2021学年4.4 对数函数随堂练习题

这是一份2021学年4.4 对数函数随堂练习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高中数学新课程必修第一册《4.4对数函数》基础测试及答案解析一、选择题1．下列函数是对数函数的是（    ）A．y＝2＋log3xB．y＝loga（2a）（a＞0，且a≠1）C．y＝logax2（a＞0，且a≠1）D．y＝lnx解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，A，B，C全错，D正确．答案：D2．若某对数函数的图象过点（4，2），则该对数函数的解析式为（    ）A．y＝log2xB．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4xD．不确定解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝logax（a＞0，且a≠1，x＞0），则2＝loga4即a2＝4得a＝2．故所求解析式为y＝log2x．答案：A3．函数y＝loga（x－1）（0＜a＜1）的图象大致是（    ）解析：∵0＜a＜1，∴y＝logax在（0，＋∞）上单调递减，故A，B可能正确；又函数y＝loga（x－1）的图象是由y＝logax的图象向右平移一个单位得到，故A正确．答案：A4．函数y＝ln（1－x）的定义域为（    ）A．（0，1）B．[0，1）C．（0，1]D．[0，1]解析：由题意，得解得0≤x＜1；故函数y＝ln（1－x）的定义域为[0，1）．答案：B5．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（1－x）的定义域为B，则A∩B＝（    ）A．（1，2）B．（1，2]C．（－2，1）D．[－2，1）解析：由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，故A∩B＝{x|－2≤x＜1}．答案：D6．12．(多选)函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，那么(　　)A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值C．f(x)在定义域内是偶函数D．f(x)的图象关于直线x＝1对称解析：选AD.由|x－1|>0得，函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}．设g(x)＝|x－1|＝则g(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，且g(x)的图象关于x＝1对称，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，D正确．由上述分析知f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，A正确，B错误．又f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，所以C错误，故选AD.7.设a＝log0.50.9，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系为（    ）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．a＜c＜b解析：因为0＝log0.51＜a＝log0.50.9＜log0.50.5＝1，b＝log1.10.9＜log1.11＝0，c＝1.10.9＞1.10＝1，所以b＜a＜c，故选B．答案：B8．若loga＜1（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范围是（    ）A．B．∪（1，＋∞）C．（1，＋∞）D．（0，1）解析：当a＞1时，loga＜0＜1，成立．当0＜a＜1时，y＝logax为减函数．由loga＜1＝logaa，得0＜a＜．综上所述，0＜a＜或a＞1．答案：B9．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有（    ）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y2＞y3＞y1解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象（图略），在区间（2，4）内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2＞y1＞y3．答案：B10．函数y＝log0．4（－x2＋3x＋4）的值域是（    ）A．（0，2]B．[－2，＋∞）C．（－∞，－2]D．[2，＋∞）解析：－x2＋3x＋4＝－2＋≤，又－x2＋3x＋4＞0，则0＜－x2＋3x＋4≤，函数y＝log0．4x为（0，＋∞）上的减函数，则y＝log0．4（－x2＋3x＋4）≥log0．4＝－2，函数的值域为[－2，＋∞）．答案：B二、填空题11．若f（x）＝logax＋（a2－4a－5）是对数函数，则a＝________．解析：由对数函数的定义可知，∴a＝5．答案：512.如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________．解析：由题干图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1，0＜d＜1．过点（0，1）作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c．答案：b＞a＞1＞d＞c13.已知函数y＝loga（x＋3）－1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A也在函数f（x）＝3x＋b的图象上，则f（log32）＝________．解析：依题意可知定点A（－2，－1），f（－2）＝3－2＋b＝－1，b＝－，故f（x）＝3x－，f（log32）＝3－＝2－＝．答案：14．若f（x）＝log2x，x∈[2，3]，则函数f（x）的值域为________．解析：因为f（x）＝log2x在[2，3]上是单调递增的，所以log22≤log2x≤log23，即1≤log2x≤log23．答案：[1，log23]15.已知log0.72x＜log0．7（x－1），则x的取值范围为________；∵函数y＝log0.7x在（0，＋∞）上为减函数，∴由log0.72x＜log0.7（x－1）得解得x＞1，即x的取值范围是（1，＋∞）．答案：（1，＋∞）16．函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在[2，3]上的最大值为1，则a＝________．解析：当a＞1时，f（x）的最大值是f（3）＝1，则loga3＝1，∴a＝3＞1．∴a＝3符合题意．当0＜a＜1时，f（x）的最大值是f（2）＝1．则loga2＝1，∴a＝2＞1．∴a＝2不合题意，综上知a＝3．答案：317．已知函数f（x）＝log2为奇函数，则实数a的值为________．解析：由奇函数得f（x）＝－f（－x），log2＝－log2，＝，a2＝1，因为a≠－1，所以a＝1．答案：118．如果函数f（x）＝（3－a）x与g（x）＝logax的增减性相同，则实数a的取值范围是________．解析：若f（x），g（x）均为增函数，则则1＜a＜2；若f（x），g（x）均为减函数，则无解．答案：（1，2）三、解答题19．求下列函数的定义域：（1）y＝log3（1－x）；（2）y＝；（3）y＝log7．解析：（1）由1－x＞0，得x＜1，∴函数y＝log3（1－x）的定义域为（－∞，1）．（2）由log2x≠0，得x＞0且x≠1．∴函数y＝的定义域为{x|x＞0且x≠1}．（3）由＞0，得x＜．∴函数y＝log7的定义域为．20．已知f（x）＝log3x．（1）作出这个函数的图象；（2）若f（a）＜f（2），利用图象求a的取值范围．解析：（1）作出函数y＝log3x的图象如图所示（2）令f（x）＝f（2），即log3x＝log32，解得x＝2．由图象知，当0＜a＜2时，恒有f（a）＜f（2）．∴所求a的取值范围为0＜a＜2．21.已知loga（x－1）≥loga（3－x）（a＞0，且a≠1），求x的取值范围．解析：（loga（x－1）≥loga（3－x），当a＞1时，有解得2≤x＜3．当0＜a＜1时，有解得1＜x≤2．综上可得，当a＞1时，不等式loga（x－1）≥loga（3－x）中x的取值范围为[2，3）；当0＜a＜1时，不等式loga（x－1）≥loga（3－x）（a＞0且a≠1）中x的取值范围是（1，2]．22．比较下列各组对数值的大小：（1）log1.6与log2.9；（2）log21.7与log23.5；（3）log3与log3；（4）log0.3与log20.8．解析：（1）∵y＝logx在（0，＋∞）上单调递减，1.6＜2.9，∴log1.6＞log2.9．（2）∵y＝log2x在（0，＋∞）上单调递增，而1.7＜3.5，∴log21.7＜log23.5．（3）借助y＝logx及y＝logx的图象，如图所示．在（1，＋∞）上，前者在后者的下方，∴log3＜log3．（4）由对数函数性质知，log0.3＞0，log20.8＜0，∴log0.3＞log20.8．23.已知函数f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0且a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的最小值为－2，求实数a的值．解析：（1）由题意得解得－1＜x＜3，所以函数f（x）的定义域为（－1，3）．（2）因为f（x）＝loga[（1＋x）（3－x）]＝loga（－x2＋2x＋3）＝loga[－(x－1)2＋4]，若0＜a＜1，则当x＝1时，f（x）有最小值loga4，所以loga4＝－2，a－2＝4，又0＜a＜1，所以a＝．若a＞1，则当x＝1时，f（x）有最大值loga4，f（x）无最小值．综上可知，a＝．24．已知a＞0且a≠1，f（logax）＝．（1）求f（x）；（2）判断f（x）的单调性和奇偶性；（3）对于f（x），当x∈（－1，1）时，有f（1－m）＋f（1－2m）＜0，求m的取值范围．解析：（1）令t＝logax（t∈R），则x＝at，且f（t）＝，所以f（x）＝（ax－a－x）（x∈R）；（2）因为f（－x）＝（a－x－ax）＝－f（x），且x∈R，所以f（x）为奇函数．当a＞1时，ax－a－x为增函数，并且注意到＞0，所以这时f（x）为增函数；当0＜a＜1时，类似可证f（x）为增函数．所以f（x）在R上为增函数；（3）因为f（1－m）＋f（1－2m）＜0，且f（x）为奇函数，所以f（1－m）＜f（2m－1）．因为f（x）在（－1，1）上为增函数，所以解之，得＜m＜1．即m的取值范围是．