考点28三角函数的性质练习题

考点28 三角函数的性质

一、单选题

1．函数的最小正周期和最大值分别是（    ）

A．和 B．和2 C．和 D．和2

2．若函数，则f(x)是

A．最小正周期为的奇函数； B．最小正周期为的奇函数；

C．最小正周期为2的偶函数； D．最小正周期为的偶函数；

3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(＋)(x∈[0,2π])的图象和直线y＝的交点个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．4

4．函数的最小正周期为

A． B． C． D．

5．函数在区间上的最小值是

A． B． C． D．0

6．最小值是

A．-1 B． C． D．1

7．函数的最小正周期是

A． B． C． D．

8．函数是

A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2

C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为

9．函数y＝sin2x＋cos 2x的最小正周期为（    ）

A． B． C．π D．2π

10．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为

A． B．

C． D．

11．设函数，则（）

A．函数在上单调递增，其图象关于直线对称；

B．函数在上单调递增，其图象关于直线对称；

C．函数在上单调递减,其图象关于直线对称；

D．函数在上单调递减,其图象关于直线对称；

12．若将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为

A．x=（k∈Z）

B．x=（k∈Z）

C．x=（k∈Z）

D．x=（k∈Z）

二、填空题

13．已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为________．

14．已知函数的图象如图所示，

则 ＝ ______________

15．设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是________________________

16．设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为_________.

参考答案

1．C

【分析】

利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.

【详解】

由题，，所以的最小正周期为，最大值为.

故选：C．

2．D

【详解】

考查三角变换和三角函数的性质．通过二倍角公式可将f(x)等价转化为f(x)=-cos2x，由余弦函数的性质知f(x)为最小正周期为的偶函数，选D．

3．C

【详解】

试题分析：因为y＝cos(＋)(x∈[0,2π]),即(x∈[0,2π])的图像是半个周期的图像，所以它与直线y＝的交点有两个.

考点：三角函数的诱导公式及正弦函数的图像.

点评：本小题关键是利用诱导公式把y＝cos(＋)(x∈[0,2π])转化为(x∈[0,2π])然后画出它的图像从图像上观察它与直线y＝的交点个数.

4．C

【详解】

由题意，故选C．

【名师点睛】函数的性质：

(1).

(2)最小正周期

(3)由求对称轴.

(4)由求增区间;由求减区间.

5．B

【详解】

因为，所以，所以由正弦函数的图象可知，函数在区间上的最小值是，故选B.

【考点定位】本小题主要考查三角函数的值域的求解，考查三角函数的图象，考查分析问题以及解决问题的能力.

6．B

【详解】

试题分析：∵，∴当sin2x=-1即x=时，函数有最小值是，故选B

考点：本题考查了三角函数的有界性

点评：熟练掌握二倍角公式及三角函数的值域是解决此类问题的关键，属基础题

7．B

【解析】

本小题主要考查正弦函数周期的求解．原函数可化为：，故其周期为

8．D

【分析】

由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.

【详解】

由题意，，所以该函数为偶函数，

又，

所以当时，取最大值.

故选：D.

9．C

【分析】

利用辅助角公式将函数化简，再利用周期公式计算可得.

【详解】

∵y＝2＝2sin，

，

故选：C.

【点睛】

该题考查三角函数的性质与辅助角公式，属于基础题目.

10．D

【详解】

由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.

考点：三角函数图像与性质

11．D

【解析】

试题分析：，

时，，所以在上单调递减．

令，．所以图像关于直线对称．故D正确．

考点：1三角函数的化简；2余弦函数的单调性，对称轴．

12．B

【详解】

试题分析：由题意得，将函数的图象向左平移个单位长度，得到，由，得，即平移后的函数的对称轴方程为，故选B．

考点：三角函数的图象与性质．

【方法点晴】

本题主要考查了三角函数的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的解析式，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力．

13．

【详解】

由在区间内单调递增,且的图像关于直线对称,可得 ,且,所以

考点:本题主要考查三角函数的性质.

14．

【详解】

由图象可得最小正周期为

 ,.

15．

【分析】

考点：此题主要考查三角函数的最值、最值问题的应用（恒成立问题），考查分析问题和解决问题的能力.

16．

【详解】

由在区间上具有单调性，

且知，函数的对称中心为，

由知函数的对称轴为直线，

设函数的最小正周期为，

所以，，

即，所以，

解得，故答案为.

考点：函数的对称性、周期性，属于中档题.