2020-2021学年北师版广东省广州市番禺区九年级数学上学期期末考试试卷

2020-2021学年广东省广州市番禺区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下列方程中，没有实数根的是（　　）

A．x2﹣2x＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2﹣2x+3＝0

2．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论不正确的是（　　）

A．BC＝2DE B．△ADE∽△ABC 

C． D．S△ABC＝4S△ADE

3．抛物线y＝x2﹣2x+2与y轴的交点坐标为（　　）

A．（0，2） B．（1，1） C．（2，0） D．（0，﹣2）

4．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

5．一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（　　）

A．至少有1个球是黑球 B．至少有1个球是白球 

C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球

6．如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为（　　）

A．2 B．4 C． D．2

7．一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两实数根为x1，x2，则x1+x2的值为（　　）

A． B．﹣2 C．2 D．6

8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝22°，则∠B的大小是（　　）

A．63° B．67° C．68° D．77°

9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：

①4ac＜b2；②a+c＞b；③2a+b＞0．

其中正确的有（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

10．如图，已知弦AB与弦CD交于点P，且P为AB的中点，延长AC、DB交于点E，若AC＝2，BD＝3，则CE+BE＝（　　）

A．9 B．3+4 C．10 D．6

二、填空题（共6题，每题3分，共18分）

11．一元二次方程x2﹣25＝0的解为　   　．

12．点P（3，﹣5）关于原点对称的点的坐标为　   　．

13．把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是　   　．

14．如图，圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高AO为　   　．

15．如果关于x的方程x2﹣2x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是　   　．

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC＝4，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是　   　．

三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．已知x1＝﹣1是方程x2+mx﹣5＝0的一个根，求m的值及方程的另一根x2．

18．配方法解方程：3x2﹣4＝6x．

19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．

（1）求证：△BDE∽△CAD．

（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．

20．如图，已知△ABC和点O．

（1）把△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，在网格中画出△A1B1C1；

（2）用直尺和圆规作△ABC的边AB，AC的垂直平分线，并标出两条垂直平分线的交点P（要求保留作图痕迹，不写作法）；指出点P是△ABC的内心，外心，还是重心？

21．如图是2个可以随机转动的转盘，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（指针落在两个扇形的交线上时，视为指向右边的扇形）．

（1）用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；

（2）求两个数字的积为奇数的概率．

22．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3．

（1）在坐标系中作出函数图象，并求其图象的顶点坐标和图象与x轴的交点坐标；

（2）自变量x在什么范围内，y随x的增大而减小？

23．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．

（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若BE＝2，DE＝2BE，求的值．

24．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段OA上有一动点P（不与O、A重合），过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，交抛物线于点M．

（1）求直线AB的解析式；

（2）点N为线段AB下方抛物线上一动点，点D是线段AB上一动点；

①若四边形CMND是平行四边形，证明：点M、N横坐标之和为定值；

②在点P、N、D运动过程中，平行四边形CMND的周长是否存在最大值？若存在，求出此时点D的坐标，若不存在，说明理由．

25．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D．

（1）求AD的长；

（2）试探究CA、CB、CD之间的等量关系，并证明你的结论；

（3）连接OD，P为半圆ADB上任意一点，过P点作PE⊥OD于点E，设△OPE的内心为M，当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．

2020-2021学年广东省广州市番禺区九年级（上）期末数学试卷答案

一．选择题

1-5：DCAAA      6-10:DBBBC

二．填空题（共6小题）

11．x1＝5，x2＝﹣5

12．（﹣3，5）

13．

14．4

15．k＜1

16．6

三．解答题

17．【解答】解：由题意得：（﹣1）2+（﹣1）×m﹣5＝0，

解得m＝﹣4；

当m＝﹣4时，方程为x2﹣4x﹣5＝0

解得：x1＝﹣1，x2＝5

所以方程的另一根x2＝5．

18．【解答】解：方程整理得：x2﹣2x＝，

配方得：x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，

开方得：x﹣1＝±，

解得：x1＝1+，x2＝1﹣．

19．【解答】解：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，

∴AD⊥BC，∠B＝∠C，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝∠ADC，

∴△BDE∽△CAD．

（2）∵AB＝AC，BD＝CD，

∴AD⊥BC，

在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，

∵•AD•BD＝•AB•DE，

∴DE＝．

20．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；

（2）如图所示；

点P是△ABC的外心．

21．【解答】解：（1）画树状图得：

则共有12种等可能的结果；

（2）共有12种等可能的结果，其中两个数字的积为奇数有4种情况，

∴两个数字的积为奇数的概率是：＝．

22．【解答】解：（1）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4可知：顶点坐标为（1，4），

令y＝0，则0＝﹣x2+2x+3，解得x1＝﹣1，x2＝3，

∴与x轴的交点的坐标为（﹣1，0），（3，0）．

列表：

描点、连线：

（2）由（1）中的函数图象知，当x＞1时，y随x的增大而减小．

23．【解答】解：（1）CD与⊙O相切．

理由如下：

连接OC，如图，

在△COD和△COB中，

，

∴△COD≌△COB（SSS），

∴∠CDO＝∠CBO＝90°，

∴OD⊥CD，

∴CD为⊙O的切线；

（2）∵BE＝2，

∴DE＝2BE＝4，

∵∠OBE＝∠ABC＝90°，

∴BE2+OB2＝OE2，

∴22+OB2＝（4﹣OB）2，

∴OB＝，

∵∠OEB＝∠CED，∠OBE＝∠CDE，

∴△EOB∽△ECD，

∴OB：CD＝EB：ED，即：CD＝2：4，

∴CD＝3，

∴CB＝3，

在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝3，

∴AC＝＝3，

∴＝＝．

24．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴点A（4，0），点B（0，﹣3），

设直线AB的解析式为：y＝kx+b，

∴，

∴，

∴直线AB的解析式为：y＝x﹣3；

（2）①如图，过点 D作DF⊥PM于F，

∵四边形CMND是平行四边形，

∴CM∥DN，CD∥MN，

设MN解析式为y＝x﹣3﹣n，

联立方程组得：，

∴0＝x2﹣3x+n，

∴xM+xN＝﹣＝4；

②设点P（m，0），则点C（m，m﹣3），点M（m，m2﹣m﹣3），

∴AP＝4﹣m，MC＝（m﹣3）﹣（m2﹣m﹣3）＝﹣m2+3m，

∵xM+xN＝4，

∴点N的横坐标为4﹣m，

∴DF＝4﹣2m，

∵点A（4，0），点B（0，﹣3），

∴OA＝4，OB＝3，

∴AB＝＝＝5，

∵PC∥OB，

∴∠DCF＝∠OBA，

∵cos∠DCF＝cos∠OBA＝＝，

∴DC＝（4﹣2m）＝5﹣，

∵平行四边形CMND的周长＝2×（CM+CD）＝2×（﹣m2+3m+5﹣）＝﹣m2+m+10＝﹣（m﹣）2+，

∴当m＝时，平行四边形CMND的周长有最小值，

∴点C（，﹣），

则D（，﹣）；

当M，N位置对调，C，D位置对调，也满足题意，

此时：点D（，﹣），C（，﹣）；

综上所述：点D（，﹣）或（，﹣）．

25．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

∵∠ACB的平分线交⊙O于D，

∴∠ACD＝∠BCD＝45°，

∴＝，

∴AD＝BD，

∴AD2+BD2＝AB2，

∴AD＝BD＝AB＝×10＝5；

（2）CA+CB＝CD．

证明如下：延长CA到F，使AF＝CB，连接DF，

∵∠CBD+∠CAD＝180°，∠FAD+∠CAD＝180°，

∴∠CBD＝∠FAD，

在△ADF和△BDC中，

，

∴△ADF≌△BDC（SAS），

∴CD＝FD，∠CDB＝∠FDA，

∴∠CDF＝∠ADB＝90°，△CDF为等腰直角三角形，

∴CA+CB＝CF＝CD．

（3）连接OM，PM，

∵PE⊥OD，

∴∠PEO＝90°，

∵点M为△OPE的内心，

∴∠OMP＝135°，

在△OMD和△OMP中，

，

∴△OMD≌△OMP（SAS），

∴∠OMD＝∠OMP＝135°，

∴点M在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（分OD左右两种情况）：

设弧OMD所在圆的圆心为O'，

∵∠OMD＝135°，

∴∠OO'D＝90°，

∴O'O＝OD＝，

∴的长为＝π，

∴点M的路径长为π．