专题22：双曲线的渐近线问题23页

专题22：双曲线的渐近线问题

一、单选题

1．已知、分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

2．已知点为抛物线的焦点，，点为抛物线上一动点，当最小时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为（    ）

A． B． C． D．

3．如图，已知分别为双曲线的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

4．在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为，△PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（    ）

A．y＝±x B．y＝x C．y＝x D．y＝±x

5．已知双曲线的左､右顶点分别是，，右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

6．设分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点，若，则双曲线渐近线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与轴交于点，的内切圆与边切于点.若，则的渐近线方程为

A． B．

C． D．

8．是双曲线上一点，过作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求的值（    ）

A． B． C． D．

9．已知双曲线的两条渐近线分别为与，与为上关于原点对称的两点，为上一点且，则双曲线离心率的值为

A． B． C． D．

10．已知点是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，为的内心，若成立，则双曲线的渐近线方程为　　

A． B． C． D．

11．设双曲线（，）的左、右顶点分别为、，点在双曲线上，的三内角分别用、、表示，若，则双曲线的渐近线的方程是

A． B． C． D．

12．已知双曲线的右焦点为,右顶点为，过作的垂线与双曲线交于分别作的垂线，两垂线交于点，若到直线的距离小于，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是

A． B．

C． D．

13．已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线的渐近线上两点，若四边形是面积为的菱形，则该渐近线方程为

A． B． C． D．

14．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过点作圆：的切线，切点为，且直线与双曲线的一个交点满足，设为坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为

A． B． C． D．

15．已知抛物线与双曲线（）的一个交点为为抛物线的焦点，若，则该双曲线的渐近线方程为

A． B． C． D．

16．双曲线（）的左、右焦点分别为，过作圆的切线交双曲线的左、右支分别于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为

A． B． C． D．

二、填空题

17．已知双曲线的左顶点为A，右焦点为，离心率为.若动点在双曲线的右支上且不与右顶点重合，满足恒成立，则双曲线的渐近线的方程为_________.

18．设是双曲线:上任意一点,过作渐近线和的平行线,分别交于点.则_______________.

19．已知为坐标原点，、是双曲线：（，）的左、右焦点，双曲线上一点满足，且，则双曲线的渐近线方程为____________．

20．已知为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直，与双曲线的左右两支分别交两点，且，双曲线的渐近线方程为__________．

参考答案

1．A

【分析】本题首先可以结合题意绘出双曲线的图像，然后根据得出，根据双曲线的定义得出，再然后根据得出以及，根据得出，最后将点坐标代入双曲线中，通过化简即可得出结果.

【解析】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，绘出双曲线的图像，

如图，过点作于点,

因为，

所以，，

因为，所以，

因为双曲线上的点到原点的距离为，即，且，

所以，，

故，，

因为，所以，，

将代入双曲线中，

即，化简得，，

，，，

解得或（舍去），，，

则该双曲线的渐近线方程为，

故选：A.

【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查双曲线定义以及等面积法的灵活应用，考查计算能力，考查化归与转化思想，考查数形结合思想，体现了综合性，是难题.

2．B

【分析】作出图形，可知与抛物线相切时，取得最小值，求出点的坐标，利用双曲线定义求出2a，结合，可求得，再利用求得结果.

【解析】由抛物线的对称性，设为抛物线第一象限内点，如图所示：

故点作垂直于抛物线的准线于点B，由抛物线的定义知，易知轴，可得

当取得最大值时，取得最小值，此时与抛物线相切，

设直线方程为：，

联立，整理得，

其中，解得：，由为抛物线第一象限内点，则

则，解得：，此时，即或

所以点的坐标且

由题意知，双曲线的左焦点为，右焦点为

设双曲线的实轴长为2a，则，，

又，则

故渐近线斜率的平方为

故选：B

【点评】本题考查求双曲线的渐近线斜率，方法如下：

①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用渐近线的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．

3．B

【分析】由同起点的向量做加法想到平行四边形法则，从而取的中点E，由已知可知，由三线合一知三角形为等腰三角形，再由余弦的定义表示的余弦值，又由双曲线的定义表示，最后在中，由余弦定理构建方程，求得，将其代入渐近线方程，得答案.

【解析】取线段的中点E，连接，

因为，所以，

故三角形为等腰三角形，且．

在中，，

连接，又，点Q在双曲线C上，

所以由双曲线的定义可得，，故．

在中，由余弦定理得，

．

整理可得，所以，

故双曲线C的渐近线方程为．

故选：B

【点评】本题考查由几何关系求双曲线的渐近线，由余弦定理构建方程，还考查了平面向量加法的平行四边形法则和垂直关系，属于难题.

4．D

【分析】由M是三角形外心可得，根据圆周角与圆心角关系得∠F1PF2＝，根据余弦定理、双曲线的定义得，由三角形面积公式，即可确定的数量关系，写出渐近线方程即可.

【解析】由△PF1F2的外心M，知：，

∴在△中，，即，故∠F1PF2＝，

在△中，，而，

∴，即，

∴，而，

∴由题意知：，故双曲线的渐近线方程为：．

故选：D．

【点评】关键点点睛：利用外接圆的性质求∠F1PF2，由余弦定理、双曲线的定义及三角形面积公式求焦点三角形的面积，进而确定双曲线参数的数量关系.

5．C

【分析】设点的坐标为，由于 为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于 取得最大值，利用两角的正切公式知，再利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.

【解析】根据双曲线的对称性不妨设点的坐标为，由于 为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于 取得最大值，

， ，

，

当且仅当，即当 时，等号成立，此时最大，此时的外接圆面积取最小值，

点的坐标为，代入，可得 ，即，即 ．

所以双曲线的渐近线方程为：．

故选：C

【点评】本题考查了求双曲线渐近线方程，及利用基本不等式求最值，解题时先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c及渐近线之间的关系，求出的值即可，考查学生的计算能力和转化化归能力，属于中档题

6．C

【分析】如图所示：切点为，连接，作轴于，计算，，，，根据勾股定理计算得到答案.

【解析】如图所示：切点为，连接，作轴于，

，故，

在中，，故，故，，

根据勾股定理：，解得.

故选：.

【点评】本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

7．A

【分析】由双曲线的定义和内切圆的性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，可求出渐进线方程.

【解析】如图所示：设分别为三边与其内切圆的切点，圆心为.

已知≌，≌,≌.

即

由双曲线的定义有：.

则

.

所以,即.又.

所以，又，解得.

双曲线的渐近线方程为：.

故选：A

【点评】本题考查双曲线的定义、性质和渐进线方程，考查圆的切线性质，属于中档题.

8．A

【分析】设，得到，联立方程组，求得的坐标，结合向量的数量积的运算，即可求解．

【解析】设点，则，即，

由双曲线的渐近线方程为，

则由，解得，

由，解得，

所以，

所以．

故选：A．

【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程及性质，以及向量的数量积的运算，其中解答中根据题意，联立方程组，求得A、B的坐标，结合向量的数量积的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．

9．B

【分析】设直线的方程为，则直线的方程为，设点、，则点，利用，可得出，解出即可.

【解析】设直线的方程为，则直线的方程为，

设点、，则点，

，，，

即，即，，解得，故选B.

【点评】本题考查双曲线离心率的求解，同时也涉及到渐近线方程，在求解离心率时，充分利用公式可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.

10．A

【分析】设圆与的三边、、分别相切于点，连接 ,，，可看作三个高均为圆半径的三角形利用三角形面积公式，代入已知式，化简可得，再结合双曲线的定义与渐近线方程可得所求．

【解析】

如图，设圆与的三边、、分别相切于点，

连接，

则，，，它们分别是

，，的高，

，

，

，

其中是的内切圆的半径．

，

，

两边约去得：，

，

根据双曲线定义，得，，

，，，

可得双曲线的渐近线方程为 ,

即为，故选A．

【点评】本题主要考查双曲线的定义以及双曲线的渐近线，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质，属于中档题．解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.

11．D

【解析】分析：先根据三角形切的关系化简条件得,再通过坐标关系表示，最后根据点C在双曲线上化简得a,b关系，即得双曲线的渐近线的方程.

详解：因为中所以

设C(x,y),所以

因此双曲线的渐近线的方程为

选D.

点睛：熟记一些常用结论或方法：

1.已知双曲线方程求渐近线：

2.中

12．B

【解析】，由双曲线的对称性知在轴上，设，由，得，则，又到直线的距离小于，则，解得，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是，故选B.

13．A

【解析】如图所示，，设 则菱形的面积为 则 ，即渐近线的方程为 ，故双曲线的渐近线方程为

选A

14．C

【解析】，故，即，故点为线段的中点，连接，则为的中位线，且，故，且，故点在双曲线的右支上，，则在中，由勾股定理可得，，即，解得，故，故双曲线的渐近线方程为，故选C.

【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 本题中，利用双曲线的定义与几何性质，以及构造的齐次式，从而可求出渐近线的斜率，进而求出渐近线方程的.

15．B

【解析】设抛物线与双曲线的一个交点为，因为抛物线的焦点为，且，所以，解得，则该双曲线的渐近线方程为，即；故选B.

点睛：在处理抛物线上的点到焦点的距离时，要注意利用抛物线的定义将抛物线上点到焦点的距离和到准线的距离进行互化；已知双曲线方程求渐近线方程，学生往往记不清渐近线方程的形式，记住以下结论即可，双曲线 的渐近线方程为.

16．C

【解析】试题分析：因为过作圆的切线分别交双曲线的左右两支于点，且，所以，设切点为，则利用三角形的相似可得，所以，所以，代入双曲线的方程，整理可得，所以双曲线的渐近线方程为，故选C.

考点：双曲线的几何性质.

【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，相似三角形、以及双曲线的渐近线的方程的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据相似三角形，列出比例关系式，得到点的坐标是解答的关键，试题运算较大，属于中档试题.

17．

【分析】取特殊位置轴，此时，，，将代入抛物线得，所以，，可得

，分别讨论，，可得，进而可求得渐近线方程为.

【解析】

如图：因为恒成立，取特殊位置轴时，此时，所以，

在中，，

双曲线中，，

将代入双曲线方程得，整理可得：，

取点位于第一象限，所以，

则，

所以，

当时，，，此时不符合题意，故不成立，

当时，，，此时不符合题意，故不成立，

当时，，

所以，即，可得，所以，

所以，，

所以双曲线的渐近线方程为，

故答案为：

【点评】关键点点睛：本题解题的关键点是去特殊位置轴时，可得计算其正切值可得，经过讨论求出离心率.

18．

【分析】设,求出直线的方程,分别与联立,进而求出 的坐标,根据两点间的距离公式,求出,则可求的值.

【解析】解:设 则，即.

由题意知直线 分别与 平行

则.所以,

将直线与 联立得 ,解得

将直线与 联立得,解得

即,.

所以,

所以.

故答案为: .

【点评】本题考查了两点间的距离求解,考查了圆锥曲线的综合计算.本题的难点及易错点在于计算.对于此类填空题,有一个技巧可能会减少运算量,即已知点是曲线上的任意一点,不妨设该点是特殊点,如顶点,可减少运算量.

19．

【分析】根据，可知，即为直角三角形.利用双曲线的定义，题意所给已知条件，和勾股定理列方程组，化简求得，即为等轴双曲线，渐近线为.

【解析】根据，可知，即为直角三角形.设，依题意有，解得，根据勾股定理得，解得，故双曲线为等轴双曲线，渐近线为.

【点评】本小题主要考查双曲线的定义和准线方程的求解.考查直角三角形的几何性质以及运算求解能力，属于中档题.

20．

【解析】过的直线与双曲线的一条渐近线垂直，设垂足为A，易得，,

又，所以，而，故，，在中，利用余弦定理可得：，即

，，得：，故渐近线方程为：