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2021年浙江省金华市婺城区中考数学模拟试卷 解析版
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这是一份2021年浙江省金华市婺城区中考数学模拟试卷 解析版，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）（﹣21）÷7的结果是（ ）
A．3B．﹣3C．D．
2．（3分）计算（﹣x）2•x3所得的结果是（ ）
A．x5B．﹣x5C．x6D．﹣x6
3．（3分）不等式组的解在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）单项式9xmy3与单项式4x2yn是同类项，则m+n的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（3分）如图，点A为反比例函数图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣2D．2
6．（3分）如图，已知正方形的边长为1，若圆与正方形的四条边都相切，则阴影部分的面积与下列各数最接近的是（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
7．（3分）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点
8．（3分）图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（ ）
A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）
9．（3分）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝50°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
10．（3分）如图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则+++…+的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11．（4分）已知x2﹣2x﹣3＝0，则2x2﹣4x的值为 ．
12．（4分）随着我国疫情防控形势转好，我国经济正在稳步恢复．据国家统计局初步核算，2021年一季度国内生产总值249310亿元，按可比价格计量，同比增长18.3%．数据249310亿元用科学记数法可表示为 亿元．
13．（4分）某商品先按批发价a元提高10%零售，后又按零售价降低10%出售，则它最后的单价是 元．
14．（4分）如果函数y＝（a﹣1）x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是 ．
15．（4分）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为 ．
16．（4分）如图1是护眼台灯，该台灯的活动示意图如图2所示．灯柱BC＝6cm，灯臂AC绕着支点C可以旋转，灯跟呈圆弧形（即弧AD和弧EF）．在转动过程中，AD（EF）总是与桌面BH平行．当AC垂直BH时，AB＝51cm，DM⊥MH，测得DM＝42cm（点M在墙壁MH上，且MH⊥BH）；当灯臂AC转到CE位置时，FN⊥MIH，测得FN＝15cm，则点E到桌面的距离为 cm．若此时点C，F，M在同一条直线上，弧EF的最低点到桌面BH的距离为31cm，则弧EF所在圆的半径为 cm（保留一位小数）．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17．（6分）计算：|﹣3|+（﹣2021）0﹣4sin30°+（）﹣1．
18．（6分）解分式方程：．
19．（6分）如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在小正方形的顶点上．请在图中画出满足如下条件的图形．
（1）在图1中画出一个菱形ABCD，点C、D在小正方形的顶点上；
（2）在图2中画出一个平行四边形ABCD，点C、D在小正方形的顶点上，且它的面积等于4．
20．（8分）为了把巴城建成省级文明城市，特在每个红绿灯处设置了文明监督岗，文明劝导员老张某天在市中心的一十字路口，对闯红灯的人数进行统计．根据上午7：00～12：00中各时间段（以1小时为一个时间段），对闯红灯的人数制作了如图所示的扇形统计图和条形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题：
（1）问这一天上午7：00～12：00这一时间段共有多少人闯红灯？
（2）请你把条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中9～10点，10～11点所对应的圆心角的度数．
（3）求这一天上午7：00～12：00这一时间段中，各时间段闯红灯的人数的众数和中位数．
21．（8分）如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．
（1）求证：BC平分∠PBD；
（2）求证：BC2＝AB•BD；
（3）若PA＝6，PC＝6，求BD的长．
22．（10分）为加快推进“人工智能实验区”的工作，信息中心计划购进一批机器人套件和3D打印机．经过市场考察得知，购买1份机器人套件和2台3D打印机需要3.5万元，购买2份机器人套件和1台3D打印机需要2.5万元．
（1）求每份机器人套件、每台3D打印机各多少万元？
（2）根据区内学校实际，需购进机器人套件和3D打印机共300台，总费用不超过300万元，但不低于280万元，请你通过计算求出费用最低的购买方案．
23．（10分）已知关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y＝kx+1的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）．
（1）当k＝0，m＝0时，判断△AOB的类型；
（2）当k＝1，m＝0时，求AB的长；
（3）当k＝1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．
注：①平面内两点间的距离公式AB＝；
②方程ax2+bx+c＝0的两根x1，x2满足x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求A、C两点的坐标；
（2）当△ABC为轴对称图形时，求抛物线的解析式；
（3）当△ABC关于y轴成轴对称时，若点M、N是抛物线上的动点，且有MN∥x轴，点P是x轴上的动点，在坐标平面内是否存在一点Q，使以M、N、P、Q为顶点的四边形构成正方形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
2021年浙江省金华市婺城区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中一个符合题意的正确选项.不选、多选、错选均不给分）
1．（3分）（﹣21）÷7的结果是（ ）
A．3B．﹣3C．D．
【分析】根据有理数的除法法则计算即可．
【解答】解：原式＝﹣3，
故选：B．
2．（3分）计算（﹣x）2•x3所得的结果是（ ）
A．x5B．﹣x5C．x6D．﹣x6
【分析】积的乘方，等于把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加，计算后直接选取答案．
【解答】解：（﹣x）2x3＝x2•x3＝x5．
故选：A．
3．（3分）不等式组的解在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先解每一个不等式，再根据结果判断数轴表示的正确方法．
【解答】解：由不等式①，得2x＞2，解得x＞1，
由不等式②，得﹣2x≤﹣4，解得x≥2，
∴数轴表示的正确的是C选项，
故选：C．
4．（3分）单项式9xmy3与单项式4x2yn是同类项，则m+n的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据同类项的定义，可得m，n的值，根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：由题意，得
m＝2，n＝3．
m+n＝2+3＝5，
故选：D．
5．（3分）如图，点A为反比例函数图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣2D．2
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变，可计算出答案．
【解答】解：△ABO的面积为：×|﹣4|＝2，
故选：D．
6．（3分）如图，已知正方形的边长为1，若圆与正方形的四条边都相切，则阴影部分的面积与下列各数最接近的是（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
【分析】先估算出圆的面积，再根据S阴影＝S正方形﹣S圆解答．
【解答】解：∵正方形的边长为1，圆与正方形的四条边都相切，
∴S阴影＝S正方形﹣S圆＝1﹣0.25π≈0.215．
故选：B．
7．（3分）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点
【分析】根据抛物线的性质由a＝1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
8．（3分）图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（ ）
A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）
【分析】轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，据此判断出通过轴对称得到的是哪个图形即可．
【解答】解：∵轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，
∴通过轴对称得到的是（1）．
故选：A．
9．（3分）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝50°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【分析】首先连接AD，由A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70°，AO∥DC，可求得∠ADO与∠ODC的度数，然后由圆的内接四边新的性质，求得答案．
【解答】解：连接AD，
∵OA＝OD，∠AOD＝50°，
∴∠ADO＝＝65°．
∵AO∥DC，
∴∠ODC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝∠ADO+∠ODC＝115°，
∴∠B＝180°﹣∠ADC＝65°．
故选：D．
10．（3分）如图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则+++…+的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可．
【解答】解：a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，an＝n（n+2）；
∴+++…+＝++++…+＝（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（1+﹣﹣）＝，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11．（4分）已知x2﹣2x﹣3＝0，则2x2﹣4x的值为 6 ．
【分析】利用提取公因式法得出2x2﹣4x＝2（x2﹣2x）即可得出代数式的值．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣2x＝3，
∴2x2﹣4x＝2（x2﹣2x）＝2×3＝6．
故答案为：6．
12．（4分）随着我国疫情防控形势转好，我国经济正在稳步恢复．据国家统计局初步核算，2021年一季度国内生产总值249310亿元，按可比价格计量，同比增长18.3%．数据249310亿元用科学记数法可表示为 2.4931×105 亿元．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：249310＝2.4931×105，
故答案为：2.4931×105．
13．（4分）某商品先按批发价a元提高10%零售，后又按零售价降低10%出售，则它最后的单价是 0.99a 元．
【分析】原价提高10%后商品新单价为a（1+10%）元，再按新价降低10%后单价为a（1+10%）（1﹣10%），由此解决问题即可．
【解答】解：由题意得a（1+10%）（1﹣10%）＝0.99a（元）．
故答案为：0.99a．
14．（4分）如果函数y＝（a﹣1）x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是 a＜﹣5 ．
【分析】函数图象经过四个象限，需满足3个条件：
（Ⅰ）函数是二次函数；
（Ⅱ）二次函数与x轴有两个交点；
（Ⅲ）两个交点必须要在y轴的两侧，即两个交点异号．
【解答】解：函数图象经过四个象限，需满足3个条件：
（Ⅰ）函数是二次函数．因此a﹣1≠0，即a≠1①
（Ⅱ）二次函数与x轴有两个交点．因此△＝9﹣4（a﹣1）＝﹣4a﹣11＞0，解得a＜﹣②
（Ⅲ）两个交点必须要在y轴的两侧．因此＜0，解得a＜﹣5③
综合①②③式，可得：a＜﹣5．
故答案为：a＜﹣5．
15．（4分）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为 10.5 ．
【分析】由点E、F分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理得出EF＝AB＝3.5为定值，则GE+FH＝GH﹣EF＝GH﹣3.5，所以当GH取最大值时，GE+FH有最大值．而直径是圆中最长的弦，故当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值14﹣3.5＝10.5．
【解答】解：当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．
当GH为直径时，E点与O点重合，
∴AC也是直径，AC＝14．
∵∠ABC是直径上的圆周角，
∴∠ABC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴AB＝AC＝7．
∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF＝AB＝3.5，
∴GE+FH＝GH﹣EF＝14﹣3.5＝10.5．
故答案为：10.5．
16．（4分）如图1是护眼台灯，该台灯的活动示意图如图2所示．灯柱BC＝6cm，灯臂AC绕着支点C可以旋转，灯跟呈圆弧形（即弧AD和弧EF）．在转动过程中，AD（EF）总是与桌面BH平行．当AC垂直BH时，AB＝51cm，DM⊥MH，测得DM＝42cm（点M在墙壁MH上，且MH⊥BH）；当灯臂AC转到CE位置时，FN⊥MIH，测得FN＝15cm，则点E到桌面的距离为 42 cm．若此时点C，F，M在同一条直线上，弧EF的最低点到桌面BH的距离为31cm，则弧EF所在圆的半径为 71.5 cm（保留一位小数）．
【分析】根据题意，通过作平行线和垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出相应的边，再在圆中，利用垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：延长MD，NF，则M、D、A在一条直线上，N、F、E、Q在一条直线上，
由题意得，AC＝EC＝AB﹣BC＝51﹣6＝45（cm），QE＝DP＝42﹣15＝27（cm），
在Rt△CQE中，由勾股定理得，
QC＝＝＝36（cm），
∴QB＝QC+BC＝36+6＝42（cm），
即点E到桌面BH的距离为42cm，
过点F作FP⊥AM，垂足为P，则FP＝AQ＝AB﹣QB＝51﹣42＝9（cm），
由△MFP∽△MCA得，
＝
，
即＝，即＝，
解得MA＝75（cm），
∴EF＝QN﹣QE﹣FN＝75﹣27﹣15＝33（cm），
如图3，可得EK＝EF＝cm，KL＝51﹣9﹣31＝11（cm），
设半径为r，则OE＝r，OK＝r﹣3，
在Rt△OKE中，由勾股定理得，
OE2＝EK2+OK2，
即r2＝（）2+（r﹣11）2，
解得r＝71.5（cm），
故答案为：42，71.5．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17．（6分）计算：|﹣3|+（﹣2021）0﹣4sin30°+（）﹣1．
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝3+1﹣4×+2
＝3+1﹣2+2
＝4．
18．（6分）解分式方程：．
【分析】观察两个分母可知，公分母为x﹣2，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．
【解答】解：去分母，得4x﹣（x﹣2）＝﹣3，
去括号，得4x﹣x+2＝﹣3，
移项，得4x﹣x＝﹣2﹣3，
合并，得3x＝﹣5，
化系数为1，得x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，x﹣2≠0，
∴原方程的解为x＝﹣．
19．（6分）如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在小正方形的顶点上．请在图中画出满足如下条件的图形．
（1）在图1中画出一个菱形ABCD，点C、D在小正方形的顶点上；
（2）在图2中画出一个平行四边形ABCD，点C、D在小正方形的顶点上，且它的面积等于4．
【分析】（1）根据菱形的判定画出图形即可．
（2）根据平行四边形的判定以及题目的条件画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1中，菱形ABCD即为所求作．
（2）如图2中，平行四边形ABCD即为所求作．
20．（8分）为了把巴城建成省级文明城市，特在每个红绿灯处设置了文明监督岗，文明劝导员老张某天在市中心的一十字路口，对闯红灯的人数进行统计．根据上午7：00～12：00中各时间段（以1小时为一个时间段），对闯红灯的人数制作了如图所示的扇形统计图和条形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题：
（1）问这一天上午7：00～12：00这一时间段共有多少人闯红灯？
（2）请你把条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中9～10点，10～11点所对应的圆心角的度数．
（3）求这一天上午7：00～12：00这一时间段中，各时间段闯红灯的人数的众数和中位数．
【分析】（1）根据11﹣12点闯红灯的人数除以所占的百分比即可求出7﹣12这一时间段共有的人数；
（2）根据7﹣8点所占的百分比乘以总人数即可求出7﹣8点闯红灯的人数，同理求出8﹣9点及10﹣11点的人数，补全条形统计图即可；求出9﹣10及10﹣11点的百分比，分别乘以360度即可求出圆心角的度数；
（3）找出这一天上午7：00～12：00这一时间段中，各时间段闯红灯的人数的众数和中位数即可．
【解答】解：（1）根据题意得：40÷40%＝100（人），
则这一天上午7：00～12：00这一时间段共有100人闯红灯；
（2）根据题意得：7﹣8点的人数为100×20%＝20（人），
8﹣9点的人数为100×15%＝15（人），
9﹣10点占＝10%，
10﹣11点占1﹣（20%+15%+10%+40%）＝15%，人数为100×15%＝15（人），
补全图形，如图所示：
9～10点所对的圆心角为10%×360°＝36°，10～11点所对应的圆心角的度数为15%×360°＝54°；
（3）根据图形得：这一天上午7：00～12：00这一时间段中，各时间段闯红灯的人数的众数为15人，中位数为15人．
21．（8分）如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．
（1）求证：BC平分∠PBD；
（2）求证：BC2＝AB•BD；
（3）若PA＝6，PC＝6，求BD的长．
【分析】（1）连接OC，由PD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于PD，由BD垂直于PD，得到OC与BD平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由OC＝OB，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证；
（2）连接AC，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到△ABC为直角三角形，根据一对直角相等，以及第一问的结论得到一对角相等，确定出△ABC与△BCD相似，由相似得比例，变形即可得证；
（3）由切割线定理列出关系式，将PA，PC的长代入求出PB的长，由PB﹣PA求出AB的长，确定出圆的半径，由OC与BD平行得到△PCO与△DPB相似，由相似得比例，将OC，OP，以及PB的长代入即可求出BD的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵PD为圆O的切线，
∴OC⊥PD，
∵BD⊥PD，
∴OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠CBD＝∠OBC，
则BC平分∠PBD；
（2）证明：连接AC，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∠ABC＝∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴＝，即BC2＝AB•BD；
（3）解：∵PC为圆O的切线，PAB为割线，
∴PC2＝PA•PB，即72＝6PB，
解得：PB＝12，
∴AB＝PB﹣PA＝12﹣6＝6，
∴OC＝3，PO＝PA+AO＝9，
∵△OCP∽△BDP，
∴＝，即＝，
则BD＝4．
22．（10分）为加快推进“人工智能实验区”的工作，信息中心计划购进一批机器人套件和3D打印机．经过市场考察得知，购买1份机器人套件和2台3D打印机需要3.5万元，购买2份机器人套件和1台3D打印机需要2.5万元．
（1）求每份机器人套件、每台3D打印机各多少万元？
（2）根据区内学校实际，需购进机器人套件和3D打印机共300台，总费用不超过300万元，但不低于280万元，请你通过计算求出费用最低的购买方案．
【分析】（1）设每份机器人套件x万元，每台3D打印机y万元，根据“购买1份机器人套件和2台3D打印机需要3.5万元，购买2份机器人套件和1台3D打印机需要2.5万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进机器人套件m份，则购进3D打印机（300﹣m）台，根据“总费用不超过300万元，但不低于280万元”，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设购进机器人套件和3D打印机的总费用为w万元，利用总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可找出费用最低的购买方案．
【解答】解：（1）设每份机器人套件x万元，每台3D打印机y万元，
依题意得：，
解得：．
答：每份机器人套件0.5万元，每台3D打印机1.5万元．
（2）设购进机器人套件m份，则购进3D打印机（300﹣m）台，
依题意得：，
解得：150≤m≤170．
设购进机器人套件和3D打印机的总费用为w万元，则w＝0.5m+1.5（300﹣m）＝﹣m+450，
∵k＝﹣1＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝170时，w取得最小值，
∴费用最低的购买方案为：购进机器人套件170份，3D打印机130台．
23．（10分）已知关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y＝kx+1的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）．
（1）当k＝0，m＝0时，判断△AOB的类型；
（2）当k＝1，m＝0时，求AB的长；
（3）当k＝1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．
注：①平面内两点间的距离公式AB＝；
②方程ax2+bx+c＝0的两根x1，x2满足x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
【分析】（1）将k＝0，m＝0代入函数解析式，从而求得A，B两点坐标，然后结合勾股定理逆定理判断△AOB的形状；
（2）通过构造等腰直角三角形，然后结合勾股定理求解；
（3）将k＝1代入函数解析式，通过联立方程组求解并结合勾股定理进行计算证明．
【解答】解：（1）△AOB是等腰直角三角形，理由如下：
当k＝0时，函数y＝kx+1的图象是直线y＝1，
把m＝0代入y＝x2﹣2mx+m2+m可得，y＝x2，
当x2＝1时，解得x＝±1，
∴A点坐标为（﹣1，1），B点坐标为（1，1），
∴OA＝OB＝＝，AB＝1﹣（﹣1）＝2，
∴OA2+OB2＝4，AB2＝4，
∴OA2+OB2＝AB2，
即△AOB是等腰直角三角形；
（2）将k＝1，m＝0代入函数解析式，
联立方程组可得，
∴x2﹣x﹣1＝0，
∴x1+x2＝1，x1•x2＝﹣1，
如图，设直线y＝x+1与x轴交于点D，于y轴交于点G，
过点B作BE⊥x轴，过点A作AF∥x轴，AF与BE交于点C，
在直线y＝x+1中，
当y＝0时，x＝﹣1，
当x＝0时，y＝1，
∴D点坐标为（﹣1，0），G点坐标为（0，1），
∴OD＝OG，
∴∠BDO＝45°，
又∵AF∥x轴，
∴∠BAC＝45°，
∵BE⊥x轴，AF∥x轴，
∴∠BCA＝90°，
∴AB＝AC＝（x2﹣x1）＝＝＝＝，
即AB的长为；
（3）猜想：当k＝1，m为任何值时，AB的长不变，理由如下：
当k＝1时，联立方程组可得：
，
整理，可得：x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1＝0，
∴x1+x2＝2m+1，x1•x2＝m2+m﹣1，
与（2）同理，AB＝AC＝（x2﹣x1）＝＝＝＝．
即当k＝1，m为任何值时，AB的长不变，为定值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求A、C两点的坐标；
（2）当△ABC为轴对称图形时，求抛物线的解析式；
（3）当△ABC关于y轴成轴对称时，若点M、N是抛物线上的动点，且有MN∥x轴，点P是x轴上的动点，在坐标平面内是否存在一点Q，使以M、N、P、Q为顶点的四边形构成正方形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将x＝0，y＝0分别代入一次函数解析式，从而求得一次函数与坐标轴交点坐标；
（2）分CA＝CB，AB＝BC，AB＝AC三种情况，结合等腰三角形的性质，利用勾股定理求得B点坐标，从而利用待定系数法求二次函数解析式；
（3）分MN为正方形的边或对角线，结合正方形的性质，列方程求解．
【解答】解：（1）在y＝x+4中，
当x＝0时，y＝4，
当y＝0时，x+4＝0，
解得：x＝﹣3，
∴A点坐标为（﹣3，0），C点坐标为（0，4）；
（2）设B点坐标为（x，0），
①当AC＝BC时，
，
解得：x＝﹣3（舍去）或x＝3，
∴B点坐标为（3，0），
将A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（3，0），C点坐标为（0，4）代入y＝ax2+bx+c中，
，
解得．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4，
②当AB＝BC时，
，
解得：x＝，
∴B点坐标为（，0），
将A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（，0），C点坐标为（0，4）代入y＝ax2+bx+c中，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4，
③当AB＝AC时，
，
解得：x＝2或x＝﹣8，
∴B点坐标为（2，0）或（﹣8，0），
i）将A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（2，0），C点坐标为（0，4）代入y＝ax2+bx+c中，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4，
ii）将A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（﹣8，0），C点坐标为（0，4）代入y＝ax2+bx+c中，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x+4，
综上，当△ABC为轴对称图形时，抛物线的解析式为y＝﹣x2+4或y＝﹣x2﹣x+4或y＝﹣x2﹣x+4或y＝x2+x+4；
（3）存在，理由如下：
当△ABC关于y轴成轴对称时，则AC＝BC，
此时抛物线的解析式为y＝﹣x2+4，
①当MN为正方形一边时，
∵点P是x轴上的动点，且MN∥x轴，
∴此时点Q也位于x轴上，设Q点坐标为（k，0），
由正方形性质可得则P点坐标为（﹣k，0），
∴|2k|＝﹣k2+4，
解得：k＝±或k＝±6，
∴当MN在x轴上方且为正方形的一边时，此时Q点坐标为（，0）或（﹣，0），
当MN在x轴下方且为正方形的一边时，此时Q点坐标为（6，0）或（﹣6，0），
②当MN为正方形对角线时，
∵点P是x轴上的动点，且MN∥x轴，
∴此时Q点位于y轴上，设Q点坐标为（0，k），
∴||＝﹣×（）2+4，
解得：k＝，
∴当MN位于x轴上方且为正方形对角线时，此时Q点坐标为（0，），
当MN位于x轴下方且为正方形对角线时，此时Q点坐标为（0，），
综上，坐标平面内存在一点Q，使以M、N、P、Q为顶点的四边形构成正方形，Q点坐标为（，0）或（﹣，0），或（6，0）或（﹣6，0）或（0，）或（0，）．
MP
MA
PF
AC
1．（3分）（﹣21）÷7的结果是（ ）
A．3B．﹣3C．D．
2．（3分）计算（﹣x）2•x3所得的结果是（ ）
A．x5B．﹣x5C．x6D．﹣x6
3．（3分）不等式组的解在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）单项式9xmy3与单项式4x2yn是同类项，则m+n的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（3分）如图，点A为反比例函数图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣2D．2
6．（3分）如图，已知正方形的边长为1，若圆与正方形的四条边都相切，则阴影部分的面积与下列各数最接近的是（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
7．（3分）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点
8．（3分）图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（ ）
A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）
9．（3分）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝50°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
10．（3分）如图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则+++…+的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11．（4分）已知x2﹣2x﹣3＝0，则2x2﹣4x的值为 ．
12．（4分）随着我国疫情防控形势转好，我国经济正在稳步恢复．据国家统计局初步核算，2021年一季度国内生产总值249310亿元，按可比价格计量，同比增长18.3%．数据249310亿元用科学记数法可表示为 亿元．
13．（4分）某商品先按批发价a元提高10%零售，后又按零售价降低10%出售，则它最后的单价是 元．
14．（4分）如果函数y＝（a﹣1）x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是 ．
15．（4分）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为 ．
16．（4分）如图1是护眼台灯，该台灯的活动示意图如图2所示．灯柱BC＝6cm，灯臂AC绕着支点C可以旋转，灯跟呈圆弧形（即弧AD和弧EF）．在转动过程中，AD（EF）总是与桌面BH平行．当AC垂直BH时，AB＝51cm，DM⊥MH，测得DM＝42cm（点M在墙壁MH上，且MH⊥BH）；当灯臂AC转到CE位置时，FN⊥MIH，测得FN＝15cm，则点E到桌面的距离为 cm．若此时点C，F，M在同一条直线上，弧EF的最低点到桌面BH的距离为31cm，则弧EF所在圆的半径为 cm（保留一位小数）．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17．（6分）计算：|﹣3|+（﹣2021）0﹣4sin30°+（）﹣1．
18．（6分）解分式方程：．
19．（6分）如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在小正方形的顶点上．请在图中画出满足如下条件的图形．
（1）在图1中画出一个菱形ABCD，点C、D在小正方形的顶点上；
（2）在图2中画出一个平行四边形ABCD，点C、D在小正方形的顶点上，且它的面积等于4．
20．（8分）为了把巴城建成省级文明城市，特在每个红绿灯处设置了文明监督岗，文明劝导员老张某天在市中心的一十字路口，对闯红灯的人数进行统计．根据上午7：00～12：00中各时间段（以1小时为一个时间段），对闯红灯的人数制作了如图所示的扇形统计图和条形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题：
（1）问这一天上午7：00～12：00这一时间段共有多少人闯红灯？
（2）请你把条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中9～10点，10～11点所对应的圆心角的度数．
（3）求这一天上午7：00～12：00这一时间段中，各时间段闯红灯的人数的众数和中位数．
21．（8分）如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．
（1）求证：BC平分∠PBD；
（2）求证：BC2＝AB•BD；
（3）若PA＝6，PC＝6，求BD的长．
22．（10分）为加快推进“人工智能实验区”的工作，信息中心计划购进一批机器人套件和3D打印机．经过市场考察得知，购买1份机器人套件和2台3D打印机需要3.5万元，购买2份机器人套件和1台3D打印机需要2.5万元．
（1）求每份机器人套件、每台3D打印机各多少万元？
（2）根据区内学校实际，需购进机器人套件和3D打印机共300台，总费用不超过300万元，但不低于280万元，请你通过计算求出费用最低的购买方案．
23．（10分）已知关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y＝kx+1的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）．
（1）当k＝0，m＝0时，判断△AOB的类型；
（2）当k＝1，m＝0时，求AB的长；
（3）当k＝1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．
注：①平面内两点间的距离公式AB＝；
②方程ax2+bx+c＝0的两根x1，x2满足x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求A、C两点的坐标；
（2）当△ABC为轴对称图形时，求抛物线的解析式；
（3）当△ABC关于y轴成轴对称时，若点M、N是抛物线上的动点，且有MN∥x轴，点P是x轴上的动点，在坐标平面内是否存在一点Q，使以M、N、P、Q为顶点的四边形构成正方形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
2021年浙江省金华市婺城区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中一个符合题意的正确选项.不选、多选、错选均不给分）
1．（3分）（﹣21）÷7的结果是（ ）
A．3B．﹣3C．D．
【分析】根据有理数的除法法则计算即可．
【解答】解：原式＝﹣3，
故选：B．
2．（3分）计算（﹣x）2•x3所得的结果是（ ）
A．x5B．﹣x5C．x6D．﹣x6
【分析】积的乘方，等于把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加，计算后直接选取答案．
【解答】解：（﹣x）2x3＝x2•x3＝x5．
故选：A．
3．（3分）不等式组的解在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先解每一个不等式，再根据结果判断数轴表示的正确方法．
【解答】解：由不等式①，得2x＞2，解得x＞1，
由不等式②，得﹣2x≤﹣4，解得x≥2，
∴数轴表示的正确的是C选项，
故选：C．
4．（3分）单项式9xmy3与单项式4x2yn是同类项，则m+n的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据同类项的定义，可得m，n的值，根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：由题意，得
m＝2，n＝3．
m+n＝2+3＝5，
故选：D．
5．（3分）如图，点A为反比例函数图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣2D．2
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变，可计算出答案．
【解答】解：△ABO的面积为：×|﹣4|＝2，
故选：D．
6．（3分）如图，已知正方形的边长为1，若圆与正方形的四条边都相切，则阴影部分的面积与下列各数最接近的是（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
【分析】先估算出圆的面积，再根据S阴影＝S正方形﹣S圆解答．
【解答】解：∵正方形的边长为1，圆与正方形的四条边都相切，
∴S阴影＝S正方形﹣S圆＝1﹣0.25π≈0.215．
故选：B．
7．（3分）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点
【分析】根据抛物线的性质由a＝1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
8．（3分）图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（ ）
A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）
【分析】轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，据此判断出通过轴对称得到的是哪个图形即可．
【解答】解：∵轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，
∴通过轴对称得到的是（1）．
故选：A．
9．（3分）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝50°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【分析】首先连接AD，由A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70°，AO∥DC，可求得∠ADO与∠ODC的度数，然后由圆的内接四边新的性质，求得答案．
【解答】解：连接AD，
∵OA＝OD，∠AOD＝50°，
∴∠ADO＝＝65°．
∵AO∥DC，
∴∠ODC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝∠ADO+∠ODC＝115°，
∴∠B＝180°﹣∠ADC＝65°．
故选：D．
10．（3分）如图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则+++…+的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可．
【解答】解：a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，an＝n（n+2）；
∴+++…+＝++++…+＝（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（1+﹣﹣）＝，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11．（4分）已知x2﹣2x﹣3＝0，则2x2﹣4x的值为 6 ．
【分析】利用提取公因式法得出2x2﹣4x＝2（x2﹣2x）即可得出代数式的值．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣2x＝3，
∴2x2﹣4x＝2（x2﹣2x）＝2×3＝6．
故答案为：6．
12．（4分）随着我国疫情防控形势转好，我国经济正在稳步恢复．据国家统计局初步核算，2021年一季度国内生产总值249310亿元，按可比价格计量，同比增长18.3%．数据249310亿元用科学记数法可表示为 2.4931×105 亿元．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：249310＝2.4931×105，
故答案为：2.4931×105．
13．（4分）某商品先按批发价a元提高10%零售，后又按零售价降低10%出售，则它最后的单价是 0.99a 元．
【分析】原价提高10%后商品新单价为a（1+10%）元，再按新价降低10%后单价为a（1+10%）（1﹣10%），由此解决问题即可．
【解答】解：由题意得a（1+10%）（1﹣10%）＝0.99a（元）．
故答案为：0.99a．
14．（4分）如果函数y＝（a﹣1）x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是 a＜﹣5 ．
【分析】函数图象经过四个象限，需满足3个条件：
（Ⅰ）函数是二次函数；
（Ⅱ）二次函数与x轴有两个交点；
（Ⅲ）两个交点必须要在y轴的两侧，即两个交点异号．
【解答】解：函数图象经过四个象限，需满足3个条件：
（Ⅰ）函数是二次函数．因此a﹣1≠0，即a≠1①
（Ⅱ）二次函数与x轴有两个交点．因此△＝9﹣4（a﹣1）＝﹣4a﹣11＞0，解得a＜﹣②
（Ⅲ）两个交点必须要在y轴的两侧．因此＜0，解得a＜﹣5③
综合①②③式，可得：a＜﹣5．
故答案为：a＜﹣5．
15．（4分）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为 10.5 ．
【分析】由点E、F分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理得出EF＝AB＝3.5为定值，则GE+FH＝GH﹣EF＝GH﹣3.5，所以当GH取最大值时，GE+FH有最大值．而直径是圆中最长的弦，故当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值14﹣3.5＝10.5．
【解答】解：当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．
当GH为直径时，E点与O点重合，
∴AC也是直径，AC＝14．
∵∠ABC是直径上的圆周角，
∴∠ABC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴AB＝AC＝7．
∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF＝AB＝3.5，
∴GE+FH＝GH﹣EF＝14﹣3.5＝10.5．
故答案为：10.5．
16．（4分）如图1是护眼台灯，该台灯的活动示意图如图2所示．灯柱BC＝6cm，灯臂AC绕着支点C可以旋转，灯跟呈圆弧形（即弧AD和弧EF）．在转动过程中，AD（EF）总是与桌面BH平行．当AC垂直BH时，AB＝51cm，DM⊥MH，测得DM＝42cm（点M在墙壁MH上，且MH⊥BH）；当灯臂AC转到CE位置时，FN⊥MIH，测得FN＝15cm，则点E到桌面的距离为 42 cm．若此时点C，F，M在同一条直线上，弧EF的最低点到桌面BH的距离为31cm，则弧EF所在圆的半径为 71.5 cm（保留一位小数）．
【分析】根据题意，通过作平行线和垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出相应的边，再在圆中，利用垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：延长MD，NF，则M、D、A在一条直线上，N、F、E、Q在一条直线上，
由题意得，AC＝EC＝AB﹣BC＝51﹣6＝45（cm），QE＝DP＝42﹣15＝27（cm），
在Rt△CQE中，由勾股定理得，
QC＝＝＝36（cm），
∴QB＝QC+BC＝36+6＝42（cm），
即点E到桌面BH的距离为42cm，
过点F作FP⊥AM，垂足为P，则FP＝AQ＝AB﹣QB＝51﹣42＝9（cm），
由△MFP∽△MCA得，
＝
，
即＝，即＝，
解得MA＝75（cm），
∴EF＝QN﹣QE﹣FN＝75﹣27﹣15＝33（cm），
如图3，可得EK＝EF＝cm，KL＝51﹣9﹣31＝11（cm），
设半径为r，则OE＝r，OK＝r﹣3，
在Rt△OKE中，由勾股定理得，
OE2＝EK2+OK2，
即r2＝（）2+（r﹣11）2，
解得r＝71.5（cm），
故答案为：42，71.5．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17．（6分）计算：|﹣3|+（﹣2021）0﹣4sin30°+（）﹣1．
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝3+1﹣4×+2
＝3+1﹣2+2
＝4．
18．（6分）解分式方程：．
【分析】观察两个分母可知，公分母为x﹣2，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．
【解答】解：去分母，得4x﹣（x﹣2）＝﹣3，
去括号，得4x﹣x+2＝﹣3，
移项，得4x﹣x＝﹣2﹣3，
合并，得3x＝﹣5，
化系数为1，得x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，x﹣2≠0，
∴原方程的解为x＝﹣．
19．（6分）如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在小正方形的顶点上．请在图中画出满足如下条件的图形．
（1）在图1中画出一个菱形ABCD，点C、D在小正方形的顶点上；
（2）在图2中画出一个平行四边形ABCD，点C、D在小正方形的顶点上，且它的面积等于4．
【分析】（1）根据菱形的判定画出图形即可．
（2）根据平行四边形的判定以及题目的条件画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1中，菱形ABCD即为所求作．
（2）如图2中，平行四边形ABCD即为所求作．
20．（8分）为了把巴城建成省级文明城市，特在每个红绿灯处设置了文明监督岗，文明劝导员老张某天在市中心的一十字路口，对闯红灯的人数进行统计．根据上午7：00～12：00中各时间段（以1小时为一个时间段），对闯红灯的人数制作了如图所示的扇形统计图和条形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题：
（1）问这一天上午7：00～12：00这一时间段共有多少人闯红灯？
（2）请你把条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中9～10点，10～11点所对应的圆心角的度数．
（3）求这一天上午7：00～12：00这一时间段中，各时间段闯红灯的人数的众数和中位数．
【分析】（1）根据11﹣12点闯红灯的人数除以所占的百分比即可求出7﹣12这一时间段共有的人数；
（2）根据7﹣8点所占的百分比乘以总人数即可求出7﹣8点闯红灯的人数，同理求出8﹣9点及10﹣11点的人数，补全条形统计图即可；求出9﹣10及10﹣11点的百分比，分别乘以360度即可求出圆心角的度数；
（3）找出这一天上午7：00～12：00这一时间段中，各时间段闯红灯的人数的众数和中位数即可．
【解答】解：（1）根据题意得：40÷40%＝100（人），
则这一天上午7：00～12：00这一时间段共有100人闯红灯；
（2）根据题意得：7﹣8点的人数为100×20%＝20（人），
8﹣9点的人数为100×15%＝15（人），
9﹣10点占＝10%，
10﹣11点占1﹣（20%+15%+10%+40%）＝15%，人数为100×15%＝15（人），
补全图形，如图所示：
9～10点所对的圆心角为10%×360°＝36°，10～11点所对应的圆心角的度数为15%×360°＝54°；
（3）根据图形得：这一天上午7：00～12：00这一时间段中，各时间段闯红灯的人数的众数为15人，中位数为15人．
21．（8分）如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．
（1）求证：BC平分∠PBD；
（2）求证：BC2＝AB•BD；
（3）若PA＝6，PC＝6，求BD的长．
【分析】（1）连接OC，由PD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于PD，由BD垂直于PD，得到OC与BD平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由OC＝OB，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证；
（2）连接AC，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到△ABC为直角三角形，根据一对直角相等，以及第一问的结论得到一对角相等，确定出△ABC与△BCD相似，由相似得比例，变形即可得证；
（3）由切割线定理列出关系式，将PA，PC的长代入求出PB的长，由PB﹣PA求出AB的长，确定出圆的半径，由OC与BD平行得到△PCO与△DPB相似，由相似得比例，将OC，OP，以及PB的长代入即可求出BD的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵PD为圆O的切线，
∴OC⊥PD，
∵BD⊥PD，
∴OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠CBD＝∠OBC，
则BC平分∠PBD；
（2）证明：连接AC，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∠ABC＝∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴＝，即BC2＝AB•BD；
（3）解：∵PC为圆O的切线，PAB为割线，
∴PC2＝PA•PB，即72＝6PB，
解得：PB＝12，
∴AB＝PB﹣PA＝12﹣6＝6，
∴OC＝3，PO＝PA+AO＝9，
∵△OCP∽△BDP，
∴＝，即＝，
则BD＝4．
22．（10分）为加快推进“人工智能实验区”的工作，信息中心计划购进一批机器人套件和3D打印机．经过市场考察得知，购买1份机器人套件和2台3D打印机需要3.5万元，购买2份机器人套件和1台3D打印机需要2.5万元．
（1）求每份机器人套件、每台3D打印机各多少万元？
（2）根据区内学校实际，需购进机器人套件和3D打印机共300台，总费用不超过300万元，但不低于280万元，请你通过计算求出费用最低的购买方案．
【分析】（1）设每份机器人套件x万元，每台3D打印机y万元，根据“购买1份机器人套件和2台3D打印机需要3.5万元，购买2份机器人套件和1台3D打印机需要2.5万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进机器人套件m份，则购进3D打印机（300﹣m）台，根据“总费用不超过300万元，但不低于280万元”，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设购进机器人套件和3D打印机的总费用为w万元，利用总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可找出费用最低的购买方案．
【解答】解：（1）设每份机器人套件x万元，每台3D打印机y万元，
依题意得：，
解得：．
答：每份机器人套件0.5万元，每台3D打印机1.5万元．
（2）设购进机器人套件m份，则购进3D打印机（300﹣m）台，
依题意得：，
解得：150≤m≤170．
设购进机器人套件和3D打印机的总费用为w万元，则w＝0.5m+1.5（300﹣m）＝﹣m+450，
∵k＝﹣1＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝170时，w取得最小值，
∴费用最低的购买方案为：购进机器人套件170份，3D打印机130台．
23．（10分）已知关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y＝kx+1的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）．
（1）当k＝0，m＝0时，判断△AOB的类型；
（2）当k＝1，m＝0时，求AB的长；
（3）当k＝1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．
注：①平面内两点间的距离公式AB＝；
②方程ax2+bx+c＝0的两根x1，x2满足x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
【分析】（1）将k＝0，m＝0代入函数解析式，从而求得A，B两点坐标，然后结合勾股定理逆定理判断△AOB的形状；
（2）通过构造等腰直角三角形，然后结合勾股定理求解；
（3）将k＝1代入函数解析式，通过联立方程组求解并结合勾股定理进行计算证明．
【解答】解：（1）△AOB是等腰直角三角形，理由如下：
当k＝0时，函数y＝kx+1的图象是直线y＝1，
把m＝0代入y＝x2﹣2mx+m2+m可得，y＝x2，
当x2＝1时，解得x＝±1，
∴A点坐标为（﹣1，1），B点坐标为（1，1），
∴OA＝OB＝＝，AB＝1﹣（﹣1）＝2，
∴OA2+OB2＝4，AB2＝4，
∴OA2+OB2＝AB2，
即△AOB是等腰直角三角形；
（2）将k＝1，m＝0代入函数解析式，
联立方程组可得，
∴x2﹣x﹣1＝0，
∴x1+x2＝1，x1•x2＝﹣1，
如图，设直线y＝x+1与x轴交于点D，于y轴交于点G，
过点B作BE⊥x轴，过点A作AF∥x轴，AF与BE交于点C，
在直线y＝x+1中，
当y＝0时，x＝﹣1，
当x＝0时，y＝1，
∴D点坐标为（﹣1，0），G点坐标为（0，1），
∴OD＝OG，
∴∠BDO＝45°，
又∵AF∥x轴，
∴∠BAC＝45°，
∵BE⊥x轴，AF∥x轴，
∴∠BCA＝90°，
∴AB＝AC＝（x2﹣x1）＝＝＝＝，
即AB的长为；
（3）猜想：当k＝1，m为任何值时，AB的长不变，理由如下：
当k＝1时，联立方程组可得：
，
整理，可得：x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1＝0，
∴x1+x2＝2m+1，x1•x2＝m2+m﹣1，
与（2）同理，AB＝AC＝（x2﹣x1）＝＝＝＝．
即当k＝1，m为任何值时，AB的长不变，为定值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求A、C两点的坐标；
（2）当△ABC为轴对称图形时，求抛物线的解析式；
（3）当△ABC关于y轴成轴对称时，若点M、N是抛物线上的动点，且有MN∥x轴，点P是x轴上的动点，在坐标平面内是否存在一点Q，使以M、N、P、Q为顶点的四边形构成正方形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将x＝0，y＝0分别代入一次函数解析式，从而求得一次函数与坐标轴交点坐标；
（2）分CA＝CB，AB＝BC，AB＝AC三种情况，结合等腰三角形的性质，利用勾股定理求得B点坐标，从而利用待定系数法求二次函数解析式；
（3）分MN为正方形的边或对角线，结合正方形的性质，列方程求解．
【解答】解：（1）在y＝x+4中，
当x＝0时，y＝4，
当y＝0时，x+4＝0，
解得：x＝﹣3，
∴A点坐标为（﹣3，0），C点坐标为（0，4）；
（2）设B点坐标为（x，0），
①当AC＝BC时，
，
解得：x＝﹣3（舍去）或x＝3，
∴B点坐标为（3，0），
将A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（3，0），C点坐标为（0，4）代入y＝ax2+bx+c中，
，
解得．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4，
②当AB＝BC时，
，
解得：x＝，
∴B点坐标为（，0），
将A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（，0），C点坐标为（0，4）代入y＝ax2+bx+c中，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4，
③当AB＝AC时，
，
解得：x＝2或x＝﹣8，
∴B点坐标为（2，0）或（﹣8，0），
i）将A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（2，0），C点坐标为（0，4）代入y＝ax2+bx+c中，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4，
ii）将A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（﹣8，0），C点坐标为（0，4）代入y＝ax2+bx+c中，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x+4，
综上，当△ABC为轴对称图形时，抛物线的解析式为y＝﹣x2+4或y＝﹣x2﹣x+4或y＝﹣x2﹣x+4或y＝x2+x+4；
（3）存在，理由如下：
当△ABC关于y轴成轴对称时，则AC＝BC，
此时抛物线的解析式为y＝﹣x2+4，
①当MN为正方形一边时，
∵点P是x轴上的动点，且MN∥x轴，
∴此时点Q也位于x轴上，设Q点坐标为（k，0），
由正方形性质可得则P点坐标为（﹣k，0），
∴|2k|＝﹣k2+4，
解得：k＝±或k＝±6，
∴当MN在x轴上方且为正方形的一边时，此时Q点坐标为（，0）或（﹣，0），
当MN在x轴下方且为正方形的一边时，此时Q点坐标为（6，0）或（﹣6，0），
②当MN为正方形对角线时，
∵点P是x轴上的动点，且MN∥x轴，
∴此时Q点位于y轴上，设Q点坐标为（0，k），
∴||＝﹣×（）2+4，
解得：k＝，
∴当MN位于x轴上方且为正方形对角线时，此时Q点坐标为（0，），
当MN位于x轴下方且为正方形对角线时，此时Q点坐标为（0，），
综上，坐标平面内存在一点Q，使以M、N、P、Q为顶点的四边形构成正方形，Q点坐标为（，0）或（﹣，0），或（6，0）或（﹣6，0）或（0，）或（0，）．
MP
MA
PF
AC
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