专题17：双曲线的定点问题19页

专题17：双曲线的定点问题

1．已知双曲线：的右焦点为，半焦距，点到右准线的距离为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，，设，的中点分别为，.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标.

2．已知动圆过点，并且与圆：相外切，设动圆的圆心的轨迹为.

（1）求曲线的方程；

（2）过动点作直线与曲线交于两点，当为的中点时，求的值；

（3）过点的直线与曲线交于两点，设直线：，点，直线交于点，求证：直线经过定点，并求出该定点的坐标.

3．已知离心率为2的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为.

（1）求双曲线的方程；

（2）设分别为的左右顶点，为异于一点，直线与分别交轴于两点，求证：以线段为直径的圆经过两个定点.

4．已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为.

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，点，直线交于,求证：直线经过定点.

5．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，虚轴长为．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若直线与双曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．

6．已知双曲线，点在曲线上，曲线的离心率为，点为曲线上易于点A的任意两点,为坐标原点．

（1）求曲线上方程；

（2）若为曲线的焦点，求最大值；

（3）若以为直径的圆过点，求证：直线过定点，并求出定点坐标．

7．已知曲线，为曲线上一动点，过作两条渐近线的垂线，垂足分别是和.

（1）当运动到时，求的值；

（2）设直线（不与轴垂直）与曲线交于、两点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，若，，且，求证为定点.

8．双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于、.

（1）求双曲线的方程；

（2）若过原点，为双曲线上异于、的一点，且直线、的斜率为、，证明：为定值；

（3）若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由.

二、填空题

9．已知双曲线C：－y2＝1，直线l：y＝kx＋m与双曲线C相交于A，B两点(A，B均异于左、右顶点)，且以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，则直线l所过定点为________．

10．已知双曲线，点，在双曲线上任取两点、满足，则直线恒过定点__________；

参考答案

1．（1）（2）证明见解析；定点

【分析】（1）由题意可得的值，再由点到直线的距离为，可得的值，再由，，之间的关系求出双曲线的方程；

（2）设弦所在的直线方程，与双曲线的方程联立可得两根之和进而可得的中点的坐标，再由椭圆可得弦的中点的坐标，分别讨论当的斜率存在和不存在两种情况可得直线恒过定点.

【解析】（1）由题设可得，，所以，.

所以双曲线的标准方程为.

（2）证明：点，设过点的弦所在的直线方程为，，，

则有.

联立，可得.

因为弦与双曲线有两个交点，所以，

所以，所以.

（1）当时，点即是点，此时，直线为轴.

（2）当时，将上式点坐标中的换成，同理可得.

①当直线不垂直于轴时，

直线的斜率，

其方程，化简得，

所以直线过定点；

②当直线垂直于轴时，，此时，，直线也过定点.

综上所述，直线过定点.

【点评】本题主要考查双曲线的标准方程及性质、定点问题等知识以及逻辑思维与运算求解能力，考查了学生的计算能力，属于难题.

2．（1）；（2）4；（3）证明见解析，定点的坐标为.

【分析】（1）利用动圆经过的点及外切关系可求；

（2）设出直线方程，联立方程组，结合中点公式，得到，进而可求；

（3）设出直线方程，联立方程组，结合韦达定理，证明直线经过定点.

【解析】（1）设动圆的圆心，半径为，则由题意可得，即，

因为，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，且，

所以曲线的方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，，此时；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，

联立得，

，，

.

因为为的中点，所以，代入曲线方程得；

整理可得；

，

因为恰为双曲线的渐近线，且其中一条渐近线的倾斜角为，

所以，所以.

综上可得.

（3）证明：当直线的斜率不存在时，,，直线经过点.

当直线的斜率存在时，设直线，，

直线，当时，，

，联立得，

，，

下面证明直线经过点，即证， ，

把，代入整理得，

即，

所以直线经过点.

【点评】本题主要考查双曲线的方程及直线与双曲线的位置关系，联立方程结合韦达定理是主要的考虑方向，侧重考查数学运算的核心素养.

3．（1）；（2）详见解析.

【分析】（1）根据离心率求得的关系式，利用焦点到渐近线的距离列方程，解方程求得的值，进而求得双曲线方程.（2）设出点的坐标，根据点斜式求得和的方程，进而求得两点的坐标，根据中点坐标和直径长求得圆的方程.令求得两个定点的坐标.

【解析】（1）设：，

因为离心率为2，所以，．

所以的渐近线为，

由，得．

于是，，

故的方程为．

（2）设（），

因为，，

可得直线与方程为，．

由题设，所以，，，中点坐标，

于是圆的方程为．

因为，所以圆的方程可化为．

当时，，因此经过两个定点和．

【点评】本小题主要考查双曲线标准方程的求法，考查双曲线的渐近线，考查直线的点斜式方程和圆的标准方程的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

4．（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）由已知得，即，

所以的轨迹为双曲线的右支，且，，，，

∴，

曲线的标准方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，，，，则直线经过点；

当直线的斜率存在时，不妨设直线，，，

则直线：，当时，，，

由得，

所以，，

下面证明直线经过点，即证，即，

即，由，，

整理得， ，即恒成立.

即，即经过点，

故直线过定点.

【点评】本题考查了利用定义求圆锥曲线的方程，直线与圆锥曲线的位置关系，直线过定点问题，综合性强，需要很好的思维和计算能力，属于难题.

（1）根据题意，判断出动点的轨迹方程为双曲线的右支，然后根据定义即可求得双曲线的方程.

（2）讨论当直线斜率存在与不存在两种情况下直线过定点问题.当斜率不存在时，易得直线过定点的坐标为；当斜率存在时，设出直线方程，联立曲线方程，消y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两个交点横坐标间的关系；利用，再证明直线BM经过.

5．(1) (2) 证明见解析，定点坐标为

【分析】（1）求双曲线标准方程，一般方法为待定系数法，即根据题意列出两个独立条件：，解方程组得（2）以为直径的圆过双曲线的左顶点,等价于,根据向量数量积得，结合直线方程得，利用直线方程与双曲线方程联立方程组，消y得，再利用韦达定理代入等式整理得，因此或.逐一代入得当时,的方程为,直线过定点.

【解析】（1）设双曲线的标准方程为 , 由已知得又,解得 ,所以双曲线的标准方程为 .

（2）设,联立,得,有,,以为直径的圆过双曲线的左顶点,,即,,解得或.当时, 的方程为,直线过定点,与已知矛盾；当时,的方程为,直线过定点,经检验符合已知条件, 所以直线过定点,定点坐标为.

考点：双曲线标准方程，直线过定点

【点评】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.

6．（1）方程为（2） （3）证明见解析；PQ过定点

【分析】（1）根据离心率得双曲线中的关系，代入点的坐标，解方程组即可求得双曲线方程．

（2）设点，根据焦半径公式表示出， 代入表达式，转化为关于横坐标的表达式，根据横坐标的取值范围即可求得最大值．

（3）设出点P、Q的坐标和直线PQ的方程为，联立双曲线方程可得P、Q两点纵坐标的关系；根据以PQ为直径的圆过点A，化为，代入坐标化简即可求得过定点的坐标．

【解析】（1）离心率为 所以

即

因为点在双曲线上,所以

解得

所以双曲线方程为

（2）由双曲线的对称性知，不妨设P在左支上，设

由焦半径得：，

所以

所以，当时取等号．

的最大值是 ．

（3）设，联立直线PQ和双曲线方程，化简得

所以由 得

且

由题知

所以

代入得

解得或（舍去），所以PQ方程为

即得PQ过定点

【点评】本题考查了双曲线标准方程的求法，双曲线焦半径公式的应用，直线过定点的求法，综合性强，属于难题．

7．（1）；（2）证明见解析；

【分析】（1）确定两条渐近线方程，求出点到两条渐近线的距离，再计算与夹角的余弦值，应用向量的数量积公式，即可求得结论.

（2）设而不解，联立直线与双曲线方程得到根与系数的关系，再利用向量式，，将表示出来，代入化简即可证得为定点.

【解析】解：（1）由曲线，得渐近线方程为，作示意图如图所示：

设，，则

则 ，

又 ，

 .

（2）设，，，设直线的斜率为，

则，又，得

得，

由，则，即，

得 ，同理，由，

则

得，则，

得，又，得，即为定点.

【点评】本题考查了直线与双曲线的位置关系，向量数量积的定义，设而不解，根与系数的关系，学生的计算能力,是一道综合应用能力较强的题目.

8．（1）

（2）证明见解析

（3）存在，.

【分析】（1）根据双曲线所过的点和渐近线的夹角可得关于的方程组，解该方程组后可得双曲线的标准方程.

（2）设，，，用三点的坐标表示，再利用点满足的方程化简前者可得所求的定值.

（3）设直线为，，，根据可得恒等式，联立直线方程和双曲线方程后利用韦达定理化简前者可得，从而得到所求的定点.

【解析】（1）双曲线的渐近线方程为，

因为两条渐近线的夹角为，故渐近线的倾斜角为或，

所以或.

又，故 或（无解），故，

所以双曲线.

（2）设，，，

故，，所以，

因为，所以即，

所以为定值.

（3）双曲线的右焦点为，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，设，，

因为，所以，

整理得到①，

由可以得到，

因为直线与双曲线有两个不同的交点，

故且，

所以.

由题设有①对任意的总成立，

因，

所以①可转化为，

整理得到对任意的总成立，

故，故即所求的定点的坐标为.

当直线的斜率不存在时，则，此时或，

此时.

综上，定点的坐标为.

【点评】求双曲线的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与双曲线的位置关系中的定点、定值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.

9．

【分析】联立直线与双曲线求出韦达定理，由题知，结合斜率公式和韦达定理即可求解

【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立得(1－4k2)x2－8kmx－4(m2＋1)＝0，

所以，x1＋x2＝＞0，x1x2＝＜0，所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.

因为以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D(－2，0)，所以kAD·kBD＝－1，

即，

所以y1y2＋x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝0，

即＋＋＋4＝0，

所以3m2－16mk＋20k2＝0，解得m＝2k或m＝.

当m＝2k时，l的方程为y＝k(x＋2)，直线过定点(－2，0)，与已知矛盾；

当m＝时，l的方程为y＝k，直线过定点，经检验符合已知条件．

故直线l过定点.

故答案为：

10．

【分析】设的方程为,联立双曲线利用代数式恒成立即可求解直线恒过定点时中的值,进而求得定点.

【解析】设的方程为,则由.

设,则是该方程的两根,

∴,.

又,,故

∴,

又,,

∴,

代入,得：

整理得：,

∴,

∴或.

当时,过与题意不符,故舍去。

当时,过定点.

故答案为：

【点评】本题主要考查了根据直线与双曲线的联立方程,利用韦达定理求解参数定值与直线过定点的问题.属于难题.