数学基础模块上册复习题1教案

这是一份数学基础模块上册复习题1教案，共8页。
1．理解集合、元素的含义及其关系.
2．理解空集的含义．
3．掌握集合的表示法．
4．掌握集合之间的关系(子集、真子集、相等)．
5．理解集合的运算(并、交、补)．
6．了解充要条件的含义．
7．通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力．
二 教材分析和教学建议
(一) 编写思路
1．集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达一些数学内容．本单元只是将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言来表示有关的数学对象，以发展其运用数学语言进行交流的能力．
2．每一个抽象概念的产生与发展总有它的现实或数学理论发展的需要，强调概念产生发展的背景，联系学生原有的认知基础，将有利于学生理解抽象概念的内涵．因此，教材根据本单元数学概念的特点选取了具有时代特点、贴近学生实际的事例创设情境．
3．集合作为一种语言，其使用几乎渗透到了数学的各个领域．教材一方面注重体现知识之间的联系、知识与实际的联系，知识的广泛应用；另一方面也考虑到学生的知识基础，在例题中，突出了数集和简单不等式解集的应用．在有限集中，所举例题大多是整数解；在无限集中，都是简单不等式的解集，这样可以使学生精力集中在集合概念本身的学习上，以减少不必要的干扰．对于教材中出现的如数的关系、质数等知识，教材还通过“工具箱”栏目给出了复习，以减少学生学习的困难．
4．例题不仅是相关知识的解析与应用，还是学生进行随堂练习与完成习题作业的参考．在编写教材时，作者注意了练习、习题的数目与例题相匹配，以减少学生完成作业时的困难；同时，在题目的数量上作了必要调整，以保证这些题目的充分利用．
本单元教学重点是使学生了解集合的含义，理解集合间包含与相等的含义，理解两个集合并集、交集与补集的含义，会用集合语言表达数学对象或数学内容．
学生学习本单元内容可能在以下两个方面感到困难：(1)区别较多的新概念及相应的新符号，例如区别元素与集合、属于与包含于、交集与并集概念及符号表示；(2)表示具体的集合时，如何从列举法和描述法中做出恰当的选择．
(二) 课时分配
本单元教学时间约需10课时，分配如下：(仅供参考)
1.1 集合 约1课时
1.2 集合的表示法 约1课时
1.3 集合之间的关系 约2课时
1.4 集合的运算 约3课时
1.5 充要条件 约1课时
归纳与总结 约2课时
(三) 内容分析与教学建议
1.1 集 合
1．集合是一个原始的、不定义的概念，教材中给出的“某些指定的对象集中在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的一个元素”只是对集合的描述性说明，我们不要求学生记忆什么叫集合，但是要求学生联系生活经验和已有的数学知识，初步了解集合的特征和含义．
2．元素的确定性和互异性是集合的特点．在教学时，除了教材中的例子，教师还可以多举些形如“好看的衣服”等不是集合的例子加以说明，也可以让学生自己举些例子加以说明．
3．通过举例，说明元素与集合之间的“属于(∈)”“不属于(∉)”关系．
4．在复习数有关的知识的基础上，逐步引入常用的数集及其专用符号．
5．空集、有限集与无限集是以考虑集合中元素的个数为基础进行划分的．有些学生对空集会感到疑惑，既然没有元素，为什么还称为集合呢？其实，这是一种规定：不含有任何元素的集合称为空集，记为∅.这个规定与集合的确定性没有矛盾，因为所有的对象都不属于这个集合．
1.2 集合的表示法
1．对于教材中的例1和例2，不仅要使学生明白用列举法表示集合的方法，同时还要让学生知道集合中元素的列举与元素顺序无关，即集合的无序性. 教学时，教师还可以举一些别的例子，如用列举法表示甲、乙两个足球队比赛时所有甲方队员组成的集合等．
2．教材在介绍描述法前给出了“想一想”，目的是让学生认识到仅用列举法表示集合是不够的，由此说明学习描述法的必要性．学习描述法时，可让学生针对具体的集合，先用自然语言表述集合中元素具有的共同属性，再介绍用描述法表示集合的方法．
3．教材给出了两种集合的表示方法：列举法、描述法．教材中的例3，不仅要让学生学习两种表示法，同时还要让学生体会如何恰当选择表示法表示集合．列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法. 一般情况下，对有限集，在元素不太多的情况下，宜采用列举法，它具有直观明了的特点；对无限集，一般采用描述法表示．
4．教学时，教师要注意突出重点，切忌逐个概念孤立地讲解，让学生死记硬背，应该以解决具体问题为线索，依次导出概念，进而在练习的解答中，逐步熟悉概念．
1.3 集合之间的关系
1．教材用“议一议”启发学生通过类比熟悉的两个实数之间的关系，联想两个集合之间的关系．这种由某类事物已有的性质，以类比、联想的方式猜想另一类相似事物的性质，是数学学习中重要的思维方法．教学时，教师应抓住机会让学生充分思考和积极探索，并鼓励他们说出自己的想法．
2．在学生类比并对两个集合间的关系产生了某些想法后，教材通过分析三个具体的例子的共同特点给出了集合间的包含关系．教学时，建议先让学生自己观察、发现相应的共同特点，然后再给出包含关系的定义．
3．在包含关系及相关概念(如子集、真子集)的教学中，建议让学生从三个方面理解它们：自然语言，符号语言，图形语言(Venn图)．例如，用自然语言描述子集：如果A是B的子集，那么集合A中的任一元素都是集合B中的元素；用符号语言描述子集：A⊆B；用图形语言描述子集即教材中的图1－1.
4．Venn图可以形象、直观地表示集合间的关系，教学时只要让学生知道表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形，也可以是其他封闭曲线．
5．建议类比数的大小关系的结论，让学生自己说出本小节给出的结论．
6．本小节的例3不仅可以让学生加深对子集、真子集及包含关系的理解，还可以让学生学习分类的思想方法．这里是按子集的元素个数为标准进行分类的，共分三类，即不含(或0个)元素的为一类：∅；1个元素的为一类：{a}，{b}；2个元素的为一类：{a，b}．
7．本节的概念多，符号也多，教师应该设计适当的问题，指导学生运用比较的方法区别有关概念，特别是辨清容易混淆的概念．例如，以下每一组概念既有联系又有区别：子集与包含，包含与相等，子集与真子集，等等.
1.4 集合的运算
本小节介绍了集合的三种基本运算，以及全集的概念．
1．教材以一个具体的例子为载体引入集合的运算．
2．对于两个集合的并集的理解，不仅要会用自然语言描述，还要学会用符号表示，以及图形表示．
3．在学习两个集合的并集时，建议让学生思考：为什么相同的元素只出现一次？这样不仅可以让学生知道这个规定是集合的互异性所要求的，而且还可以让学生体会数学上的规定要讲逻辑顺序，培养学生有条理地进行思考习惯．
4．交集的教学，应充分发挥教材中例子的作用．此外，还可以让学生自己举些例子．同样的，此处也建议从三个方面理解交集的含义：自然语言、符号表示、图形表示．例如，通过Venn图1－1让学生意识到公共部分与交集的关系：
图1－1
图1－1(1)表示集合A与集合B的公共部分就是A，即A∩B＝A；
图1－1(2)表示集合A与集合B的公共部分不是空集，但不是A，也不是B，即A∩B⊂A，且A∩B⊂B；
图1－1(3)表示集合A与集合B的公共部分是空集，即A∩B＝∅.
在给出交集记法
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
时，建议与并集的记法
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
进行比较，使学生认识到“并”“或”与记号“∪”之间的对应关系，以及“交”“且”与记号“∩”之间的对应关系．
5．集合的补集是在全集概念给出后介绍的．在数学研究中，明确在什么范围内讨论问题是非常重要的，这就是学习全集概念的意义．相对于并集与交集两个概念，补集是较难理解的．因此，教学时教师宜多用Venn图的直观性帮助学生理解．
1.5 充要条件
1．充分条件、必要条件、充要条件不但是数学中的重要概念，也是一般逻辑中的重要概念，它们揭示了命题的条件和结论之间的内在联系，也揭示了两个因果关系的命题之间的逻辑关系．教材从学生学过的命题中举例分析，使学生通过实际题目的练习，逐渐认识充分条件与必要条件之间的因果关系，充要条件与充分条件、必要条件之间的关系，从而了解充分条件、必要条件、充要条件的含义．
2．教学时，关键是先引导学生弄清充分条件、必要条件两个概念，再理解充要条件就不难了．要通过学生学过的较熟悉的命题，引导学生明确它们之间的因果关系，抓住典型范例，使学生熟悉新概念．
(四) 复习建议
1．构建知识结构
2．梳理知识要点
见教材《归纳与总结》部分．
3．需要注意的问题
(1)集合与集合的元素是两个不定义的概念，教材中只给出了描述性定义．但是，应该清楚，集合中的元素具有确定性、互异性．确定性是指给定一个集合，一个元素属于、不属于该集合是明确的．像美丽的花，比较小的数等都不能组成一个集合．互异性是指在一个集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象只能算作这个集合的一个元素．此外，集合中的元素还具有无序性．
(2)注意区分容易混淆的符号，如“∈”与“⊆”，a与{a}．
4．典型例题
见教材中的《归纳与总结》部分．其中例1是一道涉及集合的表示法、集合之间的关系、集合的运算等知识的基础题；例2的解答需要学生对集合的运算有较为深入的理解．
5．解题指导
(1)注意集合元素性质的应用
集合的元素具有三个性质：①元素的确定性；②元素的互异性；③元素的无序性．在解题中，不少同学往往忽视集合中元素的互异性而导致解题失误．
例1 已知集合A＝{3，3＋m，3＋5m}，B＝{3，3p，3p2}，且A＝B，求m，p的值．
错解：由A＝B，若 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3＋m＝3p，,3＋5m＝3p2，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝0，,p＝1，)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝9，,p＝4.))
若 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3＋m＝3p2，,3＋5m＝3p，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝0，,p＝1，)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－\f(27,25)，,p＝－\f(4,5).))
故 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝0，,p＝1，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－\f(27,25)，,p＝－\f(4,5)，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝9，,p＝4)) 为所求．
说明：上面的答案有误．事实上，将m＝0，p＝1代入A，B中，则A＝{3，3，3}，B＝{3，3，3}，不符合元素的互异性，故m＝0，p＝1应舍去．正确答案为
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝9，,p＝4，)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－\f(27,25)，,p＝－\f(4,5).))
由此看来，运用集合关系进行运算来确定集合中的特定字母时，应注意检验，看看是否满足集合元素的性质以及题设条件．
(2) 注意空集是任何集合的子集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．在解题过程中，要注意有无可能存在空集情况，否则可能导致失误．
例2 已知集合A＝{x|x2－x－2＝0}，集合B＝{x|ax－1＝0}，且B⊂A，求a的值．
解：由集合A，得x＝－1或x＝2.
当x＝－1时，a＝－1；
当x＝2时，a＝eq \f(1,2).
但a＝0时，B＝∅，也符合B⊂A.
所以a＝－1，a＝eq \f(1,2)，a＝0.
说明：如果忽略了B＝∅也符合B⊂A，则会丢掉a＝0的情况，从而导致解题失误．
(3) 在考查集合间的关系时，应注意“集合相等”这一特殊情况
例3 如果集合P∩Q＝P，那么( )．
A．P⊃Q B．P⊇Q C. P⊂Q D．P⊆Q
解：应注意P＝Q这一特殊情况．如图1－2可知应选D.
图1－2
(4) 注意求解集合问题时的语言转换
语言是数学问题的基础．集合问题中的数学语言，其常见形式主要有三种：一是文字语言，二是符号语言，三是图形语言．三种语言虽然形式不同，但它们对于同一个数学对象的描述本质属性是一致的，因此它们之间可以互相转换．
例4 设S为全集，M，N，P都是其子集，则图1－3阴影部分表示的集合为( )．
图1－3
A．M∩(N∪P) B．M∩(P∩∁S N)
C．P∩(∁S∩∁SN) D．(M∩N)∪(M∩P)
解：阴影部分的元素x∈P且x∈M，但x∈N，所以阴影部分表示的集合为M∩(P∩∁SN)，应选B.
说明：将集合的图形语言转化为符号语言，叩开了解题的大门．
例5 已知全集S＝{eq \b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x2