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华师大版九年级上册1. 二次根式的乘法课堂检测
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这是一份华师大版九年级上册1. 二次根式的乘法课堂检测，文件包含2121二次根式的乘法难点练原卷版docx、2121二次根式的乘法难点练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2021·广东九年级专题练习）下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分别根据二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则判断即可.
【详解】解：A、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、
=
=
=，故选项正确；
D、，故选项错误；
故选C.
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则，解题的关键是学会计算，掌握运算法则.
2．（2020·安徽九年级专题练习）计算=( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的混合运算和根式的性质即可解题.
【详解】解： ,
故选C.
【点睛】本题考查了根式的运算,属于简单题,熟悉根式的性质是解题关键.
3．（2020·山西九年级专题练习）下列运算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】逐项分析如下：
4．（2021·重庆九年级其他模拟）估算的运算结果应在（ ）
A．6与7之间B．7与8之间C．8与9之间D．9与10之间
【答案】C
【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算．
【详解】解：∵4，而45，
∴原式运算的结果在8到9之间；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的运算、无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
5．（2021·全国九年级专题练习）估计×（﹣）的值应在（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
【答案】B
【分析】根据二次根式的运算，求出结果，再估算，进而得出答案．
【详解】解：×（）＝﹣3，
而4＜＜5，
所以1＜﹣3＜2，
故选：B．
【点睛】本题考查无理数的估算，二次根式的运算，掌握二次根式的计算方法和无理数估算方法是得出正确结论的关键．
6．（2021·全国九年级专题练习）若a＝2+，b＝2-，则ab＝（ ）．
A．1B．2C．D．2
【答案】A
【分析】根据平方差公式、二次根式乘法性质计算，即可得出答案．
【详解】∵a＝2+，b＝2-，
∴ab＝ ＝4-3＝1
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法、平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式、二次根式乘法的性质，从而完成求解．
7．（2021·全国九年级专题练习）我国南宋著名数学家秦九韶在他著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边分别为a，b，c，S为面积，则该三角形的面积公式为S＝，已知的三边分别是3，和，则的面积是（ ）．
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】根据二次根式乘法、乘方、最简二次根式的性质，利用已知运算公式，将数据代入代数式计算，即可得到答案．
【详解】∵△ABC的三边分别是3，和，即，，
∴△ABC的面积S＝
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式乘法、最简二次根式的性质，从而完成求解．
二、填空题
8．（2021·安徽九年级专题练习）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为________．
【答案】
【分析】先将表格中最上一行的3个数相乘得到，然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是，即可求解．
【详解】解：由题意可知，第一行三个数的乘积为：，
设第二行中间数为x，则，解得，
设第三行第一个数为y，则，解得，
∴2个空格的实数之积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根数的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键．
9．（2020·盐城市初级中学）计算的结果是_______________ ．
【答案】6
【分析】原式利用二次根式的乘法法则以及二次根式的化简即可求值．
【详解】
=．
故答案为：6．
【点睛】此题考查了二次根式的乘法以及二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（2021·天津市咸水沽第三中学九年级一模）化简_______．
【答案】；
【分析】利用完全平方公式展开计算即可．
【详解】．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
11．（2020·山西九年级期中）计算：_______．
【答案】
【分析】运用多项式乘多项式展开，再合并同类二次根式即可．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，运用多项式乘多项式进行计算是解答本题的关键．
12．（2021·四川九年级一模）如图，在中，，底边，线段AB的垂直平分线交BC于点E，则的周长为__________．
【答案】2+2
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE，∠B=∠BAE=30°，得到∠CAE=90°，可得AE+EC=BC=2，求得AE、EC的长，再求得AC的长，即可得到结论．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，∠B=∠C=30°，
∴BE=AE，∠B=∠BAE=30°，
∴∠CAE=180°-∠B-∠BAE-∠C =90°，
在Rt△CAE中，∠C=30°，
∴EC=2AE，
∴AE+EC=BE+EC=BC=2，即3AE=2，
∴AE=，EC=，
∴AC=，
∴∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2，
故答案为：2+2．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算，等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力．
13．（2021·天津九年级二模）计算的结果等于_________．
【答案】
【分析】利用完全平方公式进行计算，即可得出答案．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则并能利用完全平方公式求解是解题的关键．
三、解答题
14．（2020·河北唐山市·九年级一模）完全平方公式是初中数学的重要公式之一：，完全平方公式既可以用来进行整式计算又可以用来进行分解因式，在学习中芳芳同学发现也可以用完全平方公式进行分解因式，；根据以上发现解决问题
（1）写出一个上面相同的式子，并进行分解因式；
（2）若，请用，表示，
（3）如图在中，，，，延长至点，使，求的长（参考上面提供的方法把结果进行化简）
【答案】（1）；（2），；（3）
【分析】（1）利用计算得到的结果，反过来可得到答案，
（2）计算，观察结果利用无理数与有理数的对应关系可得答案，
（3）先利用勾股定理得到：，利用完全平方式的特点求的算术平方根即可．
【详解】
解：（1）
（2），
所以，
（3）由勾股定理得，
，
，又，
所以，．
；
所以，
所以，
因为为三角形的一边，
所以不合题意舍去，
所以
【点睛】本题考查的是利用完全平方式的特点对二次根式进行变形，勾股定理的应用，掌握公式特点，有理数与无理数的对应关系是解题的关键．
15．（2017·山西）对于任意两个正数，定义运算*为：，计算：的结果．
【答案】．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴原式
．
16．（2020·剑阁县公兴初级中学校九年级月考）计算：
【答案】
【分析】根据负整数指数幂、绝对值、二次根式、零指数幂、平方差公式的性质计算，即可得到答案．
【详解】
．
【点睛】本题考查了负整数指数幂、绝对值、二次根式、零指数幂、平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握负整数指数幂、绝对值、二次根式、零指数幂、平方差公式的性质，从而完成求解．
17．（2020·河南洛阳市·九年级月考）计算：．
【答案】4﹣1．
【分析】首先利用二次根式的乘法法则、绝对值的性质、零次幂的性质进行计算，再算加减即可．
【详解】
解：
＝3﹣（2﹣）+1
＝3﹣2++1
＝4﹣1．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握二次根式的乘法法则、绝对值的性质、零次幂的性质．
18．（2021·新乡市·河南师大附中九年级其他模拟）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，13
【分析】利用完全平方公式，以及平方差公式，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式
．
【点睛】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握整式混合运算运算法则和二次根式乘法是解本题的关键．
19．（2019·浙江杭州市·）仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为，，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，，用、代替，得，，即（*），我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求函数的最大最小值．我们以“已知，求的最小值”为例给同学们介绍．
解：由题知，∵，，
∴，当且仅当时取等号，即当时，函数的最小值为．
总结：利用基本不等式求最值，若为定值，则有最小值．
请同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应的取值．
（1）若，求函数的最小值；
（2）若，求的最小值；
（3）若，求函数的最小值．
【答案】（1），；（2），；（3），
【分析】（1）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可；
（2）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可；
（3）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可.
【详解】
解：（1）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为4；
（2）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为4；
（3）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为6.
【点睛】本题是对二次根式和不等式的综合考查，读懂题意，准确变形是解决本题的关键.
选项
逐项分析
正误
A
×
B
√
C
√
D
√
2
1
6
3
一、单选题
1．（2021·广东九年级专题练习）下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分别根据二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则判断即可.
【详解】解：A、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、
=
=
=，故选项正确；
D、，故选项错误；
故选C.
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则，解题的关键是学会计算，掌握运算法则.
2．（2020·安徽九年级专题练习）计算=( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的混合运算和根式的性质即可解题.
【详解】解： ,
故选C.
【点睛】本题考查了根式的运算,属于简单题,熟悉根式的性质是解题关键.
3．（2020·山西九年级专题练习）下列运算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】逐项分析如下：
4．（2021·重庆九年级其他模拟）估算的运算结果应在（ ）
A．6与7之间B．7与8之间C．8与9之间D．9与10之间
【答案】C
【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算．
【详解】解：∵4，而45，
∴原式运算的结果在8到9之间；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的运算、无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
5．（2021·全国九年级专题练习）估计×（﹣）的值应在（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
【答案】B
【分析】根据二次根式的运算，求出结果，再估算，进而得出答案．
【详解】解：×（）＝﹣3，
而4＜＜5，
所以1＜﹣3＜2，
故选：B．
【点睛】本题考查无理数的估算，二次根式的运算，掌握二次根式的计算方法和无理数估算方法是得出正确结论的关键．
6．（2021·全国九年级专题练习）若a＝2+，b＝2-，则ab＝（ ）．
A．1B．2C．D．2
【答案】A
【分析】根据平方差公式、二次根式乘法性质计算，即可得出答案．
【详解】∵a＝2+，b＝2-，
∴ab＝ ＝4-3＝1
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法、平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式、二次根式乘法的性质，从而完成求解．
7．（2021·全国九年级专题练习）我国南宋著名数学家秦九韶在他著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边分别为a，b，c，S为面积，则该三角形的面积公式为S＝，已知的三边分别是3，和，则的面积是（ ）．
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】根据二次根式乘法、乘方、最简二次根式的性质，利用已知运算公式，将数据代入代数式计算，即可得到答案．
【详解】∵△ABC的三边分别是3，和，即，，
∴△ABC的面积S＝
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式乘法、最简二次根式的性质，从而完成求解．
二、填空题
8．（2021·安徽九年级专题练习）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为________．
【答案】
【分析】先将表格中最上一行的3个数相乘得到，然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是，即可求解．
【详解】解：由题意可知，第一行三个数的乘积为：，
设第二行中间数为x，则，解得，
设第三行第一个数为y，则，解得，
∴2个空格的实数之积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根数的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键．
9．（2020·盐城市初级中学）计算的结果是_______________ ．
【答案】6
【分析】原式利用二次根式的乘法法则以及二次根式的化简即可求值．
【详解】
=．
故答案为：6．
【点睛】此题考查了二次根式的乘法以及二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（2021·天津市咸水沽第三中学九年级一模）化简_______．
【答案】；
【分析】利用完全平方公式展开计算即可．
【详解】．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
11．（2020·山西九年级期中）计算：_______．
【答案】
【分析】运用多项式乘多项式展开，再合并同类二次根式即可．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，运用多项式乘多项式进行计算是解答本题的关键．
12．（2021·四川九年级一模）如图，在中，，底边，线段AB的垂直平分线交BC于点E，则的周长为__________．
【答案】2+2
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE，∠B=∠BAE=30°，得到∠CAE=90°，可得AE+EC=BC=2，求得AE、EC的长，再求得AC的长，即可得到结论．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，∠B=∠C=30°，
∴BE=AE，∠B=∠BAE=30°，
∴∠CAE=180°-∠B-∠BAE-∠C =90°，
在Rt△CAE中，∠C=30°，
∴EC=2AE，
∴AE+EC=BE+EC=BC=2，即3AE=2，
∴AE=，EC=，
∴AC=，
∴∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2，
故答案为：2+2．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算，等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力．
13．（2021·天津九年级二模）计算的结果等于_________．
【答案】
【分析】利用完全平方公式进行计算，即可得出答案．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则并能利用完全平方公式求解是解题的关键．
三、解答题
14．（2020·河北唐山市·九年级一模）完全平方公式是初中数学的重要公式之一：，完全平方公式既可以用来进行整式计算又可以用来进行分解因式，在学习中芳芳同学发现也可以用完全平方公式进行分解因式，；根据以上发现解决问题
（1）写出一个上面相同的式子，并进行分解因式；
（2）若，请用，表示，
（3）如图在中，，，，延长至点，使，求的长（参考上面提供的方法把结果进行化简）
【答案】（1）；（2），；（3）
【分析】（1）利用计算得到的结果，反过来可得到答案，
（2）计算，观察结果利用无理数与有理数的对应关系可得答案，
（3）先利用勾股定理得到：，利用完全平方式的特点求的算术平方根即可．
【详解】
解：（1）
（2），
所以，
（3）由勾股定理得，
，
，又，
所以，．
；
所以，
所以，
因为为三角形的一边，
所以不合题意舍去，
所以
【点睛】本题考查的是利用完全平方式的特点对二次根式进行变形，勾股定理的应用，掌握公式特点，有理数与无理数的对应关系是解题的关键．
15．（2017·山西）对于任意两个正数，定义运算*为：，计算：的结果．
【答案】．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴原式
．
16．（2020·剑阁县公兴初级中学校九年级月考）计算：
【答案】
【分析】根据负整数指数幂、绝对值、二次根式、零指数幂、平方差公式的性质计算，即可得到答案．
【详解】
．
【点睛】本题考查了负整数指数幂、绝对值、二次根式、零指数幂、平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握负整数指数幂、绝对值、二次根式、零指数幂、平方差公式的性质，从而完成求解．
17．（2020·河南洛阳市·九年级月考）计算：．
【答案】4﹣1．
【分析】首先利用二次根式的乘法法则、绝对值的性质、零次幂的性质进行计算，再算加减即可．
【详解】
解：
＝3﹣（2﹣）+1
＝3﹣2++1
＝4﹣1．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握二次根式的乘法法则、绝对值的性质、零次幂的性质．
18．（2021·新乡市·河南师大附中九年级其他模拟）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，13
【分析】利用完全平方公式，以及平方差公式，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式
．
【点睛】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握整式混合运算运算法则和二次根式乘法是解本题的关键．
19．（2019·浙江杭州市·）仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为，，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，，用、代替，得，，即（*），我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求函数的最大最小值．我们以“已知，求的最小值”为例给同学们介绍．
解：由题知，∵，，
∴，当且仅当时取等号，即当时，函数的最小值为．
总结：利用基本不等式求最值，若为定值，则有最小值．
请同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应的取值．
（1）若，求函数的最小值；
（2）若，求的最小值；
（3）若，求函数的最小值．
【答案】（1），；（2），；（3），
【分析】（1）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可；
（2）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可；
（3）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可.
【详解】
解：（1）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为4；
（2）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为4；
（3）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为6.
【点睛】本题是对二次根式和不等式的综合考查，读懂题意，准确变形是解决本题的关键.
选项
逐项分析
正误
A
×
B
√
C
√
D
√
2
1
6
3
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