOA＝20°+20x；
①当在x＝之前，OC为OB，OD的角平分线；30－20x＝70－30x，x1＝4(舍)；
②当x在和2之间，OD为OC，OB的角平分线；－30+20x＝100－50x，x2＝；
③当x在2和之间，OB为OC，OD的角平分线；70－30x＝－100+50x，x3＝；
④当x在和4之间，OC为OB，OD的角平分线；－70+30x＝－30+20x，x4＝4.
答：经过，，4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线.
7．(2020·全国初一课时练习)如图①，是直线上的一点，是直角，平分.
(1)若，则的度数为 ；
(2)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
(3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出和的度数之间的关系.
【答案】(1) 15°；(2)∠AOC=2∠DOE；(3)∠AOC=360°﹣2∠DOE
【解析】解：(1)由已知得∠BOC=180°﹣∠AOC=150°，
又∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠DOE=∠COD﹣∠BOC=90°﹣×150°=15°；
(2)∠AOC=2∠DOE；
理由：∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE=90°﹣∠DOE，
则得∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣2∠COE=180°﹣2(90°﹣∠DOE)，
所以得：∠AOC=2∠DOE；
(3)∠AOC=360°﹣2∠DOE；
理由：∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=2∠COE，
则得∠AOC=180°﹣∠BOE=180°﹣2∠COE=180°﹣2(∠DOE﹣90°)，
所以得：∠AOC=360°﹣2∠DOE
8．(2020·全国初一课时练习)如图，以直线上一点为端点作射线，使，在同一个平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点处.(注：)
(1)如图1，如果直角三角板的一边放在射线上，那么的度数为______；
(2)如图2，将直角三角板绕点按顺时针方向转动到某个位置，如果恰好平分，求的度数；
(3)如图3，将直角三角板绕点任意转动，如果始终在的内部，请直接用等式表示和之间的数量关系.
【答案】(1)；(2)；(3)或.
【解析】解：(1)∵，
∴
故答案为：
(2)∵平分，，
∴，
∵，
∴．
(3)∵，
∴
∴或．
故答案为：或．
9．(2020·全国初一课时练习)如图，射线，，，分别表示以点为中心的北，东，南，西四个方向，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向．
(1)画出射线，若与互余，请在图(1)或备用图中画出；
(2)若是的平分线，直接写出的度数．(不需要计算过程)
【答案】(1)见解析；(2)或．
【解析】(1)如图所示，与即为所求．
(2)的度数为或．
∵∠AON=45°，∠BON=30°，
∴∠AOB=75°，
∵∠BOC与∠AOB互余，
∴∠BOC=∠BOC′=15°，
∴∠AOC=90°，∠AOC=60°，
∵OP是∠AOC的角平分线，
∴∠AOP=45°或30°．
10．(2017·河南平舆·初一期末)如图，已知同一平面内，．
(1)问题发现：的余角是_____，的度数是_____；
(2)拓展探究：若平分，平分，则的度数是_____．
(3)类比延伸：在(2)的条件下，如果将题目中的改为；改为，其他条件不变，你能求出吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【答案】(1)∠AOD，150°；(2)45°；(3)=
【解析】(1)∵，
∴∠BOD+∠AOD=90°，
∴的余角是∠AOD，
∵，,
∴=∠AOB+∠AOC=150°，
故答案为：∠AOD，150°；
(2)由(1)知=150°，
∵平分，
∴∠COD=75°，
∵平分，
∴∠COE=30°，
∴=∠COD-∠COE=45°，
故答案为：45°；
(3)能求出的度数，
∵， ，
∴∠BOC=
∵平分，，
∴∠COD=，
∵平分，
∴∠COE=，
∴=∠COD-∠COE=.
11．(2019·沈阳市第七中学初一期中)数学课上小明用一副三角板进行如下操作：把一副三角板中两个直角的顶点重合，一个三角板固定不动，另一个三角板绕着重合的顶点旋转(两个三角板始终有重合部分)．
(1)当旋转到如图所示的位置时，量出∠α＝25°，通过计算得出∠AOD＝∠BOC＝ ；
(2)通过几次操作小明发现，∠α≠25°时．∠AOD＝∠BOC仍然成立，请你帮他完成下面的说理过程．
理由：因为∠AOC＝∠BOD＝ ；
所以，根据等式的基本性质∠ ﹣∠COD＝∠BOD﹣∠ ；
即∠AOD＝∠ ．
(3)小莹还发现在旋转过程中∠AOB和∠DOC之间存在一个不变的数量关系，请你用等式表示这个数量关系 ．
【答案】(1)65°；(2)90°，AOC，COD，BOC；(3)∠AOB+∠COD＝180°．
【解析】解：(1)∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOD＝∠BOC＝90°﹣α＝90°﹣25°＝65°；
(2)因为∠AOC＝∠BOD＝90°，
所以，根据等式的基本性质∠AOC﹣∠COD＝∠BOD﹣∠COD，
即∠AOD＝∠BOC；
(3)∵∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝90°﹣∠AOD，∠AOB＝∠BOD+∠AOD＝90°+∠AOD，
∴∠AOB+∠COD＝90°+∠AOD+90°﹣∠AOD＝180°．
故答案为：(1)65°；(2)90°，AOC，COD，BOC；(3)∠AOB+∠COD＝180°．
12．(2020·辽宁望花·初一期末)已知点O为直线AB上的一点，∠BOC＝∠DOE＝90°
(1)如图1，当射线OC、射线OD在直线AB的两侧时，请回答结论并说明理由；
①∠COD和∠BOE相等吗？
②∠BOD和∠COE有什么关系？
(2)如图2，当射线OC、射线OD在直线AB的同侧时，请直接回答；
①∠COD和∠BOE相等吗？
②第(1)题中的∠BOD和∠COE的关系还成立吗？
【答案】(1)①∠COD＝∠BOE，理由见解析；②∠BOD+∠COE＝180°，理由见解析；(2)①∠COD＝∠BOE，②成立
【解析】解：(1)①∠COD＝∠BOE，理由如下：
∵∠BOC＝∠DOE＝90°，
∴∠BOC+∠BOD＝∠DOE+∠BOD，
即∠COD＝∠BOE，
②∠BOD+∠COE＝180°，理由如下：
∵∠DOE＝90°，∠AOE+∠DOE+∠BOD＝∠AOB＝180°，
∴∠BOD+∠AOE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝∠BOD+∠AOE+∠AOC＝90°+90°＝180°，
(2)①∠COD＝∠BOE，
∵∠COD+∠BOD＝∠BOC＝90°＝∠DOE＝∠BOD+∠BOE，
∴∠COD＝∠BOE，
②∠BOD+∠COE＝180°，
∵∠DOE＝90°＝∠BOC，
∴∠COD+∠BOD＝∠BOE+∠BOD＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝∠BOD+∠COD+∠BOE+∠BOD＝∠BOC+∠DOE＝90°+90°＝180°，
因此(1)中的∠BOD和∠COE的关系仍成立．
13．(2020·河北承德·初一期末)如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为反余角，其中一个角叫做另一个角的反余角，例如，，，，则和互为反余角，其中是的反余角，也是的反余角．
如图为直线AB上一点，于点O，于点O，则的反余角是______，的反余角是______；
若一个角的反余角等于它的补角的，求这个角．
如图2，O为直线AB上一点，，将绕着点O以每秒角的速度逆时针旋转得，同时射线OP从射线OA的位置出发绕点O以每秒角的速度逆时针旋转，当射线OP与射线OB重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t秒，求当t为何值时，与互为反余角图中所指的角均为小于平角的角．
【答案】(1)的反余角是，的反余角是(2)或者(3)当t为40或者10时，与互为反余角
【解析】的反余角是，的反余角是；
设这个角为，则补角为，反余角为或者
：当反余角为时
解得：
：当反余角为时
解得：
答：这个角为或者
设当旋转时间为t时，与互为反余角．
射线OP从射线OA的位置出发绕点O以每秒角的速度逆时针旋转，当射线OP与射线OB重合时旋转同时停止，
此时：
．
解得：或者
答：当t为40或者10时，与互为反余角．
15．(2020·河北乐亭·初一期末)直线上有一点，过作射线，嘉琪将一直角三角板的直角顶点与重合．
(1)嘉琪把三角板如图1放置，若，则 ， ；
(2)嘉琪将直角三角板绕点顺时针旋转一定角度后如图2，使平分，且，求的度数．
【答案】(1)30°，120°；(2)∠BOE=72° ．
【解析】(1) ∵，，
∴，
，
故答案为：30°，120°；
(2)∵∠COF=2∠AOC，
∴∠AOF=∠COF＋∠AOC
=2∠AOC＋∠AOC
=3∠AOC ，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=3∠AOC，
∵∠COE=90°，
∴5∠AOC=90°，
∴∠AOC=18°，
∴∠AOE=6∠AOC =6×18°=108°，
∴∠BOE=180°－∠AOE=180°－108°=72° ．
第04章 重点突破训练：与线段和角有关的证明与计算
考点体系
考点1：与线段有关的计数问题
典例：(2018·内蒙古宁城·初一期末)探究归纳题：
(1)试验分析：
如图1，经过A点与B、C两点分别作直线，可以作____________条；同样，经过B点与A、C两点分别作直线，可以作______________条；经过C点与A、B两点分别作直线，可以作___________条.
通过以上分析和总结，图1共有___________条直线.
(2)拓展延伸：
运用(1)的分析方法，可得：
图2共有_____________条直线；
图3共有_____________条直线；
(3)探索归纳：
如果平面上有n(n≥3)个点，且每3个点均不在同一直线上，经过其中两点共有________条直线．(用含n的式子表示)
(4)解决问题：
中职篮(CBA)2017——2018赛季作出重大改革，比赛队伍数扩充为20支，截止2017年12月21日赛程过半，即每两队之间都赛了一场，请你帮助计算一下一共进行了多少场比赛？
【答案】(1)2 2 2 3 (2)6 10 (3) (4)190
【解析】(1)2；2；2；3；
(2)6；10；
(3)
(4)当n=20时，=(场).
故一共进行了190场比赛.
方法或规律点拨
本题考查了直线射线和线段，要知道从一般到具体的探究方法，并找到规律．
巩固练习
1．(2019·河南许昌·)观察表格：
1条直线
0个交点
平面分成(1+1)块
2条直线
1个交点
平面分成(1+1+2)块
3条直线
(1+2)个交点
平面分成(1+1+2+3)块
4条直线
(1+2+3)个交点
平面分成(1+1+2+3+4)块
根据表格中的规律解答问题：
(1)5条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；
(2)n条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；
(3)应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10刀(不许重叠)，最多可得到 块饼．
【答案】(1)10，16；(2)n(n﹣1)；1+n(n+1)；(3)56
【解析】解：(1)5条直线两两相交，有10个交点，平面被分成16块；
故答案为：10，16；
(2)2条直线相交有1个交点；
3条直线相交有1+2＝3个交点；
4条直线相交有1+2+3＝6个交点；
5条直线相交有1+2+3+4＝10个交点；
6条直线相交有1+2+3+4+5＝15个交点；
…
n条直线相交有1+2+3+4+…+(n﹣1)＝n(n﹣1)；
平面被分成1+1+2+3+4+…+(n+1)＝1+n(n+1)；
故答案为：n(n﹣1)；1+n(n+1)；
(3)当n＝10时，(块)，
故答案为：56
2．(2019·全国)平面内5条相交直线最多可以有几个交点？条直线呢？
【答案】10个交点；个.
【解析】解：平面内2条直线相交有1个交点，第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2＝3个交点，第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3＝6个交点，第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4＝10个交点；
第n条直线和前n−1条直线都相交，增加了n−1个交点，得1＋2＋3＋…n−1，其和为：1＋2＋3＋…n−1＝个交点．
3．(2018·浙江全国·初一课时练习)观察图形找出规律，并解答问题．
(1)5条直线相交，最多有_____个交点，平面最多被分成_____块；
(2)n条直线相交，最多有__________个交点，平面最多被分成____________块．
【答案】(1)10,16;(2),[1＋]
【解析】如图，
(1)任意画2条直线，它们最多有1个交点；
(2)任意画3条直线，它们最多有3个交点；
(3)任意画4条直线(只画交点个数最多的情况)，最多有6个交点；
(4)5条直线最多有10个交点；
n条直线最多有n(n-1)个交点．
一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n条时比原来多了n部分．
因为n=1，a1=1+1，
n=2，a2=a1+2，
n=3，a3=a2+3，
n=4，a4=a3+4，
…
n=n，an=an-1+n，
以上式子相加整理得，an=1+1+2+3+…+n=1+．
当n=5时，1+=16．
4．(2019·全国初一)往返于A、B两地的客车,途中要停靠C、D两个车站,如图所示. 则需要设定几种不同的票价?需要准备多少种车票?
【答案】设定6种，准备12种车票.
【解析】总线段条数为3+2+1=6,所以需要设定6种不同的票价.因为同一段路,往返时起点和终点正好相反,所以需要准备12种车票.
5．(2019·全国初一课时练习)(1)观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；
(2)模型构建：如果线段上有m个点(包括线段的两个端点)，则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；
(3)拓展应用：8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制(即每两位同学之间都要进行一场比赛)，那么一共要进行多少场比赛？
请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题.
【答案】(1)6；(2) ；(3)28
【解析】解：(1)∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，
以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，
以点D为左端点的线段有线段DB，
∴共有3+2+1=6条线段；
(2)
理由：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，
则x=(m−1)+(m−2)+(m−3)+…+3+2+1，
∴倒序排列有x=1+2+3+…+(m−3)+(m−2)+(m−1)，
∴2x=m+m+…+m,(m−1)个m,
(3)把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段，
直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，
因此一共要进行场比赛.
考点2：线段作图与计算的综合题
典例：(2020·恩施市崔坝镇民族中学初一期末)如图，平面上有射线AP和点B，C，请用尺规按下列要求作图：
(1)连接AB，并在射线AP上截取AD＝AB；
(2)连接BC、BD，并延长BC到E，使BE＝BD．
(3)在(2)的基础上，取BE中点F，若BD＝6，BC＝4，求CF的值．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)CF的值为1
【解析】解：如图所示，
(1)连接AB，并在射线AP上截取AD＝AB；
(2)连接BC、BD，并延长BC到E，使BE＝BD．
(3)在(2)的基础上，
∵BE＝BD＝6，BC＝4，
∴CE＝BE﹣BC＝2
∵F是BE的中点，
∴BF＝＝＝3
∴CF＝BC﹣BF＝4﹣3＝1．
答：CF的值为1．
方法或规律点拨
本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是根据语句准确画图．
巩固练习
1．(2020·全国单元测试)如图所示，已知线段的长为．
(1)用直尺和圆规按所给的要求作图：点在线段的延长线上，且；
(2)在上题中，如果在线段上有一点，且线段、长度之比为，求线段的长．
【答案】(1)见解析；(2)3.5cm或1.4xcm
【解析】(1)反向延长BA，以点A为圆心，AB为半径作圆交BA的延长线于点C，则线段AC即为所求;
(2)当在线段上时，
∵,，
∴.∵，
∴．
当在线段上时，
∵，，
∴.∵，
∴．
2．(2020·福建宁化·初一期末)如图，已知线段a和线段AB，
(1)延长线段AB到C，使BC＝a(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，若AB＝5，BC＝3，点O是线段AC的中点，求线段OB的长．
【答案】(1)见解析；(2) OB长为1．
【解析】解：(1)如图：延长线段AB，在AB的延长线上截取BC＝a．
(2)∵AB＝5，BC＝3，
∴AC＝8，
∵点O是线段AC的中点，
∴AO＝CO＝4，
∴BO＝AB﹣AO＝5﹣4＝1，
∴OB长为1．
3．(2020·河北涞源·初一期末)已知：如图，线段AB.
(1)根据下列语句顺次画图.
① 延长线段AB至C，使BC=3AB，
② 画出线段AC的中点D.
(2)请回答：
① 图中有几条线段；
② 写出图中所有相等的线段.
【答案】(1)画出图形，如图所示见解析；(2)① 6；② .
【解析】解：(1)画出图形，如图所示.
(2)①图中的线段有：AB、BD、DC、AD、BC、AC，共6条；
②相等的线段有：AB=BD，AD=CD.
故答案为：(1)画图见解析；(2)①6；②AB=BD，AD=CD.
4．(2019·广西防城港·初一期末)如图，已知线段a和射线OA，射线OA上有点B．
(1)用圆规和直尺在射线OA上作线段CD，使点B为CD的中点，点C在点B的左边，且BC=a．(不用写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的基础上，若OB=12cm，OC=5cm，求线段OD的长．
【答案】(1)详见解析；(2)19cm
【解析】解：(1)如图所示：以B为圆心，a的长为半径画弧，交OA于C、D两点
(2)∵OB=12cm，OC = 5cm，
∴ BC= OB -OC =12-5 =7cm，
∵ B为CD的中点，
∴ BC =BD = 7cm，
∴ OD = OB +BD =12+7 = 19cm．
5．(2019·江苏沛县·初一期末)如图，已知四点A、B、C、D．
(1)用圆规和无刻度的直尺按下列要求与步骤画出图形：
①画直线AB．
②画射线DC．
③延长线段DA至点E，使．(保留作图痕迹)
④画一点P，使点P既在直线AB上，又在线段CE上．
(2)在(1)中所画图形中，若cm，cm，点F为线段DE的中点，求AF的长．
【答案】(1)见解析；(2)0.5cm．
【解析】解：(1)如图，该图为所求，
(2)∵AB=2cm，AB=AE，
∴AE=2cm，AD=1cm，
∵点F为DE的中点，
∴EF=DE=cm，
∴AF=AE-EF=2-=cm；
∴AF=0.5cm.
6．(2019·广东龙华·初一期末)如图，已知不在同一条直线上的三点、、，其中，且．
(1)按下列要求作图(用尺规作图，保留作图痕迹)
①作射线；
②在线段上截取；
③在线段上截取．
恭喜您！通过刚才的动手操作画图，你作出了闻名世界的“黄金分割点”．像这样点就称为线段的“黄金分割点”．
(2)阅读下面材料，并完成相关问题；
黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分的长约是全长的0．618倍，则称这个点为黄金分割点．如图，为线段上一点，如果，那么点为线段的黄金分割点．
已知某舞台的宽为30米，一次演出时两位主持人分别站在舞台上的两个黄金分割点和处，如图，则这两位主持人之间的距离约为_________米．
【答案】(1)见解析；(2)7.08
【解析】解：(1)如图1，点E就称为线段AB的“黄金分割点”；
(2)∵点Q是MN的黄金分割点，
∴MQ≈0.618MN＝18.54，
∴QN＝MN﹣MQ＝11.46，
∵点P是MN的黄金分割点，
∴NP≈0.618MN＝18.54，
∴PQ＝NP﹣QN＝18.54﹣11.46＝7.08(米)，
故答案为：7.08．
7．(2019·闽清县教育局初一期末)如图，已知线段a，b，用尺规作图(不用写作法，保留作图痕迹)，并填空．
(1)作线段AB，使得AB＝a＋b；
(2)在直线AB外任取一点C，连接AC，BC，可得AC＋BC AB(填“＜”或“＞”号)，理由是 ．
【答案】(1)图见解析； (2)＞；两点之间线段最短．
【解析】
(1)如图所示：
(2)由题意，得AC＋BC＞AB
理由是两点之间线段最短.
考点3：动点有关的线段问题
典例：(2020·江西东湖·期末)已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示(C在线段AM上，D在线段BM上)
(1)若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝ ，DM＝ ；(直接填空)
(2)当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．
(3)若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝ (填空)
(4)在(3)的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
【答案】(1)2，4；(2)6 cm；(3)4；(4)或1．
【解析】(1)根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm，
∵AB＝12cm，AM＝4cm，
∴BM＝8cm，
∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，
故答案为：2cm，4cm；
(2)当点C、D运动了2 s时，CM＝2 cm，BD＝4 cm
∵AB＝12 cm，CM＝2 cm，BD＝4 cm
∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6 cm；
(3)根据C、D的运动速度知：BD＝2MC，
∵MD＝2AC，
∴BD+MD＝2(MC+AC)，即MB＝2AM，
∵AM+BM＝AB，
∴AM+2AM＝AB，
∴AM＝AB＝4，
故答案为：4；
(4)①当点N在线段AB上时，如图1，
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣AM＝MN
∴BN＝AM＝4
∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4
∴；
②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣BN＝AB
∴MN＝AB＝12
∴；
综上所述或1
故答案为或1．
方法或规律点拨
本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题(4)，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
巩固练习
1．(2020·浙江镇海·期末)已知数轴上，点为原点，点对应的数为9，点对应的数为，点在点右侧，长度为2个单位的线段在数轴上移动．
(1)当线段在、两点之间移动到某一位置时恰好满足，求此时的值．
(2)当线段在射线上沿方向移动到某一位置时恰好满足，求此时的值．
【答案】(1)b=3.5；(2)或—5
【解析】解：(1)线段AC可以表示为，
根据AC=OB，列式，解得；
(2)当B在O点右侧(或O点)时，，解得 ，
当B在O点左侧时，，解得 ，
∴b的值为或．
2．(2021·重庆开学考试)如图，是线段上任意一点，，两点分别从点开始，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动时间为．
(1)若．
①求运动后，的长；
②当点在线段上运动时，试说明．
(2)如果，试探索的长．
【答案】(1)①3cm；②见解析；(2)9或11
【解析】解：(1)①由题可知：
②
(2)当时，
当点在的右边时，如图所示：
由于
当点在的左边时，如图所示：
综上所述，或11
3．(2020·全国初一课时练习)已知，两点在数轴上表示的数为和，，均为数轴上的点，且．
(1)若，的位置如图所示，试化简：；
(2)如图，若，，求图中以，，，，这5个点为端点的所有线段(无重复)长度的和；
(3)如图，为中点，为中点，且，，若点为数轴上一点，且，试求点所对应的数．
【答案】(1)b-a；(2)41.6；(3)或3．
【解析】(1)由已知得，．
∵，
∴，
∴，，
∴；
(2)∵，
∴，
又∵，
∴
；
(3)∵，
∴．
∵为的中点，为的中点，
∴，，
∴．
又∵，
所以，
解得，
∴．
当点在点的左边时，点在原点的左边，，
故点所对应的数为；
当点在点的右边时，点在原点的右边，，
故点所对应的数为3．
综上，点所对应的数为或3．
4．(2020·河南太康·初一期末)(1)如图，已知点C在线段AB上，AC＝6 cm，且BC＝4 cm，M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；
(2)在(1)题中，如果AC＝a cm，BC＝b cm，其他条件不变，你能猜出MN的长度吗？请你用一句简洁的话表述你发现的规律；
(3)对于(1)题，如果我们这样叙述它：“已知线段AC＝6 cm，BC＝4 cm，点C在直线AB上，M，N分别是AC，BC的中点，求MN的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果．
【答案】(1)5 cm;(2)MN＝cm.MN的长度为线段AC，BC长度和的二分之一．(3)有变化．当AB在点C同侧时，MN＝1 cm.
【解析】解：(1)∵AC=6cm，BC=4cm，点M，N分别是AC，BC的中点，
(2)
直线上相邻两线段中点间的距离为两线段长度和的一半；
(3)如图，有变化，会出现两种情况：
①当点C在线段AB上时,
②当点C在AB或BA的延长线上时,
5．(2020·深圳市高级中学初一期末)如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动(C在线段AP上，D在线段BP上)，运动的时间为t.
(1)当t=1时，PD=2AC，请求出AP的长；
(2)当t=2时，PD=2AC，请求出AP的长；
(3)若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP的长；
(4)在(3)的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ的长.
【答案】(1)4cm；(2)4cm；(3)4cm；(4)4cm或12cm
【解析】解：(1) 因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=1(s)，所以(cm).
因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=1(s)，所以(cm).
故BD=2PC.
因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.
故AB=AP+PB=3AP.
因为AB=12cm，所以(cm).
(2) 因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=2(s)，所以(cm).
因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=2(s)，所以(cm).
故BD=2PC.
因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.
故AB=AP+PB=3AP.
因为AB=12cm，所以(cm).
(3) 因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t(s)，所以(cm).
因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t(s)，所以(cm).
故BD=2PC.
因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.
故AB=AP+PB=3AP.
因为AB=12cm，所以(cm).
(4) 本题需要对以下两种情况分别进行讨论.
(i) 点Q在线段AB上(如图①).
因为AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ.
因为AQ=AP+PQ，所以AP=BQ.
因为，所以.
故.
因为AB=12cm，所以(cm).
(ii) 点Q不在线段AB上，则点Q在线段AB的延长线上(如图②).
因为AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ.
因为AQ=AP+PQ，所以AP=BQ.
因为，所以.
故.
因为AB=12cm，所以(cm).
综上所述，PQ的长为4cm或12cm.
6．(2020·山东崂山·初一期末)如图，已知线段AB、a、b．
(1)请用尺规按下列要求作图：(不要求写作法，但要保留作图痕迹)
①延长线段AB到C，使BC＝a；
②反向延长线段AB到D，使AD＝b．
(2)在(1)的条件下，如果AB＝8cm，a＝6m，b＝10cm，且点E为CD的中点，求线段AE的长度．
【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)AE＝2cm．
【解析】(1)①如图所示，线段BC即为所求，
②如图所示，线段AD即为所求；
(2)∵AB＝8cm，a＝6m，b＝10cm，
∴CD＝8+6+10＝24cm，
∵点E为CD的中点，
∴DE＝DC＝12cm，
∴AE＝DE﹣AD＝12﹣10＝2cm．
7．(2019·河北初三二模)如图，已知数轴上有两点，它们的对应数分别是，其中
(1)在左侧作线段，在的右侧作线段(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)若点对应的数是，点对应的数是，且，求的值
(3)在(2)的条件下，设点是的中点，是数轴上一点，且，请直接写出的长
【答案】(1)见解析；(2)c=-68；d=92；(3)28或
【解析】(1)解：如图，线段为所求的线段
(2)因为
；
(3)分情况讨论：
①点N在线段CD上，
由(2)得CD＝92−(−68)＝160，点B对应的数为12−40＝−28，
∴BD＝92−(−28)＝120，
∵点M是BD的中点，
∴点M对应的数为92−60＝32，
∵CN＝4DN，
∴DN＝CD＝32，
∴点N对应的数为92−32=60，
∴MN＝60−32＝28；
②点N在线段CD的延长线上，
∵CN＝4DN，
∴DN＝CD＝，
∴点N对应的数为92＋＝，
∴MN＝−32＝．
故的长为28或．
8．(2019·江西贵溪·初一期末)如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动(点在线段上，点在线段上)．
(1)若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置；
(2)在(1)的条件下，点是直线上一点，且，求的值；
(3)在(1)的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动(点在线段上)，点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
【答案】(1)点P在线段AB的处；(2)或；(3)结论②的值不变正确，.
【解析】解：(1)设运动时间为t秒，则，
由得，即
，，，即
所以点P在线段AB的处；
(2)①如图，当点Q在线段AB上时，
由可知，
②如图，当点Q在线段AB的延长线上时，
，
综合上述，的值为或；
(3)②的值不变.
由点、运动5秒可得，
如图，当点M、N在点P同侧时，
点停止运动时，，
点、分别是、的中点，
当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；
如图，当点M、N在点P异侧时，
点停止运动时，，
点、分别是、的中点，
当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；
所以②的值不变正确，.
考点4：静态图形中的角度计算与证明
典例：(2020·江西东湖·期末)若的度数是的度数的k倍，则规定是的k倍角.
(1)若∠M=21°17'，则∠M的5倍角的度数为 ；
(2)如图1，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，若∠AOC=∠COE，请直接写出图中∠AOB的所有3倍角；
(3)如图2，若∠AOC是∠AOB的5倍角，∠COD是∠AOB的3倍角，且∠AOC和∠BOD互为补角，求∠AOD的度数.
【答案】(1)106°25'；(2)∠AOD，∠BOE；(3)120°.
【解析】解：(1)；
故答案为： .
(2)∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOC=∠COE，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，
∴∠AOD=3∠AOB，∠BOE=3∠AOB；
∴图中∠AOB的所有3倍角有：∠AOD，∠BOE；
(3)设∠AOB=x，则∠AOC=5x，∠COD=3x.
∴∠BOC=4x，
∵∠AOC和∠BOD互为补角，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠BOC+∠COD=180°，
即5x+7x=180°，
解得：x=15°.
∴∠AOD=8x=120°.
方法或规律点拨
此题主要考查了角的计算以及解一元一次方程，关键是理清图中角之间的关系，掌握两角和为180°为互补．
巩固练习
1．(2020·全国单元测试)如图所示，已知，平分，，，求、的度数．
【答案】，
【解析】解：由题意得：
平分，，
，
又，
，解得，
∴，．
2．(2020·岳阳市第十中学初一期末)如图1，已知∠AOB的内部有一条射线OC，OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC．
(1)若∠AOB＝120°，∠BOC＝40°，求∠MON的度数．
(2)若取掉(1)中的条件∠BOC＝40°，只保留∠AOB＝120°，求∠MON的度数．
(3)若将∠AOB内部的射线OC旋转到∠AOB的外部，如图2，∠AOB＝120°，求∠MON的度数，并请用一句话或一个式子概括你发现的∠MON与∠AOB的数量关系．
【答案】(1)∠MON＝60°；(2)∠MON＝60°；(3)．
【解析】解：(1)∵∠AOB＝120°，∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣40°＝80°，
∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠MOC＝，，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝40°+20°＝60°；
(2)∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠MOC＝，，
∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝120°，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝＝＝＝60°；
(3)∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，
所以∠MON＝∠COM﹣∠CON＝∠AOC﹣∠BOC＝(∠AOC﹣∠BOC)＝＝×120°＝60°，
综上可知．
3．(2020·甘肃肃州·初一期末)如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，求∠AOB的度数．
【答案】120°
【解析】解：设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x．
∴∠AOB＝3x．
又OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝1.5x．
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝1.5x﹣x＝20°．
∴x＝40°
∴∠AOB＝120°．
4．(2019·山西浑源·初一期末)已知∠COD＝90°，且∠COD的顶点O恰好在直线AB上．
(1)如图1，若∠COD的两边都在直线AB同侧，回答下列问题：
①当∠BOD＝20°时，∠AOC的度数为 °；
②当∠BOD＝55°时，∠AOC的度数为 °；
③若∠BOD＝α，则∠AOC的度数用含α的式子表示为 ；
(2)如图2，若∠COD的两边OC，OD分别在直线AB两侧，回答下列问题：
①当∠BOD＝28°30′时，∠AOC的度数为 ；
②如图3，当OB恰好平分∠COD时，∠AOC的度数为 °；
③图2中，若∠BOD＝α，则∠AOC的度数用含α的式子表示为 ．
【答案】(1)①70；②35；③90°－α；(2)①118°30′；②135；③90°＋α
【解析】解：(1)①∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠COD=90°，∠BOD=20°，
∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-90°-20°=70°．
②∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠COD=90°，∠BOD=55°，
∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-90°-55°=35°．
③∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠COD=90°，∠BOD=α，
∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-90°-α=90°-α．
(2)①∵∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，∠BOD=28°30′，
∴∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-28°30′=61°30′，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-61°30′=118°30′．
②∵∠COD=90°，OB平分∠COD
∴∠BOC=∠COD=45°，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-45°=135°．
③∵∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，∠BOD=α，
∴∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-α，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-(90°-α)=90°+α．
5．(2020·全国初一课时练习)如图，O在直线AC上，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内．
(1)若OE是∠BOC的平分线，则有∠DOE=90°，试说明理由；
(2)若∠BOE=∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC的度数．
【答案】(1)见解析；(2)72°
【解析】(1)如图，因为OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，
所以∠BOD=∠AOB，∠BOE=∠BOC，
所以∠DOE=(∠AOB+∠BOC)=∠AOC=90°；
(2)设∠EOB=x，则∠EOC=2x，
则∠BOD=(180°–3x)，
则∠BOE+∠BOD=∠DOE，
即x+(180°–3x)=72°，
解得x=36°，
故∠EOC=2x=72°．
6．(2020·湖北广水·初一期末)已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，并在∠MON内部作射线OC．
(1)如图1，三角板的一边ON与射线OB重合，且∠AOC＝150°．若以点O为观察中心，射线OM表示正北方向，求射线OC表示的方向；
(2)如图2，将三角板放置到如图位置，使OC恰好平分∠MOB，且∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数；
【答案】(1)射线OC表示的方向为北偏东60°；(2)∠AOM＝45°；
【解析】解：(1)∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°﹣90°＝60°，
∴射线OC表示的方向为北偏东60°；
(2)∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，
∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，
∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，
∴3∠NOC+∠NOC＝90°，
∴∠NOC＝22.5°，
∴∠BON＝2∠NOC＝45°，
∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°．
7．(2020·全国初一课时练习)如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
(1)如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？
(2)如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON与α的数量关系；
(3)如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．
【答案】(1)45°；(2)∠MON=α．(3)∠MON=α
【解析】解：(1)如图1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，
∴∠AOC=90°+60°=150°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=∠AOC=75°，∠NOC=∠BOC=30°
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=45°．
(2)如图2，∠MON=α，
理由是：∵∠AOB=α，∠BOC=60°，
∴∠AOC=α+60°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=∠AOC=α+30°，∠NOC=∠BOC=30°
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=(α+30°)﹣30°=α．
(3)如图3，∠MON=α，与β的大小无关．
理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=α+β．
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠MOC=∠AOC=(α+β)，
∠NOC=∠BOC=β，
∴∠AON=∠AOC﹣∠NOC=α+β﹣β=α+β．
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC
=(α+β)﹣β=α
即∠MON=α．
8．(2020·内蒙古杭锦后旗·初一期末)如图，∠AOB＝90°，∠AOC=50°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．
(1)求∠MON的大小；
(2)当∠AOC＝时，∠MON等于多少度？
【答案】(21)45°；(2)45°
【解析】解：(1)∵∠AOB是直角，∠AOC=50°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+50°=140°，
∵ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，
∴∠COM=∠BOC=×140°=70°，
∠CON=∠AOC=×50°=25°，
∴∠MON=∠COM-∠CON
=70°－25°
=45°；
(2)当∠AOC=时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+，
∵ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，
∴∠COM=∠BOC=(90°+)，
∠CON=∠AOC=，
∴∠MON=∠COM－∠CON=(90°+)－=45°.
9．(2019·内蒙古临河·初一期末)已知，O为直线AB上一点，∠DOE=90°．
(1)如图1，若∠AOC=130°，OD平分∠AOC．
①求∠BOD的度数；
②请通过计算说明OE是否平分∠BOC．
(2)如图2，若∠BOE：∠AOE=2：7，求∠AOD的度数．
【答案】(1)①115°；②答案见解析；(2)∠AOD＝50°
【解析】解：(1)①∵OD平分∠AOC，∠AOC=130°，
∴∠AOD=∠DOC=∠AOC=×130°=65°，
∴∠BOD=180°－∠AOD=180°－65°=115°；
②∵∠DOE=90°，又∠DOC=65°，
∴∠COE=∠DOE－∠DOC=90°－65°=25°，
∵∠BOD=115°，∠DOE=90°，
∴∠BOE=∠BOD－∠DOE=115°－90°=25°，
∴∠COE=∠BOE，
即OE平分∠BOC；
(2)若∠BOE：∠AOE=2：7，
设∠BOE=2x，则∠AOE=7x，
又∠BOE＋∠AOE=180°，∴2x+7x=180°，
∴x=20°，∠BOE=2x=40°，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOD＝90°－40°=50°.
10．(2020·辽宁庄河·期末)如图，将一副直角三角尺的顶点叠一起放在点处，，，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线
(1)求的度数；
(2)如图，若保持三角尺不动，三角尺绕点逆时针旋转时，其他条件不变，求的度数(提示：旋转角)
(3)在旋转的过程中，当时，直接写出的值．
【答案】(1)；(2)75º；(3)．
【解析】(1)∵，，射线、分别是、的角平分线，
∴∠COM=∠AOC=45º，∠BON=∠BOD=30º，
∴∠MON=∠COM+∠BON=75º；
(2)∵，，，
∴∠AOC=90º-nº，∠BOD=60º-nº，
∵射线、分别是、的角平分线，
∴∠COM=∠AOC=(90º-nº)= 45º-nº，∠BON=∠BOD=(60º-nº)=30º-nº，
∴∠MON=∠COM+∠BON+∠BOC=45º-nº+30º-nº+ nº=75º；
(3)由叠合可得=150 º，
∴=(150 º-120 º)=15 º.
11．(2019·四川雁江·初一期末)如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处()，一边在射线上，另一边在直线的下方．
(1)将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数；
(2)将图1中的三角板绕点以每秒5〫的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，求的值；
将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图3，使一边在的内部，请探究的值．
【答案】(1)35°；(2)11或47；(3)∠AOM-∠NOC=20°．
【解析】解：(1)如图2中，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB，
又∵∠BOC=110°，
∴∠MOB=55°，
∵∠MON=90°，
∴∠BON=∠MON-∠MOB=35°；
(2)(2)分两种情况：
①如图2，∵∠BOC=110°
∴∠AOC=70°，
当当ON的反向延长线平分∠AOC时，∠AOD=∠COD=35°，
∴∠BON=35°，∠BOM=55°，
即逆时针旋转的角度为55°，
由题意得，5t=55°
解得t=11；
②如图3，当射线ON平分∠AOC时，∠NOA=35°，
∴∠AOM=55°，
即逆时针旋转的角度为：180°+55°=235°，
由题意得，5t=235°，
解得t=47，
综上所述，t=11s或47s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；
故答案为：11或47；
(3)∠AOM-∠NOC=20°．
理由：∵∠MON=90°，∠AOC=70°，
∴∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=70°-∠AON，
∴∠AOM-∠NOC=(90°-∠AON)-(70°-∠AON)=20°，
∴∠AOM与∠NOC的数量关系为：∠AOM-∠NOC=20°．
12．(2020·山西浑源·初一期末)综合与探究：
问题情境：如图，已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB的外部且0°＜∠BOC＜180°．OM是∠AOC的角平分线，ON是∠BOC的角平分线．
特例探究：(1)如图1，
①当∠BOC＝40°时，∠MON的度数为 °；
②当∠BOC＜90°时，求∠MON的度数；
猜想拓广：(2)若∠AOB＝α(0＜α＜90°)，
①当∠AOB＋∠BOC＜180°时，则∠MON的度数是 °；(用含α的代数式表示)
②当∠AOB＋∠BOC＞180°时，请在图2中画出图形，并直接写出∠MON的度数．(用含α的代数式表示)
【答案】(1)①45；②45°；(2)① ②画图见解析；．
【解析】(1)①
平分
平分
故答案为：45．
②如图1，
∵OM是∠AOC的角平分线，ON是∠BOC的角平分线．
∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC．
∵∠MON＝∠MOC－∠NOC
∴∠MON＝∠AOC∠BOC．
＝(∠AOC－∠BOC)
＝∠AOB＝×90°＝45°．
(2)①∵OM是∠AOC的角平分线，ON是∠BOC的角平分线．
∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC．
∵∠MON＝∠MOC﹣∠NOC
∴∠MON＝∠AOC∠BOC．
＝(∠AOC﹣∠BOC)
＝∠AOB
．
故答案为：
②当∠AOB＋∠BOC＞180°时补全图形如图2．
∵OM是∠AOC的角平分线，ON是∠BOC的角平分线．
∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC．
∵∠MON＝∠MOC＋∠NOC
∴∠MON＝∠AOC∠BOC．
＝(∠AOC＋∠BOC)
＝
．
所以∠MON的度数为
考点5：与旋转角有关的计算与证明
典例：(2020·全国初一课时练习)[阅读理解]射线是内部的一条射线，若则我们称射线是射线的伴随线．
例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线：同时，由于，称射线是射线的伴随线．
[知识运用]
(1)如图2，，射线是射线的伴随线，则 ，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是 ．(用含的代数式表示)
(2)如图，如，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止，现在两射线同时开始旋转．
①是否存在某个时刻(秒)，使得的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
②当为多少秒时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
【答案】(1)，；(2)①存在，当秒或25秒时，∠COD的度数是20；②当，，，时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
【解析】(1)∵，射线是射线的伴随线，
根据题意，，则；
∵的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，
∴，，
∴；
故答案为：，；
(2)射线OD与OA重合时，(秒)，
①当∠COD的度数是20°时，有两种可能：
若在相遇之前，则，
∴；
若在相遇之后，则，
∴；
所以，综上所述，当秒或25秒时，∠COD的度数是20°；
②相遇之前：
(i)如图1，
OC是OA的伴随线时，则，
即，
∴；
(ii)如图2，
OC是OD的伴随线时，
则，
即，
∴；
相遇之后：
(iii)如图3，
OD是OC的伴随线时，
则，
即，
∴；
(iv)如图4，
OD是OA的伴随线时，则，
即，
∴；
所以，综上所述，当，，，时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
方法或规律点拨
本题是几何变换综合题，考查了角的计算，考查了动点问题，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
巩固练习
1．(2020·宿迁市钟吾初级中学初一期末)如图，以直线 AB 上一点 O 为端点作射线 OC，使∠BOC=70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点 O 处．(注：∠DOE=90°)
(1)如图①，若直角三角板 DOE 的一边 OD 放在射线 OB 上，则∠COE= °；
(2)如图②，将直角三角板 DOE 绕点 O 逆时针方向转动到某个位置，若 OC 恰好平分∠BOE，求∠COD 的度数；
(3)如图③，将直角三角板 DOE 绕点 O 转动，如果 OD 始终在∠BOC 的内部， 试猜想∠BOD 和∠COE 有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)20；(2)20 º；(3)∠COE﹣∠BOD=20°．
【解析】(1)如图①，∠COE=∠DOE﹣∠BOC=90°﹣70°=20°；
(2)如图②，∵OC平分∠EOB，∠BOC=70°，
∴∠EOB=2∠BOC=140°，
∵∠DOE=90°，
∴∠BOD=∠BOE﹣∠DOE=50°，
∵∠BOC=70°，
∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=20°；
(3)∠COE﹣∠BOD=20°，
理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，
∴(∠COE+∠COD)﹣(∠BOD+∠COD)
=∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD
=∠COE﹣∠BOD
=90°﹣70°
=20°，
即∠COE﹣∠BOD=20°．
2．(2020·宿迁市钟吾初级中学初一期末)如图①，已知线段AB=20cm，CD=2cm，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点.
(1)若AC=4cm，则EF=_________cm.
(2)当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变请求出EF的长度，如果变化，请说明理由.
(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知在内部转动，OE、OF分别平分在，则、和有何关系，请直接写出_______________________.
【答案】(1)11(2)11cm(3)
【解析】(1)∵AB=20cm，CD=2cm，AC=4cm，
∴ BD=AB－AC－CD= 20－2－4=14cm，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
∴EC=2cm，DF=7cm，
∴EF=2+2+7=11cm；
(2)EF的长度不发生变化，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
∴EC=AC，DF=DB，
∴EF=EC+CD+DF
=AC+CD+DB
=(AC+BD)+CD
=(AB－CD)+CD
=(AB+CD)，
∵AB = 20cm， CD = 2cm，
∴EF =(20+2)=11cm；
(3)∠EOF=(∠AOB+∠COD).
理由：∵OE、OF分别平分∠AOC在∠BOD，
∴∠COE=∠AOC,∠DOF=∠BOD，
∴∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF
=∠AOC+∠COD+∠BOD
= (∠AOC+∠BOD)+∠COD
= (∠AOB−∠COD)+∠COD
= (∠AOB+∠COD).
故答案为：∠EOF= (∠AOB+∠COD).
3．(2020·江苏南京·南师附中宿迁分校初一期末)已知直线AB过点O，∠COD＝90°，OE是∠BOC的平分线．
(1)操作发现：①如图1，若∠AOC＝40°，则∠DOE＝
②如图1，若∠AOC＝α，则∠DOE＝ (用含α的代数式表示)
(2)操作探究：将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，②中的结论是否成立？试说明理由．
(3)拓展应用：将图2中的∠COD绕顶点O逆时针旋转到图3的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数，(用含α的代数式表示)
【答案】(1)20°，；(2)成立，理由见详解；(3)180°－．
【解析】解：(1)如图1，∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝40°，
∴∠BOD＝50°，
∴∠BOC＝∠COD＋∠BOD＝90°＋50°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝70°，
∴∠DOE＝∠BOE－∠BOD＝20°，
②如图1，由(1)知：∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝α，
∴∠BOD＝90°﹣α，
∴∠BOC＝∠COD＋∠BOD＝90°＋90°﹣α＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝90°﹣α，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°﹣α﹣(90°﹣α)＝α，
(2)(1)中的结论还成立，理由是：
如图2，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝∠BOC＝90°﹣α，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣(90°﹣α)＝α；
(3)如图3，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝∠BOC＝90°﹣α，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD＋∠COE＝90°＋(90°﹣α)＝180°﹣α．
4．(2020·全国初一课时练习)如图①②所示，将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起．
(1)若，如图①，请求出的度数；
(2)若，如图②，请求出的度数；
(3)猜想：和的关系(请直接写出答案即可)
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)∵，
∴
(2)∵，
∴
∴
(3)∠AOD和∠BOC的关系是：∠AOD+∠BOC=180°．理由如下：
如图①，∠AOD+∠BOC=360°－∠AOB－∠DOC=360°－90°－90°=180°；
如图②，∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠COD=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°．
综上所述：∠AOD+∠BOC=180°．
5．(2020·全国初一课时练习)已知是内部的一条射线，，分别为，上的点，线段，同时分别以，的速度绕点逆时针转动，设转动时间为．
(1)如图(1)，若，，逆时针转动到，处．
①若，的转动时间为2，则________；
②若平分，平分，求的值．
(2)如图(2)，若，当，分别在，内部转动时，请猜想与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①40゜；②60゜；(2)，理由见解析．
【解析】(1)∵线段OM、ON分别以30°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转2s，
∴∠AOM′=2×30°=60°，∠CON′=2×10°=20°，
∴∠BON′=∠BOC-20°，∠COM′=∠AOC-60°，
∴∠BON′+∠COM′=∠BOC-20°+∠AOC-60°=∠AOB-80°，
∵∠AOB=120°，
∴∠BON′+∠COM′=120°-80°=40°；
故答案为：40°；
②∵OM′平分∠AOC，ON′平分∠BOC，
∴∠AOM′=∠COM′=∠AOC，∠BON′=∠CON′=∠BOC，
∴∠COM′+∠CON′=∠AOC+∠BOC=∠AOB=×120°=60°，
即∠MON=60°；
(2)∠COM=3∠BON，理由如下：
设∠BOC=，则∠AOB=4，∠AOC=3，
∵旋转t秒后，∠AOM=30t，∠CON=10t，
∴∠COM=3 -30t=3( -10t)，∠NOB= -10t，
∴∠COM=3∠BON．
6．(2020·全国初一课时练习)一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下.
(发现猜想)(1)如图①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC为∠BOD的角平分线，则∠AOC的度数为 ；.
(探索归纳)(2)如图①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC为∠BOD的角平分线. 猜想∠AOC的度数(用含m、n的代数式表示)，并说明理由.
(问题解决)(3)如图②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°.若射线OB绕点O以每秒20°逆时针旋转，射线OC绕点O以每秒10°顺时针旋转，射线OD绕点O每秒30°顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停止运动. 运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？
【答案】(1)85°；(2)∠AOC＝；理由见解析；(3)经过，，4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线.
【解析】(1)85°；
(2)∵∠AOB＝m，∠AOD＝n
∴∠BOD＝n－m
∵OC为∠BOD的角平分线
∴∠BOC＝
∴∠AOC＝+m＝
(3)设经过的时间为x秒，
则∠DOA＝120°－30x；∠COA＝90°－10x；∠BOA＝20°+20x；
①当在x＝之前，OC为OB，OD的角平分线；30－20x＝70－30x，x1＝4(舍)；
②当x在和2之间，OD为OC，OB的角平分线；－30+20x＝100－50x，x2＝；
③当x在2和之间，OB为OC，OD的角平分线；70－30x＝－100+50x，x3＝；
④当x在和4之间，OC为OB，OD的角平分线；－70+30x＝－30+20x，x4＝4.
答：经过，，4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线.
7．(2020·全国初一课时练习)如图①，是直线上的一点，是直角，平分.
(1)若，则的度数为 ；
(2)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
(3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出和的度数之间的关系.
【答案】(1) 15°；(2)∠AOC=2∠DOE；(3)∠AOC=360°﹣2∠DOE
【解析】解：(1)由已知得∠BOC=180°﹣∠AOC=150°，
又∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠DOE=∠COD﹣∠BOC=90°﹣×150°=15°；
(2)∠AOC=2∠DOE；
理由：∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE=90°﹣∠DOE，
则得∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣2∠COE=180°﹣2(90°﹣∠DOE)，
所以得：∠AOC=2∠DOE；
(3)∠AOC=360°﹣2∠DOE；
理由：∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=2∠COE，
则得∠AOC=180°﹣∠BOE=180°﹣2∠COE=180°﹣2(∠DOE﹣90°)，
所以得：∠AOC=360°﹣2∠DOE
8．(2020·全国初一课时练习)如图，以直线上一点为端点作射线，使，在同一个平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点处.(注：)
(1)如图1，如果直角三角板的一边放在射线上，那么的度数为______；
(2)如图2，将直角三角板绕点按顺时针方向转动到某个位置，如果恰好平分，求的度数；
(3)如图3，将直角三角板绕点任意转动，如果始终在的内部，请直接用等式表示和之间的数量关系.
【答案】(1)；(2)；(3)或.
【解析】解：(1)∵，
∴
故答案为：
(2)∵平分，，
∴，
∵，
∴．
(3)∵，
∴
∴或．
故答案为：或．
9．(2020·全国初一课时练习)如图，射线，，，分别表示以点为中心的北，东，南，西四个方向，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向．
(1)画出射线，若与互余，请在图(1)或备用图中画出；
(2)若是的平分线，直接写出的度数．(不需要计算过程)
【答案】(1)见解析；(2)或．
【解析】(1)如图所示，与即为所求．
(2)的度数为或．
∵∠AON=45°，∠BON=30°，
∴∠AOB=75°，
∵∠BOC与∠AOB互余，
∴∠BOC=∠BOC′=15°，
∴∠AOC=90°，∠AOC=60°，
∵OP是∠AOC的角平分线，
∴∠AOP=45°或30°．
10．(2017·河南平舆·初一期末)如图，已知同一平面内，．
(1)问题发现：的余角是_____，的度数是_____；
(2)拓展探究：若平分，平分，则的度数是_____．
(3)类比延伸：在(2)的条件下，如果将题目中的改为；改为，其他条件不变，你能求出吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【答案】(1)∠AOD，150°；(2)45°；(3)=
【解析】(1)∵，
∴∠BOD+∠AOD=90°，
∴的余角是∠AOD，
∵，,
∴=∠AOB+∠AOC=150°，
故答案为：∠AOD，150°；
(2)由(1)知=150°，
∵平分，
∴∠COD=75°，
∵平分，
∴∠COE=30°，
∴=∠COD-∠COE=45°，
故答案为：45°；
(3)能求出的度数，
∵， ，
∴∠BOC=
∵平分，，
∴∠COD=，
∵平分，
∴∠COE=，
∴=∠COD-∠COE=.
11．(2019·沈阳市第七中学初一期中)数学课上小明用一副三角板进行如下操作：把一副三角板中两个直角的顶点重合，一个三角板固定不动，另一个三角板绕着重合的顶点旋转(两个三角板始终有重合部分)．
(1)当旋转到如图所示的位置时，量出∠α＝25°，通过计算得出∠AOD＝∠BOC＝ ；
(2)通过几次操作小明发现，∠α≠25°时．∠AOD＝∠BOC仍然成立，请你帮他完成下面的说理过程．
理由：因为∠AOC＝∠BOD＝ ；
所以，根据等式的基本性质∠ ﹣∠COD＝∠BOD﹣∠ ；
即∠AOD＝∠ ．
(3)小莹还发现在旋转过程中∠AOB和∠DOC之间存在一个不变的数量关系，请你用等式表示这个数量关系 ．
【答案】(1)65°；(2)90°，AOC，COD，BOC；(3)∠AOB+∠COD＝180°．
【解析】解：(1)∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOD＝∠BOC＝90°﹣α＝90°﹣25°＝65°；
(2)因为∠AOC＝∠BOD＝90°，
所以，根据等式的基本性质∠AOC﹣∠COD＝∠BOD﹣∠COD，
即∠AOD＝∠BOC；
(3)∵∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝90°﹣∠AOD，∠AOB＝∠BOD+∠AOD＝90°+∠AOD，
∴∠AOB+∠COD＝90°+∠AOD+90°﹣∠AOD＝180°．
故答案为：(1)65°；(2)90°，AOC，COD，BOC；(3)∠AOB+∠COD＝180°．
12．(2020·辽宁望花·初一期末)已知点O为直线AB上的一点，∠BOC＝∠DOE＝90°
(1)如图1，当射线OC、射线OD在直线AB的两侧时，请回答结论并说明理由；
①∠COD和∠BOE相等吗？
②∠BOD和∠COE有什么关系？
(2)如图2，当射线OC、射线OD在直线AB的同侧时，请直接回答；
①∠COD和∠BOE相等吗？
②第(1)题中的∠BOD和∠COE的关系还成立吗？
【答案】(1)①∠COD＝∠BOE，理由见解析；②∠BOD+∠COE＝180°，理由见解析；(2)①∠COD＝∠BOE，②成立
【解析】解：(1)①∠COD＝∠BOE，理由如下：
∵∠BOC＝∠DOE＝90°，
∴∠BOC+∠BOD＝∠DOE+∠BOD，
即∠COD＝∠BOE，
②∠BOD+∠COE＝180°，理由如下：
∵∠DOE＝90°，∠AOE+∠DOE+∠BOD＝∠AOB＝180°，
∴∠BOD+∠AOE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝∠BOD+∠AOE+∠AOC＝90°+90°＝180°，
(2)①∠COD＝∠BOE，
∵∠COD+∠BOD＝∠BOC＝90°＝∠DOE＝∠BOD+∠BOE，
∴∠COD＝∠BOE，
②∠BOD+∠COE＝180°，
∵∠DOE＝90°＝∠BOC，
∴∠COD+∠BOD＝∠BOE+∠BOD＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝∠BOD+∠COD+∠BOE+∠BOD＝∠BOC+∠DOE＝90°+90°＝180°，
因此(1)中的∠BOD和∠COE的关系仍成立．
13．(2020·河北承德·初一期末)如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为反余角，其中一个角叫做另一个角的反余角，例如，，，，则和互为反余角，其中是的反余角，也是的反余角．
如图为直线AB上一点，于点O，于点O，则的反余角是______，的反余角是______；
若一个角的反余角等于它的补角的，求这个角．
如图2，O为直线AB上一点，，将绕着点O以每秒角的速度逆时针旋转得，同时射线OP从射线OA的位置出发绕点O以每秒角的速度逆时针旋转，当射线OP与射线OB重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t秒，求当t为何值时，与互为反余角图中所指的角均为小于平角的角．
【答案】(1)的反余角是，的反余角是(2)或者(3)当t为40或者10时，与互为反余角
【解析】的反余角是，的反余角是；
设这个角为，则补角为，反余角为或者
：当反余角为时
解得：
：当反余角为时
解得：
答：这个角为或者
设当旋转时间为t时，与互为反余角．
射线OP从射线OA的位置出发绕点O以每秒角的速度逆时针旋转，当射线OP与射线OB重合时旋转同时停止，
此时：
．
解得：或者
答：当t为40或者10时，与互为反余角．
15．(2020·河北乐亭·初一期末)直线上有一点，过作射线，嘉琪将一直角三角板的直角顶点与重合．
(1)嘉琪把三角板如图1放置，若，则 ， ；
(2)嘉琪将直角三角板绕点顺时针旋转一定角度后如图2，使平分，且，求的度数．
【答案】(1)30°，120°；(2)∠BOE=72° ．
【解析】(1) ∵，，
∴，
，
故答案为：30°，120°；
(2)∵∠COF=2∠AOC，
∴∠AOF=∠COF＋∠AOC
=2∠AOC＋∠AOC
=3∠AOC ，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=3∠AOC，
∵∠COE=90°，
∴5∠AOC=90°，
∴∠AOC=18°，
∴∠AOE=6∠AOC =6×18°=108°，
∴∠BOE=180°－∠AOE=180°－108°=72° ．
相关试卷
人教版七年级上册4.2 直线、射线、线段优秀练习题： 这是一份人教版七年级上册4.2 直线、射线、线段优秀练习题，文件包含第04章重点突破训练与线段和角有关的证明与计算-2022-2023七年级上册同步讲练解析版人教版docx、第04章重点突破训练与线段和角有关的证明与计算-2022-2023七年级上册同步讲练原卷版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共76页， 欢迎下载使用。
初中数学北师大版七年级上册第四章 基本平面图形综合与测试同步训练题： 这是一份初中数学北师大版七年级上册第四章 基本平面图形综合与测试同步训练题，文件包含第四章重点突破训练与线段和角有关的证明与计算-简单数学之2021-2022七年级上册同步讲练解析版北师大版docx、第四章重点突破训练与线段和角有关的证明与计算-简单数学之2021-2022七年级上册同步讲练原卷版北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共76页， 欢迎下载使用。
初中人教版第四章 几何图形初步4.2 直线、射线、线段课时练习： 这是一份初中人教版第四章 几何图形初步4.2 直线、射线、线段课时练习，共21页。试卷主要包含了观察表格，观察图形找出规律，并解答问题，观察思考等内容，欢迎下载使用。
