江苏省淮安市高中校协作体2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷含答案

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淮安市高中校协作体2021-2022学年第一学期期中考试高二数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是(　　)CA．0°              B．45°             C．90°              D．135°2.抛物线的准线方程为（     ）DA．    B．    C．  D．3.已知直线经过点和点，直线，直线.若，，则的值为（   ）AA．           B．             C．               D．4.设是等差数列的前n项和，若则（       ）AA． B． C． D．5.若直线与圆没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）CA．   B． C．  D． 6.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已经,,动点满足,则动点轨迹与圆的位置关系是（   ）DA．相交 B．相离 C．内切 D．外切7. 斐波那契(约1170~1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花，飞燕草，万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,…,数列满足，，设，则（    ）DA．2019            B．2020           C．2021         D．2022  8. 过椭圆的右焦点作轴的垂线，交椭圆于A，B两点，直线过椭圆的左焦点和上顶点.若以为直径的圆与直线存在公共点，则的离心率的取值范围是（    ）AA． B． C． D．二､多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共计20分.每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 请把答案填涂在答题卡相应位置上9.椭圆的焦距为，则的值为（     ）ABA．9 B．23 C． D．10.若方程所表示的曲线为，则下面四个选项中正确的是（    ）BCDA．若，则曲线为椭圆B．若曲线为椭圆，且长轴在轴上，则C．若曲线为双曲线，则或D．曲线可能是圆.11.以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（    ）ACA.         B.         C.      D. 12. 已知抛物线：的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限）、与抛物线的准线交于点，若，则下列结论正确的是（     ）ABCA． B．为中点     C．  D．三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13. ①在数列中，若是常数，则数列是等差数列；②设数列是等差数列，若则③数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有④若数列是等差数列，则，…也成等差数列．上述命题中，其中正确的命题的序号为                     . ①②③④14. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则线段的长为________．1215. 已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆上，则的值是________．16. 已知分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点．（1）的值为________；20（2）若，且的面积为，求b的值为________．   8    四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分10分) .已知等差数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值及相应的的值.解：（1）在等差数列中，∵,∴，………………………………………………………………………2分解得，…………………………………………………………………………4分∴；………………………………………………………6分（2）∵，∴ ，……………………8分∴当或时，有最大值是20…………………………………………10分 18.(本小题满分12分)已知双曲线的离心率为，抛物线（）的焦点为，准线为，交双曲线的两条渐近线于、两点，的面积为8.（1）求双曲线的渐近线方程；（2）求抛物线的方程.解:（1）由题意，双曲线的离心率为， 可得，解得，可得，…………4分所以双曲线的渐近线方程为.…………6分（2）由抛物线，可得其准线方程为，…………7分代入双曲线渐近线方程得，，………9分所以，…………10分则，解得，所以抛物线的方程为.…………12分 19.(本小题满分12分)在①，②，③轴时，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．问题：已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且______．（1）求抛物线的标准方程．（2）若直线与抛物线交于两点，求的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解:方案一  选择条件①．（1）由抛物线的定义可得．…………………………………2分因为，所以，解得．    故抛物线的标准方程为．        ……………………………4分（2）设，，，由（1）可知． …………………5分由，消去得，……………………………7分则，，所以，…………………………9分又，，所以，故． …………11分   因为点到直线的距离，所以的面积为．…………12分方案二  选择条件②．（1）因为，所以，，……………………………2分因为点在抛物线上，所以，即，解得，    所以抛物线的标准方程为．   …………………………………4分（2）设，，由（1）可知．  ………………………5分由，得，………………………………7分则，，所以，…………………………9分又，，所以，故．………11分因为点到直线的距离，所以的面积为．………12分方案三  选择条件③．（1）当轴时，，所以．    …………………2分故抛物线的标准方程为．          …………………4分（2）设，，解法同上 . 20.(本小题满分12分)（1）在平面直角坐标系中，直线与圆相切于点, 圆心在直线上. 求圆的方程；（2）已知圆与圆相交，求实数的取值范围．解：（1）（方法一）设圆的方程是，则圆心，半径是，………1分因为圆心在直线上，所以，……①…………………………2分因为圆与直线相切，所以线心距，……②………3分又切点在圆上，所以……③………………4分①代入②得，，………④①代入③得，………⑤由④和⑤得，整理得所以，…………………………………5分所求圆的方程是………………………6分方法二：设圆心，半径是， 则圆方程是……………………2分因为圆与直线相切于点,所以与直线垂直，所以,………4分所以圆心，所以，…………………………5分所求圆的方程是。……………………………6分（2）圆化为，………………………………7分由已知得，所以，……8分因为两圆相交，所以，，………………………………10分所以，，，所以，。……………………………12分  21. (本小题满分12分)已知椭圆：过点，长轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作直线与椭圆交于，两点，当为线段中点时，求直线的方程．      解：（1）因为椭圆的长轴长为，所以，得……………1分又椭圆：（）过点，所以，得．                    ………………3分所以椭圆的标准方程为．                ………………4分（2）直线的斜率不存在时，过点的直线的方程为， 此时线段中点为，不合题意．  ……………………………………5分所以可设直线的方程为，即，设，．……………………………………………………………6分将代入消去得， ……………………………8分当时，，   又为线段中点时，所以，于是，解得， 且此时，……………………………10分所以直线的方程为，即.…………………………12分另解（2）方法二：直线的斜率不存在时，过点的直线的方程为，此时线段中点为，不合题意．…………………………………5分所以直线的斜率必存在，设其为，设，，………………………6分因为为的中点，则，所以，………………………7分将、坐标代入椭圆的标准方程为得，，………………8分两式相减得：，整理得：，所以，，所以.………………………………………………………10分所以直线的方程为，即.因为点在椭圆内部，所以直线必与椭圆相交于两点，此直线即为所求. ………12分       22.(本小题满分12分) 如图，椭圆经过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2.     解：（1）由题意知，又，………………2分解得，所以椭圆的方程为.………………4分(II) 设，，由题设知，直线的方程为，…………6分将直线代入，得  ，………………8分由已知，或则，………………9分从而直线与的斜率之和        .即直线与的斜率之和是2. ………………………12分