北师大版九年级下册4 解直角三角形精品课件ppt

导入新课

知识探究

在上节课中，我们已经学习了有关正弦、余弦以及正切的定义，以及特殊角度的正弦、余弦、正切的值。而我们这节课要进一步探究直角三角形的三角函数。在上新课之前，我们一起回忆下前面学习的知识。

 生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题．知道直角三角形的边可以求出角，知道角也可以求出相应的边．

直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角．

 在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？

（1）直角三角形的三边关：

a2+b2=c2(勾股定理)

（2）直角三角形的锐角关系： ∠A+∠B=90°.

（3）直角三角形的边和锐角之间关系:

sin A=  cos A= tan A=

【思考问题】在一个直角三角形中，除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），要至少知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？

如果知道的2个元素都是角，不能求解.因为此时的直角三角形有无数多个.

如果已知2个元素，且至少有一个边是边就可以了.

【问题探究】在直角三角形ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？

【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=b=求这个直角三角形的其他元素.

解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2, a=b=

        ∴c=2.

        在Rt△ABC中，sinB=

       ∴ ∠ B = 30° ，∠ A = 60°

已知直角三角形两边的长度，可以求出其他元素.

    在直角三角形ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？

【例1】在 Rt△ABC 中，∠ C 为直角，∠ A，∠ B，∠ C 所对的边分别为 a， b，c，且 b = 30，∠ B=25° ，求这个三角形的其他元素（边长精确到1）．

解：在 Rt△ABC 中，∠ C = 90° ，∠ B = 25°，

∴ ∠ A = 65

∵ sin B =，b = 30， ∴ c = = ≈ 71.

∵ tan B = b = 30， ∴ a = = ≈ 64.

如果已知直角三角形的一边和一个锐角，可以求出其他元素.

学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。

导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。

讲授新课

例题讲解

从刚刚导入新课的探究中，我们可以发现：

   在直角三角形中，除直角外的5个元素(即3条边和2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，根据三角函数，就可以求出其余的3个未知元素。

在直角三角形中，由直角三角形中已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.

解直角三角形的依据：

(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；

(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；

(3)边角关系:sin A＝cos A=

(4)面积公式：S△ABC=

接下来，我们再看一些具体的例子：

【例3】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tan A＝，求sin B＋cos B的值．

解：在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，

∴tan A＝＝＝32，∴AD＝4，∴BD＝AB－AD＝12－4＝8.

在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，BD＝8，CD＝6，

∴BC＝＝10，

∴sin B＝＝35，cos B＝＝，∴sin B＋cos B＝+＝.

说说解直角三角形时，有哪些注意点？

 1.做标注：在遇到解直角三形的问题时，先画一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，以得于分析解决问题.

2.找关系式：选取关系式时要尽量利用原始数据，以防止“累积错误”.

3.遵循规则：遵循“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”.

结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握解直角三角形的定义和方法。

老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。

讲授知识，让学生熟练利用探究理解和掌握解直角三角形的定义和方法。

巩固加深对知识的理解与应用，也让学生知道本节课的学习内容和重点。

随堂练习

随堂练习

1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c.

 (1)直角三角形的三边之间的关系为a2+b2=c2(勾股定理)_；

  (2)直角三角形的两个锐角之间的关系为_∠A+∠B=90°；

 (3)直角三角形的边和锐角之间的关系为sin A＝____，

  cos A＝____，tan A＝____，tan B＝____．

 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，则∠A的度数为(  D     )

 A．90°  B．60°   C．45°   D．30°

 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos A的值是(    A )

 A.   B.  C.     D.

 4.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，a=5，求∠B，b，c.

解：∵∠B=90°-∠A=60° ,∠A=30°.且tan B=.

 ∴b=a·tan B=5·tan60°=5

 ∵sin A=

 ∴= 10.

5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cos A = ，BC = 5， 试求AB的长.

解：∵ ∠C=90° ，cos A = ，∴

设AB=x，则AC=

又AB²=AC²+BC²，则x²=（x）²+5²

∴x1=,x2=（舍去）

∴AB的长为.

学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。

学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。

借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。

借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。

中考链接

 （2018·上海）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC．

 （1）求边AC的长；

 （2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．

解：（1）作A作AE⊥BC.

在Rt△ABE中，tan∠ABC，AB＝5，

∴AE＝3，BE＝4，

（2）∵DF垂直平分BC，

∴BD＝CD，BF＝CF，

∵tan∠DBF，

∴DF，

在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD，

∴AD＝5，则．

学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。

借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。

课堂小结

在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：

1.概念：在直角三角形中，由直角三角形中已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.

2.依据：

(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；

(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；

(3)边角之间的关系:sin A＝cos A=

(4)面积公式：S△ABC=

跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。

帮助学生加强记忆知识。

板书

解直角三角形

1.概念：在直角三角形中，由直角三角形中已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.

2.依据：

(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；

(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；

(3)边角之间的关系:sin A＝cos A=

(4)面积公式：S△ABC=

借助板书，让学生知识本节课的重点。

课后练习

教材第17页习题1.5第1、2题.

教材第18页习题1.5第3、4题.