考点57 空间向量的简单应用练习题

考点57 空间向量的简单应用

一、单选题

1．已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列各点在平面内的是（    ）

A． B．

C． D．

2．已知两平面的法向量分别为，则两平面所成的二面角为（    ）

A．45° B．135°

C．45°或135° D．90°

3．若直线、的方向向量分别为，，则与的位置关系是（    ）

A． B． C．、相交不垂直 D．不能确定

4．平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（    ）

A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直

5．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ）

A． B．

C． D．与斜交

6．若平面的法向量分别为，则（    ）

A． B． C．相交但不垂直 D．以上均不正确

7．已知,,,,则直线AB和直线CD所成角的余弦值为(　　)

A． B． C． D．

8．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，，则PA与底面ABCD的关系是（    ）

A．相交 B．垂直

C．不垂直 D．成60°角

9．若不重合的直线的方向向量分别为，，则

A．∥ B．⊥

C．相交但不垂直 D．不能确定

10．已知两个不重合的平面与平面，若平面的法向量为，向量，，则（    ）

A．平面平面 B．平面平面

C．平面、平面相交但不垂直 D．以上均有可能

11．若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面的夹角为，则下列关系式成立的是

A． B． C． D．

12．平面的法向量，平面的法向量，则下列命题正确的是（    ）

A．、平行 B．、垂直 C．、重合 D．、不垂直

二、填空题

13．已知，，，则平面ABC的一个单位法向量是________．

14．设平面与向量垂直，平面与向量垂直，则平面与的位置关系是________．

15．已知平面的一个法向量为，则直线与平面的位置关系为_______.

16．在空间直角坐标系中，已知，，.则直线和平面所成的角为___________.

参考答案

1．B

【分析】

设平面内的一点为，由可得，进而可得满足的方程，

将选项代入检验即可得正确选项.

【详解】

设平面内的一点为(不与点重合)，则，

因为是平面的一个法向量，

所以，所以，

即，

对于A：，故选项A不正确；

对于B：，故选项B正确；

对于C：，故选项C不正确；

对于D：，故选项D不正确，

故选：B.

2．C

【分析】

直接利用空间向量的夹角公式公式，求解二面角的大小即可．

【详解】

，即.

∴两平面所成二面角为或.

故选：C.

3．A

【分析】

由题可得，即可判断.

【详解】

由题意，直线、的方向向量分别为，，

，

∴与的位置关系是.

故选：A.

4．C

【分析】

由题设知，根据空间向量共线定理，即可判断平面与平面的位置关系.

【详解】

平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，

，

平面与平面的关系是平行或重合．

故选：C．

5．B

【分析】

判断与的位置关系，进而可得出结论.

【详解】

由已知可得，则，因此，.

故选：B.

6．C

【分析】

根据平面法向量的定义，由既不平行也不垂直即可得解.

【详解】

显然不平行，而，

故不垂直，

所以法向量既不平行也不垂直，

所以相交但不垂直，

故选：C

7．A

【分析】

先求出向量=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3),再利用向量法求两异面直线所成的角的余弦.

【详解】

由题得=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3),而cos<>=,

故直线AB和CD所成角的余弦值为.

故选：A

【点睛】

(1)本题主要考查向量法求两异面直线所成的角，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找作（平移法、补形法）证（定义）指求（解三角形）,方法二：（向量法），其中是异面直线所成的角，分别是直线的方向向量.

8．B

【分析】

由已知可得，，从而可判断PA与底面ABCD的关系

【详解】

解：因为，所以；

因为，所以，

又，

所以平面ABCD．

故选：B．

【点睛】

此题考查线面的位置关系，利用了空间向量进行了求解，属于基础题.

9．A

【分析】

根据直线的方向向量共线即可判定的位置关系.

【详解】

解：因为，所以.又直线不重合，所以平行.

故选：.

【点睛】

本题考查线线平行判定，属于基础题.

10．A

【分析】

通过计算可得知，也为平面的一个法向量，由此可得出平面与平面的位置关系.

【详解】

，，

，，，所以，也为平面的一个法向量，

又平面与平面不重合，所以平面与平面平行，

故选：A.

【点睛】

本题考查利用法向量判断平面与平面的位置关系，考查计算能力，属于基础题.

11．D

【分析】

根据线面角的正弦值的计算公式，判断出正确选项.

【详解】

由于直线与平面的夹角为，

其中，

所以，

所以.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查线面角的正弦值的向量求法，属于基础题.

12．B

【分析】

利用两个向量的数量积是否为0，判断两个平面的位置关系即可．

【详解】

解：平面的法向量，平面的法向量，

因为，

所以两个平面垂直．

故选：．

【点睛】

本题考查平面与平面的位置关系的应用，考查计算能力．

13．

【分析】

由题设，求面ABC的一个法向量，则其单位法向量是.

【详解】

由题设，，

若是面ABC的一个法向量，则，

令，则，故面ABC的一个单位法向量是.

故答案为：

14．垂直

【分析】

由于，可知两个平面的法向量垂直，所以可得两个平面也垂直

【详解】

因为，

所以 ，

所以，

因为平面与向量垂直，平面与向量垂直，

所以

故答案为：垂直

15．直线在平面上或直线与平面平行

【分析】

由，可得，即可判断直线与平面的位置关系.

【详解】

由，所以.

又向量为平面的一个法向量.

所以直线在平面上或直线与平面平行.

故答案为：直线在平面上或直线与平面平行.

【点睛】

本题考查了法向量的应用、数量积运算性质、空间线面位置关系，考查了推理能力，属于基础题.

16．

【分析】

根据已知条件求出平面的法向量，再利用向量的夹角公式直接求解即可.

【详解】

依题意，，，

设平面的一个法向量为，则，则可取，又，设直线和平面所成的角为，则，∴，

故答案为：.