专题25：抛物线的定义与方程21页

专题25：抛物线的定义与方程

一、单选题

1．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为（    ）

A． B． C． D．

2．已知，分别为抛物线与圆上的动点，抛物线的焦点为，，为平面两点，当取到最小值时，点与重合，当取到最大时，点与重合，则直线的的斜率为（    ）

A． B． C．1 D．

3．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（    ）

A．2 B． C． D．

4．抛物线的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是

A．1 B． C． D．2

5．已知点是曲线上任意一点，过点向轴引垂线，垂足为，点是曲线上任意一点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

6．抛物线的焦点为，点、、在上，且的重心为，则的取值范围为

A． B． C． D．

7．如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2，4)，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则的最小值为

A．36 B．42

C．49 D．50

二、多选题

8．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（    ）

A．点P的轨迹曲线是一条线段

B．点P的轨迹与直线：是没有交会的轨迹即两个轨迹没有交点

C．不是“最远距离直线”

D．是“最远距离直线”

三、填空题

9．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于，两点，且，则线段的中点到轴的距离为__________.

10．已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于点，则的值是__________．

11．为抛物线的焦点，点在抛物线上，是圆上的点，则最小值是__________．

12．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线（）上任意一点，Q是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为______.

13．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线与圆于四点，则 ______.

14．如图，过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F作直线交C于A，B两点，过A，B分别向C的准线l作垂线，垂足为A1，B1，已知△AA1F与△BB1F的面积分别为9和1，则△A1B1F的面积为________.

15．抛物线C: 的焦点为,设过点的直线交抛物线与两点，且,则______.

16．已知抛物线的准线方程为，焦点为为抛物线上不同的三点，成等差数列，且点在轴下方，若，则直线的方程为_________．

四、双空题

17．己知圆是圆上任意点，若，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程是_______﹔若A是圆所在平面内的一定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹是:①一个点②圆③椭圆④双曲线⑤抛物线，其中可能的结果有__________．

18．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2，1)，B(-2，4)，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点Q为抛物线E：y2=4x上的动点，Q在直线x=-1上的射影为H，则的最小值为___________.

参考答案

1．B

【分析】根据抛物线的定义，结合两点间距离公式进行求解即可.

【解析】抛物线的焦点，准线的方程为，过做，垂足为，

设周长为，

，由抛物线的定义可知：

，因此，当在同一条直线上时，有最小值，即

时，，

故选：B

2．D

【分析】根据取到最小值时，点与重合，利用抛物线的定义得到，从而得到点P的坐标，连接，由抛物线的定义得到Q为与抛物线的交点求解.

【解析】如图所示：

，即，圆心为，

抛物线的焦点为，记的准线为l，过点A作，

过作，

，当共线时，点B在上，此时，

连接，

，此时Q为与抛物线的交点，

，由，解得或，

因为Q在第一象限，

所以，

所以，

故选：D

【点评】 本题关键是抛物线定义的灵活应用.

3．B

【分析】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，由抛物线的性质可得，则，当直线PA与抛物线相切时，最小，取得最大值，设出直线方程得到直线和抛物线相切时的点P的坐标，然后进行计算得到结果.

【解析】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，

由抛物线的性质可得，

所以则，

当最小时，则值最大，

所以当直线PA与抛物线相切时，θ最大，即最小，

由题意可得，

设切线PA的方程为：，

，整理可得，

，可得，

将代入，可得，所以，

即P的横坐标为1，即P的坐标，

所以，，

所以的最大值为：，

故选：B．

【点评】关键点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．

4．A

【分析】设，由抛物线定义，梯形的中位线定理，得，再根据余弦定理得，结合基本不等式求得的范围，从而得到的最大值.

【解析】设，连接，过A作准线l的垂线，垂足为Q，过B作准线l的垂线，垂足为P，

由抛物线的定义得：，

则.

则在中，由余弦定理可得：，

而，

因此，即（当且仅当a=b时取等号）.

故选：A

【点评】本题考查了抛物线的基本性质，综合运用了余弦定理，基本不等式知识，属于较难题.

5．D

【分析】先将所求问题转化为求上任意一点到抛物线焦点F的距离的最小，再利用导数求最值即可得到答案.

【解析】如图，设抛物线的焦点为F，则，由抛物线的定义知，

所以，当且仅当三点共线时，等号成立，

设，则，令，

则，由复合函数单调性知，在R上单调递增，且，

所以当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，所以

，所以的最小值为.

故选：D

【点评】本题考查抛物线中的最值问题，涉及到抛物线的定义，两点间的距离公式，导数求函数的最值，是一道较为综合的题目，属于有一定难度的题.

6．A

【分析】根据重心坐标公式求出的横坐标为，纵坐标为，设直线的方程为，与抛物线方程联立，用、求出表示出的坐标，结合抛物线的方程，求出的取值范围，再结合抛物线的定义可得出结论．

【解析】由题意知，抛物线的焦点为，设点、、，

由重心的坐标公式得，，，

设直线的方程为，由，消去得，

，

由韦达定理得，，

所以，，

故，，

将点的坐标代入抛物线的方程得，得，

则，得，

则.

不在直线上，则，此时，，则.

因此，的取值范围是.

故选：A.

【点评】考查抛物线与直线的综合，求距离的取值范围，重心坐标的计算，属于难题．

7．B

【分析】设拋物线的标准方程，将点代入拋物线方程，求得拋物线方程，设出直线方程并与抛物线方程联立，根据韦达定理可得，则，由焦半径公式以及基本不等式，即可求得结果.

【解析】设抛物线方程为

由抛物线过定点得，抛物线方程，焦点为，

圆的标准方程为圆心为，半径，

由于直线过焦点，可设直线方程为，设

，

又

，

时等号成立，

的最小值为，故选B.

【点评】本题主要考查抛物线的方程与性质，以及直线与抛物线的位置关系、利用基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值，要注意应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”.

8．BCD

【分析】先根据题意与抛物线的概念，可以得到点P的轨迹方程，再根据“最远距离直线”逐一判断即可．

【解析】由题意可得，点P到点M的距离比到直线l的距离小1，

即等价于“点P到点M的距离等于到直线：的距离”

故P点轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，

其方程是，故A错误

点P的轨迹方程是抛物线，它与直线没交点，

即两者是没有交会的轨迹，故B正确

要满足“最远距离直线”则必须满足与上述抛物线有交点，

把代入抛物线，

消去y并整理得

因为，无解，

所以不是“最远距离直线”，故C正确；

把代入抛物线，

消去y并整理得，

因为，有解，

所以是“最远距离直线”，故D正确．

故选：BCD．

【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的概念以及圆锥曲线的轨迹问题，还考查了分析问题与解决问题的能力，属于较难题．

9．

【分析】根据题意得到的值，过点作垂直于准线于点，过点作垂直于于点，延长交于点，再利用三角形相似得到和的关系，从而得到，，的关系，求出，即可得到答案．

【解析】焦点到准线的距离为，

过点作垂直于准线于点，过点作垂直于于点，延长交于点，

则，

所以，

记，则，

因为，

所以，，

因为，为的中点，

所以，所以，

即

即线段的中点到轴的距离为．

故答案为：．

【点评】方法点睛：.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点的坐标．

2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．

10．1

【解析】

设 ,则 ,

由与联立方程消得 ,因此

11．2

【解析】

设 到抛物线准线的距离为 ，根据抛物线的定义知 ，由圆的几何性质及平面几何体知识可得， 的最小值是圆心到准线的距离与半径的差，即 ，故答案为 .

12．

【分析】要求直线的斜率的最大值,由直线的斜率公式可知应求点的横、纵坐标的关系,由题可设点,点,进而根据求得,再由均值不等式求得最值.

【解析】由题可得,设,显然,当时,；当时,,

要求的最大值,设,

因为,所以,即,

所以,

所以,

当且仅当时等号成立,即的最大值为,

故答案为:

【点评】本题考查与抛物线有关的最值问题,考查利用均值不等式求最值,考查运算能力与转化思想.

13．1

【分析】设过抛物线的焦点F的直线，与联立，结合抛物线的第一定义和韦达定理及圆的性质，求出的乘积

【解析】抛物线的焦点为，准线为，可设直线方程为，直线，与联立得：，可得,,

,

答案为1.

【点评】抛物线的弦长问题通常转化为到准线距离,本题既考查了直线与圆，又考查了直线与抛物线的应用问题

14．6

【解析】

【分析】直线代入抛物线方程，利用韦达定理，计算，相乘化简可得求，由三角形面积公式可得.

【解析】设直线，

代入抛物线方程，消元可得，

设，则，

，

，

，

，故答案为6.

【点评】解决直线与抛物线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与抛物线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.

15．4

【解析】

设点 、 的横坐标分别为 、，由焦半径公式得， 时， ， 的方程为 ，与联立可得， ，解得，所以 ，同理，时，，故答案为 .

16．

【解析】

试题分析:由题设可得，设，则，由可得，即，又，故由成等差数列可得，由此可得．而，且，即的中点坐标为由此可得.故由点斜式方程可得，应填答案.

考点：抛物线的几何性质及向量等差数列等知识的综合运用．

【易错点晴】抛物线是平面解析几何中的重要圆锥曲线之一，也是高中数学中的重要知识点和历届高考必考的考点之一.本题以抛物线的焦点弦满足的向量等式成等差数列，且点在轴下方，若为背景，考查是抛物线的定义和平面向量的坐标运算及分析问题解决问题的综合能力.解答时先设三点的坐标，再借助向量等式建立坐标之间的关系，从而使得问题获解.

17．    ①②③   

【解析】由圆则圆心，半径r=4;因为线段的垂直平分线与直线相交于点，如图（1）示：

所以， 所以，符合椭圆的定义，所以点的轨迹是以为焦点，长轴为4 的椭圆，

故,所以点的轨迹方程是；

（1）若点A在圆C内不同于点C处，如图（1）所示，则有，符合椭圆的定义，故点的轨迹是以为焦点，长轴为4 的椭圆，所以③正确；

（2）若点A与C重合，如图（2）所示，则有，符合圆的定义，故点的轨迹是以为圆心，2为半径 的圆，所以②正确；

（3）若点A在圆C上，如图（3）所示，则由垂径定理，线段AP的垂直平分线必过点C,故Q与C重合故点的轨迹一个点，所以①正确；

（4）若点A在圆C外，如图（4）所示，则，所以，故点的轨迹是以为焦点，实轴长为4的双曲线的一支，所以④不正确；

（5）点A不论在什么位置，点的轨迹都不可能是抛物线，故⑤不正确.

故答案为：；①②③.

【点评】求动点轨迹方程的方法：

（1）定义法；（2）参数法；（3）轨交法.

18．       

【分析】（1）利用直译法直接求出P点的轨迹．

（2）先利用阿氏圆的定义将转化为P点到另一个定点的距离，然后结合抛物线的定义容易求得的最小值．

【解析】设P（x，y），由阿氏圆的定义可得

即化简得

则

设则由抛物线的定义可得

当且仅当四点共线时取等号，

的最小值为

故答案为：      

【点评】本题考查了抛物线的定义及几何性质，同时考查了阿氏圆定义的应用．还考查了学生利用转化思想、方程思想等思想方法解题的能力．难度较大．