专题五导数与函数零点

这是一份专题五导数与函数零点，共13页。试卷主要包含了导数研究函数图象交点及零点问题，已知函数．，设函数等内容，欢迎下载使用。
专题五       导数与函数零点1.确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．2.导数研究函数图象交点及零点问题 利用导数来探讨函数的图象与函数的图象的交点问题，有以下几个步骤：①构造函数；②求导；③研究函数的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）；④画出函数的草图，观察与轴的交点情况，列不等式；⑤解不等式得解.探讨函数的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解. 例题1．函数.（1）讨论函数的极值；（2）当时，求函数的零点个数.解：（1）由题意，函数，可得，当时，，在上为单调增函数，此时无极值；当时，令，解得，所以在上为单调增函数，令，解得，在上为单调减函数，所以当时，函数取得极小值，无极大值.综上所述：当时，无极值，当时，，无极大值.（2）由（1）知当时，在上为单调增函数，在上为单调减函数，且，又由，若时，；若时，；当，即时，无零点；当，即时，有1个零点；当，即时，有2个零点.综上：当时，无零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点.例题2．已知函数。（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）若函数f(x)有三个零点，求实数的取值范围.解：(1)，则f′(x)＝3x2＋2x－1，由f′(x)>0，得x<－1或x>，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和.（2）由（1）知，在取得极大值，在取得极小值函数f(x)有三个零点，解得实数的取值范围.例题3．已知.（1）当时，求的单调区间（2）若f(x)存在3个零点，求实数a的取值范围.解：（1）当时，由，得，由，得，所以在单调递减，在上单调递增（2）由函数，可得有一个零点，要使得有3个零点，即方程有2个实数根，又由方程，可化为，令，即函数与图象 有两个交点，令，得，的单调性如表：1－－0＋＋↘↘极小值↗↗所以函数在处取得极小值2e，当时，，又，的大致图象如图，由函数与图象有两个交点，根据图象可得所以要使得有3个零点，则实数的取值范围为例题4．已知函数.（1）若，求曲线的斜率等于3的切线方程；（2）若在区间上恰有两个零点，求a的取值范围.解：由已知函数定义域是，（1），，由解得（舍去），又，所以切线方程为，即；（2），易知只有一个极值点，要使得有两个零点，则，即，此时在上，递减，在上，递增，在时取得极小值，所以解得．综上的范围是．例题5．已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若在上有两个零点，求的取值范围.解：（1）当时，，则.令，得，所以函数在上单调递增；令，得，所以函数在上单调递减.故当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）当时，没有零点，则不符合题意.当时，令，得.设，则.由，得；由，得.则在上单调递减，在上单调递增，故.因为，所以，解得.故的取值范围为.例题6．已知函数，（1）若，的极大值是，求a的值；（2）若，在上存在唯一零点，求b的值．解：（1）若，则的定义域为，．若，，在定义域内单调递增，无极大值；若，，单调递增；，单调递减．时，取得极大值，．（2）若，则，令，得，当时，有唯一解，即，当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．又因为有且只有1个零点，所以．即．因为，，整理可得故．【素养提升】1．（2019·河南高考模拟（理））已知单调函数的定义域为，对于定义域内任意，，则函数的零点所在的区间为（       ）A． B． C． D．【答案】C根据题意，对任意的，都有，又由是定义在上的单调函数，则为定值，设，则，又由，∴，所以，所以，所以，因为，所以零点所在的区间为（3，4）.2. （2019·湖北高三月考（理））若点在函数的图象上，则的零点为（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】D根据题意，点在函数的图象上，则，变形可得：，则若，则，即的零点为，故选：D．3．（2019·北京高考模拟（理））已知函数，若函数存在零点，则实数a的取值范围是（       ）A．B．C． D．【答案】D函数f（x）=，函数的图象如图：函数f（x）存在零点，则实数a的取值范围是：（0，+∞）．故选：D．4. （2019·辽宁高考模拟（文））已知函数（表示不超过实数的最大整数），若函数的零点为，则（   ）A． B．-2 C． D．【答案】B【解析】因为，所以在上恒成立，即函数在上单调递增；又，所以在上必然存在零点，即，因此，所以.故选B5 .已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3(a为实数)，若方程g(x)＝2f(x)在区间上有两个不等实根，求实数a的取值范围．【解析】　由g(x)＝2f(x)，可得2xln x＝－x2＋ax－3，a＝x＋2ln x＋，设h(x)＝x＋2ln x＋(x>0)，所以h′(x)＝1＋－＝.所以x在上变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x1(1，e)h′(x)－0＋h(x)↘极小值↗又h＝＋3e－2，h(1)＝4，h(e)＝＋e＋2.且h(e)－h＝4－2e＋<0.所以h(x)min＝h(1)＝4，h(x)max＝h＝＋3e－2，所以实数a的取值范围为4<a≤e＋2＋，即a的取值范围为.6．已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求的值.【解析】（1）当时，等价于．设函数，则．当时，，所以在单调递减．而，故当时，，即．（2）设函数．在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．（i）当时，，没有零点；（ii）当时，．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．故是在的最小值．①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；③若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时，．7.已知函数．(1)若函数在区间上存在极值，求正实数的取值范围；(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】(1)函数的定义域为，．令，得．当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．所以为的极大值点，所以，故，即正实数的取值范围为．(2)当时，恒成立，令则．令，则，所以，所以，所以为上的增函数，所以，故．故实数的取值范围为．8．（2019·吉林期末）已知函数.（1）若，求的零点个数；（2）若，，证明：，.【解析】（1）解：因为，所以.令，得或；令，得，所以在，上单调递增，在上单调递减，而，，，所以的零点个数为1.（2）证明：因为，从而.又因为，所以要证，恒成立，即证，恒成立，即证，恒成立.设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以.设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以，所以，所以，恒成立，即，.9.（2019·吉林东北师大附中高考模拟）设函数.（1）讨论函数的单调性.（2）若，求证：函数在上有唯一零点.【解析】（1）解：因为，所以.令，得或；令，得，所以在，上单调递增，在上单调递减，而，，，所以的零点个数为1.（2）证明：因为，从而.又因为，所以要证，恒成立，即证，恒成立，即证，恒成立.设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以.设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以，所以，所以，恒成立，即，.