所属成套资源:2022高考数学圆锥曲线40个专题(含解析)
- 专题2:曲线的轨迹方程36页 试卷 5 次下载
- 专题3:用方程研究曲线的性质37页 试卷 6 次下载
- 专题4:椭圆的定义与方程24页 试卷 5 次下载
- 专题5:椭圆的对称性问题22页 试卷 6 次下载
- 专题6:椭圆的离心率问题26页 试卷 8 次下载
专题1:曲线与方程的概念18页
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这是一份专题1:曲线与方程的概念18页,共18页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题等内容,欢迎下载使用。
专题1:曲线与方程的概念一、单选题1.设方程表示的曲线是A.一个圆和一条直线 B.一个圆和一条射线C.一个圆 D.一条直线2.方程:所对应的曲线是( )A. B.C. D.3.在平面直角坐标系中,定义为两点,的“切比雪夫距离”,又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”,记作,给出下列三个命题:①对任意三点、、,都有;②已知点和直线:,则;③到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.其中正确的命题有( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.方程所表示的曲线的图形是( )A. B. C. D.5.如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确,那么以下正确的命题是( )A.曲线上的点的坐标都满足方程B.坐标满足方程的点有些在上,有些不在上C.坐标满足方程的点都不在曲线上D.一定有不在曲线上的点,其坐标满足方程6.已知直线l的方程是,点不在直线l上,则方程表示的曲线是A.直线l B.与l垂直的一条直线C.与l平行的一条直线 D.与l平行的两条直线7.方程表示的曲线满足( )A.关于轴对称 B.关于轴对称 C.关于原点对称 D.以上说法都不对8.方程表示的曲线是( )A.一条直线 B.两条直线 C.一个圆 D.两个半圆二、多选题9.已知点的坐标分别是,经过点的直线相交于点,且它们的斜率分别为,下列命题是真命题的有( )A.若,则的轨迹是椭圆(除去两个点)B.若,则的轨迹是抛物线(除去两个点)C.若,则的轨迹是双曲线(除去两个点)D.若,则的轨迹是一条直线(除去一点)三、填空题10.设函数由方程确定,下列结论正确的是________(请将你认为正确的序号都填上)① 是上的单调递减函数;② 对于任意,恒成立;③ 对于任意,关于的方程都有解;④ 存在反函数,且对任意,总有成立.11.关于曲线,给出下列四个结论:①曲线C关于原点对称,但不关于x轴、y轴对称;②曲线C恰好经过4个整点(即横、纵坐标均为整数的点);③曲线C上任意一点都不在圆的内部;④曲线C上任意一点到原点的距离都不大于.其中,正确结论的序号是________.12.已知点在以原点为圆心的单位圆上运动,则点的轨迹方程是________13.已知命题方程表示的图形是双曲线的一支和一条直线;命题已知椭圆,过点的直线与椭圆相交于两点,且弦被点平分,则直线的方程为.则下列四个命题①;②;③;④中,是真命题的是________(只写出序号).14.关于曲线,有如下结论:①曲线C关于原点对称;②曲线C关于直线x±y=0对称;③曲线C是封闭图形,且封闭图形的面积大于2π;④曲线C不是封闭图形,且它与圆x2+y2=2无公共点;⑤曲线C与曲线有4个交点,这4点构成正方形.其中所有正确结论的序号为__.15.关于曲线的下列说法:(1)关于点对称;(2)关于直线轴对称;(3)关于直线对称;(4)是封闭图形,面积小于;(5)是封闭图形,面积大于;(6)不是封闭图形,无面积可言.其中正确的序号是________.16.平面直角坐标系中,,若曲线上存在一点,使,则称曲线为“合作曲线”,有下列曲线①;②;③;④;⑤,其中“合作曲线”是__________.(填写所有满足条件的序号)
参考答案1.A【分析】根据题意得到且,或,画出图像,分别判断得到答案.【解析】,故且,如图所示:画出图像知,表示一条直线;或,即表示一个圆.故选:.【点评】本题考查了方程表示的曲线,漏解是容易发生的错误.2.D【分析】由时,,利用其定义域,奇偶性和值域判断.【解析】当时,,因为定义域为,排除C,该函数为偶函数,排除A,又,当且仅当时,取等号,排除B,故选:D.3.C【分析】①讨论,,三点共线,以及不共线的情况,结合图象和新定义,即可判断;②设点是直线上一点,且,可得,,讨论,的大小,可得距离,再由函数的性质,可得最小值;③设定点,且相等距离为1,从而可判断出命题的真假.【解析】① 对任意三点、、,若它们共线,设,、,,,,如图,结合三角形的相似可得,,为,,,或,,,则;若,或,对调,可得;若,,不共线,且三角形中为锐角或钝角,如图,由矩形或矩形,;则对任意的三点,,,都有,故①正确;②设点是直线上一点,且,可得,,由,解得,即有,当时,取得最小值;由,解得或,即有,的范围是,无最值;综上可得,,两点的“切比雪夫距离”的最小值为;故②正确;③假设定点,到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等且距离为1的点为,则到定点的距离为1的点的轨迹为单位圆;到的“切比雪夫距离”的距离为1的点,所以,即或显然点的轨迹为正方形,所以只有四个点符合要求,故③错误;故选:C【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查数形结合思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题.4.D【分析】根据所给曲线方程可知,曲线由和构成,即可选出.【解析】因为方程所以可得或,即或,且所以曲线为直线与圆在直线的右边部分构成,故选D.【点评】本题主要考查了方程与曲线的概念及直线与圆的方程,属于中档题.5.D【分析】利用曲线与方程的关系,命题的否定即可得出答案.【解析】因为命题“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确,所有命题“坐标满足方程的点不都在曲线上”正确,即“一定有不在曲线C上的点,其坐标满足方程,因此D正确. 故选:D.6.C【分析】根据两直线方程和特征,判定其平行 即可.【解析】因为点不在直线l上,所以是不为0的常数,所以方程表示过点且与直线l平行的一条直线.故选: C.【点评】本题考查了利用两直线方程判定直线平行,属于基础题.7.C【分析】根据对称的性质,将方程中的用替换,用替换,看方程是否与原方程相同.【解析】依题意得,在方程中,用替换,用替换得:,即方程不变,而点与点关于原点对称,所以方程表示的曲线关于原点对称.故选:C.【点评】本题考查点关于轴的对称点为;关于轴的对称点为;关于原点的对称点为;关于的对称点为.8.D【分析】方程两边平方后可整理出方程,由于|x|>1,从而可推断出方程表示的曲线为两个相离的半圆.【解析】 由题意,首先|x|>1,平方整理得(|x|-1)2+(y-1)2=1,若x>1,则是以(1,1)为圆心,以1为半径的右半圆 若x<-1,则是以(-1,1)为圆心,以1为半径的左半圆 总之,方程表示的曲线是以(1,1)为圆心,以1为半径的右半圆与以 (-1,1)为圆心,以1为半径的左半圆合起来的图形 故选D.【点评】本题的考点是曲线与方程,主要考查了曲线与方程的关系.解题的过程中注意x的范围,注意数形结合的思想.9.BCD【分析】设,根据条件求出点的轨迹方程,确定轨迹.【解析】设,A.,化简得,不是椭圆方程,A错;B.,化简得,是抛物线方程,轨迹是抛物线(去掉的两点),B正确;C.,化简得,双曲线方程,轨迹是双曲线(除去两顶点),C正确;D.,,,化简得,轨迹是直线,去除点,D正确,故选:BCD.【点评】本题考查求动点的轨迹,解题方法是求出动点的轨迹方程,通过方程确定轨迹.10.①②③④【分析】首先化简所给的方程,画出其对应的图像,然后逐一考查所给的结论是否正确即可.【解析】方程等价于:,绘制其对应的曲线如图所示:据此考查所给的性质:① 由函数图像可知是上的单调递减函数;② 注意到两段双曲线的渐近线均为,故对于任意,恒成立;③ 很明显函数的值域为R,故对于任意,关于的方程都有解;④ 很明显单调递减函数的定义域、值域均为,且函数关于直线对称,故存在反函数,且对任意,总有成立.综上可得,结论正确的是①②③④.故答案为①②③④.【点评】本题主要考查分类讨论的数学思想,反函数的性质,双曲线的渐近线,圆的方程及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.①④【分析】根据关于原点、x轴、y轴对称的横纵坐标特点,代入即可判断①;取的整数值,代入求得的值即可判断②;由基本不等式确定的最大值,即可判断③;由两点间距离公式及基本不等式,化简即可判断④;【解析】曲线,对于①,将替换,替换,代入可得,所以曲线C关于原点对称;将替换,代入可得,所以曲线C不关于y轴对称;将替换,代入可得,所以曲线C不关于轴对称;所以①正确;对于②,当时,代入可得,所以经过;当时,代入可得,所以经过;当时,代入可得,所以经过;当时,代入可得,所以经过;所以至少有六个整点在曲线C上,所以②错误;对于③,由可知,而,所以,解得,即,则,同理,解得,所以,则③错误;对于④,由③可知,所以,故④正确,综上可知,正确的为①④,故答案为:①④.【点评】本题考查了由曲线方程研究曲线性质的应用,由基本不等式确定取值范围的应用,属于中档题.12.【分析】先设出点的坐标,进而根据定义得出和,利用圆的半径为1,代入圆的方程,进而求得和的关系,则得出点的轨迹方程.【解析】设,则因为点在以原点为圆心的单位圆上,所以,则:,且所以点的轨迹方程是,即.故答案为:.【点评】本题主要考查点的轨迹方程,通过两点坐标关系,代入已知方程得出所需的点的关系式即为轨迹方程.13.②④.【分析】先判定命题和命题真假,根据复合命题真假判定,即可求得答案.【解析】求解命题方程或当时,即,此时表示的是双曲线当时,即(),此时表示的是射线故命题是假命题求解命题直线与椭圆相交于,两点,设 则两式相减: 为的中点,直线的方程为 整理得:.故命题是真命题根据复合命题真假判定可知:对于①,是假命题;对于②,是真命题;对于③,是假命题;对于④,是真命题.故答案为:②④.【点评】本题考查了复合命题真假判断,解题关键是掌握复合命题基础知识和椭圆的中点弦求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.14.①②④⑤【分析】分析关于原点对称的两点与,是否都在曲线上,即可判断①;分析关于直线与对称,点与,点与是否都在曲线上,即可判断②;根据,,可判断③;联立方程,可判断④⑤;【解析】 对于①,将方程中的换成,换成方程不变,故①正确;对于②,将方程中的换成,换成方程不变;或将方程中的换成,换成方程不变,故②正确;对于③,由方程得,,故曲线不是封闭图形,故③错;对于④,联立曲线圆,方程组无解,无公共点,故④正确;对于⑤,当,时,联立曲线与只有一解,根据对称性,共有有4个交点,这4点构成正方形,正确.故答案为:①②④⑤【点评】本题考查了命题真假的判定,属于基础题.15.(1)(2)(5)【分析】将方程中换成,换成,可判断(1)(2);将互换可判断(3);根据的有界性和取值范围可判断(4)(5)(6).【解析】曲线方程将方程中换成,换成,曲线C的方程都不变,所以(1)(2)正确;将互换,方程变为,方程发生改变,所以(3)错误;在曲线上任取一点,则即,所以是封闭图形,(6)错误;因为,所以因而即,所以在圆的外面所以封闭图形的面积大于,所以(4)错误,(5)正确.综上可知, 正确的序号是(1)(2)(5)故答案为: (1)(2)(5)【点评】本题考查了曲线的方程及性质的综合应用,属于中档题.16.①③④【解析】由题意,满足合作曲线,则说明曲线过单位圆内,如图,曲线①(黄色圆)、曲线③(蓝色双曲线)、曲线④(绿色椭圆)过单位圆内,为合作曲线,即答案为①③④.
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