黑龙江省齐齐哈尔市富裕县2019学年九年级（上）期末数学试卷 含解析

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市富裕县2019学年九年级（上）期末数学试卷 含解析，共23页。试卷主要包含了若方程，下列说法错误的是等内容，欢迎下载使用。

2018-2019学年九年级（上）期末数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．若方程（m﹣1）x2﹣4x＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m≠1 B．m＝1 C．m≠0 D．m≥1
2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，用配方法化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果是（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x﹣1）2+2
C．y＝﹣（x﹣1）2+4 D．y＝﹣（x+1）2﹣4
4．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点．直线EF切⊙O于C点，分别交PA、PB于E、F，且PA＝10．则△PEF的周长为（　　）

A．10 B．15 C．20 D．25
5．下列说法错误的是（　　）
A．必然事件发生的概率为1
B．不可能事件发生的概率为0
C．随机事件发生的概率大于等于0、小于等于1
D．概率很小的事件不可能发生
6．若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1且k≠0 B．k≤1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
7．某旅游景点8月份共接待游客16万人次，10月份共接待游客36万人次，设游客每月的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．16（1+x2）＝36 B．16x+16x（x+1）＝36
C．16（1+x）+16（1+x）2＝36 D．16x（x+1）＝36
8．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，连结DE．且DE＝，则弦BC的长为（　　）

A． B．2 C．3 D．
9．如图，在△ABC中，AB＝2.2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（　　）

A．1.5 B．1.4 C．1.3 D．1.2
10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴是x＝1，现有结论：
①abc＞0 ②9a﹣3b+c＝0 ③b＝﹣2a④（﹣1）b+c＜0
其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共7小题）
11．在函数y＝+（x﹣5）﹣1中，自变量x的取值范围是　 　．
12．若一个三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程x2﹣17x+60＝0的一个根，则该三角形的第三边长是　 　．
13．若方程x2﹣2x﹣1009＝0有一个根是α，则2α2﹣4α+1的值为　 　．
14．已知：在⊙O中，直径AB＝4，点P、Q均在⊙O上，且∠BAP＝60°，∠BAQ＝30°，则弦PQ的长为　 　．
15．如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA＝1.25m，A处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O，直径为线段CB．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x轴的距离为2.25m，到y轴的距离为1m，则水落地后形成的圆的直径CB＝　 　m．

16．如图，已知半⊙O的直径AB＝8，将半⊙O绕A点逆时针旋转，使点B落在点B'处，AB'与半⊙O交于点C，若图中阴影部分的面积是8π，则的长为　 　．

17．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OA1B1的斜边OA1＝2，且OA1在x轴的正半轴上，点B1落在第一象限内．将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转45°，得到Rt△OA2B2，再将Rt△OA2B2绕原点O逆时针旋转45°，又得到Rt△OA3B3，……，依此规律继续旋转，得到Rt△OA2019B2019，则点B2019的坐标为　 　．

三．解答题（共7小题）
18．（1）用公式法解方程：x2﹣2x﹣1＝0
（2）用因式分解法解方程：（x﹣1）（x+3）＝12
19．如图，已知抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的对称轴为x＝，请你解答下列问题：
（1）m＝　 　，抛物线与x轴的交点为　 　．
（2）x取什么值时，y的值随x的增大而减小？
（3）x取什么值时，y＜0？

20．在一个不透明的口袋里，装有若干个完全相同的A、B、C三种球，其中A球x个，B球x个，C球（x+1）个．若从中任意摸出一个球是A球的概率为0.25．
（1）这个袋中A、B、C三种球各多少个？
（2）若小明从口袋中随机模出1个球后不放回，再随机摸出1个．请你用画树状图的方法求小明摸到1个A球和1个C球的概率．
21．如图，点D、O在△ABC的边AC上，以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E，连结DE、OB，且DE∥OB．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）设OB与⊙O交于点F，连结EF，若AD＝OD，DE＝4，求弦EF的长．

22．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（矩形ABCD），墙长为22m，这个矩形的长AB＝xm，菜园的面积为Sm2，且AB＞AD．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）若要围建的菜园为100m2时，求该莱园的长．
（3）当该菜园的长为多少m时，菜园的面积最大？最大面积是多少m2？

23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点O是边AC的中点．
（1）在图1中，将△ABC绕点O逆时针旋转n°得到△A1B1C1，使边A1B1经过点C．求n的值．
（2）将图1向右平移到图2位置，在图2中，连结AA1、AC1、CC1．求证：四边形AA1CC1是矩形；
（3）在图3中，将△ABC绕点O顺时针旋转m°得到△A2B2C2，使边A2B2经过点A，连结AC2、A2C、CC2．
①请你直接写出m的值和四边形AA2CC2的形状；
②若AB＝，请直接写出AA2的长．

24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与两坐标轴分别交于点A、B、C，直线y＝﹣x+4经过点B，与y轴交点为D，M（3，﹣4）是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）已知点N在对称轴上，且AN+DN的值最小．求点N的坐标．
（3）在（2）的条件下，若点E与点C关于对称轴对称，请你画出△EMN并求它的面积．
（4）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、N、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若方程（m﹣1）x2﹣4x＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m≠1 B．m＝1 C．m≠0 D．m≥1
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得m﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：m﹣1≠0，
解得：m≠1，
故选：A．
2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形，是中心对称图形；
第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第四个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；
既是中心对称图形又是轴对称图形的有1个，
故选：D．
3．已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，用配方法化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果是（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x﹣1）2+2
C．y＝﹣（x﹣1）2+4 D．y＝﹣（x+1）2﹣4
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x2﹣2x+1）+1﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
故选：A．
4．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点．直线EF切⊙O于C点，分别交PA、PB于E、F，且PA＝10．则△PEF的周长为（　　）

A．10 B．15 C．20 D．25
【分析】由切线长定理知，AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝10，然后根据△PEF的周长公式即可求出其结果．
【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，
∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝4，
∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝20．
故选：C．
5．下列说法错误的是（　　）
A．必然事件发生的概率为1
B．不可能事件发生的概率为0
C．随机事件发生的概率大于等于0、小于等于1
D．概率很小的事件不可能发生
【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分析得出答案．
【解答】解：A、必然事件发生的概率为1，不合题意；
B、不可能事件发生的概率为0，不合题意；
C、随机事件发生的概率大于等于0、小于等于1，不合题意；
D、概率很小的事件不可能发生，说法错误，符合题意．
故选：D．
6．若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1且k≠0 B．k≤1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
【分析】根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：△＝4﹣4k≥0，
∴k≤1，
∵k≠0，
∴k≤1且k≠0，
故选：B．
7．某旅游景点8月份共接待游客16万人次，10月份共接待游客36万人次，设游客每月的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．16（1+x2）＝36 B．16x+16x（x+1）＝36
C．16（1+x）+16（1+x）2＝36 D．16x（x+1）＝36
【分析】设游客每月的平均增长率为x，根据该旅游景点8月份及10月份接待游客人次数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设游客每月的平均增长率为x，
依题意，得：16（1+x）2＝36．
故选：A．
8．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，连结DE．且DE＝，则弦BC的长为（　　）

A． B．2 C．3 D．
【分析】由垂径定理可得AD＝BD，AE＝CE，由三角形中位线定理可求解．
【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴BC＝2DE＝2×＝3
故选：C．
9．如图，在△ABC中，AB＝2.2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（　　）

A．1.5 B．1.4 C．1.3 D．1.2
【分析】运用旋转变换的性质得到AD＝AB，进而得到△ABD为等边三角形，求出BD即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意得：AD＝AB，且∠B＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝AB＝2，
∴CD＝3.6﹣2.2＝1.4．
故选：B．
10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴是x＝1，现有结论：
①abc＞0 ②9a﹣3b+c＝0 ③b＝﹣2a④（﹣1）b+c＜0
其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴的位置，顶点坐标，以及二次函数的增减性，逐个进行判断即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，对称轴是x＝1，与y轴的交点在负半轴，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，因此①正确；
∵对称轴是x＝1，即：＝1，也就是：b＝﹣2a，因此③正确；
由抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴是x＝1，可得与x轴另一个交点坐标为（3，0），
∴9a+3b+c＝0，而b≠0，
因此②9a﹣3b+c＝0是不正确的；
∵（﹣1）b+c＝b﹣b+c，b＝﹣2a，
∴（﹣1）b+c＝2a+b+c，
把x＝代入y＝ax2+bx+c得，y＝2a+b+c，
由函数的图象可得此时y＜0，即：（﹣1）b+c＜0，因此④是正确的，
故正确的结论有3个，
故选：C．
二．填空题（共7小题）
11．在函数y＝+（x﹣5）﹣1中，自变量x的取值范围是　x≥4且x≠5　．
【分析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．据此可得自变量x的取值范围．
【解答】解：由题可得，，
解得，
∴x≥4且x≠5，
故答案为：x≥4且x≠5．
12．若一个三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程x2﹣17x+60＝0的一个根，则该三角形的第三边长是　5　．
【分析】首先利用因式分解法求得一元二次方程x2﹣17x+60＝0的两个根，又由三角形的两边长分别是4和6，利用三角形的三边关系，即可确定这个三角形的第三边长．
【解答】解：∵x2﹣17x+60＝0，
∴（x﹣5）（x﹣12）＝0，
解得：x1＝5，x2＝12，
∵三角形的两边长分别是4和6，
当x＝12时，6+4＜12，不能组成三角形．
∴这个三角形的第三边长是5．
故答案为：5．
13．若方程x2﹣2x﹣1009＝0有一个根是α，则2α2﹣4α+1的值为　2019　．
【分析】将α代入方程x2﹣2x﹣1009＝0中，再将其变形可得所要求代数式的值．
【解答】解：方程x2﹣2x﹣1009＝0有一个根是α，则
α2﹣2α﹣1009＝0，
α2﹣2α＝1009，
2α2﹣4α+1＝2（α2﹣2α）+1＝2019．
故答案为：2019．
14．已知：在⊙O中，直径AB＝4，点P、Q均在⊙O上，且∠BAP＝60°，∠BAQ＝30°，则弦PQ的长为　2或4　．
【分析】当点P和Q在AB的同侧，如图1，连接OP、OQ、PQ，先计算出∠PAQ＝30°，根据圆周角定理得到∠POQ＝60°，则可判断△OPQ为等边三角形，从而得到PQ＝OP＝2；当点P和Q在AB的同侧，如图1，连接PQ，先计算出∠PAQ＝90°，根据优质课定理得到PQ为直径，从而得到PQ＝4．
【解答】解：当点P和Q在AB的同侧，如图1，连接OP、OQ、PQ，
∵∠BAP＝60°，∠BAQ＝30°，
∴∠PAQ＝30°，
∴∠POQ＝2∠PAQ＝2×30°＝60°，
∴△OPQ为等边三角形，
∴PQ＝OP＝2；
当点P和Q在AB的同侧，如图1，连接PQ，
∵∠BAP＝60°，∠BAQ＝30°，
∴∠PAQ＝90°，
∴PQ为直径，
∴PQ＝4，
综上所述，PQ的长为2或4．
故答案为2或4．

15．如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA＝1.25m，A处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O，直径为线段CB．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x轴的距离为2.25m，到y轴的距离为1m，则水落地后形成的圆的直径CB＝　5　m．

【分析】设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）2+2.25，将A（0，1.25）代入，求得a，从而可得抛物线的解析式，再令函数值为0，解方程可得点B坐标，从而可得CB的长．
【解答】解：设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）2+2.25
∵点A（0，1.25）在抛物线上
∴1.25＝a（0﹣1）2+2.25
解得：a＝﹣1
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+2.25
令y＝0得：0＝﹣（x﹣1）2+2.25
解得：x＝2.5或x＝﹣0.5（舍去）
∴点B坐标为（﹣2.5，0）
∴OB＝OC＝2.5
∴CB＝5
故答案为：5．
16．如图，已知半⊙O的直径AB＝8，将半⊙O绕A点逆时针旋转，使点B落在点B'处，AB'与半⊙O交于点C，若图中阴影部分的面积是8π，则的长为　2π　．

【分析】设∠OAC＝n°．根据S阴＝S半圆+S扇形BAB′﹣S半圆＝S扇形ABB′，构建方程求出n即可解决问题．
【解答】解：设∠OAC＝n°．
∵S阴＝S半圆+S扇形BAB′﹣S半圆＝S扇形ABB′，
∴＝8π，
∴n＝45，
∴∠OAC＝∠ACO＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∴的长＝＝2π，
故答案为2π．

17．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OA1B1的斜边OA1＝2，且OA1在x轴的正半轴上，点B1落在第一象限内．将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转45°，得到Rt△OA2B2，再将Rt△OA2B2绕原点O逆时针旋转45°，又得到Rt△OA3B3，……，依此规律继续旋转，得到Rt△OA2019B2019，则点B2019的坐标为　（﹣1，1）　．

【分析】观察图象可知，点B1旋转8次一个循环，利用这个规律解决问题即可．
【解答】解：观察图象可知，点B1旋转8次一个循环，
∵2018÷8＝252余数为2，
∴点B2019的坐标与B3（﹣1，1）相同，
∴点B2019的坐标为（﹣1，1）．
故答案为（﹣1，1）．
三．解答题（共7小题）
18．（1）用公式法解方程：x2﹣2x﹣1＝0
（2）用因式分解法解方程：（x﹣1）（x+3）＝12
【分析】（1）根据公式法即可求出答案；
（2）根据因式分解法即可求出答案；
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴△＝8+4＝12，
∴x＝＝；
（2）∵（x﹣1）（x+3）＝12，
∴（x+5）（x﹣3）＝0，
∴x＝﹣5或x＝3；
19．如图，已知抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的对称轴为x＝，请你解答下列问题：
（1）m＝　2　，抛物线与x轴的交点为　（﹣1，0），（2，0）　．
（2）x取什么值时，y的值随x的增大而减小？
（3）x取什么值时，y＜0？

【分析】（1）利用抛物线的对称轴方程得到﹣＝，解方程得到m的值，从而得到y＝﹣x2+x+2，然后解方程﹣x2+x+2＝0得抛物线与x轴的交点
（2）根据二次函数的性质求解；
（3）结合函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
∴m＝2，
抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2，
当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（2，0）；
（2）当x＞时，y的值随x的增大而减小；
（3）当x＜﹣1或x＞2时，y＜0．
20．在一个不透明的口袋里，装有若干个完全相同的A、B、C三种球，其中A球x个，B球x个，C球（x+1）个．若从中任意摸出一个球是A球的概率为0.25．
（1）这个袋中A、B、C三种球各多少个？
（2）若小明从口袋中随机模出1个球后不放回，再随机摸出1个．请你用画树状图的方法求小明摸到1个A球和1个C球的概率．
【分析】（1）由题意列方程，解方程即可；
（2）首先画树状图，由概率公式即可得出答案．
【解答】解：由题意得：[x+x+（x+1）]＝x，
解得：x＝1，∴x+1＝2，
答：这个袋中A、B、C三种球分别为1个、1个、2个；
（2）由题意，画树状图如图所示共有12个等可能的结果，摸到1个A球和1个C球的结果有4个，
∴摸到1个A球和1个C球的概率为＝．

21．如图，点D、O在△ABC的边AC上，以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E，连结DE、OB，且DE∥OB．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）设OB与⊙O交于点F，连结EF，若AD＝OD，DE＝4，求弦EF的长．

【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥AB，根据平行线的性质得到∠BOC＝∠EDO，∠BOE＝∠DEO，根据全等三角形的性质得到∠OCB＝∠OEB＝90°，于是得到BC是⊙O的切线；
（2）根据直角三角形的性质得到OD＝DE＝4，推出四边形DOFE是平行四边形，得到EF＝OD＝4．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E，
∴OE⊥AB，
∵DE∥OB，
∴∠BOC＝∠EDO，∠BOE＝∠DEO，
∵OE＝OD，
∴∠EDO＝∠DEO，
∴∠BOC＝∠BOE，
∵OB＝OB，OC＝OE，
∴△OCB≌△OEB（SAS），
∴∠OCB＝∠OEB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠AEO＝90°，AD＝OD，
∴ED＝AO＝OD，
∴OD＝DE＝4，
∵DE∥OF，DE＝OD＝OF，
∴四边形DOFE是平行四边形，
∴EF＝OD＝4，
∴弦EF的长为4．

22．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（矩形ABCD），墙长为22m，这个矩形的长AB＝xm，菜园的面积为Sm2，且AB＞AD．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）若要围建的菜园为100m2时，求该莱园的长．
（3）当该菜园的长为多少m时，菜园的面积最大？最大面积是多少m2？

【分析】（1）根据矩形的面积公式即可得结论；
（2）根据题意列一元二次方程即可求解；
（3）根据二次函数的顶点式即可求解．
【解答】解：（1）由题意可知：AD＝（30﹣x）
∴S＝AB•AD
＝x×（30﹣x）
＝﹣x2+15x
自变量x的取值范围是10＜x≤22．
（2）当S＝100时，﹣x2+15x＝100
解得x1＝10，x2＝20，
又10＜x≤22．
∴x＝20，
答：该菜园的长为20m．
（3）∵S＝﹣x2+15x
＝﹣（x﹣15）2+
又10＜x≤22．
∴当x＝15时，S取得最大值，最大值为112.5．
答：该菜园的长为15m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m2．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点O是边AC的中点．
（1）在图1中，将△ABC绕点O逆时针旋转n°得到△A1B1C1，使边A1B1经过点C．求n的值．
（2）将图1向右平移到图2位置，在图2中，连结AA1、AC1、CC1．求证：四边形AA1CC1是矩形；
（3）在图3中，将△ABC绕点O顺时针旋转m°得到△A2B2C2，使边A2B2经过点A，连结AC2、A2C、CC2．
①请你直接写出m的值和四边形AA2CC2的形状；
②若AB＝，请直接写出AA2的长．

【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出∠COC1即可．
（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可．
（3）①求出∠COC2即可，根据矩形的判定证明即可解决问题．②解直角三角形求出A2C2，再求出AA2即可．
【解答】（1）解：如图1中，

由旋转可知：△A1B1C1≌△ABC，
∴∠A1＝∠A＝30°，
∵OC＝OA，OA1＝OA，
∴OC＝OA1，
∴∠OCA1＝∠A1＝30°，
∴∠COC1＝∠A1+OCA1＝60°，
∴n＝60°．

（2）证明：如图2中，

∵OC＝OA，OA1＝OC1，
∴四边形AA1CC1是平行四边形，
∵OA＝OA1，OC＝OC1，
∴AC＝A1C1，
∴四边形AA1CC1是矩形．

（3）如图3中，

①∵OA＝OA2，
∴∠OAA2＝∠OA2A＝30°，
∴∠COC2＝∠AOA2＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴m＝120°，
∵OC＝OA，OA2＝OC2，
∴四边形AA2CC2是平行四边形，
∵OA＝OA2，OC＝OC2，
∴AC＝A2C2，
∴四边形AA2CC2是矩形．
②∵AC＝A2C2＝AB•cos30°＝4×＝6，
∴AA2＝A2C2•cos30°＝6×＝3．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与两坐标轴分别交于点A、B、C，直线y＝﹣x+4经过点B，与y轴交点为D，M（3，﹣4）是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）已知点N在对称轴上，且AN+DN的值最小．求点N的坐标．
（3）在（2）的条件下，若点E与点C关于对称轴对称，请你画出△EMN并求它的面积．
（4）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、N、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先确定出点B坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）先判断出点N是直线BC与对称轴的交点，即可得出结论；
（3）先求出点E坐标，最后用三角形面积公式计算即可得出结论；
（4）设出点P坐标，分三种情况利用用平行四边形的两条对角线互相平分和中点坐标公式求解即可得出结论．
【解答】解：（1）针对于直线y＝﹣x+4，
令y＝0，则0＝﹣x+4，
∴x＝5，
∴B（5，0），
∵M（3，﹣4）是抛物线的顶点，
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2﹣4，
∵点B（5，0）在抛物线上，
∴a（5﹣3）2﹣4＝0，
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为x＝3，
∵点A，B关于抛物线对称轴对称，
∴直线y＝﹣x+4与对称轴x＝3的交点就是满足条件的点N，
∴当x＝3时，y＝﹣×3+4＝，
∴N（3，）
∵点C是抛物线y＝x2﹣6x+5与y轴的交点，
∴C（0，5），
∵点E与点C关于对称轴x＝3对称，
∴E（6，5），
由（2）知，N（3，），
∵M（3，﹣4），
∴MN＝﹣（﹣4）＝，
∴S△EMN＝MN•|xE﹣xM|＝××3＝；

（4）设P（m，n），
∵A（1，0），B（5，0），N（3，），
当AB为对角线时，AB与NP互相平分，
∴（1+5）＝（3+m），（0+0）＝（+n），
∴m＝3，n＝﹣，
∴P（3，﹣）；
当BN为对角线时，（1+m）＝（（3+5），（0+n）＝（0+），
∴m＝7，n＝，
∴P（7，）；
当AN为对角线时，（1+3）＝（5+m），（0+）＝（0+n），
∴m＝﹣1，n＝，
∴P（﹣1，），
即：满足条件的点P的坐标为（3，﹣）或（7，）或（﹣1，）．