专题21：双曲线的存在探索性问题23页

专题21：双曲线的存在探索性问题

1．已知双曲线C过点，且渐近线方程为，直线l与C交于M、N两点，

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线l过原点，点P是曲线C上任一点，直线PM、PN的斜率都存在，记为、，求证：为定值；

（3）若直线l过点，在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出点Q坐标及此常数的值，若不存在，说明理由.

2．已知双曲线.

（1）倾斜角45°且过双曲线右焦点的直线与此双曲线交于M，N两点，求.

（2）过点的直线l与此双曲线交于，两点，求线段中点P的轨迹方程；

（3）过点能否作直线m，使m与此双曲线交于，两点，且点B是线段的中点?这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.

3．已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于､两点.

（1）求双曲线的方程；

（2）若过原点，为双曲线上异于､的一点，且直线､的斜率､均存在，求证：为定值；

（3）若过双曲线右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.

4．已知直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线C上，设坐标原点为O.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若过点的直线l与双曲线C交于R、S两点，若，求直线l的方程；

（3）设在双曲线上，且直线AM与y轴相交于点P，点M关于y轴对称的点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在x轴上是否存在定点T，使得？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.

5．已知圆，点，点是圆上的动点，的垂直平分线交直线于点

（1）求点的轨迹方程；

（2）过点的直线交曲线于两点，在轴上是否存在点，使得直线和的倾斜角互补，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

6．已知，点满足，记点的轨迹为.斜率为的直线过点，且与轨迹相交于两点.

（1）求轨迹的方程；

（2）求斜率的取值范围；

（3）在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由.

7．已知双曲线：，设是双曲线上任意一点，为坐标原点，为双曲线右焦点，，为双曲线的左右顶点.

（1）已知：无论点在右支的何处，总有，求的取值范围；

（2）设过右焦点的直线交双曲线于，两点，若存在直线，使得为等边三角形，求的值；

（3）若，，动点在双曲线上，且与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线：分别相交于点和，试问：是否存在定点，使得恒成立？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，试说明理由.

8．如图，椭圆的左、右顶点分别为A、B，双曲线以A、B为顶点，焦距为，点P是上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为为坐标原点.

(1)求双曲线的方程；

(2)求点M的纵坐标的取值范围；

(3)是否存在定直线使得直线BP与直线OM关于直线对称？若存在，求直线的方程；若不存在,请说明理由.

9．已知，，

（1）求点的轨迹C的方程；

（2）若直线与曲线C交于A、B两点，并且A、B在y轴的同一侧，求实数k的取值范围.

（3）设曲线C与x轴的交点为M，若直线与曲线C交于A、B两点，是否存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过点M？若有，求出k的值；若没有，写出理由.

10．的内切圆与三边的切点分别为,已知，内切圆圆心,设点A的轨迹为R.

（1）求R的方程；

（2）过点C的动直线m交曲线R于不同的两点M,N，问在x轴上是否存在一定点Q（Q不与C重合），使恒成立，若求出Q点的坐标，若不存在，说明理由.

参考答案

1．（1）；（2）证明见解析；（3）存在，， .

【分析】（1）设双曲线的方程为，将点代入双曲线的方程，解方程可得双曲线的方程；

（2）设点的坐标为，则点的坐标为，根据斜率公式和双曲线的方程，即可求出为定值；

（3）假设存在定点，用点斜式设出直线的方程代入双曲线方程，利用根与系数的关系以及为常数，求得值，可得结论．

【解析】（1）由双曲线的渐近线方程，

可设双曲线的方程为，

又双曲线过点，

可得，即，

则双曲线的方程为；

（2）证明：设点的坐标为，则点的坐标为，

其中，又设点的坐标为，

由，，

得，

将，，

代入得．

故为定值；

（3）设直线的方程为，设定点，

联立方程组，消可得，

则，且△，解得且，

设，，，，

可得，，

所以，

，

所以，，

为常数，与无关．

所以，

解得，

此时．

故存在，使得．

【点评】解决直线与双曲线的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件；

(2)强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

2．（1）8（2）（3）不存在，理由见解析

【分析】（1）直线斜率为1，写出直线方程与双曲线联立，由韦达定理即弦长公式求解；

（2）设，，，，，则，，两式相减，利用是中点及斜率相等可求得轨迹方程，从而得到其轨迹；

（3）假设直线存在．由已知条件利用点差法求出直线的方程为，联立方程组，得，由，推导出直线不存在．

【解析】（1）由双曲线知，

右焦点为，

由直线倾斜角45°可知直线斜率为1，

所以直线方程为：，

联立可得，

设，

则且，，

所以

（2）设，，，，，

则，，

，，

，

直线的斜率，

，，，，共线，

，

，

即线段的中点的轨迹方程是．

（3）假设直线存在．

设是弦的中点，

且，，，，则，．

，在双曲线上，

，

，

，

，

直线的方程为，即，

联立方程组，得

△，

直线与双曲线无交点，

直线不存在．

【点评】关键点点睛：在直线与双曲线相交问题中，涉及弦及弦中点的问题，可以采用“点差法”，

可以简化运算，降低运算难度.

3．（1）；（2）证明见解析；（3）存在，.

【分析】（1）利用双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，建立方程即可求解；

（2）设点坐标为，则由对称性知点坐标，设，由点A,P在双曲线上可得，，代入中化简即可；

(3）先假设存在定点M，使MA MB恒成立，设出M点坐标，根据数量积为0，求得结论.

【解析】（1）由题意得：

解得：

∴双曲线的方程为

（2）证明：设点坐标为，则由对称性知点坐标为

设，则

，得

∴

（3）当直线的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立消得：，

∴得且

设､

∵

假设存在实数，使得，

∴对任意的恒成立，

∴，解得.

∴当时，.

当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立

综上：存在，使得.

【点评】本题主要考查点的轨迹方程的求法，考查斜率的计算，考查存在性问题，综合性强，属于难题.

4．(1)   （2）   （3）存在，

【分析】（1）根据渐近线求解a,b关系，再根据双曲线上一点A求解双曲线标准方程；

（2）由知D为RS中点，利用点差法求解直线l斜率，进而求解直线方程；

（3）根据直线斜率及点斜式方程，分别列出直线AM和直线AN方程，求P,Q坐标，满足,即可求解点T坐标.

【解析】（1）由直线是双曲线渐近线，则，则双曲线方程，

代入，解得，

故双曲线C的方程为

（2）由题意，可知D为RS中点，

设RS两点坐标为，代入原式

，两式作差得

整理得，

再由中点坐标公式

解得

故直线l的方程为

（3）存在，

根据题意，由，则斜率，直线，

当时，，即

同理，由则斜率，直线，

当时，，即

设：，则

，，

又，得到

解得，又双曲线C中，或

故T坐标为

【点评】（1）双曲线中由渐近线方程可确定a与b的倍数关系，不能直接得具体值，需要再有一点坐标才能确定a,b值.

（2）点差法步骤：设点→代入→作差→变形→求解.

（3）顺应题意列出方程，注意自变量的取值范围，本题着重考查运算能立，属较难题.

5．（1）；（2）存在，.

【分析】（1）连接，则，即，则点的轨迹是以，为左右焦点，的双曲线，求解轨迹方程即可.

（2）由题意可知时直线和的倾斜角互补.分类讨论：当直线斜率不存在时，，关于轴对称，轴上的任意点都有.当直线斜率存在时，设直线的方程为：，与双曲线方程联立，整理得，设，，则，.根据，可知，整理得，将，代入求解，即可.

【解析】（1）连接，则，即

点的轨迹是以，为左右焦点，，的双曲线.

即，，

点的轨迹方程为：

（2）当直线斜率不存在时，直线的方程为：，则，关于轴对称.

因为点在轴上

所以直线和关于轴对称.

则轴上的任意点都有，即直线和的倾斜角互补

当直线斜率存在时，设直线的方程为：

则即

直线交曲线于两点

即

设，

则，是方程的两根.

即，

假设存在点，使得直线和的倾斜角互补.

则即

即

，即

综上所述，存在点，使得直线和的倾斜角互补

【点评】本题考查求双曲线方程，以及直线与双曲线的位置关系.属于较难的题.

6．（1）；（2）；（3）存在，.

【分析】（1）根据双曲线的定义即可求得方程；

（2）联立直线与双曲线方程，转化成方程有解问题；

（3）假设存在点，联立直线和双曲线整理成二次方程，根据结合韦达定理求解.

【解析】（1）因为，点满足，

所以点的轨迹为以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，

设其方程，则，

所以轨迹的方程：；

（2）斜率为的直线过点，直线方程为，代入，

，即有两个不等正根，

，

由得，当时，

且

即不等式组的

所以；

（3）假设存在，设点，使，

由（2）：斜率为的直线过点，直线方程为，代入，

，即有两个不等正根，

，

，所以，

，对恒成立，

所以，解得，即，

当直线斜率不存在时，直线方程，此时，

，仍然满足，

所以这样的点存在，.

【点评】此题考查求双曲线方程，注意考虑图象限制范围，通过直线与双曲线位置关系求参数范围，结合韦达定理解决相关定点问题.

7．（1）；（2）；（3）存在，坐标为或

【分析】（1）设点坐标，分别求出和的长度，比较大小，得到的取值范围；

（2）要使为等边三角形，则,即,直线l斜率不存在，再通过求出的值；

设直线l：，；

（3）设点的坐标，再计算出点和的坐标，由Q点在双曲线上关于轴的对称性得，若存在点，使得恒成立，点只能在轴上，再设，根据算出t的值。

【解析】（1）设点，，

要使，则，代入化简得，

，，

又

所以的取值范围是。

（2）要使为等边三角形，则,即,直线l斜率不存在，

设直线l：，则，，

要使为等边三角形，

又，

（3）设点，则

直线：，则，

直线：，则

由Q点在双曲线上关于轴的对称性得，若存在点，使得恒成立，则点只能在轴上，设，

若，则，

或，

即存在定点E，坐标为或

【点评】本题考查了双曲线中的关系及转换，解析几何类型题目多与几何关系有关，多画图，找到变量间的几何关系，再根据圆锥曲线的对称性，猜测出定点可能存在的位置（比如轴、轴等）。注意利用向量的关系来解方程会简单一些。本题属于难题。

8．（1）；（2）；（3）存在直线满足题意，详见解析

【分析】（1）根据题意，得到，即可求得双曲线的方程；

（2）由在上单调递增，即可求得点的纵坐标的取值范围；

（3）求出，可得直线与关于直线对称，即可求解．

【解析】（1）由题意，椭圆的左、右顶点分别为，双曲线以A、B为顶点，焦距为，可得，所以，

所以双曲线的方程．

（2）由题意，设，

直线的方程为，

代入椭圆方程，整理，

所以或，所以，

所以在上单调递增，所以．

（3）由（1）双曲线的方程，

可得，同理,

所以，即，

设直线，则直线，解得，

所以直线与关于直线对称．

【点评】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程及几何性质的应用，以及直线与圆锥曲线的位置关系及斜率计算等知识点的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．

9．（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）由得，结合，可求出轨迹方程；（2）联立直线与曲线方程，得到韦达定理，由判别式大于0，且，解出k的范围；（3）假设存在点M，则，结合韦达定理得到方程，解出k即可.

【解析】（1）由，得，即

又，，所以，即

故所求的轨迹方程是

（2）设、，

把代入，得

得

由且，解得且

∵A、B在y轴的同一侧，

所以，即，得到或

综上，得.

（3）由（2）得…①…②

……③

∵曲线C与x轴交点、，

若存在实数k，符合题意，则

不妨取点，,得

将①②③式代入上式,整理得到,

解得舍去）

根据曲线的对称性知

存在实数，使得以AB为直径的圆恰好过M点

【点评】本题考查了双曲线的轨迹方程，直线与双曲线的位置关系，属于中档题.

10．(1)；(2)存在

【分析】(1)根据切线长定理可得，AB-AC=2.根据双曲线的定义可得点A的轨迹是双曲线的一支，即可得到轨迹方程.

(2)因为恒成立，通过化简可得等价结论，QC为∠MQN的角平分线.由直线MN垂直于x轴，显然存在点Q.当MN不垂直x轴时，依题意所求的结论等价转化于，通过联立方程，利用韦达定理，即可求得点Q的横坐标.

【解析】（1）设点，由题知|AB|-|AC|=|BE|-|CE|=|CE|+2|OE|-|CE|=2

根据双曲线定义知，点A的轨迹是以B、C为焦点，实轴长为2的双曲线的右支除去点E（1，0），故R的方程为

（2）设点由（I）可知

①当直线轴时

点在轴上任何一点处都能使得成立

②当直线MN不与轴垂直时，设直线

由得

要使，只需成立即即

即故,故所求的点Q的坐标为时

使成立.

考点：1.圆的切线长定理.2.双曲线的性质.3.消元，韦达定理，运算能力等.4.等价转化的数学思想.