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陕西省西安市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题（word版 含答案）
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这是一份陕西省西安市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，合计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）已知＝（a≠0，b≠0），则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有（ ）个．
A．8 B．9 C．14 D．15
4．（3分）某经济开发区今年一月份工业产值达60亿元，第一季度总产值为185亿元，则二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．60（1+x）2＝185
B．60+60（1+x）+60（1+x）2＝185
C．60（1+x）+60（1+x）2＝185
D．60+60（1+x）2＝185
5．（3分）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，∠OCD＝120°，CO＝CD，若B（2，0），则点C的坐标为（ ）
A．（2，） B．（3，） C．（3，） D．（2，）
6．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（3，y3）是反比例函数y＝（k＜0）图象上的三个点，则有（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y1
7．（3分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣6x+8＝0的两根．则该等腰三角形的周长是（ ）
A．2 B．8 C．10 D．10或8
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，点B′在AB上，A′B′交AC于F，则图中与△AB'F相似的三角形有（不再添加其它线段）（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点C沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，线段BE交AD于点F，则tan∠EDF的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF＝3，则小正方形的边长为（ ）
A． B． C．4 D．5
二、填空题（共7小题，每小题3分，计21分）
11．（3分）2cos30°＝ ．
12．（3分）已知四边形ABCD～四边形A′B′C′D′，相似比为3：4，其中四边形ABCD的周长为18cm，则四边形A′B′C′D′的周长为 cm．
13．（3分）已知线段AB＝6cm，点C为AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝ ．
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝ °．
15．（3分）如图，点A、D分别在函数y＝、y＝的图象上，点B、C在x轴上．若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限，则点D的坐标是 ．
16．（3分）关于x的一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6＝0没有实数根，则k的最小整数值是 ．
17．（3分）如图，在▱ABCD中，点E为边CD的中点，点F为边AD上靠近A的三等分点，连接BE、CF相交于点O，若△COE的面积为1，则▱ABCD的面积为 ．
三、解答题（共8小题，计69分）
18．（10分）解方程：
（1）2x2﹣9x+8＝0
（2）（2x+3）2＝4（2x+3）
19．（10分）计算：
（1）|2﹣3|﹣（﹣1）0+（）﹣1+；
（2）（﹣）﹣2﹣2tan45°+4sin60°﹣．
20．（7分）如图，在△ABC中，P是线段AC上一点，请你用尺规在BC边上找一点D，使得以P、D、C为顶点的三角形与△ABC相似．（保留作图痕迹，不写作法）
21．（7分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作BD、AC的平行线交于点E，连接EO交CD于点F．
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）若AD＝3，求OE的长．
22．（8分）第十四届全运会于今年9月15号到27号在陕西举办．2月27号开始招募8万名志愿者．某校甲、乙两班共有六名学生报名，其中甲班两名男生，一名女生；乙班一名男生，两名女生．
（1）若从乙班报名的学生中随机抽取一名作为志愿者，求抽取的学生是女生的概率．
（2）现从甲乙两班报名的学生中各随机抽取一名作为志愿者，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生性别相同的概率．
23．（8分）大雁塔是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．因此西安市徽中央所绘制的便是这座著名古塔．我校社会实践小组为了测量大雁塔的高度AB，在地面上立两根高为2m的标杆CD和GH，两杆之间的距离CG＝62米，点G、C、B成一线．从C处退行4米到点E处，人的眼睛贴着地面观察A点，A、D、E三点成一线；从G处退行6米到点F处，从F观察A点，A、F、H也成一线．请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．
24．（9分）有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，要把它加工成一个无拼接的面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的方法符合要求（加工损耗忽略不计）．
25．（10分）问题探究
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可进行拼合：作∠CDF＝∠ABC，在射线DF上任取一点E（不与点D重合），连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是 ；
问题解决
（2）如图2，有一个四边形公园ABCD，B、D是公园的两个入口，AC和BD是公园的两条主干道，其中∠BAC＝90°，∠ABC与∠ADC互余，AB＝2AC，AD＝100m，CD＝70m，求BD的长．
2021-2022学年九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，合计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）已知＝（a≠0，b≠0），则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用合比性质求解．
【解答】解：∵＝，
∴＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．
2．（3分）某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3．（3分）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有（ ）个．
A．8 B．9 C．14 D．15
【分析】设袋子中有黑球x个，根据摸到白球的频率列式计算即可．
【解答】解：设袋子中有黑球x个，
∵通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，
∴＝30%，
解得：x＝14，
经检验x＝14是原方程的解，
故选：C．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
4．（3分）某经济开发区今年一月份工业产值达60亿元，第一季度总产值为185亿元，则二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．60（1+x）2＝185
B．60+60（1+x）+60（1+x）2＝185
C．60（1+x）+60（1+x）2＝185
D．60+60（1+x）2＝185
【分析】设平均每月的增长率为x，则二月份工业产值为60（1+x）亿元，二月份工业产值为60（1+x）2亿元，根据第一季度总产值为185亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设平均每月的增长率为x，则二月份工业产值为60（1+x）亿元，二月份工业产值为60（1+x）2亿元，
依题意得：60+60（1+x）+60（1+x）2＝185．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（3分）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，∠OCD＝120°，CO＝CD，若B（2，0），则点C的坐标为（ ）
A．（2，） B．（3，） C．（3，） D．（2，）
【分析】先利用位似的性质得到OB：OD＝1：3，则OD＝6，过C点作CH⊥OD于H，如图，根据等腰三角形的性质得到∠COD＝∠CDO＝30°，OH＝DH＝3，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CH，从而得到C点坐标．
【解答】解：∵B（2，0），
∴OB＝2，
∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，
∴OB：OD＝1：3，
∴OD＝OB＝2×3＝6，
过C点作CH⊥OD于H，如图，
∵CO＝CD，∠OCD＝120°，
∴∠COD＝∠CDO＝30°，OH＝DH＝3，
在Rt△OCD中，CH＝DH＝，
∴C点坐标为（3，）．
故选：B．
【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
6．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（3，y3）是反比例函数y＝（k＜0）图象上的三个点，则有（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y1
【分析】根据k＜0可知，函数图象位于二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，A位于第二象限，则y1最大，对B、C两点由性质判断出y2＜y3，由此得出答案．
【解答】解：∵k＜0，
∴反比例函数图象的两个分支在第二四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大；
又∵B（2，y2）、C（3，y3）是双曲线上的两点，且3＞2＞0，
∴y2＜y3＜0；
又∵点A（﹣2，y1）在第二象限，
∴0＜y1，
∴y2＜y3＜y1．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
7．（3分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣6x+8＝0的两根．则该等腰三角形的周长是（ ）
A．2 B．8 C．10 D．10或8
【分析】先求出方程的解，分为两种情况：①当等腰三角形的三边为2，2，4时，②当等腰三角形的三边为2，4，4时，看看能否组成三角形，若能，求出三角形的周长即可．
【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4或2，
①当等腰三角形的三边为2，2，4时，2+2＝4，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，舍去；
②当等腰三角形的三边为2，4，4时，此时能组成三角形，三角形的周长是2+4+4＝10，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解一元二次方程，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，点B′在AB上，A′B′交AC于F，则图中与△AB'F相似的三角形有（不再添加其它线段）（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据旋转的性质及相似三角形的判定方法进行分析，找出存在的相似三角形即可．
【解答】解：根据题意得：BC＝B′C，
∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝60°，
∴△BCB′是等边三角形，
∠B＝∠BCB′＝∠BB′C＝60°，
∴∠A′B′C＝∠BCB′＝60°，
∴FB′∥BC，
∴△AB′F∽△ABC∽△A′B′C，
∵CF⊥A′B′，∠A′CB′＝90°
∴△A′CF∽△CFB′∽△A′B′C，
∴有4个
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点C沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，线段BE交AD于点F，则tan∠EDF的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由图形折叠的性质得出ED＝DC，BE＝BC，根据全等三角形的判定定理得出△AFB≌△EFD，即得AF＝EF，设EF＝x，则AF＝x，在Rt△DEF中，x2+32＝（4﹣x）2，可得x＝，故tan∠EDF＝＝．
【解答】解：∵△EBD是由△CBD折叠而得，
∴ED＝CD，BE＝BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠BED＝90°，
∴ED＝AB，∠ABF＝90°﹣∠AFB＝90°﹣∠DFE＝∠EDF，
∵在△AFB与△EFD中，
，
∴△AFB≌△EFD（ASA），
∴AF＝EF；
设EF＝x，则AF＝x，
∵AB＝3＝ED，BC＝AD＝4，
∴DF＝4﹣x，
在Rt△DEF中，EF2+DE2＝DF2，
∴x2+32＝（4﹣x）2，
∴x＝，
∴tan∠EDF＝＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查矩形中的折叠问题，涉及全等三角形的判定与性质、矩形的性质及勾股定理，证明△AFB≌△EFD，得到AF＝EF是解答此题的关键．
10．（3分）如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF＝3，则小正方形的边长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【分析】先根据相似三角形的判定定理得出△BEF∽△CFD，再根据勾股定理求出DF的长，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【解答】解：在△BEF与△CFD中
∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△BEF∽△CFD，
∵BF＝3，BC＝12，
∴CF＝BC﹣BF＝12﹣3＝9，
又∵DF＝＝＝15，
∴＝，即＝．
∴EF＝，
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意得出△BEF∽△CFD是解答此题的关键．
二、填空题（共7小题，每小题3分，计21分）
11．（3分）2cos30°＝ ．
【分析】根据cos30°＝，继而代入可得出答案．
【解答】解：原式＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值，需要我们熟练记忆，难度一般．
12．（3分）已知四边形ABCD～四边形A′B′C′D′，相似比为3：4，其中四边形ABCD的周长为18cm，则四边形A′B′C′D′的周长为 24 cm．
【分析】根据周长之比等于相似比，四边形A′B′C′D′的周长为15cm即可求出答案．
【解答】解：∵已知四边形ABCD～四边形A′B′C′D′，相似比为3：4，
∴四边形ABCD的周长为18×＝24cm．
故答案为24．
【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比．
13．（3分）已知线段AB＝6cm，点C为AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝ 3﹣3 ．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AC是较长线段；所以AC＝AB，代入数据即可得出AC的长度．
【解答】解：由于C为线段AB＝6的黄金分割点，
且AC＞BC，
则AC＝a＝＝3﹣3．
故答案为：3﹣3．
【点评】此题考查黄金分割问题，理解黄金分割点的概念．要求熟记黄金比的值．
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝ 115 °．
【分析】由菱形的性质得出AC平分∠BCD，AB∥CD，由平行线的性质得出∠BAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BCD＝180°，求出∠BCD＝130°，则∠ACE＝∠BCD＝65°，由等腰三角形的性质得出∠AEC＝∠ACE＝65°，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CA平分∠BCD，AB∥CD，
∴∠BAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，
∴∠ACE＝∠BCD＝65°，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE＝65°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AEC＝115°；
故答案为：115．
【点评】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，点A、D分别在函数y＝、y＝的图象上，点B、C在x轴上．若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限，则点D的坐标是 （2，3） ．
【分析】根据题意设出A、D的纵坐标为n，即可得出A（﹣，n），D（，n），根据正方形的性质得出+＝n，求得n＝3，即可求得D的坐标为（2，3）．
【解答】解：设A的纵坐标为n，则D的纵坐标为n，
∵点A、D分别在函数y＝、y＝的图象上，
∴A（﹣，n），D（，n），
∵四边形ABCD为正方形，
∴+＝n，
解得n＝3（负数舍去），
∴D（2，3），
故答案为（2，3）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出A、D的坐标是解题的关键．
16．（3分）关于x的一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6＝0没有实数根，则k的最小整数值是 2 ．
【分析】先把方程化为一般形式：（2k﹣1）x2﹣8x+6＝0，由关于x的一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6＝0没有实数根，所以2k﹣1≠0且Δ＜0，即解得k＞，即可得到k的最小整数值．
【解答】解：把方程化为一般形式：（2k﹣1）x2﹣8x+6＝0，
∵原方程为一元二次方程且没有实数根，
∴2k﹣1≠0且Δ＜0，即Δ＝（﹣8）2﹣4×（2k﹣1）×6＝88﹣48k＜0，解得k＞．
所以k的取值范围为：k＞．
则满足条件的k的最小整数值是2．
故答案为2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的定义．
17．（3分）如图，在▱ABCD中，点E为边CD的中点，点F为边AD上靠近A的三等分点，连接BE、CF相交于点O，若△COE的面积为1，则▱ABCD的面积为 16 ．
【分析】延长CF交BA的延长线于点G，根据四边形ABCD是平行四边形，可得△COE∽△GOB，△CDF∽△GAF，而点F为边AD上靠近A的三等分点，E为边CD的中点，可得＝，又S△COE＝1，故S△BOC＝3，S△BCE＝4，由E为边CD的中点，可得S△BCE＝S▱ABCD，即得S▱ABCD＝4S△BCE＝16．
【解答】解：延长CF交BA的延长线于点G，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△COE∽△GOB，△CDF∽△GAF，
∵点F为边AD上靠近A的三等分点，
∴＝＝，
∴AG＝CD＝AB，
∵E为边CD的中点，
∴CE＝CD＝AB＝AG，
∴＝＝＝＝，
∴＝＝，
∵S△COE＝1，
∴S△BOC＝3，
∴S△BCE＝S△COE+S△BOC＝4，
设▱ABCD的边CD上的高为h，
∵E为边CD的中点，
∴S△BCE＝CE•h＝×CD•h＝CD•h＝S▱ABCD，
∴S▱ABCD＝4S△BCE＝16，
故答案为：16．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定，解答此题主要运用了三角形面积之比等于底边之比（同高），分析四边形和三角形之间的面积关系是易错之处．
三、解答题（共8小题，计69分）
18．（10分）解方程：
（1）2x2﹣9x+8＝0
（2）（2x+3）2＝4（2x+3）
【分析】（1）首先找出方程中a，b和c的值，求出根的判别式，进而代入求根公式解答即可；
（2）先移项，提取公因式（2x+3），进而得到（2x+3）（2x+3﹣4）＝0，再解两个一元一次方程即可．
【解答】解：（1）2x2﹣9x+8＝0
a＝2，b＝﹣9，c＝8
Δ＝b2﹣4ac＝17
x＝
解得：x1＝，x2＝；
（2）（2x+3）2＝4（2x+3）
（2x+3）2﹣4（2x+3）＝0
（2x+3）（2x+3﹣4）＝0
2x+3＝0，2x﹣1＝0
解得：x1＝﹣，x2＝．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
19．（10分）计算：
（1）|2﹣3|﹣（﹣1）0+（）﹣1+；
（2）（﹣）﹣2﹣2tan45°+4sin60°﹣．
【分析】（1）直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）|2﹣3|﹣（﹣1）0+（）﹣1+
＝3﹣2﹣1+4+3
＝6+；
（2）（﹣）﹣2﹣2tan45°+4sin60°﹣
＝4﹣2×1+4×﹣2
＝4﹣2+2﹣2
＝2．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
20．（7分）如图，在△ABC中，P是线段AC上一点，请你用尺规在BC边上找一点D，使得以P、D、C为顶点的三角形与△ABC相似．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】如图1中，∠CPD＝∠CAB即可．如图2中，作∠CPD＝∠B即可．
【解答】解：如图1，2中，△PDC即为所求．
【点评】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
21．（7分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作BD、AC的平行线交于点E，连接EO交CD于点F．
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）若AD＝3，求OE的长．
【分析】（1）先证四边形DECO是平行四边形，再由菱形的性质得AC⊥BD，得∠DOC＝90°，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得CD＝AD＝3，再由矩形的性质得OE＝CD＝3即可．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形DECO是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴平行四边形DECO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AD＝3，
由（1）得：四边形DECO是矩形，
∴OE＝CD＝3．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质，证明四边形DECO为矩形是解题的关键．
22．（8分）第十四届全运会于今年9月15号到27号在陕西举办．2月27号开始招募8万名志愿者．某校甲、乙两班共有六名学生报名，其中甲班两名男生，一名女生；乙班一名男生，两名女生．
（1）若从乙班报名的学生中随机抽取一名作为志愿者，求抽取的学生是女生的概率．
（2）现从甲乙两班报名的学生中各随机抽取一名作为志愿者，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生性别相同的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有91种等可能的结果，抽取的两名学生性别相同的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从乙班报名的学生中随机抽取一名作为志愿者，抽取的学生是女生的概率为；
（2）画树状图如下：
共有91种等可能的结果，抽取的两名学生性别相同的结果有4种，
∴抽取的两名学生性别相同的概率为．
【点评】本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用两步或两步以上完成的事件．注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（8分）大雁塔是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．因此西安市徽中央所绘制的便是这座著名古塔．我校社会实践小组为了测量大雁塔的高度AB，在地面上立两根高为2m的标杆CD和GH，两杆之间的距离CG＝62米，点G、C、B成一线．从C处退行4米到点E处，人的眼睛贴着地面观察A点，A、D、E三点成一线；从G处退行6米到点F处，从F观察A点，A、F、H也成一线．请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．
【分析】设AH＝x，BH＝y，由题意可知两组三角形相似，利用相似比找出关于x、y的方程组，即可求出大雁塔AB的高度．
【解答】解：设AB＝x，BC＝y，由题意可知，
△ABE∽△DCE，△ABF∽△HGF，
∴＝，＝，
∵CE＝4米，EB＝BC+CE＝（y+4）米，GF＝6米，FB＝CB+CG+FG＝y+62+6＝（y+68）米，CD＝GH＝2米，
代入比例式，得，
整理，得，
解得，
答：大雁塔AB的高度为64米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，解题的关键是：设AH＝x，BH＝y，由两组三角形相似，利用相似比找出关于x、y的方程组．
24．（9分）有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，要把它加工成一个无拼接的面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的方法符合要求（加工损耗忽略不计）．
【分析】利用相似三角形的性质分别求出正方形的边长，可得结论．
【解答】解：如图1所示，设甲同学加工的桌面边长为xm，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴＝，
即＝，
∴x＝．
如图2所示，过点B作BH⊥AC，交AC于点H，交DE于点P．
由勾股定理得：
AC＝＝＝5，
∵AB•BC＝AC•BH，
∴BH＝＝＝，
设乙同学加工的桌面边长为ym，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝，
即＝，
∴y＝，
∵＞，即x＞y，x2＞y2，
∴甲同学的加工方法更好．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
25．（10分）问题探究
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可进行拼合：作∠CDF＝∠ABC，在射线DF上任取一点E（不与点D重合），连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是 AD2+DE2＝AE2 ；
问题解决
（2）如图2，有一个四边形公园ABCD，B、D是公园的两个入口，AC和BD是公园的两条主干道，其中∠BAC＝90°，∠ABC与∠ADC互余，AB＝2AC，AD＝100m，CD＝70m，求BD的长．
【分析】（1）利用勾股定理解决问题即可；
（2）在射线DC的下方作∠CDT＝∠ABC，过点C作CT⊥DT于T．利用相似三角形的性质证明BD＝AT，求出AT，可得结论．
【解答】解：（1）∵∠ADC+∠ABC＝90°，∠CDE＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，
∴AD2+DE2＝AE2．
故答案为：AD2+DE2＝AE2．
（2）如图2中，在线段DC的下方作∠CDT＝∠ABC，过点C作CT⊥DT于T．
∵∠CTD＝∠CAB＝90°，∠CDT＝∠ABC，
∴△CTD∽△CAB，
∴∠DCT＝∠ACB，＝，
∴＝，∠DCB＝∠TCA
∴△DCB∽△TCA，
∴＝，
∵＝2，
∴AC：BA：BC＝CT：DT：CD＝1：2：，
∴BD＝AT，
∵∠ADT＝∠ADC+∠CDT＝∠ADC+∠ABC＝90°，
设AD＝a＝100m，CD＝b＝70m，
∴DT＝CD＝b，
∴AT＝＝，
∴BD＝AT＝＝＝20m．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
2021/12/9 8:12:55
2021-2022学年九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，合计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）已知＝（a≠0，b≠0），则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有（ ）个．
A．8 B．9 C．14 D．15
4．（3分）某经济开发区今年一月份工业产值达60亿元，第一季度总产值为185亿元，则二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．60（1+x）2＝185
B．60+60（1+x）+60（1+x）2＝185
C．60（1+x）+60（1+x）2＝185
D．60+60（1+x）2＝185
5．（3分）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，∠OCD＝120°，CO＝CD，若B（2，0），则点C的坐标为（ ）
A．（2，） B．（3，） C．（3，） D．（2，）
6．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（3，y3）是反比例函数y＝（k＜0）图象上的三个点，则有（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y1
7．（3分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣6x+8＝0的两根．则该等腰三角形的周长是（ ）
A．2 B．8 C．10 D．10或8
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，点B′在AB上，A′B′交AC于F，则图中与△AB'F相似的三角形有（不再添加其它线段）（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点C沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，线段BE交AD于点F，则tan∠EDF的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF＝3，则小正方形的边长为（ ）
A． B． C．4 D．5
二、填空题（共7小题，每小题3分，计21分）
11．（3分）2cos30°＝ ．
12．（3分）已知四边形ABCD～四边形A′B′C′D′，相似比为3：4，其中四边形ABCD的周长为18cm，则四边形A′B′C′D′的周长为 cm．
13．（3分）已知线段AB＝6cm，点C为AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝ ．
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝ °．
15．（3分）如图，点A、D分别在函数y＝、y＝的图象上，点B、C在x轴上．若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限，则点D的坐标是 ．
16．（3分）关于x的一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6＝0没有实数根，则k的最小整数值是 ．
17．（3分）如图，在▱ABCD中，点E为边CD的中点，点F为边AD上靠近A的三等分点，连接BE、CF相交于点O，若△COE的面积为1，则▱ABCD的面积为 ．
三、解答题（共8小题，计69分）
18．（10分）解方程：
（1）2x2﹣9x+8＝0
（2）（2x+3）2＝4（2x+3）
19．（10分）计算：
（1）|2﹣3|﹣（﹣1）0+（）﹣1+；
（2）（﹣）﹣2﹣2tan45°+4sin60°﹣．
20．（7分）如图，在△ABC中，P是线段AC上一点，请你用尺规在BC边上找一点D，使得以P、D、C为顶点的三角形与△ABC相似．（保留作图痕迹，不写作法）
21．（7分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作BD、AC的平行线交于点E，连接EO交CD于点F．
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）若AD＝3，求OE的长．
22．（8分）第十四届全运会于今年9月15号到27号在陕西举办．2月27号开始招募8万名志愿者．某校甲、乙两班共有六名学生报名，其中甲班两名男生，一名女生；乙班一名男生，两名女生．
（1）若从乙班报名的学生中随机抽取一名作为志愿者，求抽取的学生是女生的概率．
（2）现从甲乙两班报名的学生中各随机抽取一名作为志愿者，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生性别相同的概率．
23．（8分）大雁塔是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．因此西安市徽中央所绘制的便是这座著名古塔．我校社会实践小组为了测量大雁塔的高度AB，在地面上立两根高为2m的标杆CD和GH，两杆之间的距离CG＝62米，点G、C、B成一线．从C处退行4米到点E处，人的眼睛贴着地面观察A点，A、D、E三点成一线；从G处退行6米到点F处，从F观察A点，A、F、H也成一线．请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．
24．（9分）有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，要把它加工成一个无拼接的面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的方法符合要求（加工损耗忽略不计）．
25．（10分）问题探究
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可进行拼合：作∠CDF＝∠ABC，在射线DF上任取一点E（不与点D重合），连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是 ；
问题解决
（2）如图2，有一个四边形公园ABCD，B、D是公园的两个入口，AC和BD是公园的两条主干道，其中∠BAC＝90°，∠ABC与∠ADC互余，AB＝2AC，AD＝100m，CD＝70m，求BD的长．
2021-2022学年九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，合计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）已知＝（a≠0，b≠0），则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用合比性质求解．
【解答】解：∵＝，
∴＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．
2．（3分）某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3．（3分）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有（ ）个．
A．8 B．9 C．14 D．15
【分析】设袋子中有黑球x个，根据摸到白球的频率列式计算即可．
【解答】解：设袋子中有黑球x个，
∵通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，
∴＝30%，
解得：x＝14，
经检验x＝14是原方程的解，
故选：C．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
4．（3分）某经济开发区今年一月份工业产值达60亿元，第一季度总产值为185亿元，则二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．60（1+x）2＝185
B．60+60（1+x）+60（1+x）2＝185
C．60（1+x）+60（1+x）2＝185
D．60+60（1+x）2＝185
【分析】设平均每月的增长率为x，则二月份工业产值为60（1+x）亿元，二月份工业产值为60（1+x）2亿元，根据第一季度总产值为185亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设平均每月的增长率为x，则二月份工业产值为60（1+x）亿元，二月份工业产值为60（1+x）2亿元，
依题意得：60+60（1+x）+60（1+x）2＝185．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（3分）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，∠OCD＝120°，CO＝CD，若B（2，0），则点C的坐标为（ ）
A．（2，） B．（3，） C．（3，） D．（2，）
【分析】先利用位似的性质得到OB：OD＝1：3，则OD＝6，过C点作CH⊥OD于H，如图，根据等腰三角形的性质得到∠COD＝∠CDO＝30°，OH＝DH＝3，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CH，从而得到C点坐标．
【解答】解：∵B（2，0），
∴OB＝2，
∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，
∴OB：OD＝1：3，
∴OD＝OB＝2×3＝6，
过C点作CH⊥OD于H，如图，
∵CO＝CD，∠OCD＝120°，
∴∠COD＝∠CDO＝30°，OH＝DH＝3，
在Rt△OCD中，CH＝DH＝，
∴C点坐标为（3，）．
故选：B．
【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
6．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（3，y3）是反比例函数y＝（k＜0）图象上的三个点，则有（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y1
【分析】根据k＜0可知，函数图象位于二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，A位于第二象限，则y1最大，对B、C两点由性质判断出y2＜y3，由此得出答案．
【解答】解：∵k＜0，
∴反比例函数图象的两个分支在第二四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大；
又∵B（2，y2）、C（3，y3）是双曲线上的两点，且3＞2＞0，
∴y2＜y3＜0；
又∵点A（﹣2，y1）在第二象限，
∴0＜y1，
∴y2＜y3＜y1．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
7．（3分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣6x+8＝0的两根．则该等腰三角形的周长是（ ）
A．2 B．8 C．10 D．10或8
【分析】先求出方程的解，分为两种情况：①当等腰三角形的三边为2，2，4时，②当等腰三角形的三边为2，4，4时，看看能否组成三角形，若能，求出三角形的周长即可．
【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4或2，
①当等腰三角形的三边为2，2，4时，2+2＝4，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，舍去；
②当等腰三角形的三边为2，4，4时，此时能组成三角形，三角形的周长是2+4+4＝10，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解一元二次方程，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，点B′在AB上，A′B′交AC于F，则图中与△AB'F相似的三角形有（不再添加其它线段）（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据旋转的性质及相似三角形的判定方法进行分析，找出存在的相似三角形即可．
【解答】解：根据题意得：BC＝B′C，
∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝60°，
∴△BCB′是等边三角形，
∠B＝∠BCB′＝∠BB′C＝60°，
∴∠A′B′C＝∠BCB′＝60°，
∴FB′∥BC，
∴△AB′F∽△ABC∽△A′B′C，
∵CF⊥A′B′，∠A′CB′＝90°
∴△A′CF∽△CFB′∽△A′B′C，
∴有4个
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点C沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，线段BE交AD于点F，则tan∠EDF的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由图形折叠的性质得出ED＝DC，BE＝BC，根据全等三角形的判定定理得出△AFB≌△EFD，即得AF＝EF，设EF＝x，则AF＝x，在Rt△DEF中，x2+32＝（4﹣x）2，可得x＝，故tan∠EDF＝＝．
【解答】解：∵△EBD是由△CBD折叠而得，
∴ED＝CD，BE＝BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠BED＝90°，
∴ED＝AB，∠ABF＝90°﹣∠AFB＝90°﹣∠DFE＝∠EDF，
∵在△AFB与△EFD中，
，
∴△AFB≌△EFD（ASA），
∴AF＝EF；
设EF＝x，则AF＝x，
∵AB＝3＝ED，BC＝AD＝4，
∴DF＝4﹣x，
在Rt△DEF中，EF2+DE2＝DF2，
∴x2+32＝（4﹣x）2，
∴x＝，
∴tan∠EDF＝＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查矩形中的折叠问题，涉及全等三角形的判定与性质、矩形的性质及勾股定理，证明△AFB≌△EFD，得到AF＝EF是解答此题的关键．
10．（3分）如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF＝3，则小正方形的边长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【分析】先根据相似三角形的判定定理得出△BEF∽△CFD，再根据勾股定理求出DF的长，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【解答】解：在△BEF与△CFD中
∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△BEF∽△CFD，
∵BF＝3，BC＝12，
∴CF＝BC﹣BF＝12﹣3＝9，
又∵DF＝＝＝15，
∴＝，即＝．
∴EF＝，
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意得出△BEF∽△CFD是解答此题的关键．
二、填空题（共7小题，每小题3分，计21分）
11．（3分）2cos30°＝ ．
【分析】根据cos30°＝，继而代入可得出答案．
【解答】解：原式＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值，需要我们熟练记忆，难度一般．
12．（3分）已知四边形ABCD～四边形A′B′C′D′，相似比为3：4，其中四边形ABCD的周长为18cm，则四边形A′B′C′D′的周长为 24 cm．
【分析】根据周长之比等于相似比，四边形A′B′C′D′的周长为15cm即可求出答案．
【解答】解：∵已知四边形ABCD～四边形A′B′C′D′，相似比为3：4，
∴四边形ABCD的周长为18×＝24cm．
故答案为24．
【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比．
13．（3分）已知线段AB＝6cm，点C为AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝ 3﹣3 ．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AC是较长线段；所以AC＝AB，代入数据即可得出AC的长度．
【解答】解：由于C为线段AB＝6的黄金分割点，
且AC＞BC，
则AC＝a＝＝3﹣3．
故答案为：3﹣3．
【点评】此题考查黄金分割问题，理解黄金分割点的概念．要求熟记黄金比的值．
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝ 115 °．
【分析】由菱形的性质得出AC平分∠BCD，AB∥CD，由平行线的性质得出∠BAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BCD＝180°，求出∠BCD＝130°，则∠ACE＝∠BCD＝65°，由等腰三角形的性质得出∠AEC＝∠ACE＝65°，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CA平分∠BCD，AB∥CD，
∴∠BAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，
∴∠ACE＝∠BCD＝65°，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE＝65°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AEC＝115°；
故答案为：115．
【点评】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，点A、D分别在函数y＝、y＝的图象上，点B、C在x轴上．若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限，则点D的坐标是 （2，3） ．
【分析】根据题意设出A、D的纵坐标为n，即可得出A（﹣，n），D（，n），根据正方形的性质得出+＝n，求得n＝3，即可求得D的坐标为（2，3）．
【解答】解：设A的纵坐标为n，则D的纵坐标为n，
∵点A、D分别在函数y＝、y＝的图象上，
∴A（﹣，n），D（，n），
∵四边形ABCD为正方形，
∴+＝n，
解得n＝3（负数舍去），
∴D（2，3），
故答案为（2，3）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出A、D的坐标是解题的关键．
16．（3分）关于x的一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6＝0没有实数根，则k的最小整数值是 2 ．
【分析】先把方程化为一般形式：（2k﹣1）x2﹣8x+6＝0，由关于x的一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6＝0没有实数根，所以2k﹣1≠0且Δ＜0，即解得k＞，即可得到k的最小整数值．
【解答】解：把方程化为一般形式：（2k﹣1）x2﹣8x+6＝0，
∵原方程为一元二次方程且没有实数根，
∴2k﹣1≠0且Δ＜0，即Δ＝（﹣8）2﹣4×（2k﹣1）×6＝88﹣48k＜0，解得k＞．
所以k的取值范围为：k＞．
则满足条件的k的最小整数值是2．
故答案为2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的定义．
17．（3分）如图，在▱ABCD中，点E为边CD的中点，点F为边AD上靠近A的三等分点，连接BE、CF相交于点O，若△COE的面积为1，则▱ABCD的面积为 16 ．
【分析】延长CF交BA的延长线于点G，根据四边形ABCD是平行四边形，可得△COE∽△GOB，△CDF∽△GAF，而点F为边AD上靠近A的三等分点，E为边CD的中点，可得＝，又S△COE＝1，故S△BOC＝3，S△BCE＝4，由E为边CD的中点，可得S△BCE＝S▱ABCD，即得S▱ABCD＝4S△BCE＝16．
【解答】解：延长CF交BA的延长线于点G，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△COE∽△GOB，△CDF∽△GAF，
∵点F为边AD上靠近A的三等分点，
∴＝＝，
∴AG＝CD＝AB，
∵E为边CD的中点，
∴CE＝CD＝AB＝AG，
∴＝＝＝＝，
∴＝＝，
∵S△COE＝1，
∴S△BOC＝3，
∴S△BCE＝S△COE+S△BOC＝4，
设▱ABCD的边CD上的高为h，
∵E为边CD的中点，
∴S△BCE＝CE•h＝×CD•h＝CD•h＝S▱ABCD，
∴S▱ABCD＝4S△BCE＝16，
故答案为：16．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定，解答此题主要运用了三角形面积之比等于底边之比（同高），分析四边形和三角形之间的面积关系是易错之处．
三、解答题（共8小题，计69分）
18．（10分）解方程：
（1）2x2﹣9x+8＝0
（2）（2x+3）2＝4（2x+3）
【分析】（1）首先找出方程中a，b和c的值，求出根的判别式，进而代入求根公式解答即可；
（2）先移项，提取公因式（2x+3），进而得到（2x+3）（2x+3﹣4）＝0，再解两个一元一次方程即可．
【解答】解：（1）2x2﹣9x+8＝0
a＝2，b＝﹣9，c＝8
Δ＝b2﹣4ac＝17
x＝
解得：x1＝，x2＝；
（2）（2x+3）2＝4（2x+3）
（2x+3）2﹣4（2x+3）＝0
（2x+3）（2x+3﹣4）＝0
2x+3＝0，2x﹣1＝0
解得：x1＝﹣，x2＝．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
19．（10分）计算：
（1）|2﹣3|﹣（﹣1）0+（）﹣1+；
（2）（﹣）﹣2﹣2tan45°+4sin60°﹣．
【分析】（1）直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）|2﹣3|﹣（﹣1）0+（）﹣1+
＝3﹣2﹣1+4+3
＝6+；
（2）（﹣）﹣2﹣2tan45°+4sin60°﹣
＝4﹣2×1+4×﹣2
＝4﹣2+2﹣2
＝2．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
20．（7分）如图，在△ABC中，P是线段AC上一点，请你用尺规在BC边上找一点D，使得以P、D、C为顶点的三角形与△ABC相似．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】如图1中，∠CPD＝∠CAB即可．如图2中，作∠CPD＝∠B即可．
【解答】解：如图1，2中，△PDC即为所求．
【点评】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
21．（7分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作BD、AC的平行线交于点E，连接EO交CD于点F．
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）若AD＝3，求OE的长．
【分析】（1）先证四边形DECO是平行四边形，再由菱形的性质得AC⊥BD，得∠DOC＝90°，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得CD＝AD＝3，再由矩形的性质得OE＝CD＝3即可．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形DECO是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴平行四边形DECO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AD＝3，
由（1）得：四边形DECO是矩形，
∴OE＝CD＝3．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质，证明四边形DECO为矩形是解题的关键．
22．（8分）第十四届全运会于今年9月15号到27号在陕西举办．2月27号开始招募8万名志愿者．某校甲、乙两班共有六名学生报名，其中甲班两名男生，一名女生；乙班一名男生，两名女生．
（1）若从乙班报名的学生中随机抽取一名作为志愿者，求抽取的学生是女生的概率．
（2）现从甲乙两班报名的学生中各随机抽取一名作为志愿者，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生性别相同的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有91种等可能的结果，抽取的两名学生性别相同的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从乙班报名的学生中随机抽取一名作为志愿者，抽取的学生是女生的概率为；
（2）画树状图如下：
共有91种等可能的结果，抽取的两名学生性别相同的结果有4种，
∴抽取的两名学生性别相同的概率为．
【点评】本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用两步或两步以上完成的事件．注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（8分）大雁塔是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．因此西安市徽中央所绘制的便是这座著名古塔．我校社会实践小组为了测量大雁塔的高度AB，在地面上立两根高为2m的标杆CD和GH，两杆之间的距离CG＝62米，点G、C、B成一线．从C处退行4米到点E处，人的眼睛贴着地面观察A点，A、D、E三点成一线；从G处退行6米到点F处，从F观察A点，A、F、H也成一线．请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．
【分析】设AH＝x，BH＝y，由题意可知两组三角形相似，利用相似比找出关于x、y的方程组，即可求出大雁塔AB的高度．
【解答】解：设AB＝x，BC＝y，由题意可知，
△ABE∽△DCE，△ABF∽△HGF，
∴＝，＝，
∵CE＝4米，EB＝BC+CE＝（y+4）米，GF＝6米，FB＝CB+CG+FG＝y+62+6＝（y+68）米，CD＝GH＝2米，
代入比例式，得，
整理，得，
解得，
答：大雁塔AB的高度为64米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，解题的关键是：设AH＝x，BH＝y，由两组三角形相似，利用相似比找出关于x、y的方程组．
24．（9分）有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，要把它加工成一个无拼接的面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的方法符合要求（加工损耗忽略不计）．
【分析】利用相似三角形的性质分别求出正方形的边长，可得结论．
【解答】解：如图1所示，设甲同学加工的桌面边长为xm，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴＝，
即＝，
∴x＝．
如图2所示，过点B作BH⊥AC，交AC于点H，交DE于点P．
由勾股定理得：
AC＝＝＝5，
∵AB•BC＝AC•BH，
∴BH＝＝＝，
设乙同学加工的桌面边长为ym，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝，
即＝，
∴y＝，
∵＞，即x＞y，x2＞y2，
∴甲同学的加工方法更好．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
25．（10分）问题探究
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可进行拼合：作∠CDF＝∠ABC，在射线DF上任取一点E（不与点D重合），连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是 AD2+DE2＝AE2 ；
问题解决
（2）如图2，有一个四边形公园ABCD，B、D是公园的两个入口，AC和BD是公园的两条主干道，其中∠BAC＝90°，∠ABC与∠ADC互余，AB＝2AC，AD＝100m，CD＝70m，求BD的长．
【分析】（1）利用勾股定理解决问题即可；
（2）在射线DC的下方作∠CDT＝∠ABC，过点C作CT⊥DT于T．利用相似三角形的性质证明BD＝AT，求出AT，可得结论．
【解答】解：（1）∵∠ADC+∠ABC＝90°，∠CDE＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，
∴AD2+DE2＝AE2．
故答案为：AD2+DE2＝AE2．
（2）如图2中，在线段DC的下方作∠CDT＝∠ABC，过点C作CT⊥DT于T．
∵∠CTD＝∠CAB＝90°，∠CDT＝∠ABC，
∴△CTD∽△CAB，
∴∠DCT＝∠ACB，＝，
∴＝，∠DCB＝∠TCA
∴△DCB∽△TCA，
∴＝，
∵＝2，
∴AC：BA：BC＝CT：DT：CD＝1：2：，
∴BD＝AT，
∵∠ADT＝∠ADC+∠CDT＝∠ADC+∠ABC＝90°，
设AD＝a＝100m，CD＝b＝70m，
∴DT＝CD＝b，
∴AT＝＝，
∴BD＝AT＝＝＝20m．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
2021/12/9 8:12:55
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