2020-2021学年初三（上）12月月考数学试卷

这是一份2020-2021学年初三（上）12月月考数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. −2的绝对值是( )
A.2B.12C.−12D.−2

2. 如图是一个七等分圆盘，随意向其投掷一枚飞镖，则飞镖落在圆盘中任何一个点上的机会都相等．由于各个小扇形大小一样，因此飞镖落在红、黄、绿区域上的概率分别为P1，P2，P3，则下列正确的是( )

A.P1=P2=P3B.P1>P2>P3C.P1=P2>P3D.P1>P2=P3

3. 在反比例函数y=1−2mx的图象上有两点A(x1, y1)，B(x2, y2)，当x1y2时，x的取值范围．

只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润从哥德巴赫猜想的研究中取得世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”．如20=3+17．
(1)若从7，11，19，23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是19的概率是________；

(2)从7，11，19，23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，再用画树状图或列表的方法，求抽到两个素数之和小于30的概率．

关于x的一元二次方程x2+2k+1x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2.
(1)求实数k的取值范围；

(2)若方程两实根x1，x2，满足x1+x2=3−x1⋅x2，求k的值．

如图， ⊙O是Rt△ABC的外接圆， ∠ABC=90∘ ，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．

(1)求证： ∠BCA=∠BAD.

(2)求证：BE是⊙O的切线．

农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：

(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；

(2)若日销售利润为W，则当x取何值时W最大？最大值是多少？

如图①，在等腰Rt△ABC中， ∠BAC=90∘ ，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90∘ ，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．

(1)请直接写出线段AF，AE的数量关系：________.

(2)①将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；
②若AB=45，CE=4，在图②的基础上将△CED绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度．

如图1，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于点A−2,0和点B4,0．
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；

(2)如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D2,4在该抛物线上，求四边形ACFD的面积；

(3)在(2)的条件下，若点P是线段AB上的动点（点P不与点A，B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ，DQ．是否存在点Q，使△ADQ是直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省十堰市某校初三（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
绝对值
【解析】
根据绝对值的性质计算，a是正有理数时，a的绝对值是它本身a．
【解答】
解：|−2|=2，
故选A．
2.
【答案】
D
【考点】
概率公式
【解析】
由图可得，红色区域的面积最大，绿色区域和黄色区域的面积相等，进而得到概率之间的关系.
【解答】
解：由图可得，红色区域的面积最大，绿色区域和黄色区域的面积相等，
∴ 飞镖落在红区域上的概率最大，黄、绿区域上的概率相等，
∴ P1>P2=P3.
故选D.
3.
【答案】
C
【考点】
解一元一次不等式
反比例函数的性质
【解析】
考查反比例函数图象的特点，当k>0时，图象在一三象限，k0，
∴ k>34.
2由韦达定理得：
x1+x2=−2k+1，x1⋅x2=k2+1，
∵ x1+x2=3−x1⋅x2，
∴ −2k+1=3−k2+1，
解得k1=3，k2=−1，
又由1得k>34，
∴ k=3.
【答案】
证明：(1)∵BD=BA,
∴∠BDA=∠BAD.
∵∠BCA=∠BDA，
∴∠BCA=∠BAD.
(2)连接OB，如图，
∵∠BCA=∠BDA，∠BCE=∠BAD，
∴∠BCA=∠BCE.
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠BCE=∠CBO.
∴ OB//ED，
∵ BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴BE是⊙O的切线．
【考点】
圆周角定理
圆心角、弧、弦的关系
切线的判定
【解析】
（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得出即可；
（2）连接BO，求出OB//DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可.
【解答】
证明：(1)∵BD=BA,
∴∠BDA=∠BAD.
∵∠BCA=∠BDA，
∴∠BCA=∠BAD.
(2)连接OB，如图，
∵∠BCA=∠BDA，∠BCE=∠BAD，
∴∠BCA=∠BCE.
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠BCE=∠CBO.
∴ OB//ED，
∵ BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴BE是⊙O的切线．
【答案】
解：(1)假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b，
则30k+b=600，40k+b=300，
解得：k=−30，b=1500，
∴ p=−30x+1500，
检验：当x=35，p=450；当x=45，p=150；当x=50，p=0，均符合一次函数解析式，
∴ 所求的函数关系为p=−30x+1500．
(2)设日销售利润W=p(x−30)=(−30x+1500)(x−30)，
即W=−30x2+2400x−45000=−30(x−40)2+3000，
∴ 当x=40时，W有最大值3000元，
故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大，最大为3000元．
【考点】
待定系数法求一次函数解析式
二次函数的应用
【解析】
（1）首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；
（2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可；
（3）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，再分两种情况进行讨论，依据二次函数的性质求得a的值．
【解答】
解：(1)假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b，
则30k+b=600，40k+b=300，
解得：k=−30，b=1500，
∴ p=−30x+1500，
检验：当x=35，p=450；当x=45，p=150；当x=50，p=0，均符合一次函数解析式，
∴ 所求的函数关系为p=−30x+1500．
(2)设日销售利润W=p(x−30)=(−30x+1500)(x−30)，
即W=−30x2+2400x−45000=−30(x−40)2+3000，
∴ 当x=40时，W有最大值3000元，
故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大，最大为3000元．
【答案】
AF=2AE
(2)①如图②中，结论：AF=2AE，
理由：连接EF，
∵ 四边形ABFD是平行四边形，
∴ AB//DF，
∴ ∠DKE=∠ABC=45∘,
∴ ∠EKF=180∘−∠DKE=135∘，EK=ED，
∴ ∠ADE=180∘−∠EDC=180∘−45∘=135∘，
∴ ∠EKF=∠ADE，
∵∠DKC=∠C，
∴DK=DC，
∴ DF=AB=AC，
∴ KF=AD，
在△EKF和△EDA中，EK=ED,∠EKF=∠ADE,KF=AD,
∴ △EKF≅△EDA，
∴ EF=EA，∠KEF=∠AED，
∴ ∠FEA=∠BED=90∘，
∴ △AEF是等腰直角三角形，
∴ AF=2AE；
②如图③中，当AD=AC时，四边形ABFD是菱形，
设AE交CD于H，
易知EH=DH=CH=22 ，
AH=452−222=62，
AE=AH+EH=82；
如图，当AD=AC时，四边形ABFD是菱形，
易知AE=AH−EH=62−22=42，
综上所述，满足条件的AE的长为82或42.
【考点】
等腰三角形的判定与性质
平行四边形的性质
旋转的性质
菱形的判定与性质
等腰直角三角形
全等三角形的性质与判定
【解析】
(1)如图①中，结论:AF=2AE，只要证明△AEF是等腰直角三角形即可；
(2)①如图②中，结论：AF=2AE,连接EF，设DF交BC于K,先证明△EKF≅△EDA，再证明△AEF是等腰直角三角形即可；
②分两种情况，当AD=AC时，四边形ABFD是菱形，分别求解即可.
【解答】
解：(1)AF=2AE.
理由：如图①，∵ 四边形ABFD是平行四边形，
∴ AB=DF，
∵ AB=AC，∴ AC=DF，
∵ DE=EC，∴ AE=EF，
∵ ∠DEC=∠AEF=90∘，∴ △AEF是等腰直角三角形，
∴ AF=2AE.
故答案为： AF=2AE.
(2)①如图②中，结论：AF=2AE，
理由：连接EF，
∵ 四边形ABFD是平行四边形，
∴ AB//DF，
∴ ∠DKE=∠ABC=45∘,
∴ ∠EKF=180∘−∠DKE=135∘，EK=ED，
∴ ∠ADE=180∘−∠EDC=180∘−45∘=135∘，
∴ ∠EKF=∠ADE，
∵∠DKC=∠C，
∴DK=DC，
∴ DF=AB=AC，
∴ KF=AD，
在△EKF和△EDA中，EK=ED,∠EKF=∠ADE,KF=AD,
∴ △EKF≅△EDA，
∴ EF=EA，∠KEF=∠AED，
∴ ∠FEA=∠BED=90∘，
∴ △AEF是等腰直角三角形，
∴ AF=2AE；
②如图③中，当AD=AC时，四边形ABFD是菱形，
设AE交CD于H，
易知EH=DH=CH=22 ，
AH=452−222=62，
AE=AH+EH=82；
如图，当AD=AC时，四边形ABFD是菱形，
易知AE=AH−EH=62−22=42，
综上所述，满足条件的AE的长为82或42.
【答案】
解：(1)将A(−2,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+4，
得4a−2b+4=0，16a+4b+4=0， 解得a=−12，b=1，
故抛物线解析式为y=−12x2+x+4.
(2)∵ y=−12x2+x+4=−12(x−1)2+92，
∴ F(1, 92).
∵ C(0, 4)，D(2, 4)，
∴ CD=2，且CD // x轴.
∵ A(−2, 0)，
∴ S四边形ACFD=12×2×92=92．
(3)当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ=90∘，∠AQD=90∘和∠DAQ=90∘三种情况.
①当∠ADQ=90∘时，则DQ⊥AD，
∵ A(−2, 0)，D(2, 4)，
∴ 直线AD解析式为y=x+2，
∴ 可设直线DQ解析式为y=−x+b′，
把D(2, 4)代入可求得b′=6，
∴ 直线DQ解析式为y=−x+6，
联立直线DQ和抛物线解析式可得y=−x+6，y=−12x2+x+4，
解得x=2，y=4，
∴ Q(2, 4)，与点D重合，即此时不存在满足条件的点Q；
②当∠AQD=90∘时，设Q(t, −12t2+t+4)，
设直线AQ的解析式为y=k1x+b1，
把A，Q坐标代入可得−2k1+b1=0，tk1+b1=−12t2+t+4，
解得k1=−t−42.
设直线DQ解析式为y=k2x+b2，同理可求得k2=−12t.
∵ AQ⊥DQ，
∴ k1k2=−1，即t−42⋅t2=−1，
解得t=2，则Q(2,4)，与点D重合，即此时不存在满足条件的点Q；
③当∠DAQ=90∘时，设Q(t, −12t2+t+4)，
设直线AQ的解析式为y=k3x+b3，
把A，Q坐标代入可得−2k3+b3=0，tk3+b3=−12t2+t+4，
解得k3=−t−42.
∵ 直线AD的解析式为y=x+2，且AD⊥AQ，
∴ −t−42=−1，解得t=6，此时Q(6,−8)，符合题意.
综上，满足条件的Q的坐标为(6,−8).
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
三角形的面积
二次函数综合题
待定系数法求一次函数解析式
【解析】
.
.
.
【解答】
解：(1)将A(−2,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+4，
得4a−2b+4=0，16a+4b+4=0， 解得a=−12，b=1，
故抛物线解析式为y=−12x2+x+4.
(2)∵ y=−12x2+x+4=−12(x−1)2+92，
∴ F(1, 92).
∵ C(0, 4)，D(2, 4)，
∴ CD=2，且CD // x轴.
∵ A(−2, 0)，
∴ S四边形ACFD=12×2×92=92．
(3)当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ=90∘，∠AQD=90∘和∠DAQ=90∘三种情况.
①当∠ADQ=90∘时，则DQ⊥AD，
∵ A(−2, 0)，D(2, 4)，
∴ 直线AD解析式为y=x+2，
∴ 可设直线DQ解析式为y=−x+b′，
把D(2, 4)代入可求得b′=6，
∴ 直线DQ解析式为y=−x+6，
联立直线DQ和抛物线解析式可得y=−x+6，y=−12x2+x+4，
解得x=2，y=4，
∴ Q(2, 4)，与点D重合，即此时不存在满足条件的点Q；
②当∠AQD=90∘时，设Q(t, −12t2+t+4)，
设直线AQ的解析式为y=k1x+b1，
把A，Q坐标代入可得−2k1+b1=0，tk1+b1=−12t2+t+4，
解得k1=−t−42.
设直线DQ解析式为y=k2x+b2，同理可求得k2=−12t.
∵ AQ⊥DQ，
∴ k1k2=−1，即t−42⋅t2=−1，
解得t=2，则Q(2,4)，与点D重合，即此时不存在满足条件的点Q；
③当∠DAQ=90∘时，设Q(t, −12t2+t+4)，
设直线AQ的解析式为y=k3x+b3，
把A，Q坐标代入可得−2k3+b3=0，tk3+b3=−12t2+t+4，
解得k3=−t−42.
∵ 直线AD的解析式为y=x+2，且AD⊥AQ，
∴ −t−42=−1，解得t=6，此时Q(6,−8)，符合题意.
综上，满足条件的Q的坐标为(6,−8).销售价格x（元/千克）
30
35
40
45
50
日销售量p（千克）
600
450
300
150
0