2020-2021学年北师版广东省深圳市南山区九年级数学上学期期末考试试卷

2020-2021学年广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上）．

1. 如图，这是由5个大小相同的整体搭成的几何体，该几何体的左视图是  （      ）

A.  B.  C.  D.

2. 下列判断不正确的是（　　）

A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 对角线垂直的四边形是菱形

C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线垂直的平行四边形是菱形

3. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和3个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是，则估计盒子中红球的个数大约是　　

A. 20个 B. 16个 C. 15个 D. 12个

4. 一元二次方程的根的情况是　　

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根

C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

5. △ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′位似比是1∶2，已知△ABC的面积是10，则△A′B′C′的面积是（　　）

A. 10 B. 20 C. 40 D. 80

6. 关于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（　　）

A 函数图象分别位于第二、四象限

B. 函数图象关于原点成中心对称

C. 函数图象经过点（﹣6，﹣2）

D. 当x＜0时，y随x的增大而增大

7. 如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（　　）

A  B.  C.  D.

8. 如图，已知点A是反比例函数的图像上一点，AB∥x轴交另一个反比例函数的图像于点B，C为x轴上一点，若S△ABC=2，则k的值为（    ）

A. 4 B. 2 C. 3 D. 1

9. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（　　）

A  B.  C.  D.

10. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF＝2AF；②AD＝CD；③DF＝DC；④△AEF∽△CAB；⑤S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（　　）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分．把答案填在答题卡上）．

11. 已知，且，则的值为__________．

12. 张明同学想利用树影测量校园内的树高，他在某一时刻测得小树高为1.5m时，其影长为1.2m，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上．经测量，地面部分影长为6.4m，墙上影长为1.4m，那么这棵大树高约________m

13. 设m、n是方程x2+x－1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为____．

14. 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为_____．

15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BDx轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0）、D（0，4），则反比例函数的解析式为_____．

三、解答题：（16题6分，17题6分，18题7分，19题8分，20题9分，21题9分，22题10分，共计55分）

16. 解下列方程：

（1）2（x﹣2）2＝x2﹣4．

（2）2x2﹣4x﹣1＝0．

17. 甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，因为丁的速度最快，所以由他负责跑最后一棒，其他三位同学的跑步顺序随机安排．

（1）请用画树状图或列表的方法表示甲、乙、丙三位同学所有的跑步顺序；

（2）请求出正好由丙将接力棒交给丁的概率．

18. 如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．

（1）求证：CE＝DE．

（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．

19. 某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．

（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？

（2）在（1）条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？

（3）这种书包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．

20. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．

（1）求b、k的值；

（2）求△ABD的面积；

（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值．

21. 问题背景

如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAFα，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．

（1）特殊情景

在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为______．

（2）类比猜想

类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．

（3）解决问题

如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD，请直接写出DE长．

22. （1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E、Q分别在边BC、AB上，DQ⊥AE于点O，点G、F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．

①填空：DQ　   　AE（填“＞”“＜”或“＝”）；

②推断的值为　   　；

（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若＝，GF＝2，求CP的长．

2020-2021学年广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题

1. A     2. B    3. D    4. A     5. C    6. C     7. D     8. B     9. C    10. D

二、填空题

11. 12

12. 9.4m

13.1000

14.

15.

三、解答题：

16. 解：（1）原式移项得：2（x﹣2）2﹣（x﹣2）（x+2）＝0，

因式分解得：（x﹣2）（2x﹣4﹣x﹣2）＝0，

所以x﹣2＝0或2x﹣4﹣x﹣2＝0；

所以x1＝2，x2＝6；

（2）x2﹣2x＝ ，

x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，

∴x﹣1＝±，

所以x1＝1+，x2＝1﹣．

17.解：（1）画树状图如图：

（2）由（1）得：共有6个等可能的结果，正好由丙将接力棒交给丁的结果有2个，

∴正好由丙将接力棒交给丁的概率为 ．

18. （1）∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，

在△ABE和△CBE中，

，

∴△ABE≌△CBE，

∴AE＝CE，

∵AE＝DE，

∴CE＝DE；

（2）如图，连接AC交BD于H，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，

∵CE＝DE＝AE＝1，

∴BD＝BE+DE＝2+1＝3，

∴BH＝BD＝，EH＝BE﹣BH＝2﹣＝，

在Rt△AHE中，由勾股定理得：AH＝＝＝，

在Rt△AHB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，

∴菱形的边长为．

19.【详解】（1）设每个背包的售价为x元，则月均销量为（280﹣×20）个，

依题意，得：280﹣×20≥130，

解得：x≤55．

答：每个背包售价应不高于55元．

（2）∵销售利润是3120元

∴（x﹣30）（280﹣×20）＝3120，

整理，得：x2﹣98x+2352＝0，

解得：x1＝42，x2＝56（不合题意，舍去）．

答：当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元．

（3）∵销售利润是3700元，

∴（x﹣30）（280﹣×20）＝3700，

整理，得：x2﹣98x+2410＝0．

∵△＝（﹣98）2﹣4×1×2410＝﹣36＜0，

∴该方程无解，

∴这种书包的销售利润不能达到3700元．

20. 解：（1）作CH⊥y轴于点H，

∵直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），

∴﹣1×3+b＝0，

解得，b＝3，

对于直线y＝3x+3，当x＝0时，x＝3，

∴点B的坐标为（0，3），即OB＝3，

∵CH∥OA，

∴△AOB∽△CHB，

∴，即，

解得，CH＝2，BH＝6，

∴OH＝OB+BH＝9，

∴点C的坐标为（2，9），

∴k＝2×9＝18；

（2）∵BD∥x轴，

∴点D的纵坐标为3，

∴点D的横坐标为＝6，即BD＝6，

∴△ABD的面积＝×6×3＝9；

（3）EF＝BD＝×6＝2，

设E（m，3m+3），

当0＜m＜2时，点F的坐标为（m+2，3m+3），

∵点F在反比例函数y＝上，

∴（m+2）（3m+3）＝18，

解得，m1＝﹣4（舍去），m2＝1，

当m＞2时，点F的坐标为（m﹣2，3m+3），

∵点F在反比例函数y＝上，

∴（m﹣2）（3m+3）＝18，

解得，m3＝（舍去），m4＝，

综上所述，m的值为1或．

21. （1）BE+DF＝EF，

如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，

∵∠ADC＝∠B＝∠ADG＝90°，

∴∠FDG＝180°，即点F，D，G共线．

由旋转可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．

∵∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣∠BAD=90°-45°＝45°，

∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠FAG=45°，

∴∠EAF＝∠FAG，

∴△AFE≌△AFG（SAS），

∴EF＝FG．

又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴BE+DF＝EF，

故答案为BE+DF＝EF．

（2）成立．

如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，

可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH．

∵∠B+∠ADC＝180°，

∴∠ADH+∠ADC＝180°，

∴点C，D，H在同一直线上．

∵∠BAD＝α，∠EAFα，

∴∠BAE+∠FADα，

∴∠DAH+∠FADα，

∴∠FAH＝∠EAF，

又∵AF＝AF，

∴△AEF≌△AHF（SAS），

∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；

（3）DE，

如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′．

可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，

在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝4，∠BAC=90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝4，

∴CD=BC=BD=3，

∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，

∴E′B2+BD2＝E′D2．

易证△AE′D≌△AED，

∴DE＝DE′，

∴DE2＝BD2+EC2，即DE2，

解得．

22.【详解】（1）①解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．

∴∠QAO+∠OAD＝90°．

∵AE⊥DQ，

∴∠ADO+∠OAD＝90°．

∴∠QAO＝∠ADO．

∴△ABE≌△DAQ（ASA），

∴AE＝DQ．

故答案是：＝；

②解：∵DQ⊥AE，FG⊥AE，

∴DQ∥FG，

∵FQ∥DG，

∴四边形DQFG是平行四边形，

∴FG＝DQ，

∵AE＝DQ，

∴FG＝AE，

∴＝1．

故答案为：1．

（2）解：结论：＝k．

理由：如图2中，作GM⊥AB于M．

∵AE⊥GF，

∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，

∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，

∴∠BAE＝∠FGM，

∴△ABE∽△GMF，

∴＝，

∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，

∴四边形AMGD是矩形，

∴GM＝AD，

∴＝＝＝k．

（3）解：如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．

由＝ ，可以假设BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，

∵＝ ，FG＝2，

∴AE＝3，

∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，

∴k＝1或﹣1（舍弃），

∴BE＝3，AB＝9，

∵BC：AB＝2：3，

∴BC＝6，

∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，

∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，

∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，

∴∠FEB＝∠EPM，

∴△FBE∽△EMP，

∴＝＝，

∴ ＝＝，

∴EM＝ ，PM＝ ，

∴CM＝EM﹣EC＝﹣3＝，

∴PC＝＝．