专题三导数与函数极值、最值

这是一份专题三导数与函数极值、最值，共9页。试卷主要包含了已知函数.求函数的极值.，已知函数在处取得极值7，已知函数.，已知函数，若在处取得极值.等内容，欢迎下载使用。
专题三       导数与函数极值、最值例题1．已知函数.求函数的极值.解:∵又，由得或，当和时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数，由的单调性知函数的极小值为，极大值为.例题2．已知函数在处取得极值7．（1）求的值；（2）求函数在区间上的最大值解:（1）因为，所以，又函数在处取得极值7，，解得；，所以，由得或；由得；满足题意；（2）又，由（1）得在上单调递增，在上单调递减，因此．例题3．已知函数.（1）讨论函数的单调性.（2）若，当时，求的最小值.解：（1）因为，所以. 令，解得或.①当时，恒成立，所以函数在上单调递增；②当时，令得或，令得，即函数在，上单调递增，在上单调递减；③当时，令得或，令得，即函数在，上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）知时，在上单调递减，在上单调递增；①当，即时，在上单调递减，，②当，即时，在在上单调递减，在上单调递增，所以.巩固1．已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）求在上的最小值．解：（1）的定义域为，当时，当时，，则的单调递增区间为；当时，，则的单调递减区间为.（2）当时，在上单调递减，此时，当时，在上单调递增，此时，当时，若，则单调递减；若，则单调递增此时，．综上所述：巩固2．已知函数.（1）若是的极值点，求的单调区间；（2）求在区间上的最小值.解：（1）的定义域为，.因为是的极值点，所以，解得，所以，当时，；当时，，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2），则，令，得或.①当，即时，在上为增函数，；②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以；③当，即时，在上为减函数，所以.综上所述，.【素养提升】 1.已知函数，曲线在点处的切线方程为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的极大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由，得．由曲线在点处的切线方程为，得，，解得．（Ⅱ），．，解得；，解得；所以函数的增区间：；减区间：，时，函数取得极大值，函数的极大值为．2.已知函数.（1）若是函数的极值点，试求实数的值并求函数的单调区间；（2）若恒成立，试求实数的取值范围.【答案】（1）1, 函数的单调减区间为函数的单调增区间为；（2）.【解析】（1）函数的定义域为又，由题意，，当时，令得，令得，所以函数的单调减区间为函数的单调增区间为，此时函数取极小值故符合题意；（2）由恒成立得恒成立，又定义域为，所以恒成立即，令则，令得所以函数在上单调增，在单调减，函数，所以.3.已知函数.（Ⅰ）当曲线在时的切线与直线平行，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）求函数的极值，并求当有极大值且极大值为正数时，实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ），由，得.当时，，，曲线在处的切线方程为，即.（Ⅱ）.（1）当时，，所以，在递减，无极值.（2）当时，由得.随的变化、的变化情况如下：+0-极大值故有极大值，无极小值；，由，∵，∴.所以，当的极大值为正数时，实数的取值范围为.4．（2019·福建）已知函数，若在处取得极值.（Ⅰ）求实数的值及的单调区间；（Ⅱ）若方程有且只有一个根，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）单调递增区间为和，单调递减区间为；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）  由已知， 经检验符合题意 令得或 当变化时，的变化如下表：↗极大值↘极小值↗由上表知，的单调递增区间为和，单调递减区间为.（Ⅱ）由(Ⅰ)知的极大值为，的极小值为， 要使方程有且只有一个根，等价于或，所以实数的取值范围是5（2019·北京）已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在区间上存在极值点，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ） 当时，，.所以，                                  所以 ，，曲线在点处的切线方程为，整理得                                     （Ⅱ）因为，.所以，                       依题意，在区间上存在变号零点.               因为，设，所以在区间上存在变号零点.   因为，                                 所以，当时，，，所以，即，所以在区间上为单调递增函数，                 依题意，      即                  解得  .                                    所以，若在区间上存在极值点，的取值范围是.6.已知时，函数有极值.（1）求实数的值；（2）若方程恰有个实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以．又因为当时，的极值为，所以，解得 .（2）由（1）可得，则，令，得x＝±1，当或时，单调递增，当时，，单调递减；所以当时取得极大值，，当时取得极小值，，大致图象如图所示：要使方程恰有1个解，只需或．故实数的取值范围为.