考点61 椭圆的离心率练习题

考点61椭圆的离心率

一、单选题

1．椭圆的离心率是（    ）

A． B． C． D．

2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是

A． B． C． D．

3．椭圆的左，右顶点分别是，左，右焦点分别是，若成等比数列，则此椭圆的离心率为

A． B． C． D．

4．已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为

A． B． C． D．

5．    直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 (　　)

A． B．

C． D．

6．设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，

∠=，则C的离心率为

A． B． C． D．

7．设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为

A． B． C． D．

8．椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．

9．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10．已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是

A． B． C． D．

11．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是

A． B． C． D．

12．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为

A． B． C． D．

二、填空题

13．椭圆的左右焦点分别为,焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于_____

14．椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为___________

15．椭圆的左、右焦点分别为焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足则该椭圆的离心率等于      .

16．如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是__________．

参考答案

1．B

【分析】

由题可知，，，求出，即可求出椭圆的离心率．

【详解】

因为椭圆中，，

所以，

得，

故选：B．

【点睛】

本题考查椭圆的离心率的求法，以及灵活运用椭圆的简单性质化简求值．

2．B

【详解】

试题分析：由题意可知

考点：椭圆性质

3．B

【详解】

：由成等比数列得

即

【考点定位】本题主要考查椭圆的定义和离心率的概念．属基础题

4．C

【详解】

分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为，从而求得，再根据题中所给的方程中系数，可以得到，利用椭圆中对应的关系，求得，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.

详解：根据题意，可知，因为，

所以，即，

所以椭圆的离心率为，故选C.

点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中的关系求得结果.

5．B

【详解】

试题分析：不妨设直线，即椭圆中心到的距离

，故选B.

考点：1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.

【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线，即椭圆中心到的距离，利用方程思想和数形结合思想建立方程是本题的关键节点.

6．D

【详解】

由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ m，

        故离心率e＝选D.

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

7．C

【详解】

试题分析：如下图所示，是底角为的等腰三角形，则有

所以，所以

又因为，所以，，所以

所以答案选C.

考点：椭圆的简单几何性质.

8．D

【解析】

由方程可知，，，则，所以.

此题考查椭圆离心率基本运算.

9．C

【分析】

设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．

【详解】

设，由，因为 ，，所以

，

因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；

当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．

故选：C．

【点睛】

本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．

视频
 

10．A

【详解】

试题分析：设是椭圆的左焦点，由于直线过原点，因此两点关于原点对称，从而是平行四边形，所以，即，，设，则，所以，，即，又，所以，．故选A．

考点：椭圆的几何性质．

【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得关系或范围，解题的关键是利用对称性得出就是，从而得，于是只有由点到直线的距离得出的范围，就得出的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．

11．C

【详解】

设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为．因为所以点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．与因为点M在椭圆的内部，所以，所以，所以 ，所以 ，故选C．

 【点睛】求离心率的值或范围就是找的值或关系．由想到点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．再由点M在椭圆的内部，可得，因为 ．所以由得，由关系求离心率的范围．

12．D

【详解】

分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.

详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,

由斜率为得，，

由正弦定理得,

所以，故选D.

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

13．

【详解】

注意到直线过点即为左焦点，又斜率为，所以倾斜角为，即．又故，那么．，，．

【考点定位】考查离心率的算法，要求学生要有敏锐的观察力，比如直线的特征．属于难题．

14．

【详解】

本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.

利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：，，.又已知，，成等比数列，故，即，则.故.即椭圆的离心率为.

【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程，然后化为有关的齐次式方程，进而转化为只含有离心率的方程，从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等.

15．

【详解】

注意到直线过点即为左焦点，又斜率为，所以倾斜角为，即.又故，那么.，，.

【考点定位】考查离心率的算法，要求学生要有敏锐的观察力，比如直线的特征.属于难题.

16．

【详解】

由题意得，故，，

又，所以

【考点】椭圆离心率

【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于的一个等量关系，通过解方程得到离心率的值.