考点10 函数的最值问题

考点10函数的最值问题

一、单选题

1．已知A（2,5），B（4,1）.若点P（x,y）在线段AB上，则2x−y的最大值为

A．−1 B．3 C．7 D．8

2．已知函数f(x)=sinx+，则（）

A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称

C．f(x)的图象关于直线对称 D．f(x)的图象关于直线对称

3．若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值

A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关

C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关

4．若函数的最小值3，则实数的值为

A．5或8 B．或5 C．或 D．或

5．已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是

A． B． C． D．

6．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

二、填空题

7．函数的最大值为_________.

8．设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是________________________

9．已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则_____________

10．设若是的最小值，则的取值范围是　　　　　.

11．已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是____.

12．若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________.

参考答案

1．C

【详解】

由题意得，线段AB的方程：，，

∴，

当时等号成立，即的最大值为7.

故选：C.

【点睛】

求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④导数法；⑤不等式法；⑥图象法．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．

2．D

【分析】

根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.

【详解】

可以为负，所以A错；

关于原点对称；

故B错；

关于直线对称，故C错，D对

故选：D

【点睛】

本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.

3．B

【详解】

因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．

【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．

4．D

【详解】

试题分析：由题意，①当时，即，，则当时，，解得或（舍）；②当时，即，，则当时，，解得（舍）或；③当时，即，，此时，不满足题意，所以或，故选D.

5．A

【详解】

不等式为(*)，

当时，(*)式即为，，

又（时取等号），

（时取等号），

所以，

当时，(*)式为，，

又（当时取等号），

（当时取等号），

所以，

综上．故选A．

【考点】不等式、恒成立问题

【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.

6．A

【分析】

利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.

【详解】

若函数在上单调递增，则在上的最大值为，

若在上的最大值为，

比如，

但在为减函数，在为增函数，

故在上的最大值为推不出在上单调递增，

故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，

故选：A.

7．2

【详解】

试题分析：，即最大值为2.

【考点】函数最值,数形结合

【名师点睛】本题是求解函数的最大值，用到了求函数值域中的分离常数法和图象法.

8．

【分析】

考点：此题主要考查三角函数的最值、最值问题的应用（恒成立问题），考查分析问题和解决问题的能力.

9．1

【详解】

显然函数的最大值只能在或时取到，

若在时取到，则，得或

，时，；，时，（舍去）；

若在时取到，则，得或

，时，； ，时，（舍去）

所以

10．

【解析】

由题意，当时，的极小值为，当时，极小值为，是的最小值，则.

【考点】函数的最值问题..

11．

【分析】

本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究入手，令，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.

【详解】

使得，

使得令，则原不等式转化为存在，

由折线函数，如图

只需，即，即的最大值是

【点睛】

对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.

12．

【详解】

试题分析：令，其图象如下所示（图中的实线部分）

由图可知：

由题意得：，解这得:

所以答案应填：

考点：1、分段函数；2、等价转换的思想；3、数形结合的思想.