2020-2021学年某校初三（上）12月月考数学试卷.

这是一份2020-2021学年某校初三（上）12月月考数学试卷.，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )

A.(1)(2)B.(1)(2)(3)C.(2)(3)(4)D.(2)(4)

2. 一元二次方程7x2−2x=0的二次项、一次项、常数项依次是（ ）
A.7x2，2x，0B.7x2，−2x，无常数项
C.7x2，2x，0D.7x2，−2x，0

3. 下列事件中，必然事件是( )
A.掷一枚硬币，正面朝上
B.某运动员跳高的最好成绩是20.1米
C.a是实数，|a|≥0
D.从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品

4. 在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为( )
A.y=2x2−2B.y=2x2+2C.y=2(x−2)2D.y=2(x+2)2

5. AB是⊙O的弦，∠AOB=80∘，则弦AB所对的圆周角是( )
A.40∘B.140∘或40∘C.20∘D.20∘或160∘

6. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积为( )
A.10πB.12πC.15πD.20π

7. 一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为( )
A.16cm或6cmB.3cm或8cmC.3cmD.8cm

8. 向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的( )
A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒

9. 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为( )

A.(4+5) cmB.9 cmC.45cmD.62cm

10. 某厂改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品250元降低到了每件160元，平均每月降低率为( )
A.15%B.20%C.5%D.25%

11. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式不正确的是( )

A.a<0B.abc>0C.a+b+c>0D.b2−4ac>0

12. 在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和函数y=−mx2+2x+2(m是常数，且m≠0)的图象可能是( )
A.B.
C.D.
二、填空题

关于x的一元二次方程(a−2)x2+x+a2−4=0的一个根是0，则a的值为________.

某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒．当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为________．

如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30∘到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于________．


如图，⊙O的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是AN的中点，P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为________．

三、解答题

解方程：
12x2−4x−7=0（配方法）；

24x2−3x−1=0（公式法）．

如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
求证：AC=BD．


已知关于x的方程k2x2+(2k−1)x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．
1求k的取值范围；

2是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，4，5，x．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：
解答下列问题：
(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率将稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________；

(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以取7吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取7，请写出一个符合要求的x值.(提示：无论x取何值，务必满足(1)要求)

点D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点，DM⊥DN，DM，DN分别交BC，CA于点E，F．

1当∠MDN绕点D转动时，求证：DE=DF；

2若AB=2，求四边形DECF的面积．

某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
(1)假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

(3)每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？

如图，直线l切⊙O于点A，点P为直线l上一点，直线PO交⊙O于点C，B，点D在线段AP上，连接DB，且AD=DB．

1求证：DB为⊙O的切线；

2若AD=1，PB=BO，求弦AC的长．

如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1, 0)和点B(−3, 0)，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省恩施市利川市某校初三（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
中心对称图形
轴对称图形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，
这样的图形叫做轴对称图形；
在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，
旋转后的图形能和原图形完全重合，
那么这个图形就叫做中心对称图形．
(1)既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意；
(2)既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
(3)是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
(4)既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意.
综上，符合题意的有(2)(4).
故选D．
2.
【答案】
D
【考点】
一元二次方程的一般形式
【解析】
一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】
解：一元二次方程7x2−2x=0的二次项、一次项、常数项
依次是7x2，−2x，0．
故选D.
3.
【答案】
C
【考点】
必然事件
【解析】
解答此题的关键在于理解随机事件的相关知识，掌握在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于S的随机事件．
【解答】
解：必然事件是一定发生的事件.
A，随机掷一枚均匀的硬币，正面向上，
是随机事件即不确定事件，故错误；
B，某运动员跳高的最好成绩是20.1米，
是随机事件即不确定事件，故错误；
C，a是实数，|a|≥0，是必然事件，故正确；
D，从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品，
是随机事件即不确定事件，故错误.
故选C．
4.
【答案】
B
【考点】
二次函数图象的平移规律
【解析】
按照“左加右减，上加下减”的规律解答．
【解答】
解：根据“左加右减，上加下减”的规律可得，
二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位，
得到的解析式为y=2x2+2．
故选B．
5.
【答案】
B
【考点】
圆周角定理
圆内接四边形的性质
【解析】
此题要分两种情况：当圆周角的顶点在优弧上时；当圆周角的顶点在劣弧上时；通过分析，从而得到答案．
【解答】
解：当圆周角的顶点在优弧上时，
设为点C，根据圆周角定理，得
∠ACB=12∠AOB=12×80∘=40∘；
当圆周角的顶点在劣弧上时，
设为点D，根据圆内接四边形的性质，得
∠ADB=180∘−∠ACB=180∘−40∘=140∘；
所以弦AB所对的圆周角是40∘或140∘．
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
勾股定理
扇形面积的计算
【解析】
根据圆锥的侧面积公式=πrl计算．
【解答】
解：∵ 圆锥的底面半径为3，高为4，
∴ 圆锥母线长度为5，
圆锥的底面周长是2×3π=6π，
∴ 圆锥的侧面面积=12×6π×5=15π．
故选C．
7.
【答案】
B
【考点】
点与圆的位置关系
【解析】
点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解．
【解答】
解：当点P在圆内时，最近点的距离为5cm，
最远点的距离为11cm，则直径是16cm，所以半径是8cm；
当点P在圆外时，最近点的距离为5cm，
最远点的距离为11cm，则直径是6cm，所以半径是3cm.
综上，圆的半径为8cm或3cm.
故选B．
8.
【答案】
B
【考点】
二次函数的最值
【解析】
根据题意，x＝7时和x＝14时y值相等，因此得关于a，b的关系式，代入到x=−b2a中求x的值．
【解答】
解：当x=7时，y=49a+7b，
当x=14，y=196a+14b．
根据题意得49a+7b=196a+14b，
∴ b=−21a，
根据二次函数的对称性及抛物线的开口向下，
当x=− b2a=10.5时，y取得最大值．
因为10最接近10.5，
所以选项B符合题意.
故选B.
9.
【答案】
C
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
正方形的性质
勾股定理
直角三角形全等的判定
【解析】
连接OA、OB、OE，证Rt△ADO≅Rt△BCO，推出OD=OC，设AD=a，则OD=12a，由勾股定理求出OA=OB=OE=52a，求出EF=FC=4cm，在△OFE中由勾股定理求出a，即可求出答案．
【解答】
解：
连接OA，OB，OE，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=BC，∠ADO=∠BCO=90∘，
∵ 在Rt△ADO和Rt△BCO中
∵ OA=OB,AD=BC,
∴ Rt△ADO≅Rt△BCO，
∴ OD=OC，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=DC，
设AD=acm，则OD=OC=12DC=12AD=12acm，
在△AOD中，由勾股定理得：OA=OB=OE=52acm，
∵ 小正方形EFCG的面积为16cm2，
∴ EF=FC=4cm，
在△OFE中，由勾股定理得：(52a)2=42+(12a+4)2，
解得：a=−4（舍去），a=8，
52a=45(cm)，
故选C．
10.
【答案】
B
【考点】
一元二次方程的应用——增长率问题
【解析】
降低后的价格＝降低前的价格×（1−降低率），如果设平均每次降价的百分率是x，则第一次降低后的价格是250(1−x)，那么第二次后的价格是250(1−x)2，即可列出方程求解．
【解答】
解：设平均每月降低率为x，
根据题意可得250(1−x)2=160，
解得x1=0.2=20%，x2=1.8(不合题意，舍去)．
故选B.
11.
【答案】
C
【考点】
二次函数图象与系数的关系
【解析】
由抛物线开口向下得到a<0，由抛物线与y轴交于正半轴知道c>0，而称轴在y轴左边，得到−b2a<0，所以b<0，abc>0，而抛物线与x轴有两个交点，得到b2−4ac>0，又当x=1时，y<0，由此得到a+b+c<0．
【解答】
解：∵ 抛物线开口向下，
∴ a<0，故A正确；
∵ 抛物线与y轴交于正半轴，
∴ c>0，
∵ 对称轴在y轴左边，−b2a<0，
∴ b<0，
∴ abc>0，故B正确；
由图像可知当x=1时，y<0，
∴ a+b+c<0，故C错误；
∵ 抛物线与x轴有两个交点，
∴ b2−4ac>0，故D正确.
故选C．
12.
【答案】
D
【考点】
二次函数的图象
【解析】
本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y＝ax2+bx+c，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．对称轴为x=−b2a，与y轴的交点坐标为(0, c)．
【解答】
解：当二次函数开口向下时，−m<0，m>0，
一次函数图象过一、二、三象限.
当二次函数开口向上时，−m>0，m<0，
对称轴x=22m=1m<0，
这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，
一次函数图象过二、三、四象限.
故选D.
二、填空题
【答案】
−2
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
根据方程根的定义把x=0代入即可得出a的值．
【解答】
解：∵ 关于x的一元二次方程(a−2)x2+x+a2−4=0的一个根是0，
∴ a2−4=0，
解得a=±2.
又∵ a−2≠0，
解得a≠2，
∴ a=−2.
故答案为：−2．
【答案】
112
【考点】
概率公式
【解析】
根据题意可得：在1分钟内，红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，故抬头看信号灯时，是黄灯的概率是560=112．
【解答】
解：根据题意可得，
黄灯的概率P=530+25+5=112．
故答案为：112．
【答案】
33
【考点】
正方形的性质
三角形的面积
勾股定理
旋转的性质
【解析】
作B′F⊥AD，垂足为F，WE⊥B′F，垂足为E，根据绕顶点A逆时针旋转30∘，计算出边，然后求面积．
【解答】
解：连接AW，如图所示：
根据旋转的性质，得AD=AB′，∠DAB′=60∘，
在Rt△ADW和Rt△AB′W中，
∵ AB′=AD,AW=AW,
∴ Rt△ADW≅Rt△AB′W(HL)，
∴ ∠B′AW=∠DAW=12∠DAB′=30∘.
又∵ AD=AB′=1，
在Rt△ADW中，设WD=x，则AW=2x，
由勾股定理，得x2+1=(2x)2，
解得x=33(负值舍去)，
即WD=33，
∴ S△ADW=S△AB′W =12WD⋅AD=36，
则公共部分的面积为S△ADW+S△AB′W=33．
故答案为：33．
【答案】
2
【考点】
轴对称——最短路线问题
垂径定理
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
本题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于MN的对称点，连接A′B，与MN的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．
【解答】
解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，
则PA+PB最小，连接OA′，AA′．
∵ 点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴ ∠A′ON=∠AON=60∘，PA=PA′.
∵ 点B是弧AN的中点，
∴ ∠BON=30∘，
∴ ∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90∘，
又∵ OB=OA′=1，
∴ A′B=2
∴ PA+PB=PA′+PB=A′B=2．
故答案为：2．
三、解答题
【答案】
解：(1)方程整理，得x2−2x=72，
配方，得x2−2x+1=92，
即(x−1)2=92，
开方，得x−1=±322，
解得x1=1+322，x2=1−322.
2∵ 4x2−3x−1=0，
∴ a=4，b=−3，c=−1.
∵ Δ=9+16=25，
∴ x=3±58，
解得x1=1，x2=−14．
【考点】
解一元二次方程-配方法
解一元二次方程-公式法
【解析】
1方程利用配方法求出解即可；
2方程利用公式法求出解即可．
【解答】
解：(1)方程整理，得x2−2x=72，
配方，得x2−2x+1=92，
即(x−1)2=92，
开方，得x−1=±322，
解得x1=1+322，x2=1−322.
2∵ 4x2−3x−1=0，
∴ a=4，b=−3，c=−1.
∵ Δ=9+16=25，
∴ x=3±58，
解得x1=1，x2=−14．
【答案】
解：作OE⊥AB，
则AE=BE，CE=DE，
故BE−DE=AE−CE；
即AC=BD．
【考点】
垂径定理的应用
【解析】
过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD．
【解答】
解：作OE⊥AB，
则AE=BE，CE=DE，
故BE−DE=AE−CE；
即AC=BD．
【答案】
解：1根据题意，得Δ=(2k−1)2−4k2>0,k2≠0,
解得k<14且k≠0.
(2)假设存在，根据一元二次方程根与系数的关系，得
x1+x2=−2k−1k2=0，
解得k=12.
但当k = 12时，Δ<0，方程无实数根，
所以不存在实数k，使方程两根互为相反数．
【考点】
根的判别式
一元二次方程的定义
根与系数的关系
【解析】
1根据一元二次方程的根的情况的判断方法，可得：△= (2k − 1)2 − 4k2> 0，解不等式
即可求解；
2假设存在，由相反数的意义，即方程的两根的和是0，依据一元二次方程的根与系数的关系即可得到两根的和是 − 2k − 1k2 = 0，可得k的值；把k的值代入判别式△，判断是否大于0可得结论．
【解答】
解：1根据题意，得Δ=(2k−1)2−4k2>0,k2≠0,
解得k<14且k≠0.
(2)假设存在，根据一元二次方程根与系数的关系，得
x1+x2=−2k−1k2=0，
解得k=12.
但当k = 12时，Δ<0，方程无实数根，
所以不存在实数k，使方程两根互为相反数．
【答案】
0.33
(2)当x=7时，列表如下：
则摸出的两个小球上数字之和为9的概率是：212=16，
故x的值不可以取7.
当x=5时，出的两个小球上数字之和为9的概率是13.
【考点】
利用频率估计概率
列表法与树状图法
【解析】
（1）根据实验次数越大越接近实际概率求出出现“和为8”的概率即可；
（2）根据小球分别标有数字3、4、5、x，用列表法或画树状图法说明当x=7时，得出数字之和为9的概率，即可得出答案．
【解答】
解：(1)利用图表得出：实验次数越大越接近实际概率，
则出现“和为8”的概率是0.33．
故答案为：0.33.
(2)当x=7时，列表如下：
则摸出的两个小球上数字之和为9的概率是：212=16，
故x的值不可以取7.
当x=5时，出的两个小球上数字之和为9的概率是13.
【答案】
1证明：连接CD，如图所示，
∵ D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点，
∴ CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45∘，CD=DA，
∴ ∠BCD=45∘，∠CDA=90∘.
∵ DM⊥DN，
∴ ∠EDF=90∘，
∴ ∠CDE=∠ADF.
在△DCE和△ADF中，
∠DCE=∠DAF,DC=DA,∠CDE=∠ADF,
∴ △DCE≅△ADF(ASA)，
∴ DE=DF.
(2)解：∵ △DCE≅△ADF，
∴ S△DCE=S△ADF ，
∴ S四边形DECF=S△ACD.
∵ AB=2，
∴ CD=DA=1，
∴ S四边形DECF=S△ACD=12CD⋅DA=12．
【考点】
等腰直角三角形
全等三角形的性质与判定
全等三角形的性质
三角形的面积
【解析】
1连CD，根据等腰直角三角形的性质得到CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45∘，CD=DA，则∠BCD=45∘，∠CDA=90∘，由DM⊥DN得∠EDF=90∘，根据等角的余角相等得到∠CDE=∠ADF，根据全等三角形的判定易得△DCE≅△ADF，即可得到结论；
2由△DCE≅△ADF，则S△DCE=S△ADF，于是四边形DECF的面积=S△ACD，由而AB=2可得CD=DA=1，根据三角形的面积公式易求得S△ACD，从而得到四边形DECF的面积．
【解答】
1证明：连接CD，如图所示，
∵ D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点，
∴ CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45∘，CD=DA，
∴ ∠BCD=45∘，∠CDA=90∘.
∵ DM⊥DN，
∴ ∠EDF=90∘，
∴ ∠CDE=∠ADF.
在△DCE和△ADF中，
∠DCE=∠DAF,DC=DA,∠CDE=∠ADF,
∴ △DCE≅△ADF(ASA)，
∴ DE=DF.
(2)解：∵ △DCE≅△ADF，
∴ S△DCE=S△ADF ，
∴ S四边形DECF=S△ACD.
∵ AB=2，
∴ CD=DA=1，
∴ S四边形DECF=S△ACD=12CD⋅DA=12．
【答案】
解：(1)根据题意，得y=(2400−2000−x)(8+4×x50)，
即y=−225x2+24x+3200；
(2)由题意，得−225x2+24x+3200=4800．
整理，得x2−300x+20000=0．
解这个方程，得x1=100（舍），x2=200．
要使百姓得到实惠，取x=200元．
∴ 每台冰箱应降价200元；
(3)对于y=−225x2+24x+3200=−225(x−150)2+5000，
∵ −225<0，
∴ 当x=150时，
y最大值=5000（元）．
所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．
【考点】
二次函数的应用
【解析】
（1）根据题意易求y与x之间的函数表达式．
（2）已知函数解析式，设y＝4800可从实际得x的值．
（3）利用x=−b2a求出x的值，然后可求出y的最大值．
【解答】
解：(1)根据题意，得y=(2400−2000−x)(8+4×x50)，
即y=−225x2+24x+3200；
(2)由题意，得−225x2+24x+3200=4800．
整理，得x2−300x+20000=0．
解这个方程，得x1=100（舍），x2=200．
要使百姓得到实惠，取x=200元．
∴ 每台冰箱应降价200元；
(3)对于y=−225x2+24x+3200=−225(x−150)2+5000，
∵ −225<0，
∴ 当x=150时，
y最大值=5000（元）．
所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．
【答案】
1证明：连接OD，
∵ PA为⊙O的切线，
∴ ∠OAD=90∘.
在△OAD和△OBD中，
OA=OB,DA=DB,DO=DO,
∴ △OAD≅△OBD(SSS)，
∴ ∠OBD=∠OAD=90∘，
∴ OB⊥BD，
又∵ OB为⊙O的半径，
∴ DB为⊙O的切线.
2解：在Rt△OAP中，
∵ PB=OB=OA，
∴ OP=2OA，
∴ ∠OPA=30∘，
∴ ∠POA=60∘=2∠C，
∴ PD=2BD=2DA=2，
∴ ∠OPA=∠C=30∘，
∴ AC=AP=3．
【考点】
切线的判定
全等三角形的性质与判定
含30度角的直角三角形
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
1要证明DB为⊙O的切线，只要证明∠OBD=90即可．
2根据已知及直角三角形的性质可以得到PD=2BD=2DA=2，再利用等角对等边可以得到AC=AP，这样求得AP的值就得出了AC的长．
【解答】
1证明：连接OD，
∵ PA为⊙O的切线，
∴ ∠OAD=90∘.
在△OAD和△OBD中，
OA=OB,DA=DB,DO=DO,
∴ △OAD≅△OBD(SSS)，
∴ ∠OBD=∠OAD=90∘，
∴ OB⊥BD，
又∵ OB为⊙O的半径，
∴ DB为⊙O的切线.
2解：在Rt△OAP中，
∵ PB=OB=OA，
∴ OP=2OA，
∴ ∠OPA=30∘，
∴ ∠POA=60∘=2∠C，
∴ PD=2BD=2DA=2，
∴ ∠OPA=∠C=30∘，
∴ AC=AP=3．
【答案】
解：(1)∵ 点A(1, 0)和点B(−3, 0)在抛物线上，
∴ a+b+3=0,9a−3b+3=0,
解得a=−1,b=−2,
∴ 抛物线解析式为y=−x2−2x+3.
(2)∵ y=−x2−2x+3，
∴ 对称轴为x=−b2a=−1，M(−1, 0).
设P(−1, a)，如图所示：
令x=0，得y=3，
∴ C(0, 3).
①当CP=PM时，12+(3−a)2=a2，
解得a=53，
∴ P点的坐标为P1(−1, 53)；
②当CM=PM时，12+32=a2，
解得a=±10，
∴ P点坐标为P2(−1, 10)，P3(−1, −10)；
③当CM=CP时，由勾股定理，得12+32=12+(3−a)2，
解得a=6，
∴ P点坐标为P4(−1, 6).
综上，存在符合条件的点P，
坐标为(−1, 53)，(−1, 10)，(−1, −10)，(−1, 6).
(3)连接CE，OE，BE.
设E(a, −a2−2a+3)(−3∴ S四边形BOCE=S△BOE+S△COE
=12BO⋅|yE|+12CO⋅|xE|
=12×3×(−a2−2a+3)+12×3×(−a)
=−32a2−92a+92
=−32(a+32)2+638，
∴ 当a=−32时，S四边形BOCE最大，最大值为638．
此时，点E坐标为(−32, 154)．
【考点】
二次函数综合题
待定系数法求二次函数解析式
【解析】
（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为(0, 3)，根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：
①当CP＝PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ＝3−x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．
②当CM＝MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．
③当CM＝CP时，因为C的坐标为(0, 3)，那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；
（3）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积＝三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，BF＝BO−OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．
【解答】
解：(1)∵ 点A(1, 0)和点B(−3, 0)在抛物线上，
∴ a+b+3=0,9a−3b+3=0,
解得a=−1,b=−2,
∴ 抛物线解析式为y=−x2−2x+3.
(2)∵ y=−x2−2x+3，
∴ 对称轴为x=−b2a=−1，M(−1, 0).
设P(−1, a)，如图所示：
令x=0，得y=3，
∴ C(0, 3).
①当CP=PM时，12+(3−a)2=a2，
解得a=53，
∴ P点的坐标为P1(−1, 53)；
②当CM=PM时，12+32=a2，
解得a=±10，
∴ P点坐标为P2(−1, 10)，P3(−1, −10)；
③当CM=CP时，由勾股定理，得12+32=12+(3−a)2，
解得a=6，
∴ P点坐标为P4(−1, 6).
综上，存在符合条件的点P，
坐标为(−1, 53)，(−1, 10)，(−1, −10)，(−1, 6).
(3)连接CE，OE，BE.
设E(a, −a2−2a+3)(−3∴ S四边形BOCE=S△BOE+S△COE
=12BO⋅|yE|+12CO⋅|xE|
=12×3×(−a2−2a+3)+12×3×(−a)
=−32a2−92a+92
=−32(a+32)2+638，
∴ 当a=−32时，S四边形BOCE最大，最大值为638．
此时，点E坐标为(−32, 154)．摸球总次数
10
20
30
60
90
120
180
240
330
450
“和为8”出现的频数
2
10
13
24
30
37
58
82
110
150
“和为8”出现的频率
0.20
0.50
0.43
0.40
0.33
0.31
0.32
0.34
0.33
0.33