专题七导数与隐零点问题

这是一份专题七导数与隐零点问题，共7页。试卷主要包含了已知函数在上有两个极值点，，且，已知函数等内容，欢迎下载使用。
专题七       导数与隐零点问题例题1．已知函数在上有两个极值点，，且．（1）求实数的取值范围；（2）证明：当 时，．（1）解：，，由题意知方程在上有两不等实根，设，其图象的对称轴为直线，故有，解得．（2）证明：由题意知是方程的大根，从而，，由于，，．设，，，，在，递增，，即成立．巩固1．已知函数，证明．解：在上单调递增，，，在存在唯一实数根，且，当时，，，时，，当时，函数取得最小值，，即，，．例题2.设函数．（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若，为整数，且当时，，求的最大值．解：（Ⅰ），，，，，函数的图象在点处的切线方程为．（Ⅱ），．若，则恒成立，所以，在区间上单调递增．若，则当时，，当时，，所以，在区间上单调递减，在上单调递增．由于，所以，．故当时，．①令，则．函数在上单调递增，而（1），（2）．所以在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点．设此零点为，则．当时，；当时，；所以，在上的最小值为．由，可得，所以，，．由于①式等价于．故整数的最大值为2．巩固2.已知函数f(x)＝ax＋xln x(a∈R).  (1)若函数f(x)在区间[e，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；  (2)当a＝1且k∈Z时，不等式k(x－1)<f(x)在x∈(1，＋∞)上恒成立，求k的最大值. 巩固3．已知函数（Ⅰ）若是的极值点，求的值，并讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明：．解：（Ⅰ）由函数的定义域，因为，是的极值点，所以（1），所以，所以，因为和，在上单调递增，所以在上单调递增，当时，；时，，此时，的单调递减区间为，单调递增区间为，（Ⅱ）证明：当时，，设，则，因为和，在上单调递增，所以在上单调递增，因为（1），（2），所以存在使得，所以在上使得，在，上，所以在单调递减，在，上单调递增，所以，因为，即，所以，所以，因为，所以，所以．【素养提升】1.设函数f(x)＝－x2＋ax＋ln x(a∈R)．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在上有两个零点，求实数a的取值范围．【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f′(x)＝－2x－1＋＝，令f′(x)＝0，得x＝(负值舍去)，当0<x<时，f′(x)>0；当x>时，f′(x)<0.∴f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)令f(x)＝－x2＋ax＋ln x＝0，得a＝x－.令g(x)＝x－，其中x∈，则g′(x)＝1－＝，令g′(x)＝0，得x＝1，当≤x<1时，g′(x)<0；当1<x≤3时，g′(x)>0，∴g(x)的单调递减区间为，单调递增区间为(1,3]，∴g(x)min＝g(1)＝1，∵函数f(x)在上有两个零点，g＝3ln 3＋，g(3)＝3－，3ln 3＋>3－，∴实数a的取值范围是.2.设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是____.【答案】【解析】函数有三个零点等价于与有三个不同的交点当时，，则在上单调递减，在上单调递增且，，从而可得图象如下图所示：通过图象可知，若与有三个不同的交点，则本题正确结果：3.（2019·辽宁高考模拟（文））已知函数（表示不超过实数的最大整数），若函数的零点为，则（   ）A． B．-2 C． D．【答案】B【解析】因为，所以在上恒成立，即函数在上单调递增；又，所以在上必然存在零点，即，因此，所以.故选B4 .已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3(a为实数)，若方程g(x)＝2f(x)在区间上有两个不等实根，求实数a的取值范围．【解析】　由g(x)＝2f(x)，可得2xln x＝－x2＋ax－3，a＝x＋2ln x＋，设h(x)＝x＋2ln x＋(x>0)，所以h′(x)＝1＋－＝.所以x在上变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x1(1，e)h′(x)－0＋h(x)↘极小值↗又h＝＋3e－2，h(1)＝4，h(e)＝＋e＋2.且h(e)－h＝4－2e＋<0.所以h(x)min＝h(1)＝4，h(x)max＝h＝＋3e－2，所以实数a的取值范围为4<a≤e＋2＋，即a的取值范围为.