天津市河东区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案）

这是一份天津市河东区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。）
1．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）用配方法解方程3x2﹣6x+1＝0，则方程可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝ B．3（x﹣1）2＝ C．（3x﹣1）2＝1 D．（x﹣1）2＝
3．（3分）若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实数根x1，x2，且x1≠x2，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣ B．m＜﹣ C．m≥﹣ D．m≤﹣
4．（3分）顶点坐标为（﹣2，3），开口方向和大小与抛物线相同的抛物线为（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）已知函数y＝2（x+1）2+1，则（　　）
A．当x＜1 时，y 随x 的增大而增大
B．当x＜1 时，y 随x 的增大而减小
C．当x＜﹣1 时，y 随x 的增大而增大
D．当x＜﹣1 时，y 随x 的增大而减小
6．（3分）二次函数y＝x2+4x+3的图象可以由二次函数y＝x2的图象平移而得到，下列平移正确的是（　　）
A．先向左平移2个单位，再先向上平移1个单位
B．先向左平移2个单位，再先向下平移1个单位
C．先向右平移2个单位，再先向上平移1个单位
D．先向右平移2个单位，再先向下平移1个单位
7．（3分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出的方程是（　　）
A．125（1﹣x）2＝80 B．80（1﹣x）2＝125
C．125（1+x）2＝80 D．125（1﹣x2）＝80
8．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的点，∠AOB＝130°，则∠ACB的大小为（　　）度．

A．100° B．110° C．115° D．125°
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（　　）

A．2 B．4 C．5 D．6
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论正确的是（　　）

A．ac＞0 B．a+b＝1 C．4ac﹣b2≠4a D．a+b+c＞0
11．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝（　　）

A．30° B．35° C．40° D．50°
12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（﹣1，0），（0，3），其对称轴在y轴右侧．有下列结论：
①抛物线经过点（1，0）；
②方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根；
③﹣3＜a+b＜3
其中，正确结论的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。）
13．（3分）点（﹣5，4）关于原点对称的点的坐标是　 　．
14．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2的图象经过点（1，﹣3），那么a的值为 　 　．
15．（3分）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛30场，共有　 　个队参加比赛．
16．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC＝56°，则∠ADB＝　 　度．

17．（3分）如图，四边形ABCD内接于圆O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝　 　．

18．（3分）如图，⊙O的直径AB为2，C为⊙O上的一个定点，∠ABC＝30°，动点P从A出发，沿半圆弧向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧），当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于点D，连接AD，则线段AD的最大值为 　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解下列方程：
（Ⅰ）x（2x+1）＝2x+1；
（Ⅱ）4x2﹣3x＝x+1．
20．（8分）（1）如图①，画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1；
（2）如图②，画出△ABC绕点O旋转180°后的△A1B1C1．

21．（8分）已知△ABC内接于⊙O．
（Ⅰ）如图①，AP是⊙O的直径，∠BAP＝25°，求∠C的度数；
（Ⅱ）如图②，连接AO并延长交BC于点M，且AM⊥BC．连接BO并延长交AC于点N，且BN⊥AC．求∠C的度数．


22．（8分）一个矩形的周长为56cm．
（1）当矩形面积为180cm2时，长、宽分别为多少cm？
（2）能围成面积为200cm2的矩形吗？请说明理由．
23．（10分）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件．销售价每涨1元，月销售量就减少10件．设销售价为每件x元（x≥50），月销量为y件，月销售利润为w元．
（Ⅰ）当销售价为每件60元时，月销量为　 　件，月销售利润为　 　元；
（Ⅱ）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；
（Ⅲ）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
24．（12分）已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝5，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，
（Ⅰ）如图1，①点C到射线OM的距离为 　 　．
②求证：△CDE是等边三角形．
（Ⅱ）设OD＝t，
①如图2，当5＜t＜9时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，请求出此最小值；若不存在，请说明理由．
②当△BDE是直角三角形时，求t的值．（直接写出结果）


25．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a．
（Ⅰ）求该二次函数图象的对称轴以及抛物线与x轴的交点坐标；
（Ⅱ）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，且当1≤x≤4时，函数图象的最高点为点P，最低点为点Q，求△OPQ的面积；
（Ⅲ）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请直接写出t的最大值．

2021-2022学年九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。）
1．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．
【解答】解：A．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项符合题意；
B．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
C．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
D．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质，根据中心对称图形的定义判断图形是解决问题的关键．
2．（3分）用配方法解方程3x2﹣6x+1＝0，则方程可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝ B．3（x﹣1）2＝ C．（3x﹣1）2＝1 D．（x﹣1）2＝
【分析】本题考查分配方法解一元二次方程．
配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
【解答】解：原方程为3x2﹣6x+1＝0，二次项系数化为1，得x2﹣2x＝﹣，
即x2﹣2x+1＝﹣+1，所以（x﹣1）2＝．故选D．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．
3．（3分）若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实数根x1，x2，且x1≠x2，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣ B．m＜﹣ C．m≥﹣ D．m≤﹣
【分析】先整理方程，根据方程有实数根和x1≠x2得出Δ＞0，求出即可．
【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣3）＝m，
∴x2﹣5x+6﹣m＝0，
∵关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实数根x1，x2，且x1≠x2，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（6﹣m）＞0，
解得：m＞﹣，
故选：A．
【点评】本题考查了很的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
4．（3分）顶点坐标为（﹣2，3），开口方向和大小与抛物线相同的抛物线为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据抛物线的形状开口方向和抛物线的a值有关，利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标（﹣2，3），开口方向和大小与抛物线相同，
∴这个二次函数的解析式为y＝（x+2）2+3．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟记抛物线y＝ax2+bx+c中，a值确定抛物线的开口方向和抛物线的形状是解题的关键．
5．（3分）已知函数y＝2（x+1）2+1，则（　　）
A．当x＜1 时，y 随x 的增大而增大
B．当x＜1 时，y 随x 的增大而减小
C．当x＜﹣1 时，y 随x 的增大而增大
D．当x＜﹣1 时，y 随x 的增大而减小
【分析】根据y＝2（x+1）2+1和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝2（x+1）2+1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故选项A错误，
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B错误、选项C错误、选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．（3分）二次函数y＝x2+4x+3的图象可以由二次函数y＝x2的图象平移而得到，下列平移正确的是（　　）
A．先向左平移2个单位，再先向上平移1个单位
B．先向左平移2个单位，再先向下平移1个单位
C．先向右平移2个单位，再先向上平移1个单位
D．先向右平移2个单位，再先向下平移1个单位
【分析】把二次函数y＝x2+4x+3化为顶点坐标式，再观察它是怎样通过二次函数y＝x2的图象平移而得到．
【解答】解：根据题意y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以由二次函数y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到．
故选：B．
【点评】此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力，关键是把二次函数y＝x2+4x+3化为顶点坐标式．
7．（3分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出的方程是（　　）
A．125（1﹣x）2＝80 B．80（1﹣x）2＝125
C．125（1+x）2＝80 D．125（1﹣x2）＝80
【分析】设平均每次降价的百分率为x，则原价×（1﹣x）2＝现价，据此列方程．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
由题意得，125（1﹣x）2＝80．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
8．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的点，∠AOB＝130°，则∠ACB的大小为（　　）度．

A．100° B．110° C．115° D．125°
【分析】如图，在优弧AB上取一点D，连接AD，DB．利用圆周角定理求出∠ADB，再利用圆内接四边形对角互补求解即可．
【解答】解：如图，在优弧AB上取一点D，连接AD，DB．

∵∠ADB＝∠AOB，∠AOB＝130°，
∴∠ADB＝65°，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ACB＝115°，
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用圆周角定理解决问题．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（　　）

A．2 B．4 C．5 D．6
【分析】由垂径定理可求得AB⊥CD及CE的长，再利用勾股定理可求解OE的长，进而可求解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝20，
∴CO＝OB＝10，AB⊥CD，CE＝DE＝CD，
∵CD＝16，
∴CE＝8，
在Rt△COE中，OE＝，
∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，
故选：B．
【点评】本题主要考查垂径定理，勾股定理，求解OE的长是解题的关键．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论正确的是（　　）

A．ac＞0 B．a+b＝1 C．4ac﹣b2≠4a D．a+b+c＞0
【分析】A、由抛物线开口方向及抛物线与y轴交点位置，即可得出a＜0、c＞0，进而得出ac＜0，结论A错误；
B、由抛物线顶点的横坐标可得出﹣＝，进而可得出b＝﹣a，即a+b＝0，结论B错误；
C、由抛物线顶点的纵坐标可得出＝1，进而可得出4ac﹣b2＝4a，结论C错误；
D、由a+b＝0、c＞0，可得出a+b+c＞0，结论D正确．
综上即可得出结论．
【解答】解：A、∵抛物线开口向下，且与y轴正半轴相交，
∴a＜0，c＞0，
∴ac＜0，结论A错误；
B、∵抛物线顶点坐标为（，1），
∴﹣＝，
∴b＝﹣a，即a+b＝0，结论B错误；
C、∵抛物线顶点坐标为（，1），
∴＝1，
∴4ac﹣b2＝4a，结论C错误；
D、∵a+b＝0，c＞0，
∴a+b+c＞0，结论D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝（　　）

A．30° B．35° C．40° D．50°
【分析】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′＝∠CAC′，AC＝AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA＝∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′，即可求出∠BAB′的度数．
【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝75°，
∴∠C′CA＝∠CAB＝75°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（﹣1，0），（0，3），其对称轴在y轴右侧．有下列结论：
①抛物线经过点（1，0）；
②方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根；
③﹣3＜a+b＜3
其中，正确结论的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】①由抛物线过点（﹣1，0），对称轴在y轴右侧，即可得出当x＝1时y＞0，结论①错误；
②过点（0，2）作x轴的平行线，由该直线与抛物线有两个交点，可得出方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根，结论②正确；
③由当x＝1时y＞0，可得出a+b＞﹣c，由抛物线与y轴交于点（0，3）可得出c＝3，进而即可得出a+b＞﹣3，由抛物线过点（﹣1，0）可得出a+b＝2a+c，结合a＜0、c＝3可得出a+b＜3，综上可得出﹣3＜a+b＜3，结论③正确．此题得解．
【解答】解：①∵抛物线过点（﹣1，0），对称轴在y轴右侧，
∴当x＝1时y＞0，结论①错误；
②过点（0，2）作x轴的平行线，如图所示．
∵该直线与抛物线有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根，结论②正确；
③∵当x＝1时y＝a+b+c＞0，
∴a+b＞﹣c．
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（0，3），
∴c＝3，
∴a+b＞﹣3．
∵当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∴a+b＝2a+c．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴a+b＜c＝3，
∴﹣3＜a+b＜3，结论③正确．
故选：C．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。）
13．（3分）点（﹣5，4）关于原点对称的点的坐标是　（5，﹣4）　．
【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，
∴点（﹣5，4）关于原点过对称的点的坐标是（5，﹣4）．
故答案为（5，﹣4）．
【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，比较简单．
14．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2的图象经过点（1，﹣3），那么a的值为 　﹣1　．
【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式可得到a的值．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2的图象经过点（1，﹣3），
∴﹣3＝a﹣2，
解得a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
15．（3分）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛30场，共有　6　个队参加比赛．
【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数×（队的个数﹣1）＝56，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设有x队参加比赛．
x（x﹣1）＝30，
（x﹣6）（x+5）＝0，
解得x＝6，x＝﹣5（不合题意，舍去）．
故答案为：6．
【点评】本题考查一元二次方程的应用；得到比赛总场数的等量关系是解决本题的关键．
16．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC＝56°，则∠ADB＝　28　度．

【分析】根据垂径定理可得点B是中点，由圆周角定理可得∠ADB＝∠BOC，继而得出答案．
【解答】解：∵OB⊥AC，
∴＝，
∴∠ADB＝∠BOC＝28°．
故答案为：28．
【点评】此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
17．（3分）如图，四边形ABCD内接于圆O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝　60°　．

【分析】设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β，由题意可得，求出β即可解决问题．
【解答】解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC＝∠AOC；
∵∠ADC＝β，∠AOC＝α；而α+β＝180°，
∴，
解得：β＝120°，α＝60°，∠ADC＝60°，
故答案为：60°．
【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
18．（3分）如图，⊙O的直径AB为2，C为⊙O上的一个定点，∠ABC＝30°，动点P从A出发，沿半圆弧向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧），当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于点D，连接AD，则线段AD的最大值为 　+　．

【分析】如图，由同弦等角可知点D在以BC为弦的⊙O′（红弧线）上运动，从而构造辅助圆，故当A、O′、D共线时，AD的值最大．求出此时AD的值即可解决问题．
【解答】解：如图，
∵AB是直径，∠ABC＝30°，AB＝2，
∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠P＝60°，AC＝AB＝1，BC＝AC＝．
∵在Rt△PCD中，∠PCD＝90°，∠P＝60°，
∴∠PDC＝30°，
∴点D在以BC为弦的⊙O′（红弧线）上运动，
∴当A、O′、D共线时，AD的值最大．连接CO′、BO′．
∵∠BO′C＝2∠CDB＝60°，O′C＝O′B，
∴△O′BC是等边三角形，
∴BO′＝BC＝，∠CBO′＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABO′＝90°，
∴AO′＝＝＝，
∴AD＝AO′+O′D＝+．
∴线段AD的最大值为+．
故答案为：+．

【点评】本题考查圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解下列方程：
（Ⅰ）x（2x+1）＝2x+1；
（Ⅱ）4x2﹣3x＝x+1．
【分析】（Ⅰ）利用因式分解法求解可得；
（Ⅱ）利用公式法求解可得．
【解答】解：（Ⅰ）∵x（2x+1）＝2x+1，
∴x（2x+1）﹣（2x+1）＝0，
则（2x+1）（x﹣1）＝0，
∴2x+1＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣或x2＝1；

（Ⅱ）4x2﹣3x＝x+1，
4x2﹣3x﹣x﹣1＝0，
4x2﹣4x﹣1＝0，
a＝4，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴△＝（﹣4）2﹣4×4×（﹣1）＝32＞0，
∴x＝＝＝．
∴x1＝或x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．（8分）（1）如图①，画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1；
（2）如图②，画出△ABC绕点O旋转180°后的△A1B1C1．

【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1即可得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点和中心对称的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1即可得到△A1B1C1．
【解答】解：（1）如图①，△A1B1C1为所作；
（2）如图②，△A1B1C1为所作．

【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
21．（8分）已知△ABC内接于⊙O．
（Ⅰ）如图①，AP是⊙O的直径，∠BAP＝25°，求∠C的度数；
（Ⅱ）如图②，连接AO并延长交BC于点M，且AM⊥BC．连接BO并延长交AC于点N，且BN⊥AC．求∠C的度数．


【分析】（1）由AP为直径得∠ABP＝90°，进而求解．
（2）根据垂径定理，AM⊥BC且BN⊥AC可得△ABC为等边三角形，进而求解．
【解答】解：（1）∵AP为直径，
∴∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°﹣∠BAP＝65°，
∴∠C＝∠APB＝25°．
（2）∵AM⊥BC，
∴点M为BC中点，
∴AB＝AC，
∵BN⊥AC，
∴点N为AC中点，
∴AB＝BC，
∴AB＝AC＝BC，即△ABC为等边三角形，
∴∠C＝60°．
【点评】本题考查圆周角定理及垂径定理，解题关键是掌握等边三角形的判定及性质．
22．（8分）一个矩形的周长为56cm．
（1）当矩形面积为180cm2时，长、宽分别为多少cm？
（2）能围成面积为200cm2的矩形吗？请说明理由．
【分析】（1）设矩形的长为xcm，则宽为（28﹣x）cm，根据矩形的面积为180cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合长不小于宽，即可确定矩形的长和宽；
（2）设矩形的长为ycm，则宽为（28﹣y）cm，根据矩形的面积为200cm2，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣16＜0，即可得出该方程无解，即不能围成面积为200cm2的矩形．
【解答】解：（1）设矩形的长为xcm，则宽为＝（28﹣x）cm，
依题意得：x（28﹣x）＝180，
整理得：x2﹣28x+180＝0，
解得：x1＝10，x2＝18．
当x＝10时，28﹣x＝28﹣10＝18＞10，不合题意，舍去；
当x＝18时，28﹣x＝28﹣18＝10＜18，符合题意．
答：当矩形面积为180cm2时，长为18cm，宽为10cm．
（2）不能围成，理由如下：
设矩形的长为ycm，则宽为＝（28﹣y）cm，
依题意得：y（28﹣y）＝200，
整理得：y2﹣28y+200＝0．
∵Δ＝（﹣28）2﹣4×1×200＝﹣16＜0，
∴该方程无解，
∴不能围成面积为200cm2的矩形．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
23．（10分）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件．销售价每涨1元，月销售量就减少10件．设销售价为每件x元（x≥50），月销量为y件，月销售利润为w元．
（Ⅰ）当销售价为每件60元时，月销量为　400　件，月销售利润为　8000　元；
（Ⅱ）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；
（Ⅲ）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
【分析】（Ⅰ）根据月销售量＝500﹣（定价﹣50）×10，即可求出当销售单价定为60元时的月销售量，再利用月销售利润＝每件利润×销售数量，即可求出当销售单价定为60元时的月销售利润；
（Ⅱ）根据以上所列等量关系可得函数解析式；
（Ⅲ）将w关于x的函数解析式配方成顶点，再利用二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（Ⅰ）当销售价为每件60元时，月销量为500﹣10×（60﹣50）＝400（件），
月销售利润为400×（60﹣40）＝8000（元），
故答案为：400，8000；
（Ⅱ）y＝500﹣10（x﹣50）＝﹣10x+1000，
w＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000，（50≤x≤100）；
（Ⅲ）w＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝70时，w取得最大值9000，
故销售价定为每件70元时会获得最大利润，最大利润为9000元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，根据已知得出y与x和w与x之间的函数关系及熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
24．（12分）已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝5，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，
（Ⅰ）如图1，①点C到射线OM的距离为 　2　．
②求证：△CDE是等边三角形．
（Ⅱ）设OD＝t，
①如图2，当5＜t＜9时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，请求出此最小值；若不存在，请说明理由．
②当△BDE是直角三角形时，求t的值．（直接写出结果）


【分析】（Ⅰ）①由等边三角形的性质可得AH＝BH＝2，∠ACH＝30°，可得AH＝2，即可求解；
②由旋转的性质可得∠DCE＝60°，DC＝EC，可证△CDE是等边三角形；
（Ⅱ）①由旋转的性质可得BE＝AD，可得C△DBE＝CD+4，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，即可求解；
②分四种情况讨论，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可求解．
【解答】（Ⅰ）①解：如图1，过点C作CH⊥AB于H，

∵△ABC是等边三角形，CH⊥AB，
∴AH＝BH＝2，∠ACH＝30°，
∴CH＝AH＝2，
∴点C到射线OM的距离为2，
故答案为：2；
②证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，
∴∠DCE＝60°，DC＝EC，
∴△CDE是等边三角形；
（Ⅱ）①存在，当5＜t＜9时，
由旋转的性质得，BE＝AD，
∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，
由（1）知，△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD，
∴C△DBE＝CD+4，
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，
∴△BDE的最小周长＝CD+4＝2+4；
②存在，
当t＝9时，∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，
∴当点D与点B重合时，不符合题意，
当0≤t＜5时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，
∴∠BED＝90°，
由（1）可知，△CDE是等边三角形，
∴∠DEB＝60°，
∴∠CEB＝30°，
∵∠CEB＝∠CDA，
∴∠CDA＝30°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠ACD＝∠ADC＝30°，
∴DA＝CA＝4，
∴OD＝OA﹣DA＝5﹣4＝1，
∴t＝1；
Ⅲ、当5＜t＜9时，由∠DBE＝120°＞90°，
∴此时不存在；
Ⅳ、当t＞9时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，
又由（1）知∠CDE＝60°，
∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，
而∠BDC＞0°，
∴∠BDE＞60°，
∴只能∠BDE＝90°，
从而∠BCD＝30°，
∴BD＝BC＝4，
∴OD＝13，
∴t＝13，
综上所述：当t＝1或13时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
25．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a．
（Ⅰ）求该二次函数图象的对称轴以及抛物线与x轴的交点坐标；
（Ⅱ）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，且当1≤x≤4时，函数图象的最高点为点P，最低点为点Q，求△OPQ的面积；
（Ⅲ）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请直接写出t的最大值．
【分析】（Ⅰ）解析式化成顶点式即可求得对称轴，令y＝0，得到关于x的方程，解方程即可求得抛物线与x轴的交点坐标；
（Ⅱ）构建方程求出a的值，再求出△OPQ的面积即可解决问题；
（Ⅲ）当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，推出当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合且在点Q关于对称轴对称点的右边时，满足条件，可得t+1≤5且t≥﹣1，由此即可解决问题．
【解答】解：（Ⅰ）∵y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a，
∴对称轴x＝2；
令y＝0，则ax2﹣4ax+3a＝0，
解得x＝1或3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）；
（Ⅱ）∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x＝2，
∴当x＝2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2，即P（2，2），
∴4a﹣8a+3a＝2，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2x2+8x﹣6，
∵当1≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴当x＝1时，y取到在1≤x≤2上的最小值0．
∵当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，
∴当x＝4时，y取到在2≤x≤4上的最小值﹣6．
∴当1≤x≤4时，y的最小值为﹣6，即Q（4，﹣6）．
∴△OPQ的面积为4×（2+6）﹣2×2÷2﹣4×6÷2﹣（4﹣2）×（2+6）÷2＝10；
（Ⅲ）∵当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，
∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合且在点Q关于对称轴对称点的右边时，满足条件，
∴t+1≤5且t≥﹣1，
∴﹣1≤t≤4，
∴t的最大值为4．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，函数的最值问题等知识，解题的关键是读懂题意、灵活运用所学知识解决问题．

2021/12/9 8:13:25