专题15：双曲线的对称性问题16页

专题15：双曲线的对称性问题

一、单选题

1．已知，是双曲线的左，右焦点，若双曲线右支上一点恰好和点关于双曲线的一条渐近线对称，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

2．已知点P，A，B在双曲线(a＞0，b＞0)上，直线AB过坐标原点，且直线PA，PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

3．过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，则满足的直线可作的条数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．已知，分别为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形的周长为，面积为，且满足，则该双曲线的渐近线方程为

A． B． C． D．

5．过双曲线的左焦点作直线与双曲线交于两点，使得，若这样的直线有且仅有两条，则的取值范围是

A． B． C． D．

6．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点O为双曲线的中心，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则下列结论成立的是( )

A．|OA|＞|OB| B．|OA|＜|OB|

C．|OA|＝|OB| D．|OA|与|OB|大小关系不确定

7．如图，，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若点A为的中点，且，则（    ）

A．4 B． C．6 D．9

8．已知F为双曲线的左焦点，直线l经过点F，若点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B．

C．＋1 D．＋1

9．已知双曲线的一条渐近线方程为，为双曲线上一个动点，，为其左，右焦点，的最小值为，则此双曲线的焦距为（    ）.

A．2 B．4 C． D．

10．过双曲线的一个焦点F作弦，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

11．已知双曲线的左、右两个焦点分别为，直线与C交于两点，轴，垂足为E，直线与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是（    ）

A．四边形为平行四边形 B．

C．直线的斜率为 D．

12．若双曲线：绕其对称中心旋转可得某一函数的图象，则的离心率可以是（    ）

A． B． C． D．2

三、填空题

13．已知点，点是双曲线上的点，点是点关于原点的对称点，则的取值范围是________.

14．若三个点，，中恰有两个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为_______.

15．如图所示，已知双曲线：（，）的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点 为，满足，且，则双曲线的渐近线方程是______.

16．已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，过原点的直线交双曲线于两点，点是双曲线上的点，则______.

参考答案

1．D

【分析】先设出，渐近线方程为，其对称点，再根据题意得和，解得，再代入双曲线方程化简即可得答案.

【解析】 设，渐近线方程为，其对称点 ，

所以有，的中点的坐标为，

因为根据题意得在渐近线上，

所以，

所以解得，

即，代入双曲线方程得：，

化简可得：，即有，所以.

故选：D.

【点评】本题通过双曲线的几何性质，求双曲线的离心率，考查了学生的逻辑推理、直观想象与数学运算等数学核心素养．

2．A

【分析】根据双曲线的对称性可知点关于原点对称，设，，，利用点差法求得，进而得到，根据离心率公式计算即得.

【解析】根据双曲线的对称性可知点关于原点对称，

设，，，

所以,,

两式相减得，即，

因为直线PA，PB的斜率之积为，

所以，

所以双曲线的离心率为

故选:A．

【点评】本题考查双曲线的性质，离心率，点差法，属中档题.

利用点差法可以证得：

（1）点P，A，B在曲线 上，直线过坐标原点，且直线PA，PB的斜率之积.

（2）点P，A，B在双曲线 上，直线过坐标原点，且直线PA，PB的斜率之积.

3．C

【分析】先看当都在右支上时,若垂直轴,根据双曲线方程求得焦点的坐标,把焦点横坐标代入双曲线方程求得交点的纵坐标,进而求得的长等于8,即为垂直于轴的一条;再看若分别在两支先看为两顶点时,不符合题意进而可推断出符合题意的直线有两条,最后综合可得答案.

【解析】 ①若都在右支,若垂直轴, ,所以

则,代入双曲线 ,求得,所以所以的直线有一条,即垂直于轴;

②若分别在两支,,所以顶点距离为所以有两条,关于轴对称.

综上,满足这样的直线l的条数为3条.

故选:C.

【点评】本题主要考查了双曲线的对称性和直线与双曲线的关系,考查了学生分析推理和分类讨论思想的运用.

4．B

【分析】根据双曲线的定义和矩形的面积公式，以及离心率的计算公式，即可求解，得到答案．

【解析】由题意，可得，

联立解得，

又为直径，所以四边形为矩形，

所以，即，即，

由，得，即，

即，所以，所以双曲线的渐近线的方程为，

故选B．

【点评】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．

5．D

【解析】双曲线的实轴长为，要使这样的直线有两条，第一种情况是：当直线与左右两支相交于两点时，只需，此时直线若和左支相交，必有两条直线符合题意.当时，直线与两支都相交时，存在两条直线符合题意，此时需要当直线仅与左支相交时，最短的弦长大于，即，.综上，选.

点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查圆锥曲线的通径长度.过焦点且垂直于椭圆或双曲线的直线和它们有两个交点，此时弦长为，这叫做通径.若过双曲线交点的直线和左支相交于两点，则最短弦长为通径长.根据题意，分别考虑直线和左支或者左右两支相交的弦长情况，即可求解出来.

6．C

【解析】由于点Q为三角形PF1F2内切圆的圆心，故过点F2作PQ的垂线并延长交PF1于点N，易知垂足B为F2N的中点，连接OB，则|OB|＝|F1N|＝(|F1P|－|F2P|)＝a，又设内切圆与PF1，PF2分别切于G，H，则由内切圆性质可得|PG|＝|PH|，|F1G|＝|F1A|，|F2A|＝|F2H|，故|F1P|－|F2P|＝|F1A|－|F2A|＝2a，设|OA|＝x，则有x＋c－(c－x)＝2a，解得|OA|＝a，故有|OA|＝|OB|＝a，故选C.

7．A

【分析】由已知得，，即可得，根据渐近线得关于a的方程，解之可得选项.

【解析】因为点A为的中点，所以，又，所以，，所以，所以，所以，所以.

故选：A.

【点评】关键点点睛：本题考查双曲线的渐近线相关问题，解决的关键在于利用平面几何的性质得出渐近线的斜率，得以建立方程求解.

8．C

【分析】由点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，可得直线l为线段AB的垂直平分线，利用中点公式和直线垂直的关系求得直线l的方程，将F的坐标代入，求得a,b,c的关系式，进一步转化得到a,c的齐次关系式，转化为离心率e的方程求解即得.还可以从入手解决，更为简洁.

【解析】解法一：由点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，

可得直线l为线段AB的垂直平分线，

线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率为 ，

可得直线l的方程为，

令y＝0，可得，由题意可得，

即有a(a＋2c)＝b2＝c2－a2，即c2－2ac－2a2＝0，

由，可得e2－2e－2＝0，

解得 (舍去)，

故选：C．

解法二：由点A(a，0)，B(0，b)关于直线l对称，可知,即,

两边平方，并结合，整理可得c2－2ac－2a2＝0，下同解法一.

【点评】本题考查双曲线的性质：离心率的求法.根据已知条件求得a,b,c的关系，进而得到a,c的齐次关系，根据离心率的定义转化为离心率e的方程求解，是求离心率的常用方法.

9．D

【分析】由渐近线方程得，设，求出，利用此式的几何意义得出最小值为，然后可求出，得焦距．

【解析】设，，则，

表示到原点距离的平方，当为双曲线顶点时取得最小值，所以，即，，，

双曲线的一条渐近线为，则，所以，，焦距为．

故选：D．

【点评】本题考查求双曲线的焦点，考查渐近线方程，解题关键是用点坐标表示出向量的数量积并根据几何意义求出最小值．然后再结合渐近线方程可得焦距．

10．B

【分析】采用特例法设焦点F为右焦点、A在第一象限，求出F、A、B的坐标，利用两点间的距离公式求解即可.

【解析】采用特例法即可求得结果不妨设焦点F为右焦点，则，

令代入双曲线方程得，解得，

当轴时，不妨设A在第一象限，则，，

所以，故.

故选：B

【点评】本题考查双曲线的几何性质，属于中档题.

11．AC

【分析】利用关于原点对称，可判断A，利用趋近于0时点的位置，得出大于，从而判断B．设，计算斜率可判断C，由三角形外角定理得，从而可判断D．

【解析】双曲线关于原点对称，又直线过原点，所以关于原点对称，

由得四边形为平行四边形，A正确；

当，点趋近于右顶点，此时趋近于平角，因此不可能有，B错．

设，则，由轴知，，

而，C正确；

中，，因此，D错；

故选：AC．

【点评】思路点睛：本题考查双曲线的对称性，解题关键是得出关于原点对称，则设后就可得出坐标，斜率的关系随之可得，利用平面几何知识判断AD，利用趋近于0的变化趋势得出点变化趋势，从而得出的变化趋势．

12．AD

【分析】利用双曲线旋转后是函数的图象，求出渐近线的斜率，然后求解双曲线的离心率即可．

【解析】 当，时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：，所以斜率为：，

可得：，所以双曲线的离心率为：．

当，时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：，所以斜率为：，

可得：，，所以双曲线的离心率为：．

故选：AD．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于中档题.

13．

【分析】根据题意设点，进而点，再根据向量数量积的坐标运算得，再结合得.

【解析】解:设点，则点,

所以，，

，

因为是双曲线上的点，故，

所以，

故的取值范围是.

故答案为：

【点评】本题考查双曲线的方程的应用，向量数量积运算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，设，进而由向量的运算得结合二次函数性质即可得答案.

14．

【分析】利用双曲线的图象关于原点对称,得到点， 在双曲线上求解.

【解析】因为三个点，，中恰有两个点在双曲线上，

又双曲线的图象关于原点对称,

所以点， 在双曲线上，

所以，

解得，

所以其渐近线方程为：.

故答案为：

【点评】本题主要考查双曲线的对称性的应用以及渐近线方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

15．

【分析】利用双曲线的性质，推出，，通过解三角形求出、的关系，再根据，即可得到、的关系，从而得到渐近线方程．

【解析】 双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，设左焦点为，连接、，由对称性可得、，可得，所以，，

，所以，可得，

，又，所以，所以，故渐近线为

故答案为：．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．

16．

【分析】设点，，，则，又A、C在双曲线上，利用点差法即可得到答案.

【解析】设点，，，则，

又①，②，

①－②，得.

所以.

故答案为：3

【点评】本题考查直线与双曲线位置关系的简单应用，涉及到点差法的知识，考查学生的基本运算能力、逻辑推理能力，是一道中档题.