初中数学人教版八年级上册15.2.2 分式的加减精品同步达标检测题

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专训15.2.2 分式的加减法一、解答题1．（2021·全国·八年级课时练习）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】根据同分母的分式加减法计算法则计算即可．【详解】解：（1）原式；（2）原式．【点睛】此题主要考查了同分母分式的加减，关键是掌握同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．2．（2021·全国·八年级课时练习）计算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）1．【分析】利用同分母分式的加减计算法则进行计算即可．【详解】解：（1）原式，；（2）原式，；（3）原式，，．【点睛】此题主要考查了分式的加减，关键是掌握同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．3．（2021·全国·八年级课时练习）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先化成同分母，再利用同分母分式的加法法则解题，注意负号的作用；（2）先化成同分母，再利用同分母分式的加法法则，结合完全平方公式解题．【详解】解：（1）；（2）【点睛】本题考查分式的加法，涉及完全平方公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．4．（2021·全国·八年级课时练习）计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）根据同分母分式的运算法则解题，注意负号的作用；（2）利用同分母分式的减法法则，结合平方差公式进行计算；（3）利用同分母分式的减法法则，结合提公因式化简解题；（4）根据同分母分式的加减法法则解题．【详解】解：（1）；（2）；（3）；（4）．【点睛】本题考查分式的加减混合运算，涉及平方差公式、提公因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．5．（2021·全国·八年级课时练习）计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】根据同分母的分式加减法计算法则计算即可．【详解】解：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．【点睛】此题主要考查了分式的加减运算，关键是掌握同分母式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．6．（2021·湖南·汨罗市弼时镇弼时初级中学八年级期中）观察下面的变形规律： ＝1－； ＝－；＝－；……解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想＝                ．（2）若n为正整数，请你用所学的知识证明 ；（3）求和：＋＋＋…＋．【答案】（1）；（2）见解析；（3）．【分析】（1）根据前面的规律，猜想计算即可；（2）利用通分，比较等号的两边即可 ；（3）运用规律计算．【详解】（1）∵ ＝1－； ＝－；＝－,∴＝．（2）∵ =，∴；（3）∵，∴＋＋＋…＋=1－+－+－+…＋=1－=．【点睛】本题考查了分式中运算规律，通分，熟练掌握发现规律的基本思路是解题的关键．7．（2021·山东·济宁市实验初中八年级月考）计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）-2．【分析】（1）先将第二个分式进行乘方运算，再利用分式的除法法则进行计算即可；（2）先将分式进行通分，然后进行减法计算即可；（3）先将括号里的分式进行通分，进行减法运算，再利用除法法则进行计算即可；（4）先将第二个分式进行变形，将其变成，再进行分式的加法运算即可．【详解】解：（1）原式===；（2）原式==；（3）原式===；（4）原式======-2．【点睛】本题考查了分式的加法运算，分式减法运算，分式除法运算，分式乘法运算，乘方运算等知识．通分是解题的关键．8．（2021·全国·八年级课时练习）某工厂储存了a天用的煤，要使储存的煤比预定的时间多用d天，每天应节约用煤多少吨？【答案】【分析】根据：节约用煤=原计划用煤-实际用煤，先求出原计划每天用煤，然后求出实际每天用煤，即可得出需要每天节约的吨数．【详解】解：原计划每天用煤，要使储存的煤多用d天，则一共可使用天，每天使用，则每天应节约用煤：（吨）．【点睛】题目主要考查了列代数式和分式的计算，根据题意正确表示计划每天用煤和实际每天用煤是解题关键．9．（2021·全国·八年级课时练习）某人用电脑录入汉字文稿的速度相当于手抄的3倍，设他手抄的速度为a字，那么他录入3000字文稿比手抄少用多长时间？【答案】【分析】先利用速度公式分别表示出电脑录入和手抄的时间，然后求它们的差即可．【详解】解：设他手抄的速度为字，则用电脑录入汉字文稿的速度为字，所以他录入3000字文稿比手抄少用多长时间为，即．【点睛】本题考查了列代数式（分式）：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．10．（2021·全国·八年级课时练习）计算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）先把分母都化为 再按照同分母分式的加减运算进行计算即可；（2）先把分母都化为 再按照同分母分式的加减运算进行计算即可；（3）先把分母都化为 再按照同分母分式的加减运算进行计算即可；【详解】解：（1）；（2）； （3） 【点睛】本题考查的是分式的加减运算，掌握先通分，再按照同分母分式的加减运算进行分式的加减运算是解题的关键.11．（2021·全国·八年级课时练习）计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）原式先通分，再根据同分母分式加减法计算法则计算即可求解；（2）原式先通分，再根据同分母分式加减法计算法则计算即可求解；（3）原式先通分，再根据同分母分式加减法计算法则计算即可求解；（4）原式先通分，再根据同分母分式加减法计算法则计算即可求解．【详解】解：（1），，；（2），，；（3），，，，；（4），，，．【点睛】本题考查了分式的加减法，异分母分式相加减时，先通分，变为同分母分式，再进行加减运算是解题关键．12．（2021·全国·八年级课时练习）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】异分母分式相加减，先进行通分，将异分母分式化成同分母分式，再进行加减运算．【详解】解：（1）原式，，，；（2）原式，，，，．【点睛】此题主要考查了分式的加减法，关键是掌握异分母分式加减法法则，注意结果要化简．13．（2021·浙江浙江·七年级期末）按条件求值：①若分式的值是整数，求非负整数x的值．②已知分式可以写成，利用上述结论解决；若分式表示一个整数，求整数x的值．③化简：，再从0，，五个数中，选择一个你最喜欢的数代入并求值．【答案】①3；②3或5或9或-1；③，1【分析】①根据分式的值是整数可得x+2=±5，从而求出x；②将分式变形为，参照①中方法即可求出x；③首先通分，计算括号里面分式的减法，然后再计算括号外的除法，化简后，再根据分式有意义的条件确定x的值，然后代入x的值即可．【详解】解：①分式的值是整数，∴x+2=±5，∴x=3或x=-7，∵x为非负整数，∴x=3；②==，∴x-4=±1或±5，∴x=3或5或9或-1；③====∵x不能取0，3，2，-3，∴x=-2时，原式==1．【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握分式的除法和减法计算法则，正确把分式进行化简．14．（2021·浙江温岭·一模）下面是某同学在完成作业本（2）第5题第（2）小题的过程．……①……②……③上面的解题过程________（填“正确”或“错误”）；如果正确，请写出每一步的依据；如果有错，请写出从第几步开始出错，并写出正确的解题过程．【答案】错误，从第①步开始出错，正确的解题过程见解析．【分析】根据分式的减法法则即可得．【详解】由分式的减法法则可知，上面的解题过程错误，从第①步开始出错，正确的解题过程如下：，，．【点睛】本题考查了分式的减法，熟练掌握运算法则是解题关键．15．（2021·湖南·长沙麓山国际实验学校八年级期中）先化简，再求值：，其中．【答案】x，5．【分析】采用完全平方公式、平方差公式、提公因式等方法，将式子因式分解，约分化为最简，再代入数值计算即可．【详解】解：当时，原式．【点睛】本题考查分式的化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式、提公因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．16．（2021·湖南·长沙麓山国际实验学校八年级期中）【答案】【分析】括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可【详解】解：．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．17．（2021·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）先化简，再求值： ， 其中x=3【答案】，3【分析】把分式进行化简，然后计算括号内的减法运算，再计算分式除法运算，得到最简分式，再把代入计算，即可得到答案．【详解】解：原式=[]，=[]，=，=；当时，原式==3；【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题．18．（2021·北京八中八年级期中）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）将各项进行分解因式，再进行计算即可得，（2）将括号内的式子通分进行减法运算，然后将除法转化为乘法进行计算即可得．【详解】解：（1）原式；（2）原式．【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握混合运算的运算法则．19．（2020·湖北·通山县慈口乡慈口中学九年级月考）先化简，再求值（）•，其中x＝2＋，y＝2﹣．【答案】﹣，﹣．【分析】先将分式的分子和分母因式分解，根据分式的混合运算法则化简，然后再代入求值即可．【详解】解：（）•∵x＝2+，y＝2﹣，∴原式＝．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．（2021·湖南·衡阳市华新实验中学八年级月考）我们知道：若则；若则；若则因此，我们可以根据两个数之差的情况，来判断这两个数的大小．下面是小明利用这个结论解决问题的过程：若、为任意的实数，试比较代数式与的大小．，试仿照小明的做法，解决下面的问题：若，试比较与的大小．【答案】【分析】根据题意两个分式作差，进而判断其结果的符号即可判断二者大小关系【详解】，则【点睛】本题考查了作差比较大小，分式的加减运算，理解题意正确的计算是解题的关键．21．（2021·江西省临川第二中学八年级月考）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，解决下列问题：（1）分式是____（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式_____；（2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值；【答案】（1）真分式， ；（2）0，1，3，4【分析】（1）根据当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式化为带分式的方法，即可求解；（2）先将化为带分式，可得到只需要 为整数，再由为整数，可得到当 时， 为整数，即可求解．【详解】解：（1）根据题意得：分式是真分式；；（2），∵分式的值为整数，∴只需要 为整数即可，又∵为整数，∴当 时， 为整数，解得： 或1或3或4，即满足条件的整数的值为0，1，3，4．【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，理解“真分式”“假分式”“带分式”的定义以及转化方法是解题的关键．22．（2021·山东青岛·八年级单元测试）阅读下列材料：小铭和小雨在学习过程中有如下一段对话：小铭：“我知道一般当m≠n时，m2＋n≠m＋n2．可是我见到有这样一个神奇的等式：（）2＋＝＋（）2（其中a，b为任意实数，且b≠0）．你相信它成立吗？”小雨：“我可以先给a，b取几组特殊值验证一下看看．”完成下列任务：（1）请选择两组你喜欢的、合适的a，b的值，分别代入阅读材料中的等式，写出代入后得到的具体等式并验证它们是否成立；①当a＝2，b＝3时，等式__________（填写“成立”或“不成立”）；②当a＝3，b＝5时，等式__________（填写“成立”或“不成立”）．（2）对于任意实数a，b（b≠0），通过计算说明（）2＋＝＋（）2是否成立．【答案】（1）①成立；②成立；（2）成立【分析】（1）①把a与b的值代入两边的代数式中计算即可，若值相等则成立，否则不成立；②把a与b的值代入两边的代数式中计算即可，若值相等则成立，否则不成立；（2）分别把等式两边通分并化简，结果相等则成立，否则不成立．【详解】（1）①成立；②成立．（2）∵左边＝（）2＋＝＝，右边＝＋（）2＝＋＝．所以等式（）2＋＝＋（）2成立．【点睛】本题考查了求代数式的值，分式加法运算，体现了由特殊到一般的数学思想，掌握分式的加法运算法则是关键．23．（2021·全国·八年级课时练习）甲､乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000kg，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．设两次购买的饲料单价分别为m元/kg和n元/kg（m，n是正数，且m≠n），那么甲､乙所购饲料的平均单价各是多少？哪一个较低？【答案】甲购饲料的平均单价是元；乙购饲料的平均单价是元；乙购饲料的平均单价较低【分析】由于甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．设两次购买饲料的单价分别为m元/千克和n元/千克（m，n是正数，且m≠n），由此可以得到甲、乙两次用的总钱数和总饲料数，接着就可以求出各自平均单价．【详解】解：∵甲每次购买1000千克，两次购买饲料的单价为m元/千克和n元/千克，∴甲的平均单价为：，而乙每次用去800元，两次购买饲料的单价为m元/千克和n元/千克，∴乙的平均单价为：，而m，n是正数，且m≠n，∴，∴乙所购买的饲料的平均单价较低．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系求出两次平均价格，接着利用分式的混合运算法则计算即可解决问题，熟练掌握分式的运算法则是关键．24．（2021·全国·八年级课时练习）小刚家和小丽家到学校的路程都是，其中小丽走的是平路，骑车速度是．小刚需要走的上坡路､的下坡路，在上坡路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为．那么（1）小刚从家到学校需要多长时间？（2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间？【答案】（1）；（2）【分析】（1）分别求出小刚上坡路走的时间和下坡路走的时间，然后求出小刚从家到学校需要的时间；（2）求出小丽在路上花费的时间，比较时间的长短，然后求出少用的时间．【详解】解：（1）小刚上坡路走的时间：，下坡路走的时间：，总时间为：；（2）小丽花费的时间为：，∵，∴小丽花费的时间短，少用了．【点睛】本题考查了分式方程的应用，分式加减的计算，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，注意题中相关量要用合适的分式表示出来．25．（2021·江苏鼓楼·八年级期末）将克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为．（1）再往杯中加入克糖，生活中的经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为______；A．    B．    C．（2）请证明你的选择．【答案】（1）A；（2）见解析【分析】（1）根据题意，可以写出相应的不等式，从而可以解答本题；
（2）根据作差比较法，可以证明（1）中的结论成立．【详解】（1）由题意可得， 故选A（2）利用作差法比较大小：，，，即，，即．【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是写出相应的式子，会用作差比较法比较两个式子的大小．26．（2021·山东·济宁市第十三中学八年级月考）有这样一段叙述：“要比较与的大小，可以先求出与的差，再看这个差是正数、负数还是0”．由此可见，要比较两个代数式的值的大小，只要考查它们的差即可．问题：甲、乙两人两次同时去同一个商店购买水果（假设两次购水果的单价不同，分别为元，元，），甲每次购水果20千克，乙每次购水果用去20元．（1）用含，的代数式表示：甲两次购水果共付          元；乙两次共购          千克水果；甲两次购水果的平均单价为          元/千克，乙两次购水果的平均单价为          元/千克；（2）现规定：谁购水果的平均单价低，谁购水果的方式就合算，请你判断甲、乙两人的购水果方式哪一个更合算？并说明理由．【答案】（1）（20x＋20y）；（）；；（2）乙购买水果的方式更合算些，理由见解析【分析】（1）根据两次购买水果的单价及买的千克数，表示出甲两次买水果的钱数即可；用20元除以两次单价，相加即可得到乙购买水果的千克数；表示出甲两次购买水果的平均单价为Q1元，乙两次购买水果的平均单价为Q2元即可；（2）由（1）得到Q1−Q2，通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用完全平方公式整理后判断差为正数，可得出Q1＞Q2，即乙购买水果的方式更合算些．【详解】解：（1）甲每次购买水果共需要付款（20x＋20y）元；乙两次共购买（）千克的水果；甲两次购水果的平均单价Q1＝，乙两次购水果的平均单价Q2＝40÷（）=；故答案为：（20x＋20y）；（）；；（2）乙购买水果的方式更合算些，理由为：Q1−Q2＝-=，∵x≠y，x＞0，y＞0，∴（x−y）2＞0，2（x＋y）＞0，∴＞0，∴Q1−Q2＞0，即Q1＞Q2，∴乙购买水果的方式更合算些．【点睛】此题考查了分式混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．在通常情况下，判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以．27．（2021·北京昌平·八年级期中）阅读下列文字，解答问题：俗话说的好“处处留心皆学问”，生活中处处有数学，小明为了研究在物价波动时如何买东西最合算，做了一个小调研：某一粮店同一品种粮食在两个不同时段的粮价不同，假设x，y分别表示两个时段粮食的单价（单位：元/千克）（1）李阿姨分别在两个时段各购买此品种粮食10千克，若用Q1表示李阿姨两次购粮的平均单价，试用含x，y的代数式表示Q1；（2）王奶奶分别在两个时段各花10元购买此品种粮食，若用Q2表示王奶奶两次购粮的平均单价，试用含x，y的代数式表示Q2；（3）一般地，“要比较a与b的大小，可先求出a与b的差，再看这个差是正数、负数还是零”．由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以了试判断：谁两次购粮的平均单价低，并说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）王奶奶的购粮方式更合算．【分析】（1）根据平均单价=，代入可得结论；
（2）先计算王奶奶两次购买的粮食重量，再代入平均单价=，计算即可；
（3）利用差比较大小，小的合算．【详解】解：（1）李阿姨第一次购买粮食付款10x元，第二次购买粮食付款10y元，两次共付款（10x+10y）元，
∴Q1==；
（2）王奶奶第一次购买粮食千克，第二次购买粮食千克，故两次共购买粮食（+）千克，
∴Q2==；
（3）要判断谁更合算，就是判断Q1、Q2的大小，小的更合算些，
∵Q1-Q2=-=，且x≠y，
∴（x-y）2＞0而2（x+y）＞0，
∴Q1-Q2＞0，
故Q1＞Q2，
∴王奶奶的购粮方式更合算．【点睛】本题考查了分式的混合运用和实际应用问题，明确平均单价=是本题的关键，同时要注意分式大小的比较，方法较多，本题利用了作差比较大小，另外还可以作商、平方法等比较大小．28．（2021·四川·富顺第二中学校八年级开学考试）如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为的正方形减去一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为的正方形．（1）第一年，两块试验田分别收获小麦．①这两块试验田中，单位产量高的试验田是_______________；②高的单位产量比低的单位产量多了多少；（2）经过一年的试验后，第二年，两块试验田产量都比前一年有增长，并且“丰收1号”试验田增产更多．已知两块试验田的单位产量相同且“丰收1号”比“丰收2号”多收获，求“丰收1号”试验田第二年的产量．【答案】（1）①“丰收2号”；②；（2） 【分析】（1）①先用a表示出两块试验田的面积，比较出其大小，再根据其产量相同可知面积较小的单位面积产量高即可得出结论；②根据①中两块试验田的面积及其产量，求出其差即可；（2）可设“丰收2号”试验田第二年的产量是kg，则“丰收1号”试验田第二年的产量是（x＋100）kg，根据两块试验田的单位产量相同列方程求解即可．【详解】解：（1）①∵“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a-1）米的正方形，∴“丰收1号”小麦的试验田的面积=，“丰收2号”小麦的试验田的面积=，∵，由题意可知，a＞1，∴2（a-1）＞0，即∴这两块试验田中，单位产量高的试验田是“丰收2号”，故答案为：“丰收2号”；②∵“丰收1号”小麦的试验田的面积=，“丰收2号”小麦的试验田的面积=，两块试验田的小麦都收获了400kg，∴“丰收2号”小麦的试验田小麦的单位面积产量高，∴，答：高的单位产量比低的单位产量多了；（2）设“丰收2号”试验田第二年的产量是xkg，则“丰收1号”试验田第二年的产量是（x＋100）kg，由题意得：，解得：x=50a-50，则x+100=50a+50，答：“丰收1号”试验田第二年的产量是（50a＋50） kg．【点睛】本题考查一元一次方程的应用、因式分解的应用，熟练掌握运用因式分解解决问题是解题的关键．29．（2021·江苏·南京玄武外国语学校八年级期中）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题新结论的重要方法．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式的和的形式．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）假分式可化为带分式__________形式；（2）利用分离常数法，求分式的取值范围；（3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的最小值．【答案】（1）﹔（2）；（3）27【分析】（1）按照阅读材料方法，把变形即可；（2）用分离常数法，把原式化为，由即可得答案；（3）用分离常数法，把原式化为，根据已知用的代数式表示、和，配方即可得答案．【详解】解：（1），故答案为：；（2），，，∴，；（3），∴，，，，，，∴，，，当时，最小值是27．【点睛】本题考查了分式的变形、运算，解题的关键是应用分离常数法，把所求分式变形．