考点29 三角恒等变换练习题

考点29 三角恒等变换

一、单选题

1．若，则（    ）

A． B． C． D．

2．若函数，则f(x)是

A．最小正周期为的奇函数； B．最小正周期为的奇函数；

C．最小正周期为2的偶函数； D．最小正周期为的偶函数；

3．(2015新课标全国Ⅰ理科)=

A． B．

C． D．

4．若，则等于

A． B． C． D．

5．设是方程的两个根，则的值为

A．-3 B．-1 C．1 D．3

6．最小值是

A．-1 B． C． D．1

7．已知向量，，那么等于（    ）

A． B． C．1 D．0

8．函数f（x）=sinx-cos(x+)的值域为

A．[ -2 ,2] B．[-,] C．[-1,1 ] D．[-, ]

9．函数ƒ(x)＝sin xcos x＋cos 2x的最小正周期和振幅分别是（    ）

A．π，1 B．π，2

C．2π，1 D．2π，2

10．若，则（    ）

A． B． C． D．

11．函数的最小正周期是（    ）

A． B．π C． D．2π

12．设函数=（＞0，＜）的最小正周期为，且=，则（    ）

A．在单调递减 B．在单调递减

C．在单调递增 D．在单调递增

二、填空题

13．函数的最小正周期是_____.

14．函数的最大值为________．

15．已知，，则__________．

16．已知，，则的值为          ．

参考答案

1．A

【分析】

先由求出，再由同角三角函数基本关系，以及二倍角的正弦公式，将所求式子化简，即可得出结果.

【详解】

因为，所以，

因此.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查由同角三角函数基本关系化简求值，涉及二倍角的正弦公式，属于基础题型.

2．D

【详解】

考查三角变换和三角函数的性质．通过二倍角公式可将f(x)等价转化为f(x)=-cos2x，由余弦函数的性质知f(x)为最小正周期为的偶函数，选D．

3．D

【详解】

原式= ==，故选D.

考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.

4．B

【详解】

试题分析：，.

考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．

5．A

【详解】

试题分析：由tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后将tan（α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．解：∵tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2,则tan（α+β）= -3，故选A.

考点：两角和与差的正切函数公式

点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键．

6．B

【详解】

试题分析：∵，∴当sin2x=-1即x=时，函数有最小值是，故选B

考点：本题考查了三角函数的有界性

点评：熟练掌握二倍角公式及三角函数的值域是解决此类问题的关键，属基础题

7．A

【分析】

利用向量数量积的坐标运算和两角和的正弦公式可得答案.

【详解】

，，

.

故选：A.

8．B

【解析】

f（x）=sinx-cos(x+)，，值域为[-,].

【点评】利用三角恒等变换把化成的形式，利用，求得的值域

9．A

【分析】

利用三角恒等变换化简，再求最小正周期和振幅即可.

【详解】

ƒ(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，

所以振幅为1，最小正周期为T＝＝＝π，

故选：A．

【点睛】

本题考查利用三角恒等变换化简三角函数，涉及其性质的求解，属综合基础题.

10．A

【分析】

由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.

【详解】

，

，，，解得，

，.

故选：A.

【点睛】

关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.

11．B

【分析】

因为，根据辅助角公式可化简为，根据正弦二倍角公式和正弦周期公式，即可求得答案.

【详解】

,

故最小正周期,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能较好地考查考生的运算求解能力及对复杂式子的变形能力等.

12．A

【分析】

由题意结合三角恒等变换得，由三角函数的性质可得、，再由三角函数的图象与性质即可得解.

【详解】

由题意，

因为函数的最小正周期为，且=，

所以，且=，解得=2，=，

又，所以=，

所以==，

当时，，故在上单调递减，故A正确，C错误；

当时，，故在上不单调，故B、D错误.

故选：A.

【点睛】

本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，考查了三角恒等变换的应用，牢记三角函数图象的特征是解题关键，属于中档题.

13．

【详解】

由题意，

【考点】三角函数的周期.

14．1

【详解】

试题分析：由已知得，

，故函数的最大值为1．

考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质．

15．

【详解】

因为，

所以，①

因为，

所以，②

①②得，

即，

解得，

故本题正确答案为

16．3

【详解】

，故答案为3.