湖北省武汉市武昌区2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷(word版含答案)

这是一份湖北省武汉市武昌区2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷(word版含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年湖北省武汉市武昌区八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列线段长能构成三角形的是（　　）
A．3、7、4 B．2、3、6 C．5、6、7 D．1、2、3
3．已知等腰三角形的一边长为4cm，另一边为10cm，则它的周长是（　　）
A．18cm B．24cm C．14cm D．18cm或24cm
4．下列命题中，不正确的是（　　）
A．关于直线对称的两个三角形一定全等
B．等边三角形有3条对称轴
C．角是轴对称图形
D．等腰三角形一边上的高、中线及这边所对角的角平分线重合
5．如图是教材例题中用尺规作图作出的∠AOB的角平分线OC，用到的作图依据有（　　）

A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
6．一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（　　）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
7．如图，图中显示的是从镜子中看到背后墙上的电子钟读数，由此你可以推断这时的实际时间是（　　）

A．10：05 B．20：01 C．20：10 D．10：02
8．如图，已知∠A＝60°，则∠D+∠E+∠F+∠G的度数为（　　）

A．180° B．240° C．300° D．360°
9．如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间最小的三角形的边长是3，则六边形的周长为（　　）

A．90 B．60 C．50 D．30
10．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝13，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则CF的长为（　　）

A．12 B．11 C．10 D．9
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中点P（﹣2，3）关于x轴的对称点是　 　．
12．为了使矩形相框不变形，通常可以在相框背后加根木条固定．这种做法体现的数学原理是 　 　．
13．如图，△ABC中，点D是边AB、AC的垂直平分线的交点，已知∠A＝80°，则∠BDC的度数为 　 　．

14．如图所示，正方形ABCD的面积为6，△CDE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一动点K，则KA+KE的最小值为 　 　．

15．如图，K是等边△ABC内部一点，∠AKB，∠BKC，∠CKA的大小之比是3：4：5，则以KA，KB，KC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是 　 　．

16．如图，已知∠AOB＝8°，一条光线从点A发出后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝82°．当∠A＜82°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，…若光线从点A出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值为 　 　．

三、解答题（共8小题，共72分）
17．如图，在△ABC中，D为BC延长线上一点，DE⊥AB于E，交AC于F，若∠A＝40°，∠D＝45°，求∠ACB的度数．

18．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．求证：AB＝DC．

19．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，P点在直线l的右侧，求证：PA＞PB．

20．如图，在△ABC中，AK，BK，CK分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，KD⊥BC于点D，求证：AB﹣AC＝BD﹣CD．

21．如图是6×8的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写画法，保留作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）在图1中取格点S，使得△BSC≌△CAB（S不与A重合）；
（2）在图2中AB上取一点K，使CK是△ABC的高；
（3）在图3中AC上取一点G，使得∠AGB＝∠ABC．
22．如图是两个全等的直角三角形纸片，且AC：BC：AB＝3：4：5，按如图的两种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为S1，S2．
（1）若AC＝3，求S1的值．
（2）若S1+S2＝26，求单个直角三角形纸片的面积是多少．

23．在等边△ABC中，D为边AC的中点，点N在边BC的延长线上，且∠MDN＝120°．
（1）如图1，点M在边AB上，求证：DM＝DN；
（2）如图2，点M在边AB的延长线上，试探究BM，BN与等边△ABC边长BC的数量关系；
（3）如图3，点M在边AB上，若AM+CN＝BD，求∠ADM的度数．

24．如图，点A（a，0），B（0，b），若点F（a，b）关于y轴的对称点的坐标为（﹣2，2）．
（1）求△AOB的面积．
（2）如图1，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，试探究线段AC、BD、CD之间的数量关系，并给出证明．
（3）如图2，点E是x轴上一动点，在y轴正半轴上取一点K，连接EK，FK，FE，使∠EFK＝∠OAB，试探究线段BK，KE，EA之间的数量关系，并给出证明．




参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2．下列线段长能构成三角形的是（　　）
A．3、7、4 B．2、3、6 C．5、6、7 D．1、2、3
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解．
解：A、3+4＝7，不能构成三角形，故此选项不合题意；
B、3+2＝5＜6，不能构成三角形，故此选项不合题意；
C、5+6＝11＞7，能构成三角形，故此选项符合题意；
D、1+2＝3，不能构成三角形，故此选项不合题意．
故选：C．
3．已知等腰三角形的一边长为4cm，另一边为10cm，则它的周长是（　　）
A．18cm B．24cm C．14cm D．18cm或24cm
【分析】分为两种情况：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，10cm，②当腰为10cm时，三边为4cm，10cm，10cm，看看是否符合三角形三边关系定理，再求出即可．
解：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，10cm，
∵4+4＜10，
∴不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；
②当腰为10cm时，三边为4cm，10cm，10cm，
此时符合三角形的三边关系定理，
此时等腰三角形的周长是4cm+10cm+10cm＝24cm，
故选：B．
4．下列命题中，不正确的是（　　）
A．关于直线对称的两个三角形一定全等
B．等边三角形有3条对称轴
C．角是轴对称图形
D．等腰三角形一边上的高、中线及这边所对角的角平分线重合
【分析】利用轴对称的性质、灯边三角形的性质、角的对称性及等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、关于直线对称的两个三角形一定全等，正确，不符合题意；
B、等腰三角形有三条对称轴，正确，不符合题意；
C、角是轴对称图形，正确，不符合题意；
D、等腰三角形底边上的高、中线及这边所对角的角平分线重合，故原命题错误，符合题意．
故选：D．
5．如图是教材例题中用尺规作图作出的∠AOB的角平分线OC，用到的作图依据有（　　）

A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
【分析】根据作图的过程知道：OM＝ON，OC＝OC，CM＝CN，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△MOC≌△NOC．
解：根据作图的过程可知：OM＝ON，CM＝CN，
在△MOC与△NOC中，

∴△MOC≌△NOC（SSS）．
故选：C．
6．一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（　　）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
【分析】先求出多边形的边数，再求从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数即可．
解：∵多边形的每一个内角都等于140°，
∴每个外角是180°﹣140°＝40°，
∴这个多边形的边数是360°÷40°＝9，
∴从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是6条．
故选：A．
7．如图，图中显示的是从镜子中看到背后墙上的电子钟读数，由此你可以推断这时的实际时间是（　　）

A．10：05 B．20：01 C．20：10 D．10：02
【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
解：由图分析可得题中所给的“10：05”与“20：01”成轴对称，这时的时间应是20：01．
故选：B．
8．如图，已知∠A＝60°，则∠D+∠E+∠F+∠G的度数为（　　）

A．180° B．240° C．300° D．360°
【分析】根据三角形外角的性质，得∠D+∠E＝∠ABD，∠ACG＝∠F+∠G，那么∠D+∠E+∠F+∠G＝∠ABD+∠ACG．由∠ABD＝∠A+∠ACB，∠ACG＝∠A+∠ABC，得∠ABD+∠ACG＝∠A+∠ABC+∠ACB+∠A＝180°+∠A，进而解决此题．
解：∵∠D+∠E＝∠ABD，∠ACG＝∠F+∠G，
∴∠D+∠E+∠F+∠G＝∠ABD+∠ACG．
∵∠ABD＝∠A+∠ACB，∠ACG＝∠A+∠ABC，
∴∠ABD+∠ACG＝∠A+∠ABC+∠ACB+∠A＝180°+∠A．
∴∠D+∠E+∠F+∠G＝180°+∠A＝180°+60°＝240°．
故选：B．
9．如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间最小的三角形的边长是3，则六边形的周长为（　　）

A．90 B．60 C．50 D．30
【分析】设左下角三个小的等边三角形的边长是a，则剩下的5个等边三角形的边长是3+a、3+a、a+6、a+6、a+9，根据题意得到方程2a＝a+9，求出a后可求出围成的六边形的周长．
解：设等边△ABC的边长为a．
∵9个三角形都是等边三角形，
∴NA＝AW＝AB＝BN＝BC＝a，
CD＝CE＝DE＝DF＝a+3，
GF＝HF＝MG＝a+6，
MN＝MW＝a+9．
∵NW＝NA+AW，
∴a+9＝2a．
∴a＝9．
∴拼成的六边形的周长为：NB+BC+CD+DF+GF+MG+MN
＝a+a+a+3+a+3+a+6+a+6+a+9
＝7a+27
＝63+27
＝90．
故选：A．

10．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝13，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则CF的长为（　　）

A．12 B．11 C．10 D．9
【分析】过点B作BT∥AC交FM的延长线于T，延长BA交MF的延长线于G．证明△FCM≌△TBM（ASA），由全等三角形的性质得出CF＝BT，由平行线的性质得出∠3＝∠T，∠2＝∠3，∠1＝∠G，证出CF＝BG，AF＝AG，设AG＝AF＝x，则CF＝13﹣x，BG＝9+x，得出13﹣x＝9+x，求出x＝2．则可得出答案．
解：过点B作BT∥AC交FM的延长线于T，延长BA交MF的延长线于G．

∵点M是BC的中点，
∴BM＝CM，
∵BT∥AC，
∴∠C＝∠TBM，
在△FCM和△TBM中，
，
∴△FCM≌△TBM（ASA），
∴CF＝BT，
∵BT∥CF，
∴∠3＝∠T，
∵AD∥FM，
∴∠2＝∠3，∠1＝∠G，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠T＝∠G，
∴BG＝BT，
∴CF＝BG，
∵∠3＝∠AFG，
∴∠G＝∠AFG，
∴AG＝AF，
设AG＝AF＝x，则CF＝13﹣x，BG＝9+x，
∴13﹣x＝9+x，
解得x＝2，
∴CF＝13﹣x﹣11．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中点P（﹣2，3）关于x轴的对称点是　（﹣2，﹣3）　．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数可得答案．
解：∵关于x轴对称点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴点P（﹣2，3）关于x轴的对称点坐标是（﹣2，﹣3），
故答案为：（﹣2，﹣3）．
12．为了使矩形相框不变形，通常可以在相框背后加根木条固定．这种做法体现的数学原理是 　三角形具有稳定性　．
【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
解：这样做的道理是利用三角形的稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
13．如图，△ABC中，点D是边AB、AC的垂直平分线的交点，已知∠A＝80°，则∠BDC的度数为 　160°　．

【分析】连接AD，根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝130°，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质计算．
解：连接AD，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣80°＝100°，
∵点D是边AB、AC的垂直平分线的交点，
∴DA＝DB，DA＝DC，
∴∠DBA＝∠DAB，∠DCA＝∠DAC，
∴∠DBA+∠DCA＝∠DAB+∠DAC＝∠BAC＝80°，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠DBA+∠DCA）＝100°﹣80°＝20°，
∵∠DBC+∠DCB+∠BDC＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣20°＝160°，
故答案为：160°．

14．如图所示，正方形ABCD的面积为6，△CDE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一动点K，则KA+KE的最小值为 　　．

【分析】根据正方形的性质可知C、A关于BD对称，推出CK＝AK，推出EK+AK≥CE，根据等边三角形性质推出CE＝CD，根据正方形面积公式求出CD即可．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴C、A关于BD对称，即C关于BD的对称点是A，
如图，连接CK，则CK＝AK，
∴EK+CK≥CE，
∵△CDE是等边三角形，
∴CE＝CD，
∵正方形ABCD的面积为6，
∴CD＝，
∴KA+KE的最小值为，
故答案为：．

15．如图，K是等边△ABC内部一点，∠AKB，∠BKC，∠CKA的大小之比是3：4：5，则以KA，KB，KC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是 　1：2：3　．

【分析】将△ABK顺时针旋转60°得到△BDC，连接KD，将以KA，KB，KC为边的三角形转化为图中三角形CKD，然后根据，∠AKB，∠BKC，∠CKA的大小之比是3：4：5，以及旋转的性质分别求出∠DKC，∠CKD，∠CDK的度数即可得出结果．
解：如图，将△ABK绕点B顺时针旋转60°得到△BDC，连接KD，

∴△BDK为等边三角形，KA＝CD，
∴KD＝KB，
∴以KA，KB，KC为边的三角形即为图中△CKD，
∵∠AKB，∠BKC，∠CKA的大小之比是3：4：5，且∠AKB+∠BKC+∠CKA＝360°，
∴∠AKB＝90°，∠BKC＝120°，
∴∠DKC＝∠BKC﹣∠BKD＝120°﹣60°＝60°，
∠CDK＝∠BDC﹣∠BDK
＝∠AKB﹣∠BDK
＝90°﹣60°
＝30°，
∴∠CKD＝180°﹣∠CDK﹣∠CKD
＝180°﹣30°﹣60°
＝90°，
∴以KA，KB，KC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是30°：60°：90°＝1：2：3，
故答案为：1：2：3．
16．如图，已知∠AOB＝8°，一条光线从点A发出后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝82°．当∠A＜82°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，…若光线从点A出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值为 　10°　．

【分析】如图，当MN⊥OA时，光线沿原路返回，分别根据入射角等于反射角和外角性质求出∠5、∠9的度数，从而得出与∠A具有相同位置的角的度数变化规律，即可解决问题．
解：如图：

当MN⊥OA时，光线沿原路返回，
∴∠4＝∠3＝90°﹣8°＝82°，
∴∠6＝∠5＝∠4﹣∠AOB＝82°﹣8°＝74°＝90°﹣2×8°，
∴∠8＝∠7＝∠6﹣∠AOB＝74°﹣8°＝66°＝90°﹣3×8°，
∴∠9＝∠8﹣∠AOB＝66°﹣8°＝58°＝90°﹣4×8°，
由以上规律可知，∠A＝90°﹣2n•8°，
当n＝5时，∠A取得最小值，最小度数为10°，
故答案为：10°．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．如图，在△ABC中，D为BC延长线上一点，DE⊥AB于E，交AC于F，若∠A＝40°，∠D＝45°，求∠ACB的度数．

【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．
解：∵DF⊥AB，∠A＝40°
∴∠AFE＝∠CFD＝50°，
∴∠ACB＝∠D+∠CFD＝45°+50°＝95°．
18．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．求证：AB＝DC．

【分析】根据BE＝CF推出BF＝CE，然后利用“角角边”证明△ABF和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等即可证明．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
∵，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB＝DC（全等三角形对应边相等）．
19．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，P点在直线l的右侧，求证：PA＞PB．

【分析】利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到只有直线l上的点满足此条件，连接BC，利用三角形的三边关系可以得到PA＞PB．
【解答】证明：连接PA交直线l于C，连接PB，BC，
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴CA＝CB
∴AP＝CA+CP＝CB+CP＞PB，
即PA＞PB．

20．如图，在△ABC中，AK，BK，CK分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，KD⊥BC于点D，求证：AB﹣AC＝BD﹣CD．

【分析】由角平分线的性质得出作KE⊥AB于E，KF⊥AC于点F，KE＝KF，证明△AKE≌△AKF（HL），由全等三角形的性质得出AE＝AF，同理可得：BE＝BD，CD＝CF，则可得出结论．
【解答】证明：作KE⊥AB于E，KF⊥AC于点F，

∵AK平分∠BAC，KE⊥AB，KF⊥AC，
∴KE＝KF，
在Rt△AKE和Rt△AKF中，
，
∴△AKE≌△AKF（HL），
∴AE＝AF，
同理可得：BE＝BD，CD＝CF，
∴AB﹣AC＝AE+BE﹣AF﹣CF＝BE﹣CF＝DB﹣CD．
21．如图是6×8的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写画法，保留作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）在图1中取格点S，使得△BSC≌△CAB（S不与A重合）；
（2）在图2中AB上取一点K，使CK是△ABC的高；
（3）在图3中AC上取一点G，使得∠AGB＝∠ABC．
【分析】（1）根据全等三角形的判定作出点S即可；
（2）取格点Q，作射线CQ交AB于点K，线段CK即为所求；
（3）取点Q，连接AQ，BQ，BQ交AC于点G，点G即为所求．
解：（1）如图1中，点S即为所求；


（2）如图2中，线段CK即为所求；

（3）如图，点G即为所求．

22．如图是两个全等的直角三角形纸片，且AC：BC：AB＝3：4：5，按如图的两种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为S1，S2．
（1）若AC＝3，求S1的值．
（2）若S1+S2＝26，求单个直角三角形纸片的面积是多少．

【分析】（1）设DM＝CM＝x，则BM＝4﹣x，依据S△ABM＝AB×DM＝BM×AC，即可得到x的值，进而得出S1的值．
（2）如图1，依据S△ABM＝AB×DM＝BM×AC，即可得到DM＝x，进而得出S1＝；如图2，依据S△ABN＝AB×EN＝AN×BC，即可得到EN＝x，进而得出S2＝，再根据S1+S2＝26，即可得到x2＝12，进而得出单个直角三角形纸片的面积．
解：（1）∵AC：BC：AB＝3：4：5，AC＝3，
∴BC＝4，AB＝5，
由折叠可得，DM＝CM，∠ADM＝∠C＝90°，AD＝AC＝3，
设DM＝CM＝x，则BM＝4﹣x，
∵S△ABM＝AB×DM＝BM×AC，
∴AB×DM＝BM×AC，即5x＝3（4﹣x），
解得x＝，
∴S1＝BD×DM＝＝．
（2）由AC：BC：AB＝3：4：5，可设AC＝3x，BC＝4x，AB＝5x，
如图1，由折叠可得，AD＝AC＝3x，BD＝5x﹣3x＝2x，DM＝CM，∠ADM＝∠C＝90°，
∵S△ABM＝AB×DM＝BM×AC，
∴AB×DM＝BM×AC，即5x×DM＝（4x﹣DM）×3x，
解得DM＝x，
∴S1＝BD×DM＝2x×x＝；
如图2，由折叠可得，BC＝BE＝4x，EN＝CN，
∴AE＝x，AN＝3x﹣EN，
∵S△ABN＝AB×EN＝AN×BC，
∴AB×EN＝AN×BC，即5x×EN＝（3x﹣EN）×4x，
解得EN＝x，
∴S2＝AE×EN＝x×x＝，
∵S1+S2＝26，
∴+＝26，
解得x2＝12，
∴S△ABC＝＝6x2＝72．
23．在等边△ABC中，D为边AC的中点，点N在边BC的延长线上，且∠MDN＝120°．
（1）如图1，点M在边AB上，求证：DM＝DN；
（2）如图2，点M在边AB的延长线上，试探究BM，BN与等边△ABC边长BC的数量关系；
（3）如图3，点M在边AB上，若AM+CN＝BD，求∠ADM的度数．

【分析】（1）作DE∥BC交AB于E，证明△DCN≌△DEM（ASA），由全等三角形的性质得出DN＝DM．
（2）作DE∥BC交AB于E，由（1）同理可证△DEM≌△DCN，得出EM＝CN，则可得出BN﹣BM＝BC；
（3）作DE∥BC交AB于E，DH⊥AB于点H，由直角三角形的性质及等边三角形的性质证出MH＝DH，得出△HDM为等腰直角三角形，求出∠AMD＝45°，则可得出答案．
【解答】（1）证明：如图1，作DE∥BC交AB于E，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵D为AC的中点，
∴AD＝DC＝AC，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠B＝∠ADE＝∠ACB＝60°，
∴△ADE为等边三角形．
∴AE＝DE＝AD，
∴DE＝DC，
∵∠MDN＝∠EDC＝120°，
∴∠EDM＝∠CDN，
在△DCN和△DEM中，
，
∴△DCN≌△DEM（ASA），
∴DN＝DM．
（2）解：如图2，作DE∥BC交AB于E，

由（1）同理可证△DEM≌△DCN，
∴EM＝CN，
∴BN﹣BM＝BC+CN﹣EM+BE＝BC+BE＝BC．
（3）如图3，作DE∥BC交AB于E，DH⊥AB于点H，

由（1）知，EM＝CN，
∵D为AC的中点，
∴∠ABD＝30°，
∵DH⊥AB，
∴BD＝2DH，
∵△ADE为等边三角形，DH⊥AB，
∴AH＝EH，
∵AM+CN＝BD，
∴AH+EH+EM+EM＝2DH，
即EH+EM＝DH，
∴MH＝DH，
即△HDM为等腰直角三角形，
∴∠AMD＝45°，
∴∠ADM＝180°﹣∠A﹣∠AMD＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
24．如图，点A（a，0），B（0，b），若点F（a，b）关于y轴的对称点的坐标为（﹣2，2）．
（1）求△AOB的面积．
（2）如图1，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，试探究线段AC、BD、CD之间的数量关系，并给出证明．
（3）如图2，点E是x轴上一动点，在y轴正半轴上取一点K，连接EK，FK，FE，使∠EFK＝∠OAB，试探究线段BK，KE，EA之间的数量关系，并给出证明．


【分析】（1）根据关于y轴对称的性质得到a＝2，b＝2，得到OA＝2，OB＝2，于是得到结果；
（2）先判断出∠OAE＝∠OBD＝135°，进而判断出△OBD≌△OAE，得出OD＝OE，BD＝AE，进而判断出△DOC≌△EOC（SAS），即可得出结论；
（3）分五种情况，利用全等三角形的判定和性质解答即可．
解：（1）由题意可得：a＝2，b＝2，
∴OA＝2，OB＝2，
∴，
（2）CD＝BD+AC，过点O作OE⊥OD交BC的延长线于E，

∵∠BOD+∠DOA＝90°，∠AOE+∠DOA＝90°，
∴∠BOD＝∠AOE，
∵∠OBA＝∠OAB＝45°，
∴∠OAE＝∠OBD＝135°，
在△OBD和△OAE中，
，
∴△OBD≌△OAE（ASA），
∴OD＝OE，BD＝AE，
∴BD+AC＝AC+AE＝CE，
在△DOC和△EOC中，
，
∴△DOC≌△EOC（SAS），
∴CD＝CE＝BD+AC；
（3）∵∠OAB＝45°，∠EFK＝∠OAB，
∴∠EFK＝45°，
①当E在A右侧时，K不在y轴正半轴上，不合题意；
②当E在A上时，K与O重合，不合题意；
③当E在A，O之间时，过点F作FM⊥FE交y轴于点M，连接FB，FA，

∵F（2，2），A（2，0），B（0，2），
∴OA＝OB，AF⊥x轴，BF⊥y轴，
∵∠FBO＝∠FAO＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴四边形AOBF是矩形，
∵OA＝OB，
∴矩形AOBF是正方形，
∴AF＝BF，∠AFB＝90°，
∴∠EFA＝90°﹣∠BFE，
∵FM⊥FE，
∴∠EFM＝90°，
∴∠MFB＝90°﹣∠BFE，
∴∠MFB＝∠EFA，
在△MFB与△EFA中，
，
∴△MFB≌△EFA（ASA），
∴MB＝EA，MF＝EF，
∵∠KFE＝45°，
∴∠KFM＝90°﹣45°＝45°，
在△KFM和△KFE中，
，
∴△KFM≌△KFE（SAS），
∴KE＝KM＝BK+MB＝BK+EA，
即KE＝BK+EA；
④当E在O上时，BK＝0，KE＝EA＝2，
也满足KE＝BK+EA；
⑤当E在O左侧时，同理可证，△BFM≌△AFE（ASA），

∴EA＝MB，
同理可证△KFM≌△KFE（SAS），
∴MK＝KE，
∴EA＝BK+KE，
综上所述：KE＝BK+EA或EA＝BK+KE．