专题二导数与函数单调性

这是一份专题二导数与函数单调性，共8页。试卷主要包含了已知函数.讨论的单调区间；，已知函数.讨论函数的单调性；等内容，欢迎下载使用。
专题二       导数与函数单调性例题1．已知函数.（1）求函数在内的单调递增区间；解：由题意知，，，所以当时，解得，即在的单调递增区间是，巩固1．已知函数求单调增区间；解： 令，解得，所以单调增区间为.例题2．已知函数.讨论的单调区间；解：（1）由题意，函数，可得的定义域为，且.由，即，解得，由，即，解得，故的单调递增区间为，单调递减区间为.巩固2．已知函数.若，当时，讨论的单调性；解：因为所以函数的定义域为.由，得，则，当时，，函数在上单调递减；当时，或，，所以在，上单调递减，在上单调递增；当时，或，，所以在，上单调递减，在上单调递增.巩固3．已知函数.讨论函数的单调性；解：.若，由，得；由得；由得，所以在上单调递减，在上单调递增；若，由，得或.当时，由，得；由，得或，所以在上单调递减，在，上单调递增；当时，在上恒成立，所以在上单调递增；当时，由，得；由，得或，所以在上单调递减，在，上单调递增.巩固4．已知函数，其中.求函数的单调区间；解：函数定义域为，且，，令，判别式，当，即时，恒成立，所以，∴在上单调递减；当，时，由，解得，，若，则，∴时，，单调递减；时，，单调递增；时，，单调递减；若，则，∴时，，单调递减；时，，单调递增；综上所述：时，的单调递减区间为，单调递增区间为；时，的单调递减区间为，，单调递增区间为；时，的单调递减区间为.【素养提升】1.已知函数,.（1）若,求函数的单调减区间；（2）若关于x的不等式恒成立,求实数a的范围.【分析】（1）求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函的递减区间即可；（2）问题等价于在x∈（0,+∞）上恒成立,令,根据函数的单调性求出a的范围即可．【解析】（1）f'（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（3x﹣a）（x+a）由f'（x）＜0且a＜0得：∴函数f（x）的单调减区间为（2）依题意x∈（0,+∞）时,不等式2xlnx≤f'（x）+a2+1恒成立,等价于在x∈（0,+∞）上恒成立． 令则 当x∈（0,1）时,h'（x）＞0,h（x）单调递增当x∈（1,+∞）时,h'（x）＜0,h（x）单调递减∴当x＝1时,h（x）取得最大值h（1）＝﹣2故a≥﹣2.2.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若对,,求实数的取值范围.【解析】（1）由题意知,的定义域为,由,得.①当时,令,可得,,得,故函数的增区间为,减区间为；②当时,,令,可得,,得或,故的增区间为,减区间为、；③当时,,故函数的减区间为；④当时,,令,可得,,得,或,故的增区间为,减区间为,.综上所述：当时,在上为减函数,在上为增函数；当时,在,上为减函数,在上为增函数；当时,在为减函数；当时,在,上为减函数,在上为增函数.（2）由（1）可知：①当时,,此时；②当时,,当时,有,,可得,不符合题意；③当时,,由函数的单调性可知,当时,不符合题意；④当时,,由函数的单调性可知,当时,不符合题意.综上可知,所求实数的取值范围为.3.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时,讨论函数的零点个数.【分析】（1）讨论a的范围,得出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集,得出f（x）的单调性；（2）求出f（x）的极大值,判断极大值小于0,根据f（x）的单调性得出f（x）的零点个数．【解析】（1）,令,其对称轴为,令,则.当时,,所以在上单调递增；当时,对称轴为,若,即,恒成立,所以,所以在上单调递增；若时,设的两根,,当时,,所以,所以在上单调递增,当时,,所以,所以在上单调递减,当时,,所以,所以在上单调递增,综上所述：当时, 在上单调递增；若时, 在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增； （2）当时,由（1）知在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,下面研究的极大值,又,所以,令,则（）,可得在上单调递增,在上单调递减,且的极大值,所以,所以,当时, 单调递增,所以当时, 在上单调递减,所以当时, 单调递增,且,,所以存在,使得,又当时, 单调递增,所以只有一个零点,综上所述,当时,在上只有一个零点.4.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）比较 与的大小且,并证明你的结论.【解析】（1）函数可化为,当时,,从而在上总是递减的,当时,,此时要考虑与1的大小.若,则,故在上递增,若,则当时,,当时,,故在上递减,在上递增,而在处连续,所以当时,在上递减,在上递增；当时,在上递减,在上递增.（2）由（1）可知当,时,,即,所以.所以.5. 已知函数.(1)求的单调区间；(2)若,,求实数的取值范围．【解析】（1）,                令,得到,.  令,得,所以在单调递增,                                                    令,得或,所以在,单调递减.                         （2）由（1）知,,                         当时,,因为,且,由（1）可知,在单调递增,此时若,,与时,矛盾.                       当时,,,由（1）可知,在单调递减,因此对, ,此时结论成立.                                                综上,的取值范围为