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2020-2021学年广西壮族自治区河池市高一（上）期末考试数学试卷人教A版（Word含解析）
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这是一份2020-2021学年广西壮族自治区河池市高一（上）期末考试数学试卷人教A版（Word含解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合A=x|−2A.−1,1B.−1,2C.−2,2D.−2,1
2. 已知点A−2,1,B0,−3，则以线段AB为直径的圆的方程为( )
A.x−12+y−12=5B.x+12+y+12=5
C.x−12+y−12=20D.x+12+y+12=20
3. 已知函数fx=2x，x≤0，lg2x，x>0，则ff12=( )
A.2B.4C.12D.2
4. 与直线2x+y=0垂直，且在x轴上的截距为−2的直线方程为( )
A.x−2y+2=0B.x−2y−2=0C.2x−y+2=0D.2x−y−2=0
5. 某化工原料厂原来月产量为100吨，一月份增产20%，二月份比一月份减产10%，则二月份产量为( )
A.106吨B.108吨C.110吨D.112吨
6. 若函数fx=ax−2a∈R在0,+∞上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A.1,+∞B.−∞,1C.0,+∞D.−∞,0
7. 已知a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确的是( )
A.若a⊥b，b⊥c，则a⊥cB.若a//b，b//α，则a//α
C.若a⊥α，α//β，则a⊥βD.若a⊥α，α⊥β，则a//β
8. 函数fx=2x+lnx−1的零点所在的区间为( )
A.1,32B.32,2C.0,12D.12,1
9. 已知实数x，y满足x2+y2=4，则z=x−32+y−42−1的取值范围为( )
A.3,7B.4,8C.2,6D.1,5
10. 已知函数fx是定义在R上的偶函数，且函数fx在区间0,+∞上单调递减，a=flg522， b=flg53−lg52， c=f12lg53，则a，b，c的大小关系为( )
A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a
11. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB，E为AP的中点，则异面直线PC与DE所成的角的正弦值为( )
A.25B.55C.155D.105
12. 已知函数fx=|2x−1|+x2−a−1a∈R，若函数fx有且仅有两个零点，则实数a的取值范围为( )
A.0,+∞B.−1,+∞C.−∞,−1D.−∞,0
二、填空题
函数fx=lnx−1x−2的定义域为________.
已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为8π，则圆柱的高为________.
若函数fx=2xa−a2x+xa≠0为R上的奇函数，则实数a的值为________.
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，四边形ABCD为矩形，AB=2AD=4，则四棱锥P−ABCD的外接球的表面积为________.
三、解答题
化简求值：
(1)827−23+212+1212−1+3−8；
(2)lg2+lg53−lg56+lg25+lg34⋅lg29.
已知函数f(x)=lgax(a>0且a≠1）.
(1)求关于x的不等式f1−x>fx+3的解集；
(2)若函数gx=ax+fx在区间1,2上的最大值和最小值之和为a2+a−1，求实数a的值．
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACC1=∠BCC1，AC=BC.
(1)若三棱柱ABC−A1B1C1的体积为1，求三棱锥C1−ABC的体积；
(2)证明：AB⊥CC1.
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为CC1的中点．
(1)证明：EF//平面AC1D；
(2)若AD=2,AB=3,AA1=4，求点E到平面AC1D的距离．
在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x−22+y2=1，M为圆C的圆心，过原点O的直线l与圆C相交于A，B两点（A，B两点均不在x轴上）.
(1)若∠AMB=60∘，求直线l的方程；
(2)求△ABM面积的最大值．
已知函数fx=ex+e−x.
(1)判断函数fx的奇偶性；
(2)证明：函数fx在区间[0,+∞）上单调递增；
(3)令gx=f2x−2afx（其中a∈R），求函数gx的值域．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西壮族自治区河池市高一（上）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
并集及其运算
【解析】
直接利用并集定义求解即可.
【解答】
解：∵ A=x−2∴ A∪B=x−2故选C.
2.
【答案】
B
【考点】
圆的标准方程
两点间的距离公式
中点坐标公式
【解析】
由条件可求得圆心坐标以及半径长，即可求解.
【解答】
解：圆心为点A，B的中点−1,−1，
∵ |AB|=−2−02+1−(−3)2=25,
∴ r2=|AB|22=204=5，
∴ 圆的方程为x+12+y+12=5.
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
函数的求值
【解析】
先求出内层函数值，再求外层函数值.
【解答】
解：函数fx=2x, x≤0,lg2x, x>0,
∴ f(12)=lg212=−1，
∴ ff12=f(−1)=2−1=12.
故选C.
4.
【答案】
A
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
由题意利用两条直线垂直的性质求得l的斜率，再用点斜式求出直线l的方程．
【解答】
解：可知直线2x+y=0的斜率为−2，
因为所求直线与直线2x+y=0垂直，
则所求直线的斜率为12.
又所求直线在x轴上的截距为−2，
故所求直线的方程为y−0=12(x+2)，
即x−2y+2=0.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
由题意列出关系式即可求解.
【解答】
解：由题意可得，二月份产量为：
1001+20%1−10%
=100×1.2×0.9
=108（吨）.
故选B.
6.
【答案】
D
【考点】
函数单调性的性质
幂函数的性质
【解析】
利用幂函数的性质得y=x−2在0,+∞上单调递减，从而可求解.
【解答】
解：由幂函数性质可知，y=x−2在0,+∞上单调递减，
因为函数fx=ax−2a∈R在0,+∞上单调递增，
所以a<0.
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
无
【解答】
解：A选项中，a，c都与b垂直，此时a//c，可知A选项错误；
B选项中，a可以在平面α内，可知B选项错误；
D选项中，a可以在平面β内，可知D选项错误．
故选C．
8.
【答案】
D
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
无
【解答】
解：∵ f1=2−1=1>0，
f12=2−ln2−1<32−ln2−1
=12−ln2<12−lne=12−12=0，
∴ 函数的零点所在的区间为12,1．
故选D．
9.
【答案】
C
【考点】
点与圆的位置关系
【解析】
无
【解答】
解：x−32+y−42表示圆x2+y2=4上任意一点到点3,4的距离，
可得最短距离为5−2=3，
所以zmin=3−1=2，
最大距离为5+2=7，
zmax=7−1=6，
可得z的取范围为2,6．
故选C．
10.
【答案】
A
【考点】
奇偶性与单调性的综合
对数函数的图象与性质
【解析】
根据题意，由偶函数的性质以及对数的运算性质可得a=flg522=f−lg52=flg52，b=flg53−lg52=flg532，c=f12lg53=flg53 结合函数的单调性分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数y=fx为定义在R上的偶函数，
a=flg522=f−lg52=flg52，
b=flg53−lg52=flg532，
c=f12lg53=flg53 ,
∵ 函数fx在区间(0,+∞）上单调递减，
且0∴ a>b>c.
故选A．
11.
【答案】
D
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
无
【解答】
解：连接AC，BD相交于点O，连接OE，BE，
因为E为AP的中点，O为AC的中点，
所以PC//OE，
所以∠OED为异面直线PC与DE所成的角，
设AB=2，
可得BE=DE=1+4=5，
OD=12BD=12×22=2，
因为BE=DE，O为BD的中点，
所以∠EOD=90∘，
sin∠OED=ODDE=25=105．
故选D．
12.
【答案】
B
【考点】
函数的零点
【解析】
无
【解答】
解：fx=−2x+x2−a,x<0，2x+x2−a−2,x≥0，
由函数y=2x和y=x2的图象可知函数fx的增区间为0,+∞，减区间为(−∞,0].
又由f0=−a−1，若函数fx有且仅有两个零点，必有−a−1<0，
则实数a的取值范围为−1,+∞．
故选B．
二、填空题
【答案】
1,2∪2,+∞
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
由条件可得x−2≠0x−1>0，求解即可.
【解答】
解：要使函数有意义，
则x−2≠0，x−1>0，
解得12，
即函数的定义域为1,2∪2,+∞.
故答案为：1,2∪2,+∞.
【答案】
4
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
柱体、锥体、台体的侧面积和表面积
【解析】
利用圆柱侧面积公式列式求解即可.
【解答】
解：设圆柱的高为ℎ，
则由题意可得8π=2×π×ℎ,
解得ℎ=4.
故答案为：4.
【答案】
−1或1
【考点】
函数奇偶性的性质
【解析】
利用f0=0求解，并验证即可.
【解答】
解：由函数为R上的奇函数，
可得f0=0，
即1a−a=0，
解得a=−1或a=1，
验证可得均满足条件，
所以a=−1或a=1.
故答案为：−1或1.
【答案】
64π3
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
【解析】
无
【解答】
解：如图，
取AD的中点E，BC的中点F，连接EF，PE，在PE上取点G，使得PG=2GE，
取EF的中点H，分别过点G，H作平面PAD、平面ABCD的垂线，两垂线相交于点O，
显然点O为四棱锥P−ABCD外接球的球心，
由AD=2，AB=4，可得
PE=3，GE=OH=33，AH=12+22=5，
OA=332+52=433，
故四棱锥P−ABCD外接球的表面积为4π×4332=64π3．
故答案为：64π3．
三、解答题
【答案】
解：(1)原式=233×(−23)+212×2−12+3−23
=23−2+2−1+−2
=94+1−2
=54.
(2)原式=lg2×53÷56×25+lg4lg3×lg9lg2
=lg2×53×65×25+2lg2lg3×2lg3lg2
=lg1010+4
=lg10+lg10+4
=1+12+4
=112．
【考点】
有理数指数幂的化简求值
根式与分数指数幂的互化及其化简运算
对数及其运算
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)原式=233×(−23)+212×2−12+3−23
=23−2+2−1+−2
=94+1−2
=54.
(2)原式=lg2×53÷56×25+lg4lg3×lg9lg2
=lg2×53×65×25+2lg2lg3×2lg3lg2
=lg1010+4
=lg10+lg10+4
=1+12+4
=112．
【答案】
解：(1)不等式f1−x>fx+3可化为lga1−x>lgax+3，
①当a>1时，不等式可化为1−x>x+3>0，
解得−3此时不等式f1−x>fx+3的解集为−3,−1；
②当01−x>0，
解得−1此时不等式f1−x>fx+3的解集为−1,1.
(2)可知gx=ax+lgax．
所以函数gx是单调函数，
又由g1=a，g2=a2+lga2，
有a+a2+lga2=a2+a−1，
解得a=12．
【考点】
对数函数的单调性与特殊点
指、对数不等式的解法
指数函数单调性的应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)不等式f1−x>fx+3可化为lga1−x>lgax+3，
①当a>1时，不等式可化为1−x>x+3>0，
解得−3此时不等式f1−x>fx+3的解集为−3,−1；
②当01−x>0，
解得−1此时不等式f1−x>fx+3的解集为−1,1.
(2)可知gx=ax+lgax．
所以函数gx是单调函数，
又由g1=a，g2=a2+lga2，
有a+a2+lga2=a2+a−1，
解得a=12．
【答案】
(1)解：设三棱柱ABC−A1B1C1的高为ℎ，△ABC的面积为S，
由三棱柱ABC−A1B1C1的体积为1，
可得VABC−A1B1C1=Sℎ=1，
可得三棱锥C1−ABC的体积为VC1−ABC=13Sℎ=13 .
(2)证明：取AB的中点D，连接CD，C1D，
∵ AC=BC，∠ACC1=∠BCC1，CC1=CC1，
∴ △ACC1≅△BCC1(SAS)，
∴ AC1=BC1，
∵ AD=DB，AC1=BC1，
∴ AB⊥C1D，
∵ AD=DB，AC=BC，
∴ AB⊥CD ，
∵ CD，C1D⊂平面CDC1，CD∩C1D=D，
∴ AB⊥平面CDC1，
∵ AB⊥平面CDC1，CC1⊂平面CC1D，
∴ AB⊥CC1 .
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：设三棱柱ABC−A1B1C1的高为ℎ，△ABC的面积为S，
由三棱柱ABC−A1B1C1的体积为1，
可得VABC−A1B1C1=Sℎ=1，
可得三棱锥C1−ABC的体积为VC1−ABC=13Sℎ=13 .
(2)证明：取AB的中点D，连接CD，C1D，
∵ AC=BC，∠ACC1=∠BCC1，CC1=CC1，
∴ △ACC1≅△BCC1(SAS)，
∴ AC1=BC1，
∵ AD=DB，AC1=BC1，
∴ AB⊥C1D，
∵ AD=DB，AC=BC，
∴ AB⊥CD ，
∵ CD，C1D⊂平面CDC1，CD∩C1D=D，
∴ AB⊥平面CDC1，
∵ AB⊥平面CDC1，CC1⊂平面CC1D，
∴ AB⊥CC1 .
【答案】
(1)证明：如图，取C1D的中点G，连接GF，AG，
∵ G为C1D的中点，F为CC1的中点，
∴ GF//CD，且CD=2GF，
∵ E为AB的中点，AB=CD，AB//CD，
∴ AE//GF，且AE=GF，
∴ 四边形AEFG为平行四边形，
∴ AG//EF，
∵ AG//EF，AG⊂平面AC1D，EF⊄平面AC1D，
∴ EF//平面AC1D.
(2)解：连接AB1，易证AD⊥平面ABB1A1，
过B作BK⊥AB1，
则BK⊥平面AB1C1D，
在Rt△ABB1中，BK⋅AB1=AB⋅BB1，
所以BK=3×45=125，
因为点E是AB的中点，
则点E到平面AC1D的距离为65．
【考点】
直线与平面平行的判定
点、线、面间的距离计算
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：如图，取C1D的中点G，连接GF，AG，
∵ G为C1D的中点，F为CC1的中点，
∴ GF//CD，且CD=2GF，
∵ E为AB的中点，AB=CD，AB//CD，
∴ AE//GF，且AE=GF，
∴ 四边形AEFG为平行四边形，
∴ AG//EF，
∵ AG//EF，AG⊂平面AC1D，EF⊄平面AC1D，
∴ EF//平面AC1D.
(2)解：连接AB1，易证AD⊥平面ABB1A1，
过B作BK⊥AB1，
则BK⊥平面AB1C1D，
在Rt△ABB1中，BK⋅AB1=AB⋅BB1，
所以BK=3×45=125，
因为点E是AB的中点，
则点E到平面AC1D的距离为65．
【答案】
解：(1)可知圆C的圆心为M2,0，半径为1，
因为直线l与圆C相交于两点，
所以直线l的斜率必定存在，
设直线l的方程为y=kx ，
当∠AMB=60∘时，因为MA=MB，
所以△ABM为等边三角形，
所以AB=MA=MB=1 .
圆心M2,0到直线l的距离为d=|2k|k2+1，
有|2k|k2+12+122=12，
解得k=±3913，
故直线l的方程为y=±3913x .
(2)设圆心M到直线l的距离为d（0可得|AB|=21−d2，
设△ABM的面积为S，
则S=12|AB|⋅d
=12×21−d2⋅d
=−(d2−12)2+14，
所以当d2=12时，S有最大值，Smax=14=12，
所以△ABM面积的最大值为12.
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
直线和圆的方程的应用
函数的最值及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)可知圆C的圆心为M2,0，半径为1，
因为直线l与圆C相交于两点，
所以直线l的斜率必定存在，
设直线l的方程为y=kx ，
当∠AMB=60∘时，因为MA=MB，
所以△ABM为等边三角形，
所以AB=MA=MB=1 .
圆心M2,0到直线l的距离为d=|2k|k2+1，
有|2k|k2+12+122=12，
解得k=±3913，
故直线l的方程为y=±3913x .
(2)设圆心M到直线l的距离为d（0可得|AB|=21−d2，
设△ABM的面积为S，
则S=12|AB|⋅d
=12×21−d2⋅d
=−(d2−12)2+14，
所以当d2=12时，S有最大值，Smax=14=12，
所以△ABM面积的最大值为12.
【答案】
(1)解：函数fx的定义域为R,
由f−x=e−x+ex=fx，
可知函数fx为偶函数.
(2)证明：设x2>x1≥0，
fx2−fx1=ex2+e−x2−ex1+e−x1
=ex2−ex1+1ex2−1ex1
=(ex2−ex1)+ex1−ex2ex1+x2
=(ex2−ex1)1−1ex1+x2
=(ex2−ex1)(ex1+x2−1)ex1+x2，
∵ x2>x1≥0，
∴ ex2>ex1，ex1+x2−1>0，ex1+x2>0，
∴ fx2>fx1，
故函数fx在区间[0,+∞)上单调递增．
(3)解：由f2x=e2x+e−2x=e−x+ex2−2=[fx]2−2，
有gx=fx2−2afx−2,
由(2)和f0=2可知，
函数fx在区间[0,+∞)上的值域为[2,+∞),
又由函数fx为偶函数，
可知函数fx在R上的值域为[2,+∞),
令fx=t，可得t∈[2,+∞)，有gx=t2−2at−2，
令ℎ(t)=t2−2at−2(t∈[2,+∞))，有ℎt=t−a2−a2−2,
①当a≤2时，ℎ(t)min=ℎ(2)=2−4a，
此时函数ℎ(t)的值域为[2−4a,+∞);
②当a>2时，ℎtmin=ℎa=−a2−2，
此时函数ℎt的值域为[−a2−2,+∞)，
因为函数gx和函数ℎ(t)的值域相同，
故可得，
当a≤2时，函数gx的值域为[2−4a,+∞)；
当a>2时，函数gx的值域为[−a2−2,+∞)．
【考点】
函数奇偶性的判断
函数单调性的判断与证明
函数的值域及其求法
【解析】
无
无
无
【解答】
(1)解：函数fx的定义域为R,
由f−x=e−x+ex=fx，
可知函数fx为偶函数.
(2)证明：设x2>x1≥0，
fx2−fx1=ex2+e−x2−ex1+e−x1
=ex2−ex1+1ex2−1ex1
=(ex2−ex1)+ex1−ex2ex1+x2
=(ex2−ex1)1−1ex1+x2
=(ex2−ex1)(ex1+x2−1)ex1+x2，
∵ x2>x1≥0，
∴ ex2>ex1，ex1+x2−1>0，ex1+x2>0，
∴ fx2>fx1，
故函数fx在区间[0,+∞)上单调递增．
(3)解：由f2x=e2x+e−2x=e−x+ex2−2=[fx]2−2，
有gx=fx2−2afx−2,
由(2)和f0=2可知，
函数fx在区间[0,+∞)上的值域为[2,+∞),
又由函数fx为偶函数，
可知函数fx在R上的值域为[2,+∞),
令fx=t，可得t∈[2,+∞)，有gx=t2−2at−2，
令ℎ(t)=t2−2at−2(t∈[2,+∞))，有ℎt=t−a2−a2−2,
①当a≤2时，ℎ(t)min=ℎ(2)=2−4a，
此时函数ℎ(t)的值域为[2−4a,+∞);
②当a>2时，ℎtmin=ℎa=−a2−2，
此时函数ℎt的值域为[−a2−2,+∞)，
因为函数gx和函数ℎ(t)的值域相同，
故可得，
当a≤2时，函数gx的值域为[2−4a,+∞)；
当a>2时，函数gx的值域为[−a2−2,+∞)．
1. 已知集合A=x|−2
2. 已知点A−2,1,B0,−3，则以线段AB为直径的圆的方程为( )
A.x−12+y−12=5B.x+12+y+12=5
C.x−12+y−12=20D.x+12+y+12=20
3. 已知函数fx=2x，x≤0，lg2x，x>0，则ff12=( )
A.2B.4C.12D.2
4. 与直线2x+y=0垂直，且在x轴上的截距为−2的直线方程为( )
A.x−2y+2=0B.x−2y−2=0C.2x−y+2=0D.2x−y−2=0
5. 某化工原料厂原来月产量为100吨，一月份增产20%，二月份比一月份减产10%，则二月份产量为( )
A.106吨B.108吨C.110吨D.112吨
6. 若函数fx=ax−2a∈R在0,+∞上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A.1,+∞B.−∞,1C.0,+∞D.−∞,0
7. 已知a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确的是( )
A.若a⊥b，b⊥c，则a⊥cB.若a//b，b//α，则a//α
C.若a⊥α，α//β，则a⊥βD.若a⊥α，α⊥β，则a//β
8. 函数fx=2x+lnx−1的零点所在的区间为( )
A.1,32B.32,2C.0,12D.12,1
9. 已知实数x，y满足x2+y2=4，则z=x−32+y−42−1的取值范围为( )
A.3,7B.4,8C.2,6D.1,5
10. 已知函数fx是定义在R上的偶函数，且函数fx在区间0,+∞上单调递减，a=flg522， b=flg53−lg52， c=f12lg53，则a，b，c的大小关系为( )
A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a
11. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB，E为AP的中点，则异面直线PC与DE所成的角的正弦值为( )
A.25B.55C.155D.105
12. 已知函数fx=|2x−1|+x2−a−1a∈R，若函数fx有且仅有两个零点，则实数a的取值范围为( )
A.0,+∞B.−1,+∞C.−∞,−1D.−∞,0
二、填空题
函数fx=lnx−1x−2的定义域为________.
已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为8π，则圆柱的高为________.
若函数fx=2xa−a2x+xa≠0为R上的奇函数，则实数a的值为________.
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，四边形ABCD为矩形，AB=2AD=4，则四棱锥P−ABCD的外接球的表面积为________.
三、解答题
化简求值：
(1)827−23+212+1212−1+3−8；
(2)lg2+lg53−lg56+lg25+lg34⋅lg29.
已知函数f(x)=lgax(a>0且a≠1）.
(1)求关于x的不等式f1−x>fx+3的解集；
(2)若函数gx=ax+fx在区间1,2上的最大值和最小值之和为a2+a−1，求实数a的值．
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACC1=∠BCC1，AC=BC.
(1)若三棱柱ABC−A1B1C1的体积为1，求三棱锥C1−ABC的体积；
(2)证明：AB⊥CC1.
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为CC1的中点．
(1)证明：EF//平面AC1D；
(2)若AD=2,AB=3,AA1=4，求点E到平面AC1D的距离．
在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x−22+y2=1，M为圆C的圆心，过原点O的直线l与圆C相交于A，B两点（A，B两点均不在x轴上）.
(1)若∠AMB=60∘，求直线l的方程；
(2)求△ABM面积的最大值．
已知函数fx=ex+e−x.
(1)判断函数fx的奇偶性；
(2)证明：函数fx在区间[0,+∞）上单调递增；
(3)令gx=f2x−2afx（其中a∈R），求函数gx的值域．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西壮族自治区河池市高一（上）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
并集及其运算
【解析】
直接利用并集定义求解即可.
【解答】
解：∵ A=x−2
2.
【答案】
B
【考点】
圆的标准方程
两点间的距离公式
中点坐标公式
【解析】
由条件可求得圆心坐标以及半径长，即可求解.
【解答】
解：圆心为点A，B的中点−1,−1，
∵ |AB|=−2−02+1−(−3)2=25,
∴ r2=|AB|22=204=5，
∴ 圆的方程为x+12+y+12=5.
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
函数的求值
【解析】
先求出内层函数值，再求外层函数值.
【解答】
解：函数fx=2x, x≤0,lg2x, x>0,
∴ f(12)=lg212=−1，
∴ ff12=f(−1)=2−1=12.
故选C.
4.
【答案】
A
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
由题意利用两条直线垂直的性质求得l的斜率，再用点斜式求出直线l的方程．
【解答】
解：可知直线2x+y=0的斜率为−2，
因为所求直线与直线2x+y=0垂直，
则所求直线的斜率为12.
又所求直线在x轴上的截距为−2，
故所求直线的方程为y−0=12(x+2)，
即x−2y+2=0.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
由题意列出关系式即可求解.
【解答】
解：由题意可得，二月份产量为：
1001+20%1−10%
=100×1.2×0.9
=108（吨）.
故选B.
6.
【答案】
D
【考点】
函数单调性的性质
幂函数的性质
【解析】
利用幂函数的性质得y=x−2在0,+∞上单调递减，从而可求解.
【解答】
解：由幂函数性质可知，y=x−2在0,+∞上单调递减，
因为函数fx=ax−2a∈R在0,+∞上单调递增，
所以a<0.
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
无
【解答】
解：A选项中，a，c都与b垂直，此时a//c，可知A选项错误；
B选项中，a可以在平面α内，可知B选项错误；
D选项中，a可以在平面β内，可知D选项错误．
故选C．
8.
【答案】
D
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
无
【解答】
解：∵ f1=2−1=1>0，
f12=2−ln2−1<32−ln2−1
=12−ln2<12−lne=12−12=0，
∴ 函数的零点所在的区间为12,1．
故选D．
9.
【答案】
C
【考点】
点与圆的位置关系
【解析】
无
【解答】
解：x−32+y−42表示圆x2+y2=4上任意一点到点3,4的距离，
可得最短距离为5−2=3，
所以zmin=3−1=2，
最大距离为5+2=7，
zmax=7−1=6，
可得z的取范围为2,6．
故选C．
10.
【答案】
A
【考点】
奇偶性与单调性的综合
对数函数的图象与性质
【解析】
根据题意，由偶函数的性质以及对数的运算性质可得a=flg522=f−lg52=flg52，b=flg53−lg52=flg532，c=f12lg53=flg53 结合函数的单调性分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数y=fx为定义在R上的偶函数，
a=flg522=f−lg52=flg52，
b=flg53−lg52=flg532，
c=f12lg53=flg53 ,
∵ 函数fx在区间(0,+∞）上单调递减，
且0
故选A．
11.
【答案】
D
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
无
【解答】
解：连接AC，BD相交于点O，连接OE，BE，
因为E为AP的中点，O为AC的中点，
所以PC//OE，
所以∠OED为异面直线PC与DE所成的角，
设AB=2，
可得BE=DE=1+4=5，
OD=12BD=12×22=2，
因为BE=DE，O为BD的中点，
所以∠EOD=90∘，
sin∠OED=ODDE=25=105．
故选D．
12.
【答案】
B
【考点】
函数的零点
【解析】
无
【解答】
解：fx=−2x+x2−a,x<0，2x+x2−a−2,x≥0，
由函数y=2x和y=x2的图象可知函数fx的增区间为0,+∞，减区间为(−∞,0].
又由f0=−a−1，若函数fx有且仅有两个零点，必有−a−1<0，
则实数a的取值范围为−1,+∞．
故选B．
二、填空题
【答案】
1,2∪2,+∞
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
由条件可得x−2≠0x−1>0，求解即可.
【解答】
解：要使函数有意义，
则x−2≠0，x−1>0，
解得1
即函数的定义域为1,2∪2,+∞.
故答案为：1,2∪2,+∞.
【答案】
4
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
柱体、锥体、台体的侧面积和表面积
【解析】
利用圆柱侧面积公式列式求解即可.
【解答】
解：设圆柱的高为ℎ，
则由题意可得8π=2×π×ℎ,
解得ℎ=4.
故答案为：4.
【答案】
−1或1
【考点】
函数奇偶性的性质
【解析】
利用f0=0求解，并验证即可.
【解答】
解：由函数为R上的奇函数，
可得f0=0，
即1a−a=0，
解得a=−1或a=1，
验证可得均满足条件，
所以a=−1或a=1.
故答案为：−1或1.
【答案】
64π3
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
【解析】
无
【解答】
解：如图，
取AD的中点E，BC的中点F，连接EF，PE，在PE上取点G，使得PG=2GE，
取EF的中点H，分别过点G，H作平面PAD、平面ABCD的垂线，两垂线相交于点O，
显然点O为四棱锥P−ABCD外接球的球心，
由AD=2，AB=4，可得
PE=3，GE=OH=33，AH=12+22=5，
OA=332+52=433，
故四棱锥P−ABCD外接球的表面积为4π×4332=64π3．
故答案为：64π3．
三、解答题
【答案】
解：(1)原式=233×(−23)+212×2−12+3−23
=23−2+2−1+−2
=94+1−2
=54.
(2)原式=lg2×53÷56×25+lg4lg3×lg9lg2
=lg2×53×65×25+2lg2lg3×2lg3lg2
=lg1010+4
=lg10+lg10+4
=1+12+4
=112．
【考点】
有理数指数幂的化简求值
根式与分数指数幂的互化及其化简运算
对数及其运算
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)原式=233×(−23)+212×2−12+3−23
=23−2+2−1+−2
=94+1−2
=54.
(2)原式=lg2×53÷56×25+lg4lg3×lg9lg2
=lg2×53×65×25+2lg2lg3×2lg3lg2
=lg1010+4
=lg10+lg10+4
=1+12+4
=112．
【答案】
解：(1)不等式f1−x>fx+3可化为lga1−x>lgax+3，
①当a>1时，不等式可化为1−x>x+3>0，
解得−3
②当0
解得−1
(2)可知gx=ax+lgax．
所以函数gx是单调函数，
又由g1=a，g2=a2+lga2，
有a+a2+lga2=a2+a−1，
解得a=12．
【考点】
对数函数的单调性与特殊点
指、对数不等式的解法
指数函数单调性的应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)不等式f1−x>fx+3可化为lga1−x>lgax+3，
①当a>1时，不等式可化为1−x>x+3>0，
解得−3
②当0
解得−1
(2)可知gx=ax+lgax．
所以函数gx是单调函数，
又由g1=a，g2=a2+lga2，
有a+a2+lga2=a2+a−1，
解得a=12．
【答案】
(1)解：设三棱柱ABC−A1B1C1的高为ℎ，△ABC的面积为S，
由三棱柱ABC−A1B1C1的体积为1，
可得VABC−A1B1C1=Sℎ=1，
可得三棱锥C1−ABC的体积为VC1−ABC=13Sℎ=13 .
(2)证明：取AB的中点D，连接CD，C1D，
∵ AC=BC，∠ACC1=∠BCC1，CC1=CC1，
∴ △ACC1≅△BCC1(SAS)，
∴ AC1=BC1，
∵ AD=DB，AC1=BC1，
∴ AB⊥C1D，
∵ AD=DB，AC=BC，
∴ AB⊥CD ，
∵ CD，C1D⊂平面CDC1，CD∩C1D=D，
∴ AB⊥平面CDC1，
∵ AB⊥平面CDC1，CC1⊂平面CC1D，
∴ AB⊥CC1 .
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：设三棱柱ABC−A1B1C1的高为ℎ，△ABC的面积为S，
由三棱柱ABC−A1B1C1的体积为1，
可得VABC−A1B1C1=Sℎ=1，
可得三棱锥C1−ABC的体积为VC1−ABC=13Sℎ=13 .
(2)证明：取AB的中点D，连接CD，C1D，
∵ AC=BC，∠ACC1=∠BCC1，CC1=CC1，
∴ △ACC1≅△BCC1(SAS)，
∴ AC1=BC1，
∵ AD=DB，AC1=BC1，
∴ AB⊥C1D，
∵ AD=DB，AC=BC，
∴ AB⊥CD ，
∵ CD，C1D⊂平面CDC1，CD∩C1D=D，
∴ AB⊥平面CDC1，
∵ AB⊥平面CDC1，CC1⊂平面CC1D，
∴ AB⊥CC1 .
【答案】
(1)证明：如图，取C1D的中点G，连接GF，AG，
∵ G为C1D的中点，F为CC1的中点，
∴ GF//CD，且CD=2GF，
∵ E为AB的中点，AB=CD，AB//CD，
∴ AE//GF，且AE=GF，
∴ 四边形AEFG为平行四边形，
∴ AG//EF，
∵ AG//EF，AG⊂平面AC1D，EF⊄平面AC1D，
∴ EF//平面AC1D.
(2)解：连接AB1，易证AD⊥平面ABB1A1，
过B作BK⊥AB1，
则BK⊥平面AB1C1D，
在Rt△ABB1中，BK⋅AB1=AB⋅BB1，
所以BK=3×45=125，
因为点E是AB的中点，
则点E到平面AC1D的距离为65．
【考点】
直线与平面平行的判定
点、线、面间的距离计算
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：如图，取C1D的中点G，连接GF，AG，
∵ G为C1D的中点，F为CC1的中点，
∴ GF//CD，且CD=2GF，
∵ E为AB的中点，AB=CD，AB//CD，
∴ AE//GF，且AE=GF，
∴ 四边形AEFG为平行四边形，
∴ AG//EF，
∵ AG//EF，AG⊂平面AC1D，EF⊄平面AC1D，
∴ EF//平面AC1D.
(2)解：连接AB1，易证AD⊥平面ABB1A1，
过B作BK⊥AB1，
则BK⊥平面AB1C1D，
在Rt△ABB1中，BK⋅AB1=AB⋅BB1，
所以BK=3×45=125，
因为点E是AB的中点，
则点E到平面AC1D的距离为65．
【答案】
解：(1)可知圆C的圆心为M2,0，半径为1，
因为直线l与圆C相交于两点，
所以直线l的斜率必定存在，
设直线l的方程为y=kx ，
当∠AMB=60∘时，因为MA=MB，
所以△ABM为等边三角形，
所以AB=MA=MB=1 .
圆心M2,0到直线l的距离为d=|2k|k2+1，
有|2k|k2+12+122=12，
解得k=±3913，
故直线l的方程为y=±3913x .
(2)设圆心M到直线l的距离为d（0
设△ABM的面积为S，
则S=12|AB|⋅d
=12×21−d2⋅d
=−(d2−12)2+14，
所以当d2=12时，S有最大值，Smax=14=12，
所以△ABM面积的最大值为12.
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
直线和圆的方程的应用
函数的最值及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)可知圆C的圆心为M2,0，半径为1，
因为直线l与圆C相交于两点，
所以直线l的斜率必定存在，
设直线l的方程为y=kx ，
当∠AMB=60∘时，因为MA=MB，
所以△ABM为等边三角形，
所以AB=MA=MB=1 .
圆心M2,0到直线l的距离为d=|2k|k2+1，
有|2k|k2+12+122=12，
解得k=±3913，
故直线l的方程为y=±3913x .
(2)设圆心M到直线l的距离为d（0
设△ABM的面积为S，
则S=12|AB|⋅d
=12×21−d2⋅d
=−(d2−12)2+14，
所以当d2=12时，S有最大值，Smax=14=12，
所以△ABM面积的最大值为12.
【答案】
(1)解：函数fx的定义域为R,
由f−x=e−x+ex=fx，
可知函数fx为偶函数.
(2)证明：设x2>x1≥0，
fx2−fx1=ex2+e−x2−ex1+e−x1
=ex2−ex1+1ex2−1ex1
=(ex2−ex1)+ex1−ex2ex1+x2
=(ex2−ex1)1−1ex1+x2
=(ex2−ex1)(ex1+x2−1)ex1+x2，
∵ x2>x1≥0，
∴ ex2>ex1，ex1+x2−1>0，ex1+x2>0，
∴ fx2>fx1，
故函数fx在区间[0,+∞)上单调递增．
(3)解：由f2x=e2x+e−2x=e−x+ex2−2=[fx]2−2，
有gx=fx2−2afx−2,
由(2)和f0=2可知，
函数fx在区间[0,+∞)上的值域为[2,+∞),
又由函数fx为偶函数，
可知函数fx在R上的值域为[2,+∞),
令fx=t，可得t∈[2,+∞)，有gx=t2−2at−2，
令ℎ(t)=t2−2at−2(t∈[2,+∞))，有ℎt=t−a2−a2−2,
①当a≤2时，ℎ(t)min=ℎ(2)=2−4a，
此时函数ℎ(t)的值域为[2−4a,+∞);
②当a>2时，ℎtmin=ℎa=−a2−2，
此时函数ℎt的值域为[−a2−2,+∞)，
因为函数gx和函数ℎ(t)的值域相同，
故可得，
当a≤2时，函数gx的值域为[2−4a,+∞)；
当a>2时，函数gx的值域为[−a2−2,+∞)．
【考点】
函数奇偶性的判断
函数单调性的判断与证明
函数的值域及其求法
【解析】
无
无
无
【解答】
(1)解：函数fx的定义域为R,
由f−x=e−x+ex=fx，
可知函数fx为偶函数.
(2)证明：设x2>x1≥0，
fx2−fx1=ex2+e−x2−ex1+e−x1
=ex2−ex1+1ex2−1ex1
=(ex2−ex1)+ex1−ex2ex1+x2
=(ex2−ex1)1−1ex1+x2
=(ex2−ex1)(ex1+x2−1)ex1+x2，
∵ x2>x1≥0，
∴ ex2>ex1，ex1+x2−1>0，ex1+x2>0，
∴ fx2>fx1，
故函数fx在区间[0,+∞)上单调递增．
(3)解：由f2x=e2x+e−2x=e−x+ex2−2=[fx]2−2，
有gx=fx2−2afx−2,
由(2)和f0=2可知，
函数fx在区间[0,+∞)上的值域为[2,+∞),
又由函数fx为偶函数，
可知函数fx在R上的值域为[2,+∞),
令fx=t，可得t∈[2,+∞)，有gx=t2−2at−2，
令ℎ(t)=t2−2at−2(t∈[2,+∞))，有ℎt=t−a2−a2−2,
①当a≤2时，ℎ(t)min=ℎ(2)=2−4a，
此时函数ℎ(t)的值域为[2−4a,+∞);
②当a>2时，ℎtmin=ℎa=−a2−2，
此时函数ℎt的值域为[−a2−2,+∞)，
因为函数gx和函数ℎ(t)的值域相同，
故可得，
当a≤2时，函数gx的值域为[2−4a,+∞)；
当a>2时，函数gx的值域为[−a2−2,+∞)．
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