专题九导数与极值点偏移

这是一份专题九导数与极值点偏移，共6页。试卷主要包含了已知函数.，已知函数等内容，欢迎下载使用。
专题九       导数与极值点偏移例题1．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）（2）当时，设函数的两个零点为，，试证明：.解：（1）易得函数的定义域为.对函数求导得：.当时，恒成立，即可知在上单调递增；当时，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，，，此时在上单调递增，在上单调递减.，又，，不妨设，则有，令，，.当时，，单调递增，，，，又，，，，在上单调递减，，即.  例题2．已知函数.（1）求函数的极值；（2）若函数有两个零点，且，证明：.解：（1）函数的定义域为，.当时，，在上是减函数，所以在上无极值；当时，若，，在上是减函数.当，，在上是增函数，故当时，在上的极小值为，无极大值.（2）当时，，由（1）知，在上是减函数，在上是增函数，是极值点，又，为函数零点，所以，要证，只需证.∵ ，又∵，∴，令，则，∴在上是增函数，∴，∴，∴，即得证.例题3．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数的图象与直线交于，两点，记，两点的横坐标分别为，且，证明：.解：（1），时，，在递增，时，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增；（2）函数的的导数，若，则，还是单调递增，则不满足条件，则由得，由得，即当时，还是取得极小值同时也是最小值∵有两个根，∴，即，则，即要证，则只需要又，则只需要证明，即证，令，，则，，即在上单调递减，即则命题成立.例题4．已知函数（1）若存在极值点1，求的值；（2）若存在两个不同的零点，求证：解：(1) ，因为存在极值点为1，所以，即，经检验符合题意，所以.                        (2) ①当时，恒成立，所以在上为增函数，不符合题意；②当时，由得，当时，，所以为增函数，当时，，所为减函数，所以当时，取得极小值又因为存在两个不同零点，所以，即整理得，作关于直线的对称曲线，令所以在上单调递增，不妨设，则，即，又因为且在上为减函数，故，即，又，易知成立，故. 【素养提升】1. 已知函数，正实数满足.证明：.[来源:【解析】由，得从而，令，构造函数，得，可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，也即，解得：.2.已知函数（），曲线在点处的切线与直线垂直.（1）试比较与的大小，并说明理由；（2）若函数有两个不同的零点，证明： .解析：（1）依题意得，所以，又由切线方程可得，即，解得此时， ，令，即，解得；令，即，解得所以的增区间为，减区间为所以，即，， .（2）证明：不妨设因为所以化简得， 可得， .要证明，即证明，也就是因为，所以即证 即，令，则，即证.令（），由故函数在是增函数，所以，即得证.所以.