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物理必修 第二册5 机械能守恒定律习题
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这是一份物理必修 第二册5 机械能守恒定律习题，共22页。试卷主要包含了如图所示,在高1等内容，欢迎下载使用。
第四章 机械能及其守恒定律
5 机械能守恒定律
基础过关练
题组一 机械能是否守恒的判断
1.下列人或物在运动过程中,机械能守恒的是 ( )
A.风中飘落的羽毛
B.竖直放置的真空管中下落的羽毛
C.乘电梯匀速上升的人
D.弹性蹦床上跳跃的运动员(不计空气阻力)
2.从地面竖直上抛两个质量不同的小球,设它们的初动能相同,当上升到同一高度时(不计空气阻力,选抛出点所在水平面为参考平面),则 ( )
A.所具有的重力势能相等
B.所具有的动能相等
C.所具有的机械能不等
D.所具有的机械能相等
3.(多选)两个质量不同的小铁块A和B,分别从高度相同的光滑斜面和光滑圆弧面的顶端滑向底部,如图所示。如果它们的初速度都为0,则下列说法正确的是 ( )
A.下滑过程中重力所做的功相等
B.它们到达底部时动能相等
C.它们到达底部时速率相等
D.它们在最高点时的机械能和它们到达最低点时的机械能大小各自相等
4.(2021陕西西安长安一中高二上期中)如图所示四个选项中,木块均在固定的斜面上运动,其中图A、B、C中的斜面是光滑的,图D中的斜面是粗糙的。图A、B中的F为木块所受的外力,方向如图中箭头所示,图A、B、D中的木块向下运动,图C中的木块向上运动。在这四幅图所示的运动过程中,木块机械能守恒的是 ( )
A. B.
C. D.
5.某人用平行于斜面的拉力将物体沿斜面拉下,已知拉力大小等于摩擦力大小,则下列说法正确的是 ( )
A.物体是匀速下滑的
B.合力对物体做的功等于零
C.物体的机械能减少
D.物体的机械能保持不变
6.(多选)如图所示,甲、乙两个小球质量相同,分别用细线悬挂在同一点上,悬线长分别为L甲、L乙,且L乙=2L甲,若把甲球拉至使线处于水平的位置,把乙球拉至使线与竖直方向成θ=60°角的位置,两球同时由静止释放,则它们下摆到各自的最低位置时,下列说法正确的是 ( )
A.有相同的机械能
B.有相同的动能
C.两小球各自做圆周运动经最低点时所受的向心力不同
D.悬线拉力相同
题组二 机械能守恒定律的应用
7.(2021辽宁大连普兰店第三十八中学高一下第一次考试改编)如图所示,在高1.5 m的光滑平台上有一个质量为2 kg的小球被细线拴在墙上,球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧,球与弹簧不拴接,O点为弹簧原长位置。当烧断细线时,小球被弹出,小球落地时的速度方向与水平方向成60°角,则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(g=10 m/s2) ( )
A.10 J B.15 J
C.20 J D.25 J
8.以水平地面为零势能面,小球水平抛出时重力势能等于动能的2倍,那么在小球运动过程中,当其动能和势能相等时,水平速度和竖直速度之比为 ( )
A.3∶1 B.1∶1
C.1∶2 D.2∶1
9.质量为1 kg的物体从倾角为30°、长2 m的光滑斜面顶端由静止开始下滑,若选初始位置为零势能点,那么,当它滑到斜面中点时具有的机械能和重力势能分别是(g取10 m/s2) ( )
A.0 J,-5 J B.0 J,-10 J
C.10 J,5 J D.20 J,-10 J
10.一根轻弹簧下端固定,竖立在水平面上,其正上方A位置有一只小球,小球从静止开始下落,在B位置接触弹簧的上端,在C位置小球所受弹力大小等于重力,在D位置小球速度减小到零。下列关于小球下落阶段的说法中,正确的是 ( )
A.在B位置,小球动能最大
B.从A位置到D位置,小球机械能守恒
C.从A位置到D位置,小球重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量
D.从A位置到C位置,小球重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量
11.(多选)水平光滑直轨道ab与半径为R的竖直半圆形光滑轨道bc在b点相切,一质量为m的小球以初速度v0沿直轨道ab向右运动,如图所示,小球进入半圆形轨道后刚好能通过最高点c。则 ( )
A.R越大,v0越大
B.R越大,小球经过b点时对轨道的压力越大
C.m越大,v0越大
D.m与R同时增大,初动能Ek0增大
12.(多选)一物体从光滑斜面AB底端的A点以初速度v0上滑,沿斜面上升的最大高度为h。下列说法正确的是(设下列情境中物体从A点上滑的初速度仍为v0) ( )
A.若把斜面CB部分截去,物体冲过C点后上升的最大高度仍为h
B.若把斜面AB变成曲面AEB,物体沿此曲面上升仍能到达B点
C.若把斜面变成圆弧形D,物体仍沿圆弧升高h
D.若把斜面从C点以上部分弯成与C点相切的圆弧状,物体上升的最大高度有可能仍为h
题组三 连接体机械能守恒问题
13.如图所示,mA=2mB,不计摩擦力,A物体自H高处由静止开始下落,且B物体始终在水平台面上。若以地面为参考平面,当物体A的动能与其势能相等时,物体A距地面的高度是 ( )
A.H5 B.2H5 C.4H5 D.H3
14.如图所示,A的质量为M,B和C的质量都是m,且2m>M>m,用劲度系数为k的轻弹簧连接A与地面,A与B、B与C用不可伸长的细绳通过光滑定滑轮相连,C距离地面足够高,A、B物块距定滑轮足够远,不计一切阻力,下列说法正确的是 ( )
A.若剪断B与C之间的细绳,B的机械能先减少后增加
B.若剪断B与C之间的细绳,A的动能不断增加
C.若剪断轻弹簧,B与C的机械能减少量等于A的动能增加量
D.若剪断轻弹簧,A、B、C系统的重力势能减少量等于系统动能增加量
15.(2020湖北武汉新洲一中阳逻校区高一下检测)(多选)如图所示,长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架,在A处固定质量为2m的小球,B处固定质量为m的小球,支架悬挂在O点,可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动,开始时OB与地面相垂直。放手后开始运动,在不计任何阻力的情况下,下列说法正确的是 ( )
A.A处小球到达最低点时速度为0
B.A处小球机械能的减少量等于B处小球机械能的增加量
C.B处小球向左摆动所能达到的最高位置应高于A处小球开始运动时的高度
D.当支架从左向右回摆时,A处小球能回到起始高度
能力提升练
题组一 机械能守恒定律的理解与应用
1.(2021重庆一中高一期中,)如图所示,高h的光滑水平桌面上有质量分别为3m和m的小球A和B,系在长为L(h
A.gh2 B.3gh2
C.2gh D.6gL
2.(2021山东齐河第一中学高一期中,)(多选)两根不可伸长的细轻绳,一端分别与两个质量相同的小球A、B连接,另一端悬挂在等高的悬点O1、O2上,球A的悬线比球B的长。如图所示,把两球均拉到与悬点等高、悬线水平且伸直后,由静止释放,以悬点所在水平面为参考平面,当两球经最低点时 ( )
A.A球的速度大于B球的速度
B.A球的向心加速度小于B球的向心加速度
C.A球的机械能等于B球的机械能
D.A球对绳的拉力大于B球对绳的拉力
3.(2021福建漳州一中高一期中,)(多选)如图甲所示,质量不计的弹簧竖直固定在水平地面上,t=0时刻,将一金属小球从弹簧正上方高度为h的位置由静止释放,小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点,然后又被弹簧弹起离开弹簧,上升到一定高度后再下落,如此反复。通过安装在弹簧下端的压力传感器,测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图像如图乙所示,不计空气阻力,重力加速度为g,则 ( )
A.t2时刻弹簧的弹性势能最大,重力势能最小
B.h=12g(t4-t3)2
C.t1～t3这段时间内,弹簧的弹性势能先增大后减小
D.t1～t3这段时间内,小球速度大小先减小后增大
4.(2021广东汕头澄海中学高一期中,)如图所示,在竖直平面内有一半径为2 m的14圆弧形光滑导轨AB,A点与其最低点C的高度差为1 m,今由A点沿导轨无初速度释放一个小球,若g取10 m/s2,则 ( )
A.小球过B点的速度vB=25 m/s
B.小球过B点的速度vB=25(3-1) m/s
C.小球离开B点后做平抛运动
D.小球离开B点后将继续运动到与A、D等高的位置
5.(2021湖北宜昌一中高一月考,)质量为50 kg的男孩在距离河面40 m高的桥上做“蹦极跳”,未拉伸前,长度为15 m的弹性绳AB一端缚着他的双脚,另一端则固定在桥上的A点,如图甲所示,男孩从桥面下坠,达到的最低点为水面上的一点D,假定绳在拉伸状态遵循胡克定律。不计空气阻力、男孩的身高和绳的重力,g取10 m/s2。男孩的速率v跟下坠的距离x的变化关系如图乙所示,男孩在C点时的速度最大。
试探究如下几个问题:
(1)当男孩在D点时,求绳所储存的弹性势能;
(2)弹性绳的劲度系数是多少?
(3)就男孩在AB、BC、CD期间的运动,试讨论作用于男孩的力。
6.(2021河北大名第一中学高一月考,)如图所示,在某竖直平面内,光滑曲面AB与水平面BC平滑连接于B点,BC右端连接内壁光滑,半径r=0.2 m的四分之一细圆管CD,管口D端正下方直立一根轻弹簧,弹簧一端固定,另一端恰好与管口D端平齐。一个质量为1 kg的小球放在曲面AB上,现从距BC的高度为h=0.6 m处静止释放小球,它与BC间的动摩擦因数μ=0.5,小球进入管口C端时,它对上管壁有FN=2.5mg的相互作用力,通过CD后,在压缩弹簧过程中,小球下滑x0=0.1 m时速度最大,此时弹簧的弹性势能为Ep=0.5 J,取重力加速度g=10 m/s2,求:
(1)小球到达C点时的速度大小;
(2)B、C间距离s;
(3)在压缩弹簧过程中小球的最大动能Ekm。
7.(2021湖北麻城第一中学高一期末,)如图所示,ABC和ABD为两个光滑固定轨道,A、B、E在同一水平面上,C、D、E在同一竖直线上,D点和C点距水平面的高度分别为h、2h,滑块从A点以初速度v0分别沿两轨道滑行到C点和D点后水平抛出。
(1)求滑块落到水平面时,落地点与E点间的距离sC和sD;
(2)为实现sC
题组二 机械能守恒定律在连接体问题中的应用
8.(2021江西师大附中高一月考,)(多选)如图所示,固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的小球,小球与一轻质弹簧一端相连,弹簧的另一端固定在地面上的A点。已知杆与水平面之间的夹角θ<45°,当小球位于B点时,弹簧与杆垂直,此时弹簧处于原长。现让小球自C点由静止释放,在小球滑到杆底端的整个过程中,关于小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能,下列说法正确的是 ( )
A.小球的动能与重力势能之和保持不变
B.小球的动能与重力势能之和先增大后减小
C.小球的动能与弹簧的弹性势能之和增大
D.小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和保持不变
9.(2021湖北荆州高一期末检测,)(多选)如图,滑块a、b的质量均为m,a套在固定竖直杆上,与光滑水平地面相距h,b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接,由静止开始运动。不计摩擦,a、b可视为质点,重力加速度大小为g。则 ( )
A.a落地前,a、b整体机械能守恒
B.因为a的机械能守恒,所以a落地时速度大小为2gh
C.a下落过程中,竖直杆对a的作用力先减小后增大
D.a落地前,当b对地面的压力大小为mg时,b的机械能最大
10.(2021广西柳州铁一中高一期末,)如图所示,可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接,轻线跨过固定在地面上、横截面半径为R的光滑圆柱,A的质量为B的两倍。当B位于地面上时,A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放,B上升的最大高度是 ( )
A.2R B.5R3 C.4R3 D.2R3
11.(2021河北邢台高一期末,)如图,质量均为m的物体A和物体B通过一劲度系数为k的轻质弹簧相连,A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮,一端连物体A,另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态,A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂物体C并从静止状态释放,它恰好能使B离开地面但不继续上升。已知重力加速度为g。
(1)求物体C的质量;
(2)当B刚要离开地面时,A、C间的轻绳的拉力多大?
(3)若将C换成质量为7m的物体D,仍从前述初始位置由静止状态释放,则这次B刚离地时D的速度的大小是多少?
12.(2021重庆巴蜀中学高一期中,)在竖直面内将一半圆形光滑导轨固定在A、B两点,导轨直径AB=2R,AB与竖直方向间的夹角为60°,在导轨上套一质量为m的光滑小圆环,一根光滑弹性轻质细绳穿过小圆环,其两端系于A、B两点,当小圆环位于A点正下方C点时,弹性细绳刚好为原长。现将小圆环从C点无初速度释放,小圆环沿轨道向下运动,记某时刻小圆环所在位置和圆心O的连线与OB的夹角为θ,重力加速度为g。
图1 图2
(1)如图1所示,当θ=60°时,求小圆环的速度v1的大小和此时导轨对小圆环的作用力;
(2)如图2所示,若当θ=90°时小圆环的速度大小为v2,求此时弹性轻绳的弹性势能;
答案全解全析
基础过关练
1.B 风中飘落的羽毛受到空气阻力,而空气阻力做负功,机械能减少,故A错误;竖直放置的真空管中下落的羽毛,只受重力,所以机械能守恒,故B正确;乘电梯匀速上升的人,动能不变,势能增加,所以机械能增大,故C错误;弹性蹦床上跳跃的运动员,弹力要对其做功,所以机械能不守恒,故D错误。
2.D 因两小球质量不等,由重力势能表达式Ep=mgh可知,上升到同一高度时,所具有的重力势能不相等,A错误;上升过程中只有重力做功,故小球机械能守恒,因初始动能相同,机械能相等,上升到同一高度时机械能相等,而重力势能不相等,所以动能不相等,B、C错误,D正确。
3.CD 小铁块A和B在下滑过程中,只有重力做功,机械能守恒,从顶端到底部,由mgH=12mv2得v=2gH,所以A和B到达底部的速率相等,故C、D正确;由于A和B的质量不同,所以下滑过程中重力所做的功不相等,到达底部时的动能也不相等,故A、B错误。
4.C 在A、B两图中,木块受三个力作用,即重力、支持力和推力,因有外力F做功,故木块机械能不守恒;在D图中,因有摩擦力对木块做功,机械能也不守恒,在C图中只有重力对木块做功,机械能守恒。
5.D 对物体进行受力分析可知,物体所受合力等于物体的重力沿斜面向下的分力,则物体一定加速下滑,故A、B错误;拉力和摩擦力大小相等,它们所做的总功为零,支持力不做功,相当于在下滑过程中只有重力做功,物体机械能保持不变,故C错误,D正确。
6.BC 选择悬点所在的水平面为零势能面,则开始时E甲=0,E乙<0,甲、乙两球都只有重力做功,故机械能守恒,故A错误;从开始到最低点两球重力势能的减少量都等于mgL甲,则动能的增加量都等于mgL甲,故B正确;由F向=mv2r知,F向甲=2F向乙,故C正确;在最低点时,对球受力分析知,悬线拉力FT=mg+F向,则FT不同,故D错误。
7.A 小球做平抛运动过程,由h=12gt2和vy=gt得vy=30 m/s;落地时,tan 60°=vyv0,可得v0=vytan60°=10 m/s;由弹簧与小球组成的系统机械能守恒得Ep=mv022,可求得Ep=10 J,故A正确。
8.D 开始抛出时:mgh=2×12mv02,当动能和势能相等时:mgh1=12mv2,小球的竖直速度vy=2g(h-h1),联立可得vy=2v02-v2=2v02-(v02+vy2),解得v0vy=21,D正确。
9.A 物体下滑过程机械能守恒,故它下滑到斜面中点时的机械能等于在初始位置的机械能,初始时机械能为0。下滑到斜面中点时的重力势能Ep=-mgL2sin 30°=-1×10×22×sin 30° J=-5 J。故A正确。
10.D 小球从B位置到C位置,重力大于弹簧的弹力,合力向下,小球加速运动;从C位置到D位置,重力小于弹簧的弹力,合力向上,小球减速运动,故在C位置小球的动能最大,A错误。整个下落过程中,小球受到的弹簧弹力做功,所以小球的机械能不守恒,但小球和弹簧组成的系统机械能守恒,即小球的重力势能、动能和弹簧的弹性势能总和保持不变。从A位置到D位置,小球动能变化量为零,根据系统的机械能守恒,知小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量;从A位置到C位置,小球减少的重力势能一部分转化为动能,另一部分转化为弹簧的弹性势能,故小球重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量,D正确,B、C错误。
11.AD 小球刚好通过最高点c,此时重力提供向心力,有mg=mvc2R,得vc=gR,根据机械能守恒定律有12mv02=mg·2R+12mv02=52mgR,得v0=5gR,可知R越大,v0越大,m与R同时增大,初动能Ek0=12mv02增大,A、D正确;b点速度与a点速度相同都为v0,在b点有N-mg=mvb2R,得N=6mg,与R无关,故B错误;由于v0=5gR与m无关,C错误。
12.BD 若把斜面CB部分截去,则物体冲过C点后做斜抛运动,在最高点时速度不为零,由机械能守恒知,A错误;若把斜面AB变成曲面AEB,物体到达最高点时速度为零,B正确;若把斜面变成圆弧形D,物体要通过最高点则速度不为零,C错误;D中物体若上升到最大高度时低于圆心位置,速度为零,则上升的最大高度为h,若上升到最大高度时高于圆心位置,速度必不为零,则上升的最大高度小于h,D正确。
13.B A、B组成的系统机械能守恒,设物体A的动能与其势能相等时,物体A距地面的高度是h,A的速度为v,则有mAgh=12mAv2,可得v2=2gh,从开始到距地面的高度为h的过程中,系统减少的重力势能ΔEp=mAg(H-h)=2mBg(H-h),系统增加的动能ΔEk=12(mA+mB)v2=12(3mB)·2gh=3mBgh,由ΔEp=ΔEk得h=25H。
14.D 剪断B与C之间的细绳,开始一段时间内B上升,绳的拉力对B做正功,故B的机械能先增加,A错误;剪断B与C之间的细绳,当A、B的加速度为零时A的动能最大,再压缩弹簧,A的动能又随之减小,B错误;剪断轻弹簧,A、B、C组成的系统机械能守恒,故B与C的机械能减少量等于A的机械能增加量,系统的重力势能减少量等于系统动能增加量,C错误,D正确。
15.BCD 因A处小球质量大,位置高,所以三角支架处于不稳定状态,释放后支架就会向左摆动。摆动过程中只有小球受到的重力做功,故系统的机械能守恒,B、D正确;设支架边长是L,则A处小球运动到最低点时小球下落的高度为12L,B处小球上升的高度也是12L,但A处小球的质量比B处小球的大,故有12mgL的重力势能转化为两小球的动能,因而此时A处小球的速度不为0,A错误;当A处小球到达最低点时有向左运动的速度,还要继续向左摆,B处小球仍要继续上升,因此B处小球能达到的最高位置比A处小球的最高位置还要高,C正确。
能力提升练
1.B 当A球到达地面时,由机械能守恒定律得3mgh=12mv2+12·3mv2,解得v=3gh2,故选B。
2.AC 设小球经过最低点时的速度大小为v,轻绳长为l,小球质量为m,重力加速度为g,根据机械能守恒定律有mgl=12mv2,解得v=2gl,因为lA>lB,所以两球经最低点时A球的速度大于B球的速度,故A正确;小球经过最低点时的向心加速度大小为a=v2l=2g,所以两球经最低点时A球的向心加速度等于B球的向心加速度,故B错误;由题意可知A、B两球初始时机械能相等,且运动到最低点的过程中绳的拉力不做功,机械能守恒,所以两球经最低点时的机械能相等,故C正确;设经过最低点时绳对小球的拉力大小为F,则根据牛顿第二定律有F-mg=mv2l,解得F=3mg,根据牛顿第三定律可知小球对绳的拉力大小为F'=F=3mg,所以经过最低点时A球对绳的拉力等于B球对绳的拉力,故D错误。
3.AC 小球接触弹簧后,先向下做加速度减小的加速运动,当弹簧的弹力与重力相等时,速度最大,然后做加速度逐渐增大的减速运动,到达最低点时,弹力最大,弹性势能最大,可知t2时刻小球到达最低点,弹力最大,弹性势能最大,重力势能最小,A正确,D错误;根据对称性可知t3时刻小球离开弹簧做竖直上抛运动,t4时刻小球落回到弹簧上,则h=12gt4-t322,B错误;t1～t3这段时间内,弹簧的弹力先增大后减小,知弹性势能先增大后减小,C正确。
4.B 由于 cos ∠AOE=OER=12,故∠AOE=60°,∠BOC=90°-60°=30°,hBC=R-R cos 30°=(2-3) m,hAB=hAC-hBC=(3-1) m,根据机械能守恒定律得mghAB=12mvB2,所以vB=2ghAB=25(3-1) m/s,A错,B对;小球离开B点后做斜上抛运动,C错;到达最高点时,小球具有水平方向的速度,由机械能守恒定律知,小球离开B点后到达最高点时的高度低于A、D点的高度,D错。
5.答案 (1)2×104 J (2)62.5 N/m (3)见解析
解析 (1)男孩从A到D的过程,由机械能守恒得
ΔEk=mghAD-Ep=0,所以Ep=mghAD=2×104 J。
(2)当v=vm=20 m/s时,有mg=kx=k(23 m-15 m),
所以k=5008 N/m=62.5 N/m。
(3)男孩在A、B间仅受重力作用;在B、C间受重力和弹性绳弹力作用,且重力大于弹力;在C、D间受重力和弹力作用,且弹力大于重力。
6.答案 (1)7 m/s (2)0.5 m (3)6 J
解析 (1)小球进入管口C端时,它与圆管上管壁有大小为FN=2.5mg的相互作用力,故小球的向心力为F向=2.5mg+mg=3.5mg=3.5×1×10 N=35 N
在C点,由牛顿第二定律得F向=mvC2r
代入数据得vC=7 m/s。
(2)小球从A点运动到C点过程,由动能定理得mgh-μmgs=12mvC2
解得B、C间距离s=0.5 m。
(3)由机械能守恒定律有mg(r+x0)+12mvC2=Ekm+Ep
得Ekm=mg(r+x0)+12mvC2-Ep=(3+3.5-0.5) J=6 J。
7.答案 (1)2v02-4gh·hg v02-2gh·2hg (2)2gh
12mv02=12mv2+mgy
所以滑块做平抛运动的初速度v=v02-2gy
滑块做平抛运动的时间t满足y=12gt2,即t=2yg
所以滑块落点与E点间的距离为s=vt=v02-2gy·2yg
分别将y=2h、y=h代入得
sC=2v02-4gh·hg,sD=v02-2gh·2hg。
(2)为实现sC
因为滑块到达C点后必须能够水平抛出,即
vC=v02-4gh>0,所以v0>2gh,
故为实现sC
9.ACD a下落通过杆推动b运动,对a、b组成的系统,杆对a、b的一对内力做功总和为零,系统机械能不损失,a、b整体机械能守恒,故A正确;a运动到最低点时,b的速度为零,根据系统机械能守恒得mgh=12mva2,解得va=2gh,故B错误;在整个过程中,b的速度先增大后减小,所以杆对b的作用力先是动力后是阻力,杆对a的作用力先是阻力后是动力,力的大小先减小后增大,故C正确;a、b整体的机械能守恒,当a的机械能最小时,b的速度最大,此时b受到杆的推力为零,b只受到重力的作用,所以b对地面的压力大小为mg,故D正确。
10.C 设B球质量为m,A球刚落地时,两球速度大小都为v,根据机械能守恒定律,有2mgR-mgR=12(2m+m)v2,得v2=23gR,则B球继续上升的高度h=v22g=R3,B球上升的最大高度为h+R=43R,C正确。
11.答案 (1)m (2)32mg (3)g3mk
解析 (1)开始时,A、B静止,设弹簧压缩量为x1,有
kx1=mg ①
挂C并释放后,C向下运动,A向上运动,设B刚要离地时弹簧伸长量为x2,有
kx2=mg ②
由①②式可知,x1=x2=mgk ③
B不再上升表示此时A和C的速度为零,C已降到其最低点。
设C的质量为mC,与初始状态相比,C下降x1+x2,A上升x1+x2,弹簧弹性势能不变。由机械能守恒定律可知
ΔEk=mCg(x1+x2)-mg(x1+x2)=0 ④
由④式得mC=m。 ⑤
(2)B刚要离开地面时,A受力如图甲所示
kx2+mg-FT=ma ⑥
物体C受力如图乙所示
FT-mg=ma ⑦
由②⑥⑦式联立得FT=32mg。
(3)C换成D后,当B刚离地时弹簧弹性势能与初始状态相同,设此时A、D速度为v,由机械能守恒定律得
12×7mv2+12mv2=7mg(x1+x2)-mg(x1+x2) ⑧
由③和⑧式得v=g3mk。
12.答案 (1)gR 2mg (2)3-12mgR-12mv22
解析 (1)当θ=60°时,小圆环恰好运动到导轨最低点C1,由几何关系可得细绳的伸长量为Δl=0,即弹性细绳恰好恢复到原长
小圆环下落高度为H1=R-R cos 60°=12R
设此时小圆环的速度为v,由机械能守恒得mgH1=12mv12
得v1=gR
由牛顿第二定律可得FN-mg=mv12R
解得FN=2mg。
(2)当θ=90°时,小圆环运动到导轨C2点,此时弹性细绳处于伸长状态。此过程小圆环下落的高度为H2=2R sin 15°=R cos 30°-R sin 30°=3-12R
取小圆环初始释放位置为重力势能零势面,由机械能守恒得
0=12mv22+(-mgH2)+E弹
得E弹=3-12mgR-12mv22。
第四章 机械能及其守恒定律
5 机械能守恒定律
基础过关练
题组一 机械能是否守恒的判断
1.下列人或物在运动过程中,机械能守恒的是 ( )
A.风中飘落的羽毛
B.竖直放置的真空管中下落的羽毛
C.乘电梯匀速上升的人
D.弹性蹦床上跳跃的运动员(不计空气阻力)
2.从地面竖直上抛两个质量不同的小球,设它们的初动能相同,当上升到同一高度时(不计空气阻力,选抛出点所在水平面为参考平面),则 ( )
A.所具有的重力势能相等
B.所具有的动能相等
C.所具有的机械能不等
D.所具有的机械能相等
3.(多选)两个质量不同的小铁块A和B,分别从高度相同的光滑斜面和光滑圆弧面的顶端滑向底部,如图所示。如果它们的初速度都为0,则下列说法正确的是 ( )
A.下滑过程中重力所做的功相等
B.它们到达底部时动能相等
C.它们到达底部时速率相等
D.它们在最高点时的机械能和它们到达最低点时的机械能大小各自相等
4.(2021陕西西安长安一中高二上期中)如图所示四个选项中,木块均在固定的斜面上运动,其中图A、B、C中的斜面是光滑的,图D中的斜面是粗糙的。图A、B中的F为木块所受的外力,方向如图中箭头所示,图A、B、D中的木块向下运动,图C中的木块向上运动。在这四幅图所示的运动过程中,木块机械能守恒的是 ( )
A. B.
C. D.
5.某人用平行于斜面的拉力将物体沿斜面拉下,已知拉力大小等于摩擦力大小,则下列说法正确的是 ( )
A.物体是匀速下滑的
B.合力对物体做的功等于零
C.物体的机械能减少
D.物体的机械能保持不变
6.(多选)如图所示,甲、乙两个小球质量相同,分别用细线悬挂在同一点上,悬线长分别为L甲、L乙,且L乙=2L甲,若把甲球拉至使线处于水平的位置,把乙球拉至使线与竖直方向成θ=60°角的位置,两球同时由静止释放,则它们下摆到各自的最低位置时,下列说法正确的是 ( )
A.有相同的机械能
B.有相同的动能
C.两小球各自做圆周运动经最低点时所受的向心力不同
D.悬线拉力相同
题组二 机械能守恒定律的应用
7.(2021辽宁大连普兰店第三十八中学高一下第一次考试改编)如图所示,在高1.5 m的光滑平台上有一个质量为2 kg的小球被细线拴在墙上,球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧,球与弹簧不拴接,O点为弹簧原长位置。当烧断细线时,小球被弹出,小球落地时的速度方向与水平方向成60°角,则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(g=10 m/s2) ( )
A.10 J B.15 J
C.20 J D.25 J
8.以水平地面为零势能面,小球水平抛出时重力势能等于动能的2倍,那么在小球运动过程中,当其动能和势能相等时,水平速度和竖直速度之比为 ( )
A.3∶1 B.1∶1
C.1∶2 D.2∶1
9.质量为1 kg的物体从倾角为30°、长2 m的光滑斜面顶端由静止开始下滑,若选初始位置为零势能点,那么,当它滑到斜面中点时具有的机械能和重力势能分别是(g取10 m/s2) ( )
A.0 J,-5 J B.0 J,-10 J
C.10 J,5 J D.20 J,-10 J
10.一根轻弹簧下端固定,竖立在水平面上,其正上方A位置有一只小球,小球从静止开始下落,在B位置接触弹簧的上端,在C位置小球所受弹力大小等于重力,在D位置小球速度减小到零。下列关于小球下落阶段的说法中,正确的是 ( )
A.在B位置,小球动能最大
B.从A位置到D位置,小球机械能守恒
C.从A位置到D位置,小球重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量
D.从A位置到C位置,小球重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量
11.(多选)水平光滑直轨道ab与半径为R的竖直半圆形光滑轨道bc在b点相切,一质量为m的小球以初速度v0沿直轨道ab向右运动,如图所示,小球进入半圆形轨道后刚好能通过最高点c。则 ( )
A.R越大,v0越大
B.R越大,小球经过b点时对轨道的压力越大
C.m越大,v0越大
D.m与R同时增大,初动能Ek0增大
12.(多选)一物体从光滑斜面AB底端的A点以初速度v0上滑,沿斜面上升的最大高度为h。下列说法正确的是(设下列情境中物体从A点上滑的初速度仍为v0) ( )
A.若把斜面CB部分截去,物体冲过C点后上升的最大高度仍为h
B.若把斜面AB变成曲面AEB,物体沿此曲面上升仍能到达B点
C.若把斜面变成圆弧形D,物体仍沿圆弧升高h
D.若把斜面从C点以上部分弯成与C点相切的圆弧状,物体上升的最大高度有可能仍为h
题组三 连接体机械能守恒问题
13.如图所示,mA=2mB,不计摩擦力,A物体自H高处由静止开始下落,且B物体始终在水平台面上。若以地面为参考平面,当物体A的动能与其势能相等时,物体A距地面的高度是 ( )
A.H5 B.2H5 C.4H5 D.H3
14.如图所示,A的质量为M,B和C的质量都是m,且2m>M>m,用劲度系数为k的轻弹簧连接A与地面,A与B、B与C用不可伸长的细绳通过光滑定滑轮相连,C距离地面足够高,A、B物块距定滑轮足够远,不计一切阻力,下列说法正确的是 ( )
A.若剪断B与C之间的细绳,B的机械能先减少后增加
B.若剪断B与C之间的细绳,A的动能不断增加
C.若剪断轻弹簧,B与C的机械能减少量等于A的动能增加量
D.若剪断轻弹簧,A、B、C系统的重力势能减少量等于系统动能增加量
15.(2020湖北武汉新洲一中阳逻校区高一下检测)(多选)如图所示,长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架,在A处固定质量为2m的小球,B处固定质量为m的小球,支架悬挂在O点,可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动,开始时OB与地面相垂直。放手后开始运动,在不计任何阻力的情况下,下列说法正确的是 ( )
A.A处小球到达最低点时速度为0
B.A处小球机械能的减少量等于B处小球机械能的增加量
C.B处小球向左摆动所能达到的最高位置应高于A处小球开始运动时的高度
D.当支架从左向右回摆时,A处小球能回到起始高度
能力提升练
题组一 机械能守恒定律的理解与应用
1.(2021重庆一中高一期中,)如图所示,高h的光滑水平桌面上有质量分别为3m和m的小球A和B,系在长为L(h
A.gh2 B.3gh2
C.2gh D.6gL
2.(2021山东齐河第一中学高一期中,)(多选)两根不可伸长的细轻绳,一端分别与两个质量相同的小球A、B连接,另一端悬挂在等高的悬点O1、O2上,球A的悬线比球B的长。如图所示,把两球均拉到与悬点等高、悬线水平且伸直后,由静止释放,以悬点所在水平面为参考平面,当两球经最低点时 ( )
A.A球的速度大于B球的速度
B.A球的向心加速度小于B球的向心加速度
C.A球的机械能等于B球的机械能
D.A球对绳的拉力大于B球对绳的拉力
3.(2021福建漳州一中高一期中,)(多选)如图甲所示,质量不计的弹簧竖直固定在水平地面上,t=0时刻,将一金属小球从弹簧正上方高度为h的位置由静止释放,小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点,然后又被弹簧弹起离开弹簧,上升到一定高度后再下落,如此反复。通过安装在弹簧下端的压力传感器,测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图像如图乙所示,不计空气阻力,重力加速度为g,则 ( )
A.t2时刻弹簧的弹性势能最大,重力势能最小
B.h=12g(t4-t3)2
C.t1～t3这段时间内,弹簧的弹性势能先增大后减小
D.t1～t3这段时间内,小球速度大小先减小后增大
4.(2021广东汕头澄海中学高一期中,)如图所示,在竖直平面内有一半径为2 m的14圆弧形光滑导轨AB,A点与其最低点C的高度差为1 m,今由A点沿导轨无初速度释放一个小球,若g取10 m/s2,则 ( )
A.小球过B点的速度vB=25 m/s
B.小球过B点的速度vB=25(3-1) m/s
C.小球离开B点后做平抛运动
D.小球离开B点后将继续运动到与A、D等高的位置
5.(2021湖北宜昌一中高一月考,)质量为50 kg的男孩在距离河面40 m高的桥上做“蹦极跳”,未拉伸前,长度为15 m的弹性绳AB一端缚着他的双脚,另一端则固定在桥上的A点,如图甲所示,男孩从桥面下坠,达到的最低点为水面上的一点D,假定绳在拉伸状态遵循胡克定律。不计空气阻力、男孩的身高和绳的重力,g取10 m/s2。男孩的速率v跟下坠的距离x的变化关系如图乙所示,男孩在C点时的速度最大。
试探究如下几个问题:
(1)当男孩在D点时,求绳所储存的弹性势能;
(2)弹性绳的劲度系数是多少?
(3)就男孩在AB、BC、CD期间的运动,试讨论作用于男孩的力。
6.(2021河北大名第一中学高一月考,)如图所示,在某竖直平面内,光滑曲面AB与水平面BC平滑连接于B点,BC右端连接内壁光滑,半径r=0.2 m的四分之一细圆管CD,管口D端正下方直立一根轻弹簧,弹簧一端固定,另一端恰好与管口D端平齐。一个质量为1 kg的小球放在曲面AB上,现从距BC的高度为h=0.6 m处静止释放小球,它与BC间的动摩擦因数μ=0.5,小球进入管口C端时,它对上管壁有FN=2.5mg的相互作用力,通过CD后,在压缩弹簧过程中,小球下滑x0=0.1 m时速度最大,此时弹簧的弹性势能为Ep=0.5 J,取重力加速度g=10 m/s2,求:
(1)小球到达C点时的速度大小;
(2)B、C间距离s;
(3)在压缩弹簧过程中小球的最大动能Ekm。
7.(2021湖北麻城第一中学高一期末,)如图所示,ABC和ABD为两个光滑固定轨道,A、B、E在同一水平面上,C、D、E在同一竖直线上,D点和C点距水平面的高度分别为h、2h,滑块从A点以初速度v0分别沿两轨道滑行到C点和D点后水平抛出。
(1)求滑块落到水平面时,落地点与E点间的距离sC和sD;
(2)为实现sC
题组二 机械能守恒定律在连接体问题中的应用
8.(2021江西师大附中高一月考,)(多选)如图所示,固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的小球,小球与一轻质弹簧一端相连,弹簧的另一端固定在地面上的A点。已知杆与水平面之间的夹角θ<45°,当小球位于B点时,弹簧与杆垂直,此时弹簧处于原长。现让小球自C点由静止释放,在小球滑到杆底端的整个过程中,关于小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能,下列说法正确的是 ( )
A.小球的动能与重力势能之和保持不变
B.小球的动能与重力势能之和先增大后减小
C.小球的动能与弹簧的弹性势能之和增大
D.小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和保持不变
9.(2021湖北荆州高一期末检测,)(多选)如图,滑块a、b的质量均为m,a套在固定竖直杆上,与光滑水平地面相距h,b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接,由静止开始运动。不计摩擦,a、b可视为质点,重力加速度大小为g。则 ( )
A.a落地前,a、b整体机械能守恒
B.因为a的机械能守恒,所以a落地时速度大小为2gh
C.a下落过程中,竖直杆对a的作用力先减小后增大
D.a落地前,当b对地面的压力大小为mg时,b的机械能最大
10.(2021广西柳州铁一中高一期末,)如图所示,可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接,轻线跨过固定在地面上、横截面半径为R的光滑圆柱,A的质量为B的两倍。当B位于地面上时,A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放,B上升的最大高度是 ( )
A.2R B.5R3 C.4R3 D.2R3
11.(2021河北邢台高一期末,)如图,质量均为m的物体A和物体B通过一劲度系数为k的轻质弹簧相连,A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮,一端连物体A,另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态,A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂物体C并从静止状态释放,它恰好能使B离开地面但不继续上升。已知重力加速度为g。
(1)求物体C的质量;
(2)当B刚要离开地面时,A、C间的轻绳的拉力多大?
(3)若将C换成质量为7m的物体D,仍从前述初始位置由静止状态释放,则这次B刚离地时D的速度的大小是多少?
12.(2021重庆巴蜀中学高一期中,)在竖直面内将一半圆形光滑导轨固定在A、B两点,导轨直径AB=2R,AB与竖直方向间的夹角为60°,在导轨上套一质量为m的光滑小圆环,一根光滑弹性轻质细绳穿过小圆环,其两端系于A、B两点,当小圆环位于A点正下方C点时,弹性细绳刚好为原长。现将小圆环从C点无初速度释放,小圆环沿轨道向下运动,记某时刻小圆环所在位置和圆心O的连线与OB的夹角为θ,重力加速度为g。
图1 图2
(1)如图1所示,当θ=60°时,求小圆环的速度v1的大小和此时导轨对小圆环的作用力;
(2)如图2所示,若当θ=90°时小圆环的速度大小为v2,求此时弹性轻绳的弹性势能;
答案全解全析
基础过关练
1.B 风中飘落的羽毛受到空气阻力,而空气阻力做负功,机械能减少,故A错误;竖直放置的真空管中下落的羽毛,只受重力,所以机械能守恒,故B正确;乘电梯匀速上升的人,动能不变,势能增加,所以机械能增大,故C错误;弹性蹦床上跳跃的运动员,弹力要对其做功,所以机械能不守恒,故D错误。
2.D 因两小球质量不等,由重力势能表达式Ep=mgh可知,上升到同一高度时,所具有的重力势能不相等,A错误;上升过程中只有重力做功,故小球机械能守恒,因初始动能相同,机械能相等,上升到同一高度时机械能相等,而重力势能不相等,所以动能不相等,B、C错误,D正确。
3.CD 小铁块A和B在下滑过程中,只有重力做功,机械能守恒,从顶端到底部,由mgH=12mv2得v=2gH,所以A和B到达底部的速率相等,故C、D正确;由于A和B的质量不同,所以下滑过程中重力所做的功不相等,到达底部时的动能也不相等,故A、B错误。
4.C 在A、B两图中,木块受三个力作用,即重力、支持力和推力,因有外力F做功,故木块机械能不守恒;在D图中,因有摩擦力对木块做功,机械能也不守恒,在C图中只有重力对木块做功,机械能守恒。
5.D 对物体进行受力分析可知,物体所受合力等于物体的重力沿斜面向下的分力,则物体一定加速下滑,故A、B错误;拉力和摩擦力大小相等,它们所做的总功为零,支持力不做功,相当于在下滑过程中只有重力做功,物体机械能保持不变,故C错误,D正确。
6.BC 选择悬点所在的水平面为零势能面,则开始时E甲=0,E乙<0,甲、乙两球都只有重力做功,故机械能守恒,故A错误;从开始到最低点两球重力势能的减少量都等于mgL甲,则动能的增加量都等于mgL甲,故B正确;由F向=mv2r知,F向甲=2F向乙,故C正确;在最低点时,对球受力分析知,悬线拉力FT=mg+F向,则FT不同,故D错误。
7.A 小球做平抛运动过程,由h=12gt2和vy=gt得vy=30 m/s;落地时,tan 60°=vyv0,可得v0=vytan60°=10 m/s;由弹簧与小球组成的系统机械能守恒得Ep=mv022,可求得Ep=10 J,故A正确。
8.D 开始抛出时:mgh=2×12mv02,当动能和势能相等时:mgh1=12mv2,小球的竖直速度vy=2g(h-h1),联立可得vy=2v02-v2=2v02-(v02+vy2),解得v0vy=21,D正确。
9.A 物体下滑过程机械能守恒,故它下滑到斜面中点时的机械能等于在初始位置的机械能,初始时机械能为0。下滑到斜面中点时的重力势能Ep=-mgL2sin 30°=-1×10×22×sin 30° J=-5 J。故A正确。
10.D 小球从B位置到C位置,重力大于弹簧的弹力,合力向下,小球加速运动;从C位置到D位置,重力小于弹簧的弹力,合力向上,小球减速运动,故在C位置小球的动能最大,A错误。整个下落过程中,小球受到的弹簧弹力做功,所以小球的机械能不守恒,但小球和弹簧组成的系统机械能守恒,即小球的重力势能、动能和弹簧的弹性势能总和保持不变。从A位置到D位置,小球动能变化量为零,根据系统的机械能守恒,知小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量;从A位置到C位置,小球减少的重力势能一部分转化为动能,另一部分转化为弹簧的弹性势能,故小球重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量,D正确,B、C错误。
11.AD 小球刚好通过最高点c,此时重力提供向心力,有mg=mvc2R,得vc=gR,根据机械能守恒定律有12mv02=mg·2R+12mv02=52mgR,得v0=5gR,可知R越大,v0越大,m与R同时增大,初动能Ek0=12mv02增大,A、D正确;b点速度与a点速度相同都为v0,在b点有N-mg=mvb2R,得N=6mg,与R无关,故B错误;由于v0=5gR与m无关,C错误。
12.BD 若把斜面CB部分截去,则物体冲过C点后做斜抛运动,在最高点时速度不为零,由机械能守恒知,A错误;若把斜面AB变成曲面AEB,物体到达最高点时速度为零,B正确;若把斜面变成圆弧形D,物体要通过最高点则速度不为零,C错误;D中物体若上升到最大高度时低于圆心位置,速度为零,则上升的最大高度为h,若上升到最大高度时高于圆心位置,速度必不为零,则上升的最大高度小于h,D正确。
13.B A、B组成的系统机械能守恒,设物体A的动能与其势能相等时,物体A距地面的高度是h,A的速度为v,则有mAgh=12mAv2,可得v2=2gh,从开始到距地面的高度为h的过程中,系统减少的重力势能ΔEp=mAg(H-h)=2mBg(H-h),系统增加的动能ΔEk=12(mA+mB)v2=12(3mB)·2gh=3mBgh,由ΔEp=ΔEk得h=25H。
14.D 剪断B与C之间的细绳,开始一段时间内B上升,绳的拉力对B做正功,故B的机械能先增加,A错误;剪断B与C之间的细绳,当A、B的加速度为零时A的动能最大,再压缩弹簧,A的动能又随之减小,B错误;剪断轻弹簧,A、B、C组成的系统机械能守恒,故B与C的机械能减少量等于A的机械能增加量,系统的重力势能减少量等于系统动能增加量,C错误,D正确。
15.BCD 因A处小球质量大,位置高,所以三角支架处于不稳定状态,释放后支架就会向左摆动。摆动过程中只有小球受到的重力做功,故系统的机械能守恒,B、D正确;设支架边长是L,则A处小球运动到最低点时小球下落的高度为12L,B处小球上升的高度也是12L,但A处小球的质量比B处小球的大,故有12mgL的重力势能转化为两小球的动能,因而此时A处小球的速度不为0,A错误;当A处小球到达最低点时有向左运动的速度,还要继续向左摆,B处小球仍要继续上升,因此B处小球能达到的最高位置比A处小球的最高位置还要高,C正确。
能力提升练
1.B 当A球到达地面时,由机械能守恒定律得3mgh=12mv2+12·3mv2,解得v=3gh2,故选B。
2.AC 设小球经过最低点时的速度大小为v,轻绳长为l,小球质量为m,重力加速度为g,根据机械能守恒定律有mgl=12mv2,解得v=2gl,因为lA>lB,所以两球经最低点时A球的速度大于B球的速度,故A正确;小球经过最低点时的向心加速度大小为a=v2l=2g,所以两球经最低点时A球的向心加速度等于B球的向心加速度,故B错误;由题意可知A、B两球初始时机械能相等,且运动到最低点的过程中绳的拉力不做功,机械能守恒,所以两球经最低点时的机械能相等,故C正确;设经过最低点时绳对小球的拉力大小为F,则根据牛顿第二定律有F-mg=mv2l,解得F=3mg,根据牛顿第三定律可知小球对绳的拉力大小为F'=F=3mg,所以经过最低点时A球对绳的拉力等于B球对绳的拉力,故D错误。
3.AC 小球接触弹簧后,先向下做加速度减小的加速运动,当弹簧的弹力与重力相等时,速度最大,然后做加速度逐渐增大的减速运动,到达最低点时,弹力最大,弹性势能最大,可知t2时刻小球到达最低点,弹力最大,弹性势能最大,重力势能最小,A正确,D错误;根据对称性可知t3时刻小球离开弹簧做竖直上抛运动,t4时刻小球落回到弹簧上,则h=12gt4-t322,B错误;t1～t3这段时间内,弹簧的弹力先增大后减小,知弹性势能先增大后减小,C正确。
4.B 由于 cos ∠AOE=OER=12,故∠AOE=60°,∠BOC=90°-60°=30°,hBC=R-R cos 30°=(2-3) m,hAB=hAC-hBC=(3-1) m,根据机械能守恒定律得mghAB=12mvB2,所以vB=2ghAB=25(3-1) m/s,A错,B对;小球离开B点后做斜上抛运动,C错;到达最高点时,小球具有水平方向的速度,由机械能守恒定律知,小球离开B点后到达最高点时的高度低于A、D点的高度,D错。
5.答案 (1)2×104 J (2)62.5 N/m (3)见解析
解析 (1)男孩从A到D的过程,由机械能守恒得
ΔEk=mghAD-Ep=0,所以Ep=mghAD=2×104 J。
(2)当v=vm=20 m/s时,有mg=kx=k(23 m-15 m),
所以k=5008 N/m=62.5 N/m。
(3)男孩在A、B间仅受重力作用;在B、C间受重力和弹性绳弹力作用,且重力大于弹力;在C、D间受重力和弹力作用,且弹力大于重力。
6.答案 (1)7 m/s (2)0.5 m (3)6 J
解析 (1)小球进入管口C端时,它与圆管上管壁有大小为FN=2.5mg的相互作用力,故小球的向心力为F向=2.5mg+mg=3.5mg=3.5×1×10 N=35 N
在C点,由牛顿第二定律得F向=mvC2r
代入数据得vC=7 m/s。
(2)小球从A点运动到C点过程,由动能定理得mgh-μmgs=12mvC2
解得B、C间距离s=0.5 m。
(3)由机械能守恒定律有mg(r+x0)+12mvC2=Ekm+Ep
得Ekm=mg(r+x0)+12mvC2-Ep=(3+3.5-0.5) J=6 J。
7.答案 (1)2v02-4gh·hg v02-2gh·2hg (2)2gh
12mv02=12mv2+mgy
所以滑块做平抛运动的初速度v=v02-2gy
滑块做平抛运动的时间t满足y=12gt2,即t=2yg
所以滑块落点与E点间的距离为s=vt=v02-2gy·2yg
分别将y=2h、y=h代入得
sC=2v02-4gh·hg,sD=v02-2gh·2hg。
(2)为实现sC
因为滑块到达C点后必须能够水平抛出,即
vC=v02-4gh>0,所以v0>2gh,
故为实现sC
9.ACD a下落通过杆推动b运动,对a、b组成的系统,杆对a、b的一对内力做功总和为零,系统机械能不损失,a、b整体机械能守恒,故A正确;a运动到最低点时,b的速度为零,根据系统机械能守恒得mgh=12mva2,解得va=2gh,故B错误;在整个过程中,b的速度先增大后减小,所以杆对b的作用力先是动力后是阻力,杆对a的作用力先是阻力后是动力,力的大小先减小后增大,故C正确;a、b整体的机械能守恒,当a的机械能最小时,b的速度最大,此时b受到杆的推力为零,b只受到重力的作用,所以b对地面的压力大小为mg,故D正确。
10.C 设B球质量为m,A球刚落地时,两球速度大小都为v,根据机械能守恒定律,有2mgR-mgR=12(2m+m)v2,得v2=23gR,则B球继续上升的高度h=v22g=R3,B球上升的最大高度为h+R=43R,C正确。
11.答案 (1)m (2)32mg (3)g3mk
解析 (1)开始时,A、B静止,设弹簧压缩量为x1,有
kx1=mg ①
挂C并释放后,C向下运动,A向上运动,设B刚要离地时弹簧伸长量为x2,有
kx2=mg ②
由①②式可知,x1=x2=mgk ③
B不再上升表示此时A和C的速度为零,C已降到其最低点。
设C的质量为mC,与初始状态相比,C下降x1+x2,A上升x1+x2,弹簧弹性势能不变。由机械能守恒定律可知
ΔEk=mCg(x1+x2)-mg(x1+x2)=0 ④
由④式得mC=m。 ⑤
(2)B刚要离开地面时,A受力如图甲所示
kx2+mg-FT=ma ⑥
物体C受力如图乙所示
FT-mg=ma ⑦
由②⑥⑦式联立得FT=32mg。
(3)C换成D后,当B刚离地时弹簧弹性势能与初始状态相同,设此时A、D速度为v,由机械能守恒定律得
12×7mv2+12mv2=7mg(x1+x2)-mg(x1+x2) ⑧
由③和⑧式得v=g3mk。
12.答案 (1)gR 2mg (2)3-12mgR-12mv22
解析 (1)当θ=60°时,小圆环恰好运动到导轨最低点C1,由几何关系可得细绳的伸长量为Δl=0,即弹性细绳恰好恢复到原长
小圆环下落高度为H1=R-R cos 60°=12R
设此时小圆环的速度为v,由机械能守恒得mgH1=12mv12
得v1=gR
由牛顿第二定律可得FN-mg=mv12R
解得FN=2mg。
(2)当θ=90°时,小圆环运动到导轨C2点,此时弹性细绳处于伸长状态。此过程小圆环下落的高度为H2=2R sin 15°=R cos 30°-R sin 30°=3-12R
取小圆环初始释放位置为重力势能零势面,由机械能守恒得
0=12mv22+(-mgH2)+E弹
得E弹=3-12mgR-12mv22。
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