模块十不等式选讲练习题

模块十 不等式选讲

一、解答题

1．（选修4—5：不等式选讲）

解不等式

2．选修4－5：不等式选讲

设函数．

（Ⅰ）若，解不等式；

（Ⅱ）如果，，求的取值范围．

3．选修4－5：不等式选讲

设函数.

（Ⅰ）解不等式>2；

（Ⅱ）求函数的最小值.

4．设不等式的解集为A,且

（Ⅰ）求的值

（Ⅱ）求函数的最小值

5．已知，不等式的解集为{x|-2｝．

 (Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)若恒成立，求k的取值范围．

6．设函数f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0．

（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞3x+2的解集；

（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．

7．已知函数．

（1）当时，求不等式的解集;

（2）若，求a的取值范围．

8．已知，不等式的解集为

 (Ⅰ)求a的值；

 (Ⅱ)若恒成立，求k的取值范围．

9．已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求a的取值范围.

10．设，解不等式．

11．已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1）；

（2）．

12．

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的图象与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围.

13．已知，函数的最小值为4．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的最小值．

14．设函数，，记的解集为M，的解集为N.

（1）求M；

（2）当时，证明：.

15．选修4—5：不等式选讲

已知函数f（x）＝|2x－1|＋|2x＋a|，g（x）＝x＋3．

（1）当a＝－2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；

（2）设a＞－1，且当x∈时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

参考答案

1．

【详解】

试题分析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可

试题解析：原不等式可化为或．

解得或．

综上，原不等式的解集是．

考点：含绝对值不等式的解法

2．（Ⅰ）

（Ⅱ）

【详解】

试题分析：（Ⅰ）当 时，利用零点分段法，分 三段去绝对值解不等式；（Ⅱ）利用绝对值的三角不等式 ，令最小值 求的取值范围.

试题解析：解：（Ⅰ）当时，.

由得.

当时，不等式可化为，即，其解集为；

当时，不等式可化为，不可能成立，其解集为；

当时，不等式可化为，即，其解集为.

综上所述，的解集为.

（Ⅱ）∵，∴要，成立.

则，∴或.

即的取值范围是.

3．（Ⅰ）的解集为.

（Ⅱ）最小值

【详解】

解：

（Ⅰ）令，则

作出函数的图像，它与直线的交点为和.

所以的解集为

（Ⅱ）由函数的图像可知，当时，取得最小值.

4．（Ⅰ）（Ⅱ）的最小值为

【解析】

（Ⅰ）因为，且，所以，且

解得，又因为，所以

（Ⅱ）因为

当且仅当，即时取得等号，所以的最小值为

不等式选讲如果如此题只考查绝对值不等式就算比较容易的题目，注意绝对值的三角不等式即可，当然也可通过讨论去掉绝对值号，当然还要注意均值和柯西不等式的应用．

【考点定位】本题考查绝对值不等式的基本内容，属于简单题．

5．（1）a=2 （2）

【解析】

(Ⅰ)由得.

又的解集为，

所以当时，不合题意.

当a>0时，,得.

(Ⅱ)记，

则

所以，因此.

考点定位：本大题主要考查解不等式及利用解集求实数的取值范围，意在考查考生运用函数零点分类讨论的解题思想求最值来解决恒成立问题

6．（1）；（2）

【分析】

（1）将f（x）＞3x+2化简，解绝对值不等式；

（2）解不等式f（x）≤0用a表示，同一个不等式的解集相等，得到a．

【详解】

（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+3x＞3x+2，可化为|x﹣1|＞2．由此可得 x＞3或x＜﹣1．

故不等式f（x）＞3x+2的解集为{x|x＞3或x＜﹣1}．

（2） 由f（x）≤0得：|x﹣a|+3x≤0

此不等式化为不等式组：或 ．即 a≤x≤，或x≤﹣，

因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤﹣}，由题意可得﹣＝﹣1，故a＝2

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法以及参数的求解，属于基础题．

7．（1）.（2）.

【分析】

（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.

（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.

【详解】

（1）当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，

则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，

当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，

∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，

所以的解集为.

（2）依题意，即恒成立，

，

当且仅当时取等号，,

故，

所以或，

解得.

所以的取值范围是.

【点睛】

解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件.

8．a=2

【详解】

(Ⅰ)由得，又的解集为，所以

当时，不合题意，当a>0时，得a=2

 (Ⅱ)记，则

所以，因此

考点定位：本大题主要考查解不等式及利用解集求实数的取值范围，意在考查考生运用函数零点分类讨论的解题思想求最值来解决恒成立问题

9．（1）或；（2）.

【分析】

（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；

（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.

【详解】

（1）当时，.

当时，，解得：；

当时，，无解；

当时，，解得：；

综上所述：的解集为或.

（2）（当且仅当时取等号），

，解得：或，

的取值范围为.

【点睛】

本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.

10．

【分析】

根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果

【详解】

或或

或或

所以解集为：

【点睛】

本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.

11．（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）利用将所证不等式可变为证明：，利用基本不等式可证得，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得，再次利用基本不等式可将式转化为，在取等条件一致的情况下，可得结论.

【详解】

（1）   

当且仅当时取等号

，即：

（2），当且仅当时取等号

又，，（当且仅当时等号同时成立）

又   

【点睛】

本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.

12．（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）

【详解】

试题分析：

(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为；

(Ⅱ)由题意可得面积函数为为，求解不等式可得实数a的取值范围为

试题解析：

（I）当时，化为，

      当时，不等式化为，无解；

      当时，不等式化为，解得；

      当时，不等式化为，解得．

      所以的解集为．

（II）由题设可得，

       所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，的面积为．

       由题设得，故．

       所以a的取值范围为

13．（Ⅰ） ；（Ⅱ）．

【详解】

试题分析：（1）利用绝对值不等式几何意义，，又因为，所以的最小值为，即可求得其值为4；（2）求的最小值，可利用柯西不等式．

试题解析：（Ⅰ）因为，，所以，当且仅当时，等号成立，又，所以，所以的最小值为,所以．

（Ⅱ）由（1）知，由柯西不等式得

,

即

当且仅当，即时，等号成立

所以的最小值为．

考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式．

【方法点睛】解含有绝对值不等式，要巧妙利用绝对值的几何意义或者利用零点分区间法求不等式的最值．对于若干个单项式的平方和，因为其符合柯西不等式，所以只要补足另一个平方和多项式，便可利用柯西不等式来求最值．

14．（1）；（2）详见解析.

【详解】

试题分析：（1）由所给的不等式可得当时，由，或 当时，由，分别求得它们的解集，再取并集，即得所求．（2）由 ，求得N，可得．当x∈M∩N时，f（x）=1-x，不等式的左边化为，显然它小于或等于，要证的不等式得证．

（1）

当时，由得，故；

当时，由得，故；

所以的解集为.

（2）由得解得，因此，故.

当时，，于是

.

考点：1.其他不等式的解法；2.交集及其运算．

15．（1）{x|0＜x＜2}．（2）．

【详解】

（1）当a＝－2时，不等式f（x）＜g（x）化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0．

设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，

则y＝

其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈（0,2）时，y＜0．

所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．

（2）当x∈时，f（x）＝1＋a．

不等式f（x）≤g（x）化为1＋a≤x＋3．所以x≥a－2对x∈都成立．

故≥a－2，即．从而a的取值范围是．

考点：不等式的解法及应用．

点评：本题主要考查了绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，函数的单调性的应用．