2021年江苏省扬州市邗江区中考数学一模试卷 解析版

这是一份2021年江苏省扬州市邗江区中考数学一模试卷 解析版，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）实数2021的相反数是（ ）
A．2021B．﹣2021C．D．﹣
2．（3分）一个几何体的展开图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．三棱锥B．四棱锥C．长方体D．圆锥
3．（3分）如图，直线m∥n，∠1＝130°，则∠2的度数是（ ）
A．130°B．70°C．65°D．50°
4．（3分）校篮球队有13名队员，队员的年龄统计情况如下：
则这13名队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．1和2B．1和3C．15和14D．15和15
5．（3分）如图，根据图中尺规作图痕迹，计算∠1的度数是（ ）
A．22°B．32°C．34°D．68°
6．（3分）△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则四边形DECB与△ABC的面积之比是（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．3：4
7．（3分）如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ）
A．32×12﹣32x﹣12x＝300B．（32﹣x）（12﹣x）+x2＝300
C．（32﹣x）（12﹣x）＝300D．2（32﹣x+12﹣x）＝300
8．（3分）如图，有规律的“心电”图形由图形M不断向右重复组成．图形M分为两条曲线和两条线段：曲线AB是二次函数y＝﹣2x2+8x+2图象的一部分，该二次函数顶点是B，与y轴交于点A；曲线BC是反比例函数图象的一部分；线段CD是直线y＝x﹣1的一部分；线段DA1是直线y＝﹣2x+b的一部分．若点P（m，n），K（2021，k）是“心电”图形上的两点，则n﹣k的最大值是（ ）
A．6B．7C．8D．10
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
9．（3分）若有意义，则字母x的取值范围是 ．
10．（3分）嫦娥五号从月球风驰电掣般返回地球的速度接近第二宇宙速度，即112000米/秒，该速度112000用科学记数法表示为 ．
11．（3分）计算一组数据的方差，列出方差公式s2＝[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（x10﹣2）2]，则这组数据的平均数是 ．
12．（3分）在一个不透明的袋子中有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，每次从袋子中摸出一个球记录颜色后再放回，经过大量重复试验，摸到白球的频率稳定在0.25，则袋子中白球的个数是 ．
13．（3分）已知多边形内角和与外角和的和是2160°，则这个多边形的边数是 ．
14．（3分）已知扇形的弧长为4π，半径为8，则此扇形的圆心角为 度．
15．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
16．（3分）如图，在⊙O中，点C是的中点，连接OC交弦AB于点D，若OD＝3，DC＝2，则AB的长是 ．
17．（3分）如图，点E是正方形ABCD边CD的中点，连接BE，把△BCE沿BE翻折得到△BFE，连接DF，若DF＝1，则正方形ABCD的边长是 ．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B（4，0），点M是第二象限内的一个动点，连接AM、OM、BM，且∠MAO＝∠MOC，则BM的最大值是 ．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分）
19．（8分）（1）计算：（）﹣1﹣|﹣2|+cs45°；
（2）化简：（﹣1）÷．
20．（8分）解不等式组，并写出它的最大整数解．
21．（8分）为了了解某校九年级学生体质健康情况，随机抽取了该校九年级人数10%的学生进行测试，结果分为四个等级：A优秀、B良好、C及格、D不及格，并将结果绘制成不完整的统计图：
（1）此次测试抽样调查了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图C选项圆心角的度数是 ；
（4）请估计全校九年级学生中优秀等级的人数．
22．（8分）2021世界园艺博览会在扬州枣林湾举行，本次世园会共有63个展园，其中包括25个境内城市展园、15个境外城市展园、13个江苏城市展园以及10个企业展园．小明制作了63张反面完全一样正面是各个展园资料的卡片，洗匀后反面朝上摆放．
（1）“从中随机抽取一张，恰好是江苏城市展园”的概率是 ；
（2）从“北京园、上海园、荷兰园、罗马园”4张卡片中，随机抽取2张，请用画树状图或用表格的方法估计“抽出2张卡片是北京园和上海园”的概率．
23．（10分）随着世园会的开幕，“绿色城市，健康生活”的理念深入人心，某单位为了绿化环境计划种树1200棵树，实际劳动中每天植树数量比计划多20%，结果提前2天完成任务，计划每天种多少棵树？
24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．
（1）探索四边形AECF的形状，并说明理由；
（2）连接BF，若BF平分∠ABC，BF＝8，CF＝6，连接EF，求四边形ABEF的面积．
25．（10分）如图，点C、D是以AB为直径⊙O上的两点，连接DA并延长，过点C作CE⊥DA，垂足为点E，且∠ECA＝∠B．
（1）试判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sinB＝，AE＝1，求AD的长．
26．（10分）数学研究的对象包括生活中的变量及变量之间的关系，有些运算结果由每个变量的值来确定，也有些运算结果与某个变量无关，但这无关变量有时也有它的意义．
（1）已知代数式6x2+nx﹣y+5﹣2（mx2+2x﹣3y）﹣1，其中m、n是常数，且代数式的值与字母x的取值无关，求m、n的值；
（2）在平面直角坐标系内，O为坐标原点，直线y＝kx﹣2k+1交y轴于点A，且不论k取任何非零实数，该直线始终经过一个定点B，连接OB．
①直接写出点B坐标 ；
②若△AOB是以OB为腰的等腰三角形，求此时点A坐标．
27．（12分）【问题提出】小明在学习了“圆心角”和“圆周角”的知识后，发现了顶点在圆内（顶点不在圆心）的角，命名为圆内角．比如图1中，∠APC、∠BPD是圆内角，所对的弧分别是、，圆内角的大小与所对弧的度数之间有什么关系呢？
【问题解决】小明想到了将∠APC转化为学过的两种角，即圆周角、圆心角．
（1）如图1，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若的度数是60°，的度数是80°，则∠APD的度数是 ．
【问题探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，命名为圆外角，圆外角的大小呢？
（2）如图3，点P是⊙O外一点，点A、点C在圆上，连接PA、PC，分别与⊙O相交于点B、点D，试探索∠APC的度数与、度数之间的关系，并说明理由．
【解释应用】直接利用前面发现的结论，解决问题．
（3）如图4，平面直角坐标系内，点A（﹣，1）在⊙O上，点B、点C是线段OM上的两个动点，且AB＝AC，延长AB、AC分别与⊙O相交于点D、E，延长DE交y轴于点F，试探究∠F的度数是否变化，如果不变，请求出它的度数．
28．（12分）如图，抛物线y＝x2与直线y＝kx+1相交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）．
（1）当x2＝2时，求直线解析式；
（2）在（1）的条件下，求tan∠ABO的值；
（3）在（1）的条件下，点M（m，n）是抛物线第一象限内的动点，当tan∠AMO＜时，直接写出此时m的取值范围 ；
（4）求证：动点P（y1，y2）在反比例函数图象上．（提示：若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝）
2021年江苏省扬州市邗江区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请将正确选项前的字母填涂在答题卡中相应的位置上）
1．（3分）实数2021的相反数是（ ）
A．2021B．﹣2021C．D．﹣
【分析】直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案．
【解答】解：2021的相反数是：﹣2021．
故选：B．
2．（3分）一个几何体的展开图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．三棱锥B．四棱锥C．长方体D．圆锥
【分析】根据平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点确定立体图形为三棱锥．
【解答】解：观察图可得，这是个底面为三角形，侧面有三个三角形的展开图，则该几何体的顶点有4个，应该是三棱锥．
故选：A．
3．（3分）如图，直线m∥n，∠1＝130°，则∠2的度数是（ ）
A．130°B．70°C．65°D．50°
【分析】先两直线平行同位角相等即可求出∠3的度数，然后根据邻补角的定义，即可求出∠2的度数．
【解答】解：
∵m∥n，
∴∠1＝∠3＝130°，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣130°＝50°，
故选：D．
4．（3分）校篮球队有13名队员，队员的年龄统计情况如下：
则这13名队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．1和2B．1和3C．15和14D．15和15
【分析】根据中位数、众数的意义进行计算即可．
【解答】解：这13名队员年龄出现次数最多的是15岁，共出现6次，因此众数是15岁
将这13名队员的年龄从小到大排列，处在中间位置的一个数是15岁，因此中位数是15岁，
故选：D．
5．（3分）如图，根据图中尺规作图痕迹，计算∠1的度数是（ ）
A．22°B．32°C．34°D．68°
【分析】由矩形的性质得到∠BCD＝90°，求得∠ACD＝90°﹣68°＝22°，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝CE，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝68°，
∴∠ACD＝90°﹣68°＝22°，
由作图得EF垂直平分AC，
∴AE＝CE，
∴∠1＝∠ACE＝22°，
故选：A．
6．（3分）△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则四边形DECB与△ABC的面积之比是（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．3：4
【分析】由已知得△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，可得＝，即知＝．
【解答】解：如图：
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴＝＝，
又∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴＝，
故选：D．
7．（3分）如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ）
A．32×12﹣32x﹣12x＝300B．（32﹣x）（12﹣x）+x2＝300
C．（32﹣x）（12﹣x）＝300D．2（32﹣x+12﹣x）＝300
【分析】根据平行四边形的面积计算公式及道路的铺设方式，可得出铺设草坪的面积等于长为（32﹣x）米、宽（12﹣x）米的矩形面积，结合草坪的面积为300平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵道路的宽为x米，
∴铺设草坪的面积等于长为（32﹣x）米、宽（12﹣x）米的矩形面积．
∵草坪的面积为300平方米，
∴（32﹣x）（12﹣x）＝300．
故选：C．
8．（3分）如图，有规律的“心电”图形由图形M不断向右重复组成．图形M分为两条曲线和两条线段：曲线AB是二次函数y＝﹣2x2+8x+2图象的一部分，该二次函数顶点是B，与y轴交于点A；曲线BC是反比例函数图象的一部分；线段CD是直线y＝x﹣1的一部分；线段DA1是直线y＝﹣2x+b的一部分．若点P（m，n），K（2021，k）是“心电”图形上的两点，则n﹣k的最大值是（ ）
A．6B．7C．8D．10
【分析】先根据有规律的“心电”图形由图形M不断向右重复组成，且每6个单位为一组循环，确认k＝4，再将二次函数配方得点B的坐标可知n的最大值是10，可解答．
【解答】解：当x＝0时，y＝2，
∴A（0，2），
由图可知：A1（6，2），
把A1（6，2）代入y＝﹣2x+b中得：﹣2×6+b＝2，
∴b＝14，
∴y＝﹣2x+14，
当x﹣1＝﹣2x+14时，x＝5，
当x＝5时，y＝5﹣1＝4，
∴D1（5，4），
∵有规律的“心电”图形由图形M不断向右重复组成，且每6个单位为一组循环，
∴2021÷6＝336•••5，
∴k＝4，
y＝﹣2x2+8x+2＝﹣2（x﹣2）2+10，
∴B（2，10），
∵点P（m，n）是“心电”图形上的一点，
∴n的最大值是10，
∴n﹣k的最大值是10﹣4＝6．
故选：A．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
9．（3分）若有意义，则字母x的取值范围是 x≥﹣5 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+5≥0，
解得x≥﹣5．
故答案为：x≥﹣5．
10．（3分）嫦娥五号从月球风驰电掣般返回地球的速度接近第二宇宙速度，即112000米/秒，该速度112000用科学记数法表示为 1.12×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：112000＝1.12×105，
故答案为：1.12×105．
11．（3分）计算一组数据的方差，列出方差公式s2＝[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（x10﹣2）2]，则这组数据的平均数是 2 ．
【分析】根据方差的个数求出平均数即可．
【解答】解：∵方差公式s2＝[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（x10﹣2）2]，
∴这组数据的平均数是2，
故答案为：2．
12．（3分）在一个不透明的袋子中有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，每次从袋子中摸出一个球记录颜色后再放回，经过大量重复试验，摸到白球的频率稳定在0.25，则袋子中白球的个数是 2 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：设袋中白球的个数为x，
根据题意，得：＝0.25，
解得x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解，
所以袋中白球的个数是2，
故答案为：2．
13．（3分）已知多边形内角和与外角和的和是2160°，则这个多边形的边数是 12 ．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列式求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
（n﹣2）•180°+360°＝2160°，
解得n＝12．
故答案为：12．
14．（3分）已知扇形的弧长为4π，半径为8，则此扇形的圆心角为 90 度．
【分析】利用扇形的弧长公式计算即可．
【解答】解：设扇形的圆心角为n°，
则，
解得，n＝90，
故答案为：90
15．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 k≤5且k≠1 ．
【分析】根据一元二次方程有实数根可得k﹣1≠0，且b2﹣4ac＝16﹣4（k﹣1）≥0，解之即可．
【解答】解：∵一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，
∴k﹣1≠0，且b2﹣4ac＝16﹣4（k﹣1）≥0，
解得：k≤5且k≠1，
故答案为：k≤5且k≠1．
16．（3分）如图，在⊙O中，点C是的中点，连接OC交弦AB于点D，若OD＝3，DC＝2，则AB的长是 8 ．
【分析】连接OA，如图，由于点C是弧AB的中点，根据垂径定理的推理得到OC⊥AB，AD＝BD，然后利用勾股定理计算出AD，从而得到AB的长．
【解答】解：连接OA，如图：
∵OD＝3，DC＝2，
∴OA＝OC＝OD+DC＝3+2＝5，
∵点C是的中点，
∴OC⊥AB，
∴AD＝BD，
在Rt△AOD中，AD＝＝＝4，
∴AB＝2AD＝2×4＝8．
故答案为：8．
17．（3分）如图，点E是正方形ABCD边CD的中点，连接BE，把△BCE沿BE翻折得到△BFE，连接DF，若DF＝1，则正方形ABCD的边长是 ．
【分析】由正方形的性质可得DE＝CE＝CD＝BC，由折叠的性质可得EF＝CE＝DE，∠BEF＝∠BEC，由外角的性质可得∠BEC＝∠EDF，由锐角三角函数可求解．
【解答】解：如图，连接FC，
∵点E是正方形ABCD边CD的中点，
∴DE＝CE＝CD＝BC，
∵把△BCE沿BE翻折得到△BFE，
∴EF＝CE＝DE，∠BEF＝∠BEC，
∴∠DFC＝90°，
∵EF＝ED，
∴∠EFD＝∠EDF，
∵∠FEC＝∠EFD+∠EDF＝∠FEB+∠BEC，
∴∠BEC＝∠EDF，
∴tan∠EDF＝tan∠BEC，
∴，
∴，
∴FC＝2，
∴DC＝＝＝，
故答案为：．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B（4，0），点M是第二象限内的一个动点，连接AM、OM、BM，且∠MAO＝∠MOC，则BM的最大值是 8 ．
【分析】先证明∠AMO＝90°，从而得点M在以AO为直径的半圆上，进而得当BM过OA的中点时，BM的值最大，即可求解．
【解答】解：∵∠MAO＝∠MOC，
∴∠MOA+∠MAO＝∠MOC+∠MOA＝90°，
∴∠AMO＝90°，
∴点M在以AO为直径的半圆上，
∵点A（0，6），
∴OA的中点坐标为（0，3），
当BM过OA中点时，BM最大，最大值＝＝8．
故答案为：8．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分）
19．（8分）（1）计算：（）﹣1﹣|﹣2|+cs45°；
（2）化简：（﹣1）÷．
【分析】（1）原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝4﹣2+×
＝4﹣2+1
＝3；
（2）原式＝•
＝•
＝．
20．（8分）解不等式组，并写出它的最大整数解．
【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组的解集求出即可．
【解答】解：，
由①得：x≤2，
由②得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集是﹣3＜x≤2，
∴它的最大整数解是2．
21．（8分）为了了解某校九年级学生体质健康情况，随机抽取了该校九年级人数10%的学生进行测试，结果分为四个等级：A优秀、B良好、C及格、D不及格，并将结果绘制成不完整的统计图：
（1）此次测试抽样调查了 60 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图C选项圆心角的度数是 72° ；
（4）请估计全校九年级学生中优秀等级的人数．
【分析】（1）根据A级的人数除以A级所占的百分比，可得答案；
（2）根据圆周角乘以A及所占的比例，可得扇形的圆心角；根据抽测人数乘以C及所占的比例，可得答案；
（3）利用样本估计总体的方法知，全校总人数乘以D级所占的比例，可得答案．
【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数是30÷50%＝60（名）；
故答案为：60；
（2）B级的人数为60﹣30﹣12﹣3＝15人，
（3）360°×20%＝72°，
故答案为：72°；
（4）30÷10%＝300（人），
答：全校九年级学生中优秀等级的人数是300人．
22．（8分）2021世界园艺博览会在扬州枣林湾举行，本次世园会共有63个展园，其中包括25个境内城市展园、15个境外城市展园、13个江苏城市展园以及10个企业展园．小明制作了63张反面完全一样正面是各个展园资料的卡片，洗匀后反面朝上摆放．
（1）“从中随机抽取一张，恰好是江苏城市展园”的概率是 ；
（2）从“北京园、上海园、荷兰园、罗马园”4张卡片中，随机抽取2张，请用画树状图或用表格的方法估计“抽出2张卡片是北京园和上海园”的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）分别用A，B，C，D表示4张卡片，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）“从中随机抽取一张，恰好是江苏城市展园”的概率是，
故答案为：；
（2）用A、B、C、D分别表示“北京园、上海园、荷兰园、罗马园”，画树状图如下，
因为共有12种等可能的情况数，其中“抽出2张卡片是北京园和上海园”的有2种结果，
所以“抽出2张卡片是北京园和上海园”的概率为＝．
23．（10分）随着世园会的开幕，“绿色城市，健康生活”的理念深入人心，某单位为了绿化环境计划种树1200棵树，实际劳动中每天植树数量比计划多20%，结果提前2天完成任务，计划每天种多少棵树？
【分析】设计划每天种x棵树，则实际每天种（1+20%）x棵树，由题意：某单位为了绿化环境计划种树1200棵树，实际劳动中每天植树数量比计划多20%，结果提前2天完成任务，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设计划每天种x棵树，则实际每天种（1+20%）x棵树，
由题意得：﹣＝2，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，
答：计划每天种100棵树．
24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．
（1）探索四边形AECF的形状，并说明理由；
（2）连接BF，若BF平分∠ABC，BF＝8，CF＝6，连接EF，求四边形ABEF的面积．
【分析】（1）证出AF＝EC，由平行四边形的判定可得出结论；
（2）证明四边形ABEF为菱形，由菱形的面积公式可得出答案．
【解答】解：（1）四边形AECF为平行四边形，
理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点E、F分别是BC、AD的中点，
∴AF＝DF＝BE＝EC，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）∵AF∥BE，AF＝BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠EBF，
∵AF∥BE，
∴∠AFB＝∠EBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
∴四边形ABEF为菱形，
∵四边形AECF为平行四边形，
∴AE＝CF＝6，
∴四边形ABEF的面积＝＝24．
25．（10分）如图，点C、D是以AB为直径⊙O上的两点，连接DA并延长，过点C作CE⊥DA，垂足为点E，且∠ECA＝∠B．
（1）试判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sinB＝，AE＝1，求AD的长．
【分析】（1）连接CO，根据等腰三角形的性质得到∠BCO＝∠B，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，求得∠ECO＝90°，于是得到结论；
（2）连接BD，根据三角函数的定义得到∠B＝30°，求得∠BAD＝60°，根据圆周角定理得到∠D＝90°，求得∠ABD＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）CE与⊙O相切，
理由：连接CO，
∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠B，
∵∠ECA＝∠B，
∴∠BCO＝∠ECA，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，
∴∠ACO+∠ECA＝90°，
∴∠ECO＝90°，
∴CE与⊙O相切；
（2）连接BD，
∵sinB＝，
∴∠B＝30°，
∴∠ECA＝∠B＝30°，
∵∠E＝∠ACB＝90°，
∴∠EAC＝∠CAB＝60°，
∴∠BAD＝60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠D＝90°，
∴∠ABD＝30°，
∵AE＝1，
∴AC＝2AE＝2，
∴AB＝2AC＝4，
∴AD＝AB＝2．
26．（10分）数学研究的对象包括生活中的变量及变量之间的关系，有些运算结果由每个变量的值来确定，也有些运算结果与某个变量无关，但这无关变量有时也有它的意义．
（1）已知代数式6x2+nx﹣y+5﹣2（mx2+2x﹣3y）﹣1，其中m、n是常数，且代数式的值与字母x的取值无关，求m、n的值；
（2）在平面直角坐标系内，O为坐标原点，直线y＝kx﹣2k+1交y轴于点A，且不论k取任何非零实数，该直线始终经过一个定点B，连接OB．
①直接写出点B坐标 （2，1） ；
②若△AOB是以OB为腰的等腰三角形，求此时点A坐标．
【分析】（1）将6x2+nx﹣y+5﹣2（mx2+2x﹣3y）﹣1化简得（6﹣2m）x2+（n﹣4）x+5y+4，根据m、n是常数，且代数式的值与字母x的取值无关，可得6﹣2m＝0，n﹣4＝0，据此求解即可；
（2）①根据经过定点与k值无关可得k的系数等于0，可得点的坐标；
②以OB为半径，点O为圆心，作⊙O交y轴于A1、A2两点，以OB为半径，点B为圆心，作⊙O交于y轴于点A3，则△A1OB，△A2OB，△A3OB是以OB为腰的等腰三角形，据此分别求出点A的坐标即可．
【解答】解：（1）6x2+nx﹣y+5﹣2（mx2+2x﹣3y）﹣1
＝6x2+nx﹣y+5+2mx2﹣4x+6y﹣1
＝（6﹣2m）x2+（n﹣4）x+5y+4，
∵m、n是常数，且代数式的值与字母x的取值无关，
∴6﹣2m＝0，n﹣4＝0，
∴m＝3，n＝4，
（2）①∵y＝kx﹣2k+1＝（x﹣2）k+1，且不论k取任何非零实数，该直线始终经过一个定点B，
∴点B（2，1），
故答案为：（2，1）；
②如图，以OB为半径，点O为圆心，作⊙O交y轴于A1、A2两点，
∵B（2，1），
∴OB＝＝，
∴OA1＝OA2＝OB＝，
∴△A1OB，△A2OB是以OB为腰的等腰三角形，
∴A1（0，），A2（0，﹣），
点B为圆心，作⊙O交于y轴于点A3，
∴△A3OB是以OB为腰的等腰三角形，且△A3OB关于直线x＝1对称，
∴A13（0，2），
综上所述，若△AOB是以OB为腰的等腰三角形，此时点A的坐标是1（0，）或（0，﹣）或（0，2），
27．（12分）【问题提出】小明在学习了“圆心角”和“圆周角”的知识后，发现了顶点在圆内（顶点不在圆心）的角，命名为圆内角．比如图1中，∠APC、∠BPD是圆内角，所对的弧分别是、，圆内角的大小与所对弧的度数之间有什么关系呢？
【问题解决】小明想到了将∠APC转化为学过的两种角，即圆周角、圆心角．
（1）如图1，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若的度数是60°，的度数是80°，则∠APD的度数是 110° ．
【问题探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，命名为圆外角，圆外角的大小呢？
（2）如图3，点P是⊙O外一点，点A、点C在圆上，连接PA、PC，分别与⊙O相交于点B、点D，试探索∠APC的度数与、度数之间的关系，并说明理由．
【解释应用】直接利用前面发现的结论，解决问题．
（3）如图4，平面直角坐标系内，点A（﹣，1）在⊙O上，点B、点C是线段OM上的两个动点，且AB＝AC，延长AB、AC分别与⊙O相交于点D、E，延长DE交y轴于点F，试探究∠F的度数是否变化，如果不变，请求出它的度数．
【分析】（1）根据题意得出∠APC＝（的度数+的度数）＝70°，再根据邻补角的定义及得解；
（2）连接BC，OA，OC，OB，OD，根据三角形的外角性质得到∠APC＝∠ABC﹣∠PCB，再根据圆周角定理即圆心角、弧的关系即可得解；
（3）连接OA，根据题意得出∠ABC＝∠ACB，利用（1）（2）的结论可推出∠F的度数＝（的度数﹣的度数）＝（∠AON的度数﹣∠AOM的度数），由A（﹣，1），可推出∠AOP＝30°，∠AON＝120°，∠AOM＝60°，即可得解．
【解答】解：（1）∵的度数是60°，的度数是80°，
∴∠APC＝（的度数+的度数）＝（60°+80°）＝70°，
∴∠APD＝180°﹣∠APC＝110°，
故答案为：110°；
（2）∠APC的度数＝（的度数﹣的度数），理由如下：
如图3，连接BC，OA，OC，OB，OD，
∵∠APC＝∠ABC﹣∠PCB，∠ABC＝∠AOC，∠PCB＝∠BOD，
∴∠APC＝∠AOC﹣∠BOD＝（∠AOC﹣∠BOD），
即∠APC的度数＝（的度数﹣的度数）；
（3）∠F的度数不变，∠F＝30°，理由如下：
如图4，连接OA，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴（的度数+的度数）＝（的度数+的度数），
∴的度数+的度数＝的度数+的度数，
∴的度数﹣的度数＝的度数﹣的度数，
∵∠F的度数＝（的度数﹣的度数），
∴∠F的度数＝（的度数﹣的度数）＝（∠AON的度数﹣∠AOM的度数），
∵A（﹣，1），
∴tan∠AOP＝，
∴∠AOP＝30°，
∴∠AON＝90°+30°＝120°，∠AOM＝90°﹣30°＝60°，
∴∠F＝（120°﹣60°）＝30°．
28．（12分）如图，抛物线y＝x2与直线y＝kx+1相交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）．
（1）当x2＝2时，求直线解析式；
（2）在（1）的条件下，求tan∠ABO的值；
（3）在（1）的条件下，点M（m，n）是抛物线第一象限内的动点，当tan∠AMO＜时，直接写出此时m的取值范围 m＞2 ；
（4）求证：动点P（y1，y2）在反比例函数图象上．（提示：若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝）
【分析】（1）将x2＝2代入抛物线解析式求得点B的坐标，再利用待定系数法即可求得k值；
（2）利用勾股定理的逆定理判定△ABO为直角三角形，根据正切的意义即可得出结论；
（3）利用（2）中的结论可知点M在点B的右上方的抛物线上，由此可得m的取值范围；
（4）将抛物线y＝x2与直线y＝kx+1联立得到方程x2﹣kx﹣1＝0，利用提示的信息得到x1+x2＝k，x1•x2＝﹣1，通过计算y1•y2即可得出结论．
【解答】解：（1）∵当x2＝2时，y＝22＝4，
∴B（2，4）．
∵抛物线y＝x2与直线y＝kx+1相交于两点A、B，
∴2k+1＝4．
解得：k＝．
∴直线解析式为：y＝x+1．
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥BD于点E，如图，
则四边形ACDE为矩形，
∴AC＝DE，AE＝CD．
∵抛物线y＝x2与直线y＝kx+1相交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），
∴．
解得：，．
∴A（，），B（2，4）．
∴AC＝，OC＝，OD＝2，BD＝4．
∴BD＝AC＝，AE＝CD＝OD+OC＝，BE＝BD﹣DE＝．
∵＝，
AO2＝AC2+OC2＝＝，
OB2＝OD2+BD2＝22+42＝20，
∴AB2＝AO2+BO2．
∴△ABO为直角三角形，∠AOB＝90°．
∴tan∠ABO＝．
（3）∵tan∠ABO＝，tan∠AMO＜，
又∵在0°～90°之间，正切值随着角度的增大而增大，
∴∠AMO＜∠∠ABO．
∴点M在点B的右上方的抛物线上．
∵点M（m，n）是抛物线第一象限内的动点，
∴m＞2．
故答案为：m＞2．
（4）证明：∵抛物线y＝x2与直线y＝kx+1相交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），
∴．
∴x2＝kx+1．
即：x2﹣kx﹣1＝0．
∴x1，x2是该方程的两根．
∴x1+x2＝﹣k，x1•x2＝﹣1．
∵A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线y＝x2上，
∴，，
∴＝1，
∴．
∴动点P（y1，y2）在反比例函数图象上．
年龄（岁）
12
13
14
15
16
人数
1
2
3
6
1
解：连接BC，OA，OC，OB，OD．
如图2，在△PBC中，∠APC＝∠PBC+∠PCB
∵∠PBC＝∠AOC，∠PCB＝∠BOD
∴∠APC＝∠AOC+∠BOD＝（∠AOC+∠BOD）
即：∠APC的度数＝（的度数+的度数）
年龄（岁）
12
13
14
15
16
人数
1
2
3
6
1
解：连接BC，OA，OC，OB，OD．
如图2，在△PBC中，∠APC＝∠PBC+∠PCB
∵∠PBC＝∠AOC，∠PCB＝∠BOD
∴∠APC＝∠AOC+∠BOD＝（∠AOC+∠BOD）
即：∠APC的度数＝（的度数+的度数）