模块二平面向量与三角函数练习题

模块二平面向量与三角函数

一、解答题

1．已知向量, 设函数.

(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.

(Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值.

2．已知向量,且

(Ⅰ)求tanA的值；

(Ⅱ)求函数R)的值域.

3．本小题满分12分）

设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且

．

(Ⅰ)求角的值；

(Ⅱ)若，求（其中）．

4．已知向量．

（1）若，求x的值；

（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．

5．已知向量，，设函数.

（1）求函数的最大值;

（2）在锐角中，三个角，，所对的边分别为，，，若，，求的面积.

6．设向量

（I）若

（II）设函数

7．在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)

（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长

（2）设实数t满足()·=0，求t的值

8．已知，.

（1）若，求证：；

（2）设，若，求，的值.

9．已知向量，，设函数，且的图象过点和点.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.

10．在中，已知．

（1）求证：；

（2）若，求A的值．

11．已知向量，函数的最大值为.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求在上的值域.

12．

已知的角、、所对的边分别是、、，设向量，

，.

（1）若，求证：为等腰三角形；

（2）若，边长，角，求的面积.

13．已知向量互相垂直，其中

（1）求和的值

（2）若，,求的值

14．已知向量

（1）若，求的值；

（2）若求的值.

15．

　　　已知向量 =(sinA,cosA)，=，＝1，且A为锐角．

（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数的值域．

参考答案

1．(Ⅰ)(Ⅱ)

【分析】

先求出f (x)，然后根据三角函数的性质求解即可.

【详解】

（Ⅰ）的最小正周期为.

（Ⅱ），，

故当即时，

当即时，

本题主要考察的是向量的数量积运算和三角函数的周期，最值问题.正确运用公式图像性质的熟练运用是解答关键.本题属于高考的常考类型，需要多加练习，关注三角函数和定积分的结合也是热点之一.

【考点定位】

本题考查三角恒等变形、三角函数的性质等基础知识．简单题．

2．(1) tanA="2.(2)" 函数f(x)的值域是

【详解】

解：（Ⅰ）由题意得

m·n=sinA-2cosA=0,

因为cosA≠0,所以tanA=2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得

因为xR,所以.

当时，f(x)有最大值，

当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，

所以所求函数f(x)的值域是

3．

【详解】

试题分析：(1) 利用两角和与差的正弦公式展开化简得 ，又为锐角，所以 ；(2)由可得，即，然后利用余弦定理得的另一个关系，从而解出.

试题解析：(1)因为

，

所以，又为锐角，所以.

(2)由可得

①

由（1）知，所以

②

由余弦定理知，将及①代入，得

③

③+②×2，得，所以

因此，是一元二次方程的两个根.

解此方程并由知.

考点：两角和与差的正弦定理、平面向量的数量积、余弦定理.

4．（1）（2）时，取到最大值3； 时，取到最小值.

【分析】

（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．

（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．

【详解】

解：（1）∵向量．

由，

可得：，

即，

∵x∈[0，π]

∴．

（2）由

∵x∈[0，π]，

∴

∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；

当，即时．

【点睛】

本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．

5．（1）；（2）.

【分析】

（1）结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得，进而可得的最大值；

（2）由锐角，推出，再结合（B），求得，由正弦定理知，再利用余弦定理求出，，最后由三角形面积公式得解．

【详解】

（1）因为，，

所以函数

∴当时，

（2）∵为锐角三角形，.

又

即

6．（I）（II）

【详解】

(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，

＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，

及，得4sin2x＝1.

又x∈，从而sinx＝，所以x＝.

(2) sinx·cosx＋sin2x

＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，

当x∈时，－≤2x－≤π，

∴当2x－＝时，

即x＝时，sin取最大值1.

所以f(x)的最大值为.

7．（1）， ．（2）．

【解析】

（1）（方法一）由题设知，则

所以

故所求的两条对角线的长分别为、．

（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:

E为B、C的中点，E（0，1）

又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）

故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；

（2）由题设知：=(－2,－1)，．

由()·=0，得：，

从而所以．

或者：，

8．（1）见解析（2），.

【详解】

由题意，，即，又因为，∴，即，∴

（2），∴，由此得

，由，得，又，故，

代入得，而，∴，.

【考点定位】

本小题主要考查平面向量的加法、减法、数量积、三角函数的基本关系、有道公式等基础只晒，考查运算求解能力和推理论证能力.

9．（I）.

（II）函数的单调递增区间为.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用向量的数量积坐标运算公式代入函数式整理化简，将函数过的点和点代入就可得到关于的方程，解方程求其值；（Ⅱ）利用图像平移的方法得到的解析式，利用最高点到点的距离的最小值为1求得角，得，求减区间需令解的范围

试题解析：（1）由题意知．

的过图象过点和，

所以即解得

（2）由（1）知．

由题意知．

设的图象上符合题意的最高点为，

由题意知，所以，即到点（0，3）的距离为1的最高点为（0，2）．

将其代入得，因为，所以，

因此．

由Z得Z，

所以函数的单调递增区间为

考点：1.三角函数化简与性质；2.图像平移

10．（1）见解析；（2）．

【详解】

试题解析：(1)∵,∴,

即.

由正弦定理,得,∴.

又∵,∴.∴即.

(2)∵,∴.∴.

∴,即.∴.

由 (1) ,得,解得.

∵,∴.∴.

考点：（1）向量的数量积的定义与正弦定理；（2）已知三角函数值，求角.

11．（Ⅰ）;（Ⅱ）

【解析】

：（Ⅰ）

因为的最大值为，所以

（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，

得到

再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，

得到

因为所以

的最小值为最大值为

所以在上的值域为

【考点定位】本题通过向量运算形成三角函数问题，考查了向量的数量积运算、三角函数的图象变换、三角函数的值域等主干知识，难度较小

12．（1）见解析（2）

【详解】

⑴因为，所以，即,其中是的外接圆半径， 所以，所以为等腰三角形.

⑵因为，所以.

由余弦定理可知，，即

解方程得：（舍去）

所以.

13．（１）, ∴,

即又∵,

∴,即,∴

又　,………………6分

(2)∵

,,

即又, ∴

【详解】

试题分析：（１）, ∴,

即又∵,

∴,即,∴

又　,

(2)∵

,,

即又, ∴

考点：向量的数量积以及两角和差的公式

点评：主要是考查了向量的数量积以及两角和差公式的综合运用，属于基础题．

14．（1）（2），或

【详解】

试题分析：（1）由向量平行得到坐标满足的关系式，整理可得（2）代入向量模的计算公式可得到角的方程，解方程求解角的大小

试题解析：（1） 3分

． 5分

（2） 8分

所以，,

． 10分

考点：1．向量的坐标运算；2．三角函数式的化简

15．（Ⅰ）

（Ⅱ）

【详解】

（Ⅰ）由题意得,

由A为锐角得,．

（Ⅱ）由(Ⅰ)知，所以

因为，所以，因此,当时，有最大值，

当时，有最小值-3，所以所求函数的值域是．