考点12 函数的周期性练习题

考点12函数的周期性

一、单选题

1．奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则

A． B． C． D．

2．定义在上的函数满足，当时，，当时，，则

A．335 B．338 C．1678 D．2012

3．定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（3）的值为

A．-1 B．-2 C．1 D．2

4．已知在R上是奇函数，且，当时，，则

A．-2 B．2 C．-98 D．98

5．已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，.则

A． B． C． D．

6．设定义在上的函数满足，若，则

A． B． C． D．

7．定义在R上的函数f(x)满足，则f（2009）的值为

A．-1 B．0 C．1 D．2

8．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ）

A． B． C． D．

9．定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为

A．0 B．1 C．3 D．5

10．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）

A． B． C． D．

11．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则

A． B．

C． D．

12．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则

A． B． C． D．

二、填空题

13．设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中．若，则的值为        ．

14．设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x＋1，则=_______________

15．设是以2为周期的函数，且当时，则___________.

16．已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是_____.

参考答案

1．D

【分析】

试题分析：是偶函数，则 的图象关于直线对称，又 是奇函数，则，且 是周期函数，且周期为8，所以．故选D．

考点：函数的奇偶性，周期性．

【名师点睛】解函数问题时，有些隐含性质需我们已知条件找出，特别是周期性．当函数具有两个对称时函数一般也是周期函数．当函数是奇函数，又有对称轴时，则函数一定是周期函数，且周期为；若有两条对称轴和，则函数是周期函数，是函数的一个周期；同样若有两个对称中心 和，则函数是周期函数， 是函数的一个周期；

2．B

【详解】

：易知

所以

【考点定位】本题考查抽象函数的性质，周期性是高考的重点.题目结合分段函数进行考查，即注重基础性，又关注数形结合思想的运用，突出了数学思想的考查

3．B

【详解】

试题分析：由函数定义有：

考点：分段函数求值

4．A

【分析】

根据题意可知函数的周期为，即可利用周期性和奇偶性将转化为，即可求出．

【详解】

∵，∴是以4为周期的周期函数，由于为奇函数，

∴，而，即.

故选：A．

【点睛】

本题主要考查函数周期性和奇偶性的应用，属于基础题．

5．D

【详解】

试题分析：当时,,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D．

考点：函数的周期性和奇偶性．

6．C

【解析】

：∵且 ∴，，

，，，，

∴ ，∴ 故选C

【点评】：此题重点考察递推关系下的函数求值；

【突破】：此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解；

7．C

【解析】

由已知得,,,

,,

,,,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.

【考点定位】本小题考查函数的周期性、分段函数、对数的运算以及归纳推理.

8．B

【分析】

推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.

【详解】

因为函数为偶函数，则，可得，

因为函数为奇函数，则，所以，，

所以，，即，

故函数是以为周期的周期函数，

因为函数为奇函数，则，

故，其它三个选项未知.

故选：B.

9．D

【解析】

定义在R上的函数是奇函数，，又是周期函数，是它的一个正周期，∴，，∴，则可能为5，选D．

10．D

【分析】

通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．

【详解】

因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路一：从定义入手．

所以．

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数的周期．

所以．

故选：D．

【点睛】

在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．

11．D

【分析】

由，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行判断大小.

【详解】

因为满足，所以，

所以函数是以8为周期的周期函数，

则.

由是定义在上的奇函数，

且满足，得.

因为在区间上是增函数，是定义在上的奇函数，

所以在区间上是增函数，

所以，即.

【点睛】

在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．

12．C

【详解】

分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.

详解：因为是定义域为的奇函数，且，

所以,

因此，

因为，所以，

，从而，选C.

点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

13．－10

【详解】

因为是定义在上且周期为2的函数，所以

，且，故，从而，①.　

由，得，故.　②

由①②得，，从而.

点睛：分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.

14．

【详解】

因为函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，所以

【考点定位】此题主要考察函数的概念奇偶性、周期性等，正确利用已知把所求的自变量的取值转化到一直区间上去是解答这一问题的核心.

15．-1

【详解】

∵是以2为周期的函数，且时，，

则.

【考点定位】函数求值

16．

【详解】

作出函数的图象，可见，当时，，，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的应该是4个交点，则有．

【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题．