专题八 导数与不等式证明

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专题八       导数与不等式证明例题1．已知函数，若在处的切线方程为.（1）求a，b；（2）证明：任取，.解：（1）因为， 所以，，，解得，.（2）由（1）知，当时，，故成立；当时，令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，，故任取，.例题2．已知函数曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）证明：当且时，.解：（1）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，.（2）由（1）知f(x)=所以考虑函数则h′(x)=所以x≠1时h′(x)＜0而h(1)=0,故x时h(x)>0可得,x h(x)<0可得,从而当，且时，.例题3．已知函数.证明：.证明：等价于，因为，所以等价于.等价于.令，则.因为，所以.所以当时，；当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即.所以不等式得证.例题4．设函数证明：当时，.证明：∵ .∴ 要证：，只需证，只需证：. 设，则. 由（1）知在单调递减， 又，∴ ，即是减函数，而. ∴ ，故原不等式成立.例题5．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，证明：.解：（1）由题易知的定义域为，.当时，恒成立，因此在上单调递减；当时，令，得；令，得.故在上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）当时，，不等式即，令，则，令，得.所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以.又当时，，所以，故原不等式得证.例题6.已知函数.证明：.证明：要证，即要证，即证明.令，则.由，解得；由，解得.所以在上单调递减，在上单调递增，.令，则，由，解得；由，解得.所以在上单调递增，在上单调递减，，所以，且等号不同时取得，即成立，所以.例题7．已知函数，．（1）求函数的极大值；（2）求证：；解：（1），则 由，可得 ，，可得所以在上单调递增，在上单调递减.所以当时，有极大值 （2）由（1）可知，为的最大值，即所以，即（当且仅当时等号成立）令，则，取，则，即则，，由上面不等式相加得即即。【素养提升】1.已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）证明：存在正实数，使得.【解析】（1）定义域为，，.当时，，有一个零点.当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减.（2）当时，存在正实数，使得.当时，.由（1）知.由，得，所以.设，当时，，所以在单调递增，所以,即，存在正实数，使得. 2.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）证明：当时，.【解析】（1）当时，，所以，讨论：①当时，，有；②当时，由函数为增函数，有，有；③当时，由函数为增函数，有，有.综上，函数的增区间为，，减区间为.证明：（2）当时，有，所以，所以.令，则.令，有.令，得.分析知，函数的增区间为，减区间为.所以.所以分析知，函数的增区间为，减区间为,所以,故当时，.3.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若，求证： （为自然对数的底数）.【解析】（1），当时， ，函数在单调递增，当时， 时， 时，在单调递增，在单调递减.综上所述，当时， 只有增区间为.当时， 的增区间为，减区间为.（2）等价于.令，而在单调递增，且， .令，即， ，则时， 时，故在单调递减，在单调递增，所以 .即.4.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个零点，求证：．【解析】（1）对函数求导可得，令，得①当时，若则，即若，则，即．②当时，若，则，即若，则，即．综上，的单调递增区间是，单调递减区间是．（2）证明：由（1）知，有两个零点时，∴．令，则∴为方程的两个根．令，则为的两个零点，．∴ 令，则．∴在上单调递增∴∴，即．∵∴当时，单调递增．∵ ∴∴∴。5.设，函数有两个零点、，且．（1）求实数的取值范围；（2）证明：．【解析】（1），所以有两个零点与有两个交点．，由可得，由可得，所以在上递增，在上递减．又因为当时，；当时，；，所以实数的取值范围为．【证明】（2）法1：（化二元为一元）依题意，有，，于是，，所以．，令，则上式等价于，这是与有关的常用不等式，证明如下：构造，，则，于是在上递增，于是，命题获证．法2：（化二元为一元）依题意，有，即，设，则，于是，因此，下同法1．法3：（极值点偏移），令，，则、是函数的两个零点，且，该问题不是极值点偏移问题，因为的极值点不是，需要把改为，问题才转化为极值点偏移问题．，由可得，由可得，所以在上递增，在上递减，于是．构造函数（），则，于是在上递增，于是，即，于是，而，所以．因为，，且在上递减，所以，即，命题获证．