2020学年河南省信阳市浉河区九年级（上）期末数学试卷 解析版 (1)

这是一份2020学年河南省信阳市浉河区九年级（上）期末数学试卷 解析版 (1)，共26页。试卷主要包含了下列方程是一元二次方程的是，二次函数y＝等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x（x﹣1）＝x2 B．x2＝0 C．x2﹣2y＝1 D．
3．二次函数y＝（x﹣4）2+2图象的顶点坐标是（　　）
A．（﹣4，2） B．（4，﹣2） C．（4，2） D．（﹣4，﹣2）
4．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实根，则m的值可能是（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
5．如图，在⊙O，点A、B、C在⊙O上，若∠OAB＝54°，则∠C（　　）

A．54° B．27° C．36° D．46°
6．一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．天虹商场一月份鞋帽专柜的营业额为100万元，三月份鞋帽专柜的营业额为150万元．设一到三月每月平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．100（1+2x）＝150 B．100（1+x）2＝150
C．100（1+x）+100（1+x）2＝150 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝150
8．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2＝（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，m）两点，则不等式y1＞y2的解集是（　　）

A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），说法：①abc＜0；
②2a﹣b＝0；③﹣a+c＜0；④若（﹣5，y1）、（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的有（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．在平面直角坐标系中，若干个半径为1的单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，向右沿这条曲线做上下起伏运动（如图），点P在直线上运动的速度为每1个单位长度．点P在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，则2019秒时，点P的坐标是（　　）

A．（，） B．（，﹣） C．（2019，） D．（2019，﹣）
二．填空题（共5小题）
11．方程x2＝﹣4x的解是　 　．
12．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转140°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为　 　．

13．如图，点B是双曲线y＝（k≠0）上的一点，点A在x轴上，且AB＝2，OB⊥AB，若∠BAO＝60°，则k＝　 　．

14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心，AD长为半径画，再以BC为直径画半圆，若阴影部分①的面积为S1，阴影部分②的面积为S2，则图中S1﹣S2的值为　 　．（结果保留π）

15．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝6，∠D＝30°，点E是AB边的中点，点F是BC边上一动点，将△BEF移沿直线EF折叠，得到△GEF，当FG∥AC时，BF的长为　 　．

三．解答题（共8小题）
16．解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0； （2）（x﹣1）（x﹣3）＝8．




17．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣4，1），B（﹣1，2），C（﹣2，4）
（1）将△ABC向右平移4个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）△A2B2C2和△A1B1C1关于原点O中心对称，请画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（3）连接点A和点B2，点B和点A2，得到四边形AB2A2B，试判断四边形AB2A2B的形状（无须说明理由）．


18．图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字2，3，4，5．图②是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子在桌面掷出后，看骰子落在桌面上（即底面）的数字是几，就从图中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法继续……
（1）随机掷一次骰子，则棋子跳动到点C处的概率是　 　．
（2）随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点C处的概率．








19．如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP．
（1）求证：△BOQ≌△POQ；
（2）若直径AB的长为12．
①当PE＝　 　时，四边形BOPQ为正方形；
②当PE＝　 　时，四边形AEOP为菱形．




20．参照学习函数的过程与方法，探究函数y＝（x≠0）的图象与性质，因为y＝，即y＝﹣+1，所以我们对比函数y＝﹣来探究．列表：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣

1
2
3
4
…
y＝﹣
…


1
2
4
﹣4
﹣2
﹣1
﹣
﹣
…
y＝
…


2
3
5
﹣3
﹣1
0


…
描点：在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示；
（1）请把y轴左边点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；
（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而　 　；（“增大”或“减小”）
②y＝的图象是由y＝﹣的图象向　 　平移　 　个单位而得到的：
③图象关于点　 　中心对称．（填点的坐标）
（3）函数y＝与直线y＝﹣2x+1交于点A，B，求△AOB的面积．

21．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同
（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？



22．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC边上一点，且DA＝DB，O是AB的中点，CE是△BCD的中线．
（1）如图a，连接OC，请直接写出∠OCE和∠OAC的数量关系：　 　；
（2）点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使∠MON＝∠ADB，ON与射线CA交于点N．
①如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系；
②若∠BAC＝30°，BC＝m，当∠AON＝15°时，请直接写出线段ME的长度（用含m的代数式表示）．




23．如图，若b是正数．直线l：y＝b与y轴交于点A，直线a：y＝x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y＝﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．
（1）若AB＝6，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；
（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；
（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
2．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x（x﹣1）＝x2 B．x2＝0 C．x2﹣2y＝1 D．
【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、由已知方程得到：﹣x＝0，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
C、该方程中含有两个未知数，属于二元二次方程，故本选项不符合题意．
D、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．二次函数y＝（x﹣4）2+2图象的顶点坐标是（　　）
A．（﹣4，2） B．（4，﹣2） C．（4，2） D．（﹣4，﹣2）
【分析】利用顶点式方程可直接得到抛物线的顶点坐标．
【解答】解：∵y＝（x﹣4）2+2，
∴顶点坐标为（4，2），
故选：C．
4．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实根，则m的值可能是（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）≥0，
解得：m≥﹣1．
故选：D．
5．如图，在⊙O，点A、B、C在⊙O上，若∠OAB＝54°，则∠C（　　）

A．54° B．27° C．36° D．46°
【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后利用圆周角定理得到∠C的度数．
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝54°，
∴∠AOB＝180°﹣54°﹣54°＝72°，
∴∠ACB＝∠AOB＝36°．
故选：C．
6．一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】用黄色小球的个数除以总个数可得．
【解答】解：搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为＝，
故选：B．
7．天虹商场一月份鞋帽专柜的营业额为100万元，三月份鞋帽专柜的营业额为150万元．设一到三月每月平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．100（1+2x）＝150
B．100（1+x）2＝150
C．100（1+x）+100（1+x）2＝150
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝150
【分析】可设每月营业额平均增长率为x，则四月份的营业额是100（1+x），五月份的营业额是100（1+x）（1+x），则可以得到方程即可．
【解答】解：设四、五两个月每月的平均增长率是x．
根据题意得：100（1+x）2＝150，
故选：B．
8．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2＝（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，m）两点，则不等式y1＞y2的解集是（　　）

A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2
C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
【分析】一次函数y1＝kx+b落在与反比例函数y2＝图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求．
【解答】解：∵一次函数y1＝kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2＝（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，m）两点，
∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2．
故选：C．
9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③﹣a+c＜0；④若（﹣5，y1）、（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x＝﹣1时，y＜0，则得到a﹣2a+c＜0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，y1）和点（，y2）离对称轴的远近对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∵b＝2a，
∴a﹣2a+c＜0，即﹣a+c＜0，所以③正确；
∵点（﹣5，y1）离对称轴要比点（，y2）离对称轴要远，
∴y1＞y2，所以④正确．
故选：D．
10．在平面直角坐标系中，若干个半径为1的单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，向右沿这条曲线做上下起伏运动（如图），点P在直线上运动的速度为每1个单位长度．点P在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，则2019秒时，点P的坐标是（　　）

A．（，） B．（，﹣）
C．（2019，） D．（2019，﹣）
【分析】设第n秒运动到Pn（n为自然数）点，根据点P的运动规律找出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“P4n+1（，），P4n+2（n+1，0），P4n+3（，﹣），P4n+4（2n+2，0）”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：设第n秒运动到Pn（n为自然数）点，
观察，发现规律：P1（，），P2（1，0），P3（，﹣），P4（2，0），P5（，），…，
∴P4n+1（，），P4n+2（n+1，0），P4n+3（，﹣），P4n+4（2n+2，0）．
∵2019＝4×504+3，
∴P2019为（，﹣），
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．方程x2＝﹣4x的解是　x1＝0，x2＝﹣4　．
【分析】根据提公因式法解方程即可求解．
【解答】解：x2＝﹣4x，
x2+4x＝0，
x（x+4）＝0，
x1＝0，x2＝﹣4
故答案为x1＝0，x2＝﹣4．
12．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转140°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为　20°　．

【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝140°，由等腰三角形的性质可求∠B的度数．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转140°，得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝140°
∴∠B＝20°
故答案为：20°
13．如图，点B是双曲线y＝（k≠0）上的一点，点A在x轴上，且AB＝2，OB⊥AB，若∠BAO＝60°，则k＝　3　．

【分析】利用60°余弦值可求得OB的长，作AD⊥OB于点D，利用60°的正弦值可求得AD长，利用60°余弦值可求得BD长，OB﹣BD即为点A的横坐标，那么k等于点A的横纵坐标的积．
【解答】解：∵AB＝2，0A⊥OB，∠ABO＝60°，
∴OA＝AB÷cos60°＝4，
作AD⊥OB于点D，

∴AD＝AB×sin60°＝，
BD＝AB×cos60°＝1，
∴OD＝OA﹣BD＝3，
∴点B的坐标为（3，），
∵B是双曲线y＝上一点，
∴k＝xy＝3．
故答案为：3．
14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心，AD长为半径画，再以BC为直径画半圆，若阴影部分①的面积为S1，阴影部分②的面积为S2，则图中S1﹣S2的值为　π　．（结果保留π）

【分析】如图，设图中③的面积为S3．构建方程组即可解决问题．
【解答】解：如图，设图中③的面积为S3．

由题意：，
可得S1﹣S2＝π，
故答案为π．
15．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝6，∠D＝30°，点E是AB边的中点，点F是BC边上一动点，将△BEF移沿直线EF折叠，得到△GEF，当FG∥AC时，BF的长为　3+3或3﹣3　．

【分析】由平行四边形的性质得出∠B＝∠D＝30°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝6，作CH⊥AD于H，则CH＝CD＝3，DH＝CH＝3＝AD，得出AH＝DH，由线段垂直平分线的性质得出CA＝CD＝AB＝6，由等腰三角形的性质得出∠ACB＝∠B＝30°，由平行线的性质得出∠BFG＝∠ACB＝30°，分两种情况：
①作EM⊥BF于M，在BF上截取EN＝BE＝3，则∠ENB＝∠B＝30°，由直角三角形的性质得出EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，得出BN＝2BM＝3，再证出FN＝EN＝3，即可得出结果；
②作EM⊥BC于M，在BC上截取EN＝BE＝3，连接EN，则∠ENB＝∠B＝30°，得出EN∥AC，EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，BN＝2BM＝3，证出FG∥EN，则∠G＝∠GEN，证出∠GEN＝∠ENB＝∠B＝∠G＝30°，推出∠BEN＝120°，得出∠BEG＝120°﹣∠GEN＝90°，由折叠的性质得∠BEF＝∠GEF＝∠BEG＝45°，证出∠NEF＝∠NFE，则FN＝EN＝3，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝30°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝6，
作CH⊥AD于H，
则CH＝CD＝3，DH＝CH＝3＝AD，
∴AH＝DH，
∴CA＝CD＝AB＝6，
∴∠ACB＝∠B＝30°，
∵FG∥AC，
∴∠BFG＝∠ACB＝30°，
∵点E是AB边的中点，
∴BE＝3，
分两种情况：
①作EM⊥BF于M，在BF上截取EN＝BE＝3，连接EN，如图1所示：
则∠ENB＝∠B＝30°，
∴EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，
∴BN＝2BM＝3，
由折叠的性质得：∠BFE＝∠GFE＝15°，
∵∠NEF＝∠ENB﹣∠BFE＝15°＝∠BFE，
∴FN＝EN＝3，
∴BF＝BN+FN＝3+3；
②作EM⊥BC于M，在BC上截取EN＝BE＝3，连接EN，如图2所示：
则∠ENB＝∠B＝30°，
∴EN∥AC，EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，
∴BN＝2BM＝3，
∵FG∥AC，∴FG∥EN，∴∠G＝∠GEN，由折叠的性质得：∠B＝∠G＝30°，∴∠GEN＝∠ENB＝∠B＝∠G＝30°，∵∠BEN＝180°﹣∠B﹣∠ENB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠BEG＝120°﹣∠GEN＝120°﹣30°＝90°，由折叠的性质得：∠BEF＝∠GEF＝∠BEG＝45°，∴∠NEF＝∠NEG+∠GEF＝30°+45°＝75°，∠NFE＝∠BEF+∠B＝45°+30°＝75°，∴∠NEF＝∠NFE，∴FN＝EN＝3，∴BF＝BN﹣FN＝3﹣3；
故答案为：3+3或3﹣3．


三．解答题（共8小题）
16．解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）（x﹣1）（x﹣3）＝8．
【分析】（1）利用配方法解方程；
（2）利用因式分解法解出方程．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2＝0
x2﹣2x+1＝3
（x﹣1）2＝3，
x﹣1＝±，
x1＝+1，x2＝﹣+1；
（2）原方程变形为：x2﹣4x﹣5＝0
（x﹣5）（x+1）＝0
x1＝5，x2＝﹣1．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣4，1），B（﹣1，2），C（﹣2，4）
（1）将△ABC向右平移4个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）△A2B2C2和△A1B1C1关于原点O中心对称，请画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（3）连接点A和点B2，点B和点A2，得到四边形AB2A2B，试判断四边形AB2A2B的形状（无须说明理由）．

【分析】（1）利用网格特点和点平移的坐标规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点和关于原点对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2；
（3）证明四条相等且对角线相等可判断四边形AB2A2B为正方形．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；点B1的坐标为（3，2）；

（2）如图，△A2B2C2为所作；点C2的坐标为（﹣2，﹣4）；
（3）如图，四边形AB2A2B为正方形．
18．图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字2，3，4，5．图②是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子在桌面掷出后，看骰子落在桌面上（即底面）的数字是几，就从图中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法继续……
（1）随机掷一次骰子，则棋子跳动到点C处的概率是　　．
（2）随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点C处的概率．

【分析】（1）当底面数字为2时，可以到达点C，根据概率公式计算即可；
（2）利用列表法统计即可；
【解答】解：（1）随机掷一次骰子，则棋子跳动到点C处的概率是，
故答案为；
（2）列表如图：

共有16种可能，和为8可以到达点C，有3种情形，所以棋子最终跳动到点C处的概率为．
19．如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP．
（1）求证：△BOQ≌△POQ；
（2）若直径AB的长为12．
①当PE＝　6　时，四边形BOPQ为正方形；
②当PE＝　6　时，四边形AEOP为菱形．

【分析】（1）根据切线的性质得∠OBQ＝90°，再根据平行线的性质得∠APO＝∠POQ，∠OAP＝∠BOQ，加上∠OPA＝∠OAP，则∠POQ＝∠BOQ，于是根据“SAS”可判断△BOQ≌△POQ；
（2）①利用△BOQ≌△POQ得到∠OPQ＝∠OBQ＝90°，由于OB＝OP，所以当∠BOP＝90°，四边形OPQB为正方形，此时点C、点E与点O重合，于是PE＝PO＝6；②根据菱形的判定，当OC＝AC，PC＝EC，四边形AEOP为菱形，则OC＝OA＝3，然后利用勾股定理计算出PC，从而得到PE的长．
【解答】（1）证明：∵BM切⊙O于点B，
∴OB⊥BQ，
∴∠OBQ＝90°，
∵PA∥OQ，
∴∠APO＝∠POQ，∠OAP＝∠BOQ，
而OA＝OP，
∴∠OPA＝∠OAP，
∴∠POQ＝∠BOQ，
在△BOQ和△POQ中
，
∴△BOQ≌△POQ；
（2）解：①∵△BOQ≌△POQ，
∴∠OPQ＝∠OBQ＝90°，
当∠BOP＝90°，四边形OPQB为矩形，
而OB＝OP，则四边形OPQB为正方形，此时点C、点E与点O重合，PE＝PO＝AB＝6；
②∵PE⊥AB，
∴当OC＝AC，PC＝EC，四边形AEOP为菱形，
∵OC＝OA＝3，
∴PC＝＝3，
∴PE＝2PC＝6．
故答案为6，6．
20．参照学习函数的过程与方法，探究函数y＝（x≠0）的图象与性质，因为y＝，即y＝﹣+1，所以我们对比函数y＝﹣来探究．
列表：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣

1
2
3
4
…
y＝﹣
…


1
2
4
﹣4
﹣2
﹣1
﹣
﹣
…
y＝
…


2
3
5
﹣3
﹣1
0


…
描点：在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示；
（1）请把y轴左边点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；
（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而　增大　；（“增大”或“减小”）
②y＝的图象是由y＝﹣的图象向　上　平移　1　个单位而得到的：
③图象关于点　（0，1）　中心对称．（填点的坐标）
（3）函数y＝与直线y＝﹣2x+1交于点A，B，求△AOB的面积．

【分析】（1）用光滑曲线顺次连接即可；
（2）利用图象法即可解决问题；
（3）联立方程求出点A、B的坐标，由此即可解决问题；
【解答】解：（1）函数图象如图所示：

（2）①当x＜0时，y随x的增大而增大；
②y＝的图象是由y＝﹣的图象向上平移1个单位而得到；
③图象关于点（0，1）中心对称．
故答案为：增大，上，1，（0，1）；
（3）根据题意得：＝﹣2x+1，解得：x＝±1，
当x＝1时，y＝﹣2x+1＝﹣1，
当x＝﹣1时，y＝﹣2x+1＝3，
∴交点为（1，﹣1），（﹣1，3），
当y＝0时，﹣2x+1＝0，x＝，
∴△AOB的面积＝×（3+1）×＝1．
21．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同
（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【分析】（1）设每次降价的百分率为a，（1﹣a）2为两次降价的百分率，50降至32就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
（2）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．
【解答】解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50（1﹣a）2＝32，
解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2，
答：每次下降的百分率为20%；

（2）设每千克应涨价x元，由题意，得
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
整理，得 x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意．
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
22．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC边上一点，且DA＝DB，O是AB的中点，CE是△BCD的中线．
（1）如图a，连接OC，请直接写出∠OCE和∠OAC的数量关系：　∠OCE＝∠OAC　；
（2）点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使∠MON＝∠ADB，ON与射线CA交于点N．
①如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系；
②若∠BAC＝30°，BC＝m，当∠AON＝15°时，请直接写出线段ME的长度（用含m的代数式表示）．

【分析】（1）结论：∠ECO＝∠OAC．理由直角三角形斜边中线定理，三角形的中位线定理解决问题即可．
（2）①只要证明△COM≌△AON（ASA），即可解决问题．
②分两种情形：如图3﹣1中，当点N在CA的延长线上时，如图3﹣2中，当点N在线段AC上时，作OH⊥AC于H．分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）结论：∠ECO＝∠OAC．
理由：如图1中，连接OE．

∵∠BCD＝90°，BE＝ED，BO＝OA，
∵CE＝ED＝EB＝BD，CO＝OA＝OB，
∴∠OCA＝∠A，
∵BE＝ED，BO＝OA，
∴OE∥AD，OE＝AD，
∴CE＝EO．
∴∠EOC＝∠OCA＝∠ECO，
∴∠ECO＝∠OAC．
故答案为：∠OCE＝∠OAC．

（2）如图2中，

∵OC＝OA，DA＝DB，
∴∠A＝∠OCA＝∠ABD，
∴∠COA＝∠ADB，
∵∠MON＝∠ADB，
∴∠AOC＝∠MON，
∴∠COM＝∠AON，
∵∠ECO＝∠OAC，
∴∠MCO＝∠NAO，
∵OC＝OA，
∴△COM≌△AON（ASA），
∴OM＝ON．

②如图3﹣1中，当点N在CA的延长线上时，

∵∠CAB＝30°＝∠OAN+∠ANO，∠AON＝15°，
∴∠AON＝∠ANO＝15°，
∴OA＝AN＝m，
∵△OCM≌△OAN，
∴CM＝AN＝m，
在Rt△BCD中，∵BC＝m，∠CDB＝60°，
∴BD＝m，
∵BE＝ED，
∴CE＝BD＝m，
∴EM＝CM+CE＝m+m．
如图3﹣2中，当点N在线段AC上时，作OH⊥AC于H．

∵∠AON＝15°，∠CAB＝30°，
∴∠ONH＝15°+30°＝45°，
∴OH＝HN＝m，
∵AH＝m，
∴CM＝AN＝m﹣m，
∵EC＝m，
∴EM＝EC﹣CM＝m﹣（m﹣m）＝m﹣m，
综上所述，满足条件的EM的值为m+m或m﹣m．
23．如图，若b是正数．直线l：y＝b与y轴交于点A，直线a：y＝x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y＝﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．
（1）若AB＝6，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；
（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；
（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．

【分析】（1）当x＝0时，y＝x﹣b＝﹣b，所以B （0，﹣b），而AB＝6，而A（0，b），则b﹣（﹣b）＝6，b＝3．所以L：y＝﹣x2+3x，对称轴x＝1.5，当x＝1.5吋，y＝x﹣3＝﹣1.5，于是得到结论．
（2）由y＝﹣（x﹣）2+，得到L的顶点C（，），由于点C在l下方，于是得到结论；
（3）由題意得到y3＝，即y1+y2＝2y3，得b+x0﹣b＝2（﹣x02+bx0）解得x0＝0或x0＝b﹣．但x0≠0，取x0＝b﹣，得到右交点D（b，0）．于是得到结论；
（4）①当b＝2019时，抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019x直线解析式a：y＝x﹣2019，美点”总计4040个点，②当b＝2019.5时，抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019.5x，直线解析式a：y＝x﹣2019.5，“美点”共有1010个．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x﹣b＝﹣b，
∴B （0，﹣b），
∵AB＝6，而A（0，b），
∴b﹣（﹣b）＝6，
∴b＝3．
∴L：y＝﹣x2+3x，
∴L的对称轴x＝1.5，
当x＝1.5吋，y＝x﹣3＝﹣1.5，
∴L的对称轴与a的交点为（1.5，﹣1.5 ）；
（2）y＝﹣（x﹣）2+，
∴L的顶点C（，），
∵点C在l下方，
∴C与l的距离b﹣＝﹣（b﹣2）2+1≤1，
∴点C与1距离的最大值为1；
（3）由题意得y3＝，即y1+y2＝2y3，
得b+x0﹣b＝2（﹣x02+bx0）
解得x0＝0或x0＝b﹣．但x0≠0，取x0＝b﹣，
对于L，当y＝0吋，0＝﹣x2+bx，即0＝﹣x（x﹣b），
解得x1＝0，x2＝b，
∵b＞0，
∴右交点D（b，0）．
∴点（x0，0）与点D间的距离b﹣（b﹣）＝；
（4）①当b＝2019时，抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019x，
直线解析式a：y＝x﹣2019
联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019，
∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019）共有2021个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，
∴线段和抛物线上各有2021个整数点，
∴总计4042个点，
∵这两段图象交点有2个点重复，
∴美点”的个数：4042﹣2＝4040（个）；
②当b＝2019.5时，
抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019.5x，
直线解析式a：y＝x﹣2019.5，
联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019.5，
∴当x取整数时，在一次函数y＝x﹣2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，
在二次函数y＝x2+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，
可知﹣1到2019.5之 间有1010个偶数，因此“美点”共有1010个．
故b＝2019时“美点”的个数为4040个，b＝2019.5时“美点”的个数为1010个．