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专题31:抛物线的存在探索性问题30页
展开专题31:抛物线的存在探索性问题
1.已知点P到直线y=-3的距离比点P到点A(0,1)的距离多2.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)经过点Q(0,2)的动直线l与点P的轨迹交于M,N两点,是否存在定点R使得∠MRQ=∠NRQ?若存在,求出点R的坐标;若不存在,请说明理由.
2.如图,已知抛物线的焦点为,过焦点F作直线交抛物线于A,B两点,在A,B两点处的切线相交于N,再分别过A,B两点作准线的垂线,垂足分别为C,D.
(1)求证:点N在定直线上;
(2)是否存在点N,使得的面积是的面积和的面积的等差中项,若存在,请求出点N的坐标,若不存在,请说明理由.
3.已知抛物线()的焦点为,过作一条直线与抛物线相交于、两点.
(1)若直线的倾斜角为,请用表示、两点之间的距离;
(2)若点在抛物线的准线上的射影为点,求证:、、在同一条直线上;
(3)在轴上是否存在点,使得点关于直线的对称点在抛物线上?如果存在,求出所有满足条件的点的坐标;如果不存在,请说明理由.
4.已知抛物线,过其焦点且斜率为的直线交抛物线于两点,若线段的中点的纵坐标为.
(1)求抛物线的方程;
(2)若点,问x轴上是否存在点,使得过点的任一条直线与抛物线交于点两点,且点到直线的距离相等?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
5.从抛物线上任意一点P向x轴作垂线段,垂足为Q,点M是线段上的一点,且满足.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)设直线与轨迹C交于A,B两点,T为C上异于A,B的任意一点,直线,分别与直线交于D,E两点,以为直径的圆是否过x轴上的定点?若过定点,求出符合条件的所有定点坐标;若不过定点,请说明理由.
6.如图,点F为抛物线:的焦点,点M是抛物线在第二象限上的一点,过点M作圆:的两条切线,交于A,B两点,抛物线在点M处的切线分别交轴,轴于点P,Q
(1)求证:为定值;
(2)是否存在点M,使得A,B,P三点共线,若存在,求M点坐标,不存在,说明理由
7.已知抛物线与圆一个交点的横坐标,的一条切线过点,与交于,两点,且点在点的右侧,为坐标原点.
(1)证明:;
(2)若过点的直线与交于不同的两点,.
①求直线的斜率的取值范围;
②是否存在一定点,使得为定值?若存在,求出定点和定值;若不存在.请说明理由.
8.已知抛物线,与圆有且只有两个公共点.
(1)求抛物线的方程;
(2)经过的动直线与抛物线交于两点,试问在直线上是否存在定点,使得直线的斜率之和为直线斜率的倍?若存在,求出定点;若不存在,请说明理由.
9.已知抛物线C的顶点在原点,对称轴是x轴,并且经过点.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线交抛物线C于异于点P的,两点,且,,为垂足.是否存在定点,使得为定值?若存在,求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.
10.已知三点,,,曲线上任意一点满足.
(1)求曲线的方程;
(2)动点在曲线上,曲线在点处的切线为.问:是否存在定点,使得与都相交,交点分别为,且与的面积之比是常数?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
11.已知抛物线经过点
(1)求抛物线的方程及其相应准线方程;
(2)过点作斜率为的两条直线分别交抛物线于和四点,其中.设线段和的中点分别为过点作垂足为证明:存在定点使得线段长度为定值.
12.已知抛物线:经过点,过点的直线与抛物线交于,两点.
(1)求抛物线的方程;
(2)在抛物线上是否存在定点,使得?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
13.已知抛物线的弦过焦点.
若轴,为抛物线准线与轴交点,求的大小;
若焦点弦斜率为(常数),则能否在抛物线准线上找到一点使中大小不变.
14.动圆过定点,且在轴上截得的弦的长为4.
(1)若动圆圆心的轨迹为曲线,求曲线的方程;
(2)在曲线的对称轴上是否存在点,使过点的直线与曲线的交点满足为定值?若存在,求出点的坐标及定值;若不存在,请说明理由.
15.已知抛物线L:()的焦点为F,过点的动直线l与抛物线L交于A,B两点,直线交抛物线L于另一点C,直线的最小值为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点A作y轴的垂线m,则x轴上是否存在一点,使得直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上?若存在,求该点的坐标及该定直线的方程;若不存在,请说明理由.
参考答案
1.(1)x2=4y;(2)存在,定点R(0,-2).
【分析】(1)由|PA|等于点P到直线y=-1的距离,结合抛物线的定义得出点P的轨迹方程;
(2)由对称性确定点R必在y轴上,再由∠MRQ=∠NRQ可得kMR+kNR=0,联立直线与抛物线方程,结合韦达定理求出定点R(0,-2).
【解析】(1)由题知,|PA|等于点P到直线y=-1的距离,故P点的轨迹是以A为焦点,y=-1为准线的抛物线,所以其方程为x2=4y.
(2)根据图形的对称性知,若存在满足条件的定点R,则点R必在y轴上,可设其坐标为(0,r)
此时由∠MRQ=∠NRQ可得kMR+kNR=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则+=0
由题知直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+2,与x2=4y联立得x2-4kx-8=0,
则x1+x2=4k,x1x2=-8
+=+=2k+=2k-=0
故r=-2,即存在满足条件的定点R(0,-2).
【点评】关键点睛:解决问题一时,关键是由抛物线的定义得出轨迹方程;解决问题二时,关键是由对称性得出点R必在y轴上,进而设出其坐标.
2.(1)证明见解析;(2)存在,.
【分析】(1)由题意设直线,,,将直线与抛物线方程联立求出两根之和、两根之积,求出直线以及直线,将两直线联立求出交点即证.
(2)由(1)知点N为的中点,取的中点E,则,利用抛物线的定义可得,,,,根据,可得,即,结合韦达定理即可求解.
【解析】解(1)由题知
所以
设直线,,
联立得
所以
对求导得
所以直线的斜率为
所以直线即①
同理直线②
联立①和②得
所以点N的坐标为,即点N在定直线上
(2)由(1)知点N为的中点
取的中点E,则
由题知
所以
所以
而,
若存在点N满足题意
则
即
所以即③
又因为④
将③代入④解得
由(1)知即
经检验,存在满足题意.
【点评】 本题考查了直线与抛物线的位置关系,解题的关键是由,,求出点N的坐标为以及,考查了计算能力、推理能力.
3.(1);(2)证明见解析;(3)存在满足题意的点,其坐标为和.
【分析】(1)设,与抛物线方程联立,利用根与系数的关系以及抛物线的定义得出、两点之间的距离;
(2)设,与抛物线方程联立,得出一元二次方程,通过计算得出,即可证得、、在同一条直线上;
(3)设点的坐标为,列方程组求出点关于直线的对称点为,将的坐标代入,可得点的坐标.
【解析】(1),设,联立得:
,;
(2)设,联立得:,
,,
,,
∴,∴、、在同一条直线上;
(3)设点的坐标为,点关于直线的对称点为,
则,解得:,
若在上,将的坐标代入,得或.
∴存在满足题意的点,其坐标为和.
【点评】 本题考查抛物线的定义,考查焦半径公式,考查直线与抛物线的位置关系,解决本题的关键点是通过设出直线方程,与抛物线方程联立化简,利用设而不求法以及,证得三点共线成立,考查了学生逻辑思维能力和计算能力,属于中档题.
4.(1);(2)存在;.
【分析】(1)设,利用点差法可得解;
(2)由题知为的角平分线,可得,设直线的方程为,与抛物线方程联立得,由韦达定理结合得,即对于任意的恒成立,可得答案.
【解析】(1)设,则
因为线段的中点的纵坐标为,则,
两式相减得.
所以,即抛物线的方程为
(2)假设存在这样的点满足条件,设为,
因为点到直线的距离相等,所以为的角平分线,
则,可得,显然直线的斜率不能为零,
故设直线的方程为,由联立得,
设,则有
得
即,整理得,
即,得,
即对于任意的恒成立,所以且此时满足,
所以存在点到直线的距离相等.
【点评】 本题考查求抛物线的方程,直线与抛物线相交问题:
(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,在使用根与系数的关系时,要注意使用条件,在用“点差法”时,要检验直线与圆锥曲线是否相交.
(2)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤:①设点,设出弦的两端点的坐标;②代入:将两端点的坐标代入曲线方程;③作差:将两式相减,再用平方差公式展开;④整理:转化为斜率和中点坐标的关系式,然后求解.
5.(1);(2)是,定点为和.
【分析】(1)设,用动点转移法求得轨迹的方程;
(2)设直线与曲线C的交点坐标为,,直线方程代入曲线方程,应用韦达定理得,设,写出直线方程求得两点坐标,若存在定点,利用(注意代入韦达定理的结论)求得定点.
【解析】 (1)设,则点Q的坐标为.
因为,
所以,
即,
因为点P在抛物线上,
所以,即.
所以点M的轨迹C的方程为.
(2)设直线与曲线C的交点坐标为,,
由得.
由韦达定理得.
设点,则.
所以直线的方程为.
令,得点D的坐标为.
同理可得点E的坐标为.
如果以为直径的圆过x轴某一定点,则满足.
因为
.
所以.
即,解得或.
故以为直径的圆过x轴上的定点和.
【点评】本题考查求抛物线方程,考查抛物线中的定点问题.解题方法是“设而不求”的思想方法,即设交点坐标为,设直线方程,代入椭圆方程后应用韦达定理得,代入定点对应的表达式,利用恒等式知识求得定点坐标.
6.(1)证明见解析;(2)存在点,使得A,B,P三点共线.
【分析】(1)设,求出坐标,直接计算求解即可;
(2)设过M的圆的切线方程为,利用圆心到直线距离等于半径得到方程,其两根,为两切线斜率,设直线:,转化为求关于t的方程是否有解.
【解析】(1)证明:设(),则切线的斜率,
所以切线方程为,即,
所以, 则
所以(定值)
(2)设过M的圆的切线斜率为,则切线方程为,
则
即: 其两根,为两切线斜率,
设,
则直线:
化简得:
若存在M,符合题意,则
又斜率公式知,同理
∴
代入并化简有
所以:,
解得或或,
由知,
故存在点,使得A,B,P三点共线.
【点评】本题主要考查了抛物线的简单几何性质,圆的切线的性质,函数与方程的思想,考查了运算能力,属于较难题目.
7.(1)证明见解析;(2)①;②存在;定点,.
【分析】(1)将抛物线方程和圆方程联立,消去,得到关于的方程,然后将交点的横坐标代入方程中,可求出圆的半径,求出过点的切线方程,再与圆方程联立求点,的坐标,可得到,,然后,可证得;
(2)①先判断直线的斜是否存在,再设出直线方程,与抛物线方程联立方程组,消元后使判别式大于零,可求出斜率的取值范围;
②假设存在点,则,然后对上式化简,再结合根与系数的关系,可得,要使此式为定值,只要,,求出点的坐标即可.
【解析】(1)联立抛物线与圆的方程:,得,
由题意,满足上述方程,所以
解得,所以的方程为.
由于点在上,且在第一象限,在第一象限的方程为,则,故过点的切线斜率为1,
所以在上过点的切线方程为,即.
与圆的方程联立,又点在点的右侧,所以,,
故,,,所以
(2)(1)若过点的直线斜率不存在,则的方程为,与只有一个交点,不合题意.由题意,设的方程为.
由得,
由于直线与交于不同的两点,,故,,
所以直线的斜率的取值范围是.
(2)假设存在点,设,,
则,.
由(1)得,,
当,时,
即当,时,.
故存在定点,不论为何值,为定值.
【点评】本题主要考查抛物线、圆、直线方程,定值等综合知识以及推理论证能力与运算求解能
力,属于较难题.
8.(1);(2)存在定点满足题意.
【分析】(1)联立方程,得,由可得值,即可得抛物线的方程;
(2)由题设,易得当直线的斜率不存在时,恒有;当直线的斜率存在时,设直线的方程为,,,联立方程,由韦达定理与斜率公式表示出,由列方程求解出即可.
【解析】(1)联立方程,得,
因为抛物线与圆有且只有两个公共点,
则,解得或,
又,所以,
所以抛物线的方程为;
(2)假设直线上存在定点,
当直线的斜率不存在时,,,
由题知,即恒成立.
当直线的斜率存在时,
设直线的方程为,,,
联立方程得,
则,,
由题知,
所以
,
整理得,
因为上式对任意成立,所以,解得,
故所求定点为.
【点评】本题主要考查了抛物线方程的求解,直线与抛物线的位置关系,抛物线中的定点问题,考查了学生的运算求解能力.
9.(1);(2)存在,定点M(9,0).
【分析】(1)利用抛物线经过点,求得,得到抛物线的方程;
(2)设直线的方程为,,,联立,消元得到,利用韦达定理,结合向量数量积坐标公式以及条件,得到或,确定出直线方程,进而求得结果.
【解析】(1)根据题意,可设抛物线C的方程为,
因为点在抛物线C上,所以,即,
所以抛物线的方程为.
(2)设直线的方程为,,,
联立,整理得,
,,,
因为,,
所以
.
因为,所以
,
即,
所以,
或,
则直线的方程为:或(舍去),
所以直线过定点,
因为,
所以点Q在以PH为直径的圆上所以存在定点M(9,0),使得为定值.
【点评】思路点睛:该题考查的是有关抛物线的问题,解题思路如下:
(1)根据题意,设出抛物线方程,根据点在抛物线上,点的坐标满足抛物线方程,求得结果;
(2)设出直线方程,与抛物线方程联立,结合韦达定理以及向量数量积坐标公式,结合向量垂直,得到等量关系,确定出直线过的定点,结合图形的特征,得到结果.
10.(1);(2)存在,
【分析】(1)利用坐标写出 ,,,即可求出,,再根据,化简即可求得曲线的方程;
(2)先假设存在,根据题意写出的方程,对进行讨论,联立方程解出,即可求得与的面积之比的表达式,利用其为常数,即可求得结论.
【解析】 (1),,
,,,
即,,
,
,
,
即,
化简得曲线C的方程:;
(2)假设存在点满足条件,
则,,
直线的方程是:,
的方程是,
动点在曲线上,
,
曲线C的方程:;
即,
则,
,
曲线C在Q处的切线l的方程是:,
与y轴交点为:,
,
,
,
①当时,,
,使得:,
,
时不符合题意;
②当时,
,
与一定相交,
联立:,
即,
解得:,
联立:,
即,
解得:,
,
又,
,
又,
,
对任意,
要使为常数,
则要满足:,
解得:,此时,
故存在,使与的面积之比是常数2.
【点评】 求轨迹方程的常见方法有:①直接法,设出动点的坐标,根据题意列出关于的等式即可;②定义法,根据题意动点符合已知曲线的定义,直接求出方程;③参数法,把分别用第三个变量表示,消去参数即可;④逆代法,将代入.
11.(1);准线;(2)存在,
【分析】(1)将点代入抛物线即可求解,再由抛物线的标准方程可得准线.
(2)设出直线:,直线:,将直线与抛物线联立,利用韦达定理以及中点坐标公式求出、,从而求出直线,,将两直线联立求出交点,得到点的轨迹是个圆,从而可得定点为圆心.
【解析】(1)将点代入抛物线,可得,
解得,所以抛物线方程:,
准线.
(2)由题意可得直线:,直线:,
联立 ,整理可得,
设,,则,,
所以,同理,
,
设,
:
,
:,联立 ,
解得,
,整理可得,
即,
所以点的轨迹是个圆,
故的坐标为,线段长度为定值.
【点评】 此题考查了直线与抛物线的位置关系,解题的关键是求出直线,的
交点,得到点的轨迹方程,考查了运算求解能力.
12.(1);(2)存在,.
【分析】(1)由抛物线过点,代入即可解得;
(2)依题意,设点,,直线的方程为,联立直线与抛物线消去,列出韦达定理由,即,再结合,,,整理可得;
【解析】 (1)因为抛物线:经过点,
所以,解得.
所以抛物线的方程是.
(2)根据题意.设点,,直线的方程为.
联立消去得,
则.
则,.设点,因为,
即,
结合,,,
得,
即,
化简得,
解得.所以,
所以抛物线上存在定点,使得.
【点评】本题考查待定系数法求抛物线方程,直线与圆锥曲线的综合应用,属于中档题.
13.;能(理由见解析).
【分析】根据抛物线的定义可知,,进而可知,,即可得出结果;
设过焦点的弦方程为,代入,得,结合韦达定理写出,并令其为,算出,即可得证.
【解析】 由抛物线的定义得,,在直角三角形中,
,同理,直角三角形中,,,
.
根据题意,可知焦点,设过焦点的弦方程为.
代入,得.
设该方程两根为,,,.
设抛物线准线上一点的坐标为,设,
则,,则:
.
令,即,
则,即.
解得.
故在抛物线准线上能找到一点,使.
【点评】本题考查抛物线的定义和性质,结合韦达定理,两直线的位置关系的知识点,考查转化与划归的思想,属于中档题.
14.(1).(2)存在点,定值为.
【分析】(1)设,由题意知:,利用距离公式及弦长公式可得方程,化简可得P的轨迹方程;
(2)假设存在,设、,由题意知直线的斜率必不为0,设直线的方程,与抛物线联立,利用根与系数关系可求得,当时,上式,与无关,为定值.
【解析】(1)设,由题意知:.
当点不在轴上时,过做,交于点,则为的中点,
,.
又,
,化简得;
当点在轴上时,易知点与点重合.也满足,
曲线的方程为.
(2)假设存在,满足题意.
设、.由题意知直线的斜率必不为0,
设直线的方程为.
由得.,.
,.
,
,
,
.
,
当时,上式,与无关,为定值.
存在点,使过点的直线与曲线的交点满足为定值.
【点评】本题考查轨迹方程、定值问题的求解,求轨迹方程,一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可,存在性与定值问题一般设存在,代入,结合韦达定理等知识消去参数求解,属于较难题型.
15.(1);(2)存在,,.
【分析】(1)显然当轴时,取得最小值,可得,即可得到所求抛物线方程;
(2)假设轴上存在一点,,使得直线与直线的交点恒在一条定直线上.设,,,,直线的方程为,联立抛物线方程,运用韦达定理,由的方程和直线的方程,联立求得交点,化简可得所求定点和定直线.
【解析】(1)设直线的倾斜角为,
所以由抛物线()的焦点弦公式得,
所以当,即当轴时,取得最小值.
把代入可得,
故,,
可得抛物线的方程为:.
(2)假设轴上存在一点,,使得直线与直线的交点恒在一条定直线上.
设,,,,直线的方程为,
联立抛物线方程,可得,
,,
直线的方程为即,
联立直线,
可得,
由,,可得,,
即有,
由假设可得,
即,此时,
可得存在定点,定直线为.
【点评】本题考查抛物线的方程和性质,考查直线和抛物线方程联立,运用韦达定理,考查方程思想和化简运算能力,属于中档题.
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