精品解析：2020年湖南省岳阳市湘阴县中考数学一模试题

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2020年湖南省岳阳市湘阴县中考数学一模试卷
一．选择题
1. -的倒数是（ ）
A. B. - C. -5 D. 5
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：根据倒数的定义即若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，即可得出答案．
试题解析：-的倒数是-5；
故选C．
考点：倒数．
2. 下列“QQ表情”中属于轴对称图形的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念，一一判断四个选项即可得到答案．
【详解】解：A、B、D都不关于某一条直线对称，故不是轴对称图形，
C关于直线对称，故是轴对称图形．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念（如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形），掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
3. 下列计算正确的是
A. B. C. D. 若x2=x，则x=1
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：根据同底数幂的乘法，算术平方根，零指数幂运算法则和解一元二次方程逐一计算作出判断：
A、，故本选项错误；
B、，故本选项正确；
C、∵x2+1≠0，∴，故本选项错误；
D、由题意知，x2﹣x=x（x﹣1）=0，则x=0或x=1．故本选项错误．
故选B．
4. 将一把直尺与一块直角三角板如图放置，如果，那么的度数为（ ）.

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3．
【详解】如图，由三角形的外角性质得：∠3=90°+∠1=90°+58°=148°．

∵直尺的两边互相平行，∴∠2=∠3=148°．
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
5. 如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=25°，则∠CAD的度数是(　　)

A. 25° B. 60° C. 65° D. 75°
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACD=90°，又由圆周角定理的推论可得∠D=∠ABC=25°，继而求得答案．
【详解】解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠ABC=25°，
∴∠CAD=90°﹣∠D=65°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论，掌握圆周角定理的推论是解题的关键．
6. 某社区青年志愿者小分队年龄情况如下表所示：
年龄(岁)
18
19
20
21
22
人数
2
4
4
5
1

则这12名队员年龄的众数、中位数分别是(　　)
A. 5，20岁 B. 5，21岁 C. 20岁，20岁 D. 21岁，20岁
【答案】D
【解析】
【分析】根据众数和中位数的概念求解可得．
【详解】这组数据中出现次数最多的是21，
所以众数为21岁，
第8、9个数据分别是20岁、20岁，
所以这组数据的中位数为=20(岁)，
故选：D．
【点睛】本题考查中位数和众数，熟练掌握中位数的求法是解答本题关键.
7. 小明从家骑车上学，先上坡到达A地后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示.如果返回时，上下坡的速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是（ ）.

A. 8.6分钟 B. 9分钟 C. 12分钟 D. 16分钟
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象可知：小明从家骑车上学，上坡的路程是1千米，用5分钟，则上坡速度是0.2千米/分钟；下坡路长是2千米，用4分钟，因而速度是0.5千米/分钟，由此即可求出答案．
【详解】解：把上下坡的速度求出来是解题的关键，根据图象可知：小明从家骑车上学，上坡的路程是1千米，用5分钟，则上坡速度是0.2千米/分钟；下坡路长是2千米，用4分钟，因而下坡速度是0.5千米/分钟，回家时下坡是1千米，上坡路程是2千米，所以他从学校回到家需要的时间是=12分钟．
故选C．
【点睛】读函数图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
8. 如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，其中正确结论的个数是(　　)

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【详解】试题解析：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，
∴∠CAD+∠FAG=90°，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF+∠AFG=90°，
∴∠CAD=∠AFG，
在△FGA和△ACD中，
，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC=FG，①正确；
∵BC=AC，
∴FG=BC，
∵∠ACB=90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF=90°，S△FAB=FB•FG=S四边形CBFG，②正确；
∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，
∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；
∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD=FE：FQ，
∴AD•FE=AD2=FQ•AC，④正确；
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
二．填空题
9. 因式分解：xy3﹣x=_____．
【答案】x(y+1)(y﹣1)
【解析】
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式=x(y2﹣1)=x(y+1)(y﹣1)，
故答案为：x(y+1)(y﹣1) ．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
10. 函数y=中，自变量x的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【详解】解：由题意得，，
解得．
11. 新冠肺炎疫情发生以来，我国人民上下齐心，共同努力抗击疫情，逐渐取得了胜利．截止3月13日，我国各级财政安排的疫情防控投入已经达到了1169亿元，1169亿元用科学记数法表示为_____元．
【答案】1.169×1011
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：1169亿=116900000000用科学记数法表示为：1.169×1011．
故答案为：1.169×1011．
【点睛】此题考查科学记数法表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12. 不等式组的解集为_____．
【答案】1＜x≤4
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式x+2＜3x，得：x＞1，
解不等式x﹣4≤0，得：x≤4，
则不等式组的解集为：1＜x≤4，
故答案为：1＜x≤4．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13. 如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是_____．

【答案】AC⊥BD
【解析】
【分析】根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明该四边形是一个平行四边形；所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直．
【详解】解：如图，

∵E，F分别是边AB，BC中点，
∴EF∥AC，EF=AC，
同理HG∥AC，HG=AC，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，即AC⊥BD；
故答案为：AC⊥BD．
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理的运用．同时熟记此题中的结论：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形．
14. 甲、乙两名射击运动员在某场测试中各射击10次，两人的测试成绩如下：
甲 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10
乙 7 7 7 8 8 9 9 10 10 10
这两人10次射击命中的环数的平均数＝＝8.5，则测试成绩比较稳定的是______．（填“甲”或“乙”）
【答案】甲
【解析】
【分析】分别计算出两人的方差，方差较小的成绩比较稳定．
【详解】解：=（7×2+9×3+10×2+3×8）÷10=8.5，
S2甲=[（7-8.5）2+（7-8.5）2+（8-8.5）2+（8-8.5）2+（8-8.5）2+（9-8.5）2+（9-8.5）2+（9-8.5）2+（10-8.5）2+（10-8.5）2]÷10=1.05，
=8.5，
S2乙=[（7-8.5）2+（7-8.5）2+（7-8.5）2+（8-8.5）2+（8-8.5）2+（9-8.5）2+（9-8.5）2+（10-8.5）2+（10-8.5）2+（10-8.5）2]÷10=1.45，
∵S2甲＜S2乙，
∴甲组数据稳定．
故答案为：甲．
【点睛】此题主要考查了方差公式的应用，方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法．
15. 如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平上），某工程师乘坐热气球从B地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观测C地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为__________m.

【答案】100
【解析】
【分析】利用题意得到∠C=30°，AB=100，然后根据30°的正切可计算出BC．
【详解】根据题意得∠C=30°，AB=100，
∵tanC=，
∴BC====100（m）．
故答案100．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
16. 如图，直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上．OA∥BC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E，F分别是线段OA，AB上的两个动点，且始终保持∠DEF=45°．设OE=x，AF=y，则y与x的函数关系式为_____．

【答案】
【解析】
【分析】首先过B作x轴的垂线，设垂足为M，由已知易求得OA=4，在Rt△ABM中，已知∠OAB的度数及AB的长，即可求出AM、BM的长，进而可得到BC、CD的长，再连接OD，证△ODE∽△AEF，通过得到的比例线段，即可得出y与x的函数关系式．
【详解】解：过B作BM⊥x轴于M．
在Rt△ABM中，
∵AB=3，∠BAM=45°，
∴AM=BM=，
∵BD=OA= ，
，
∴BC=OA﹣AM=4﹣，CD=BC﹣BD=，
∴D(，)，
．
连接OD，则点D在∠COA的平分线上，所以∠DOE=∠COD=45°．
又∵在梯形DOAB中，∠BAO=45°，
∴由三角形外角定理得：∠ODE=∠DEA﹣45°，又∠AEF=∠DEA﹣45°，
∴∠ODE
=∠AEF，
∴△ODE∽△AEF，

即
∴y与x的解析式为：．
故答案为：．

【点睛】本题主要考查二次函数的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
三．解答题
17. 计算：﹣(3.14﹣π)0+(1﹣cos30°)×()﹣2．
【答案】
【解析】
【分析】分别计算绝对值、零指数幂，特殊角的三角形函数值，及负整数指数幂，然后得出各部分的最简值，继而合并可得出答案．
【详解】解：﹣(3.14﹣π)0+(1﹣cos30°)×()﹣2
=
=
=；
【点睛】本题主要考查了绝对值的计算、零指数幂，特殊角的三角形函数值、及负整数指数幂的计算，熟练掌握各知识点是解题的关键．
18. 计算
【答案】．
【解析】
【分析】先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，约分即可得．
【详解】解：原式
，
，
．
【点睛】考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
19.
如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P320千米处.

（1）说明本次台风会影响B市；
（2）求这次台风影响B市的时间.
【答案】（1）会；（2）8小时
【解析】
【分析】（1）作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，利用特殊角的三角函数值求出BH的长与200千米相比较即可．
（2）以B为圆心，以200为半径作圆交PQ于P1、P2两点，根据垂径定理即可求出P1P2的长，进而求出台风影响B市的时间．
【详解】（1）如图所示：
∵台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，B市位于点P的北偏东75°方向上，
∴∠QPG=45°，∠NPB=75°，∠BPG=15°，
∴∠BPQ=30°
作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，由条件知，PB=320，

得 BH=320sin30°=160＜200，
∴本次台风会影响B市．
（2）如图，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．由（1）得BH=160，由条件得BP1=BP2=200，
∴所以P1P2 = 2=240
∴台风影响的时间t == 8(小时).
20. 某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年(1)班学生的体育测试成绩为样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：(说明：A级：90分﹣100分；B级：75分﹣89分；C级：60分﹣74分；D级：60分以下)
(1)求出D级学生的人数占全班总人数的百分比；
(2)求出扇形统计图中C级所在的扇形圆心角的度数；
(3)该班学生体育测试成绩的中位数落在哪个等级内；
(4)若该校九年级学生共有500人，请你估计这次考试中A级和B级的学生共有多少人？

【答案】(1)4%；(2)72°；(3)落在B等级内；(4)380人
【解析】
【分析】(1)先求出总人数，再求D成绩的人数占的比例；
(2)C成绩人数为10人，占的比例=10÷50=20%，表示C的扇形的圆心角=360°×20%=72°，
(3)根据中位数的定义判断；
(4)该班占全年级的比例=50÷500=10%，所以，这次考试中A级和B级的学生数=(13+25)÷10%=380人，
【详解】(1)总人数为25÷50%=50人，D成绩的人数占的比例:2÷50=4%；
(2)表示C的扇形的圆心角360°×(10÷50)=360°×20%=72°；
(3)由于A成绩人数为13人，C成绩人数为10人，D成绩人数为2人，而B成绩人数为25人，故该班学生体育测试成绩的中位数落在B等级内；
(4)这次考试中A级和B级的学生数：(13+25)÷(50÷500)=(13+25)÷10%=380(人)．
【点睛】本题主要考查统计图和用样本估计总体，提取统计图中的有效信息是解答此题的关键.
21. 如图，已知AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且AB＝5,BC＝3.

(1) 求sin∠BAC的值;
(2) 如果OE⊥AC, 垂足为E,求OE的长;
(3) 求tan∠ADC的值.(结果保留根号)
【答案】(1) (2) (3)
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理可得到∠ACB是直角，再根据三角函数求解即可；
（2）首先根据垂径定理得出E是AC中点．再根据中位线定理求解即可；
（3）根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠ADC=∠ABC，在RtACB中求出tan∠ABC即可．
【详解】解：（1）∵AB是⊙O直径
∴∠ACB=90°
∵AB=5，BC=3
∴sin∠BAC=＝；
（2）∵OE⊥AC，O是⊙O的圆心
∴E是AC中点．
又∵O是AB的中点．
∴OE=BC=；
（3）在RtACB中，∠ACB=90°
∵AB=5，BC=3
∴AC==4
∵∠ADC=∠ABC
∴tan∠ADC=tan∠ABC=．
【点睛】此题主要考查锐角三角函数的定义，综合运用了圆周角定理、中位线定理、勾股定理等知识点．求出OE是△ACB的中位线和得出tan∠ADC=tan∠ABC是解题的关键．
22. 某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？
【答案】（1）50%；（2）今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
【解析】
【分析】（1）设年平均增长率为x，根据“2015年投入资金×（1+增长率）2=2017年投入资金”列出方程，解方程即可；（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据“前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万”列不等式求解即可．
【详解】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，
得：1280（1+x）2=1280+1600，
解得：x=0.5或x=﹣2.5（舍），
答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；
（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，
得：1000×8×400+（a﹣1000）×5×400≥5000000，
解得：a≥1900，
答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用.
23. 正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，

（1）证明：Rt△ABM ∽Rt△MCN；
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；
（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）当时，四边形面积最大为10；（3）当点运动到的中点时，，此时.
【解析】
【分析】(1)根据AM⊥MN得出∠CMN＋∠AMB= 90°，根据Rt△ABM得出∠CMN＝∠MAB，从而得出三角形相似；
(2)根据三角形相似得出CN与x的关系，然后根据梯形的面积计算法则得出函数解析式；
(3)根据要使三角形相似则需要满足，结合(1)中的条件得出BM=CM，即M为BC的中点.
【详解】解：(1)在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠B=∠C =90°，
∵AM⊥MN ∴∠AMN= 90°. ∴∠CMN＋∠AMB= 90°．
在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB＝90°， ∴∠CMN＝∠MAB． ∴Rt△AMN∽Rt△MCN;
(2)∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴
∴
∴CN=
∴y=
当x=2时，y取最大值，最大值为10；故当点M运动到BC的中点时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为10；
(3)∵∠B＝∠AMN= 90°， ∴要使Rt△ABM∽Rt△AMN，必须 有
由（1）知
∴BM=MC
∴当点M运动到BC的中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN，此时x=2
24. 平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是为（0,3）、（-1,0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.

（1）若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；
（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△OC′D的周长；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时；△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标.
【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）；（3）当点M的坐标为（，）时，△AMA′的面积有最大值，且最大值为.
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质，可得A′点，根据待定系数法，可得答案；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案；
（3）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】解：（1）∵▱A′B′O′C′由▱ABOC旋转得到，且A的坐标为（0，3），得
点A′的坐标为（3，0）．
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
将A，A′C的坐标代入，得
，解得，
抛物线的解析式y=-x2+2x+3；
（2）∵AB∥OC，
∴∠OAB=∠AOC=90°，
∴OB=，
又∠OC′D=∠OCA=∠B，∠C′OD=∠BOA，
∴△C′OD∽△BOA，又OC′=OC=1，
∴，
又△ABO的周长为4+，
∴△C′OD的周长为．
（3）作MN⊥x轴交AA′于N点，

设M（m，-m2+2m+3），
AA′的解析式为y=-x+3，N点坐标为（m，-m+3），MN的长为-m2+3m，
S△AMA′=MN•xA′=（-m2+3m）×3
=-（m2-3m）=-（m-）2+，
∵0＜m＜3，
∴当m=时，-m2+2m+3=，M（，），
△AMA′的面积有最大值．
点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用相似三角形的判定与性质；解（3）的关键是利用面积的很差得出二次函数．