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2021年辽宁省大连市八区联考中考数学二模试卷 解析版
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这是一份2021年辽宁省大连市八区联考中考数学二模试卷 解析版，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年辽宁省大连市八区联考中考数学二模试卷
一、选择题（本题共10小题，毎小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列四个数中，比﹣1小的数是（ ）
A． B． C．0 D．1
3．（3分）平面直角坐标系中，点P（a，1）与点Q（3，b）关于x轴对称，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．a3•a3＝2a3 C．（a2）3＝a5 D．（﹣2a）2＝4a2
5．（3分）将一块含45°角的直角三角尺ABC按照如图所示的方式放置，点C落在直线a上，点B落在直线b上，a∥b，∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．20＝0 B． C． D．
7．（3分）某校组织七年级新生测试，抽查了部分学生每分钟跳绳次数（单位：次）．将所得数据统计如下（每组只含最低值，不含最高值）：
组别
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
70～90
90～110
110～130
130～150
150～170
人数
5
13
17
12
3
该样本的中位数落在（ ）
A．第二组 B．第三组 C．第四组 D．第五组
8．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点C的对应点为点C′，C′B′的延长线交BC于点D，连接AD．则下列说法错误的是（ ）
A．△ABC≌△AB'C' B．AB'∥BC
C．∠CDC'＝∠CAC' D．AD平分∠BDB'
9．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．2 B． C． D．8
10．（3分）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，且食堂在小明家和图书馆之间．小明先从家出发去食堂吃早餐，接着去图书馆看报，然后回家，所示图象反映了这个过程中，小明离家的距离y（km）与时间x（min）之间的对应关系．由此给出下列说法：
①小明家与食堂相距0.6km，小明从家去食堂用时8min．
②食堂与图书馆相距0.2km．
③小明从图书馆回家的速度是0.08km/min．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）“无风才到地，有风还满空”，柳絮因其纤细轻灵，随风而舞，变化多端，据测定，柳絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为 ．
13．（3分）小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛，她的演讲稿、语言表达、形象风度得分分别为85分，70分，80分，若依次按照40%，30%，30%的百分比确定成绩，则她的平均成绩是 分．
14．（3分）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题：
“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）
设木杆长x尺，依题意，列方程是 ．
15．（3分）如图，点A（0，1），平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2（x≥0）与y2＝x2（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则DE＝ ．
16．（3分）△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是的中点，连接BD，CD，AB＝2，AC＝x，CD＝y，当0＜x＜2时，y关于x的函数解析式为 ．
三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）
17．（9分）解不等式组：．
18．（9分）甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．
（1）从乙口袋中随机取一个球，取出的球是红色的概率是 ．
（2）从两个口袋中各随机取一个球，求取出的两个球是一红和一黄的概率．
19．（9分）如图，点A，F，E，D在一条直线上，AF＝DE，CF∥BE，AB∥CD．求证BE＝CF．
20．（12分）在新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.2元，且用7000元购买A型口罩的数量与用4200元购买B型口罩的数量相同．
（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，该公司需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3960元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．（9分）如图，一艘海轮船位于灯塔P北偏东60°方向，与灯塔距离为80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P南偏东37°方向的B处，求此时轮船所在B处与灯塔P的距离．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.7，结果取整数）
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，BD⊥CD，DB的延长线与⊙O交于点E．
（1）求证：∠ABE＝2∠A；
（2）tanA＝，BD＝1，求BE的长．
23．（10分）如图，平面直角坐标系中，点C在x轴上，点A的横坐标是1，以OA，OC为邻边作▱ABCO，点D是BC的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，点D．
（1）求点B的坐标（用含k的代数式表示）；
（2）连接AD，若AB＝AD，求k的值．
五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与坐标轴分别交于点A和点B，直线y＝x与AB交于点C，点P从点A出发，沿边AO→OC向终点C运动，过点P作y轴的垂线，交线段AC于点D．点P在AO上的速度为每秒1个单位长度，在OC上的速度为每秒a个单位长度．设点P的运动时间为t（s），△BPD的面积为S（单位长度2）．
（1）点C的坐标为 ；
（2）当t＝时，点P到达终点C，求a的值；
（3）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
25．（11分）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，点E在BC上，且EC＝AC．连接AE，F为AE的中点，CD⊥AB于D，过点E作EH∥CD交DF的延长线于点H，DH交BC于M．
（1）探究∠EAB和∠BCD之间的数量关系，并证明；
（2）求证：AD＝EH；
（3）若BC＝k•AC，求的值（用含有k的代数式表示）．
26．（12分）已知函数y＝，其中m为常数，该函数图象记为F．
（1）当m＝1，且﹣1≤x≤2时，求该函数的最大值；
（2）当≤m≤2时，函数图象F与直线y＝交于点T，与直线y＝﹣1至少有两个交点M、N（点M在左，点N在右），若∠TNM＝135°，求m的值；
（3）已知矩形ABCD各顶点坐标分别是A（﹣2m+1，1），B（﹣m+3，1），C（﹣m+3，﹣1），D（﹣2m+1，﹣1），当图象F与矩形ABCD的四边只有两个交点时，求的m的取值范围（直接写出结果）．
2021年辽宁省大连市八区联考中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，毎小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，画出从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层右边的一个小正方形．
故选：B．
2．（3分）下列四个数中，比﹣1小的数是（ ）
A． B． C．0 D．1
【分析】负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．据此判断即可．
【解答】解：∵|﹣|＝，|﹣1|＝1，|﹣|＝，而，
∴，
∴比﹣1小的数是．
故选：A．
3．（3分）平面直角坐标系中，点P（a，1）与点Q（3，b）关于x轴对称，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点P（a，﹣1）与点Q（3，b）关于x轴对称，
∴a＝3，b＝1，
则a＝3．
故选：C．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．a3•a3＝2a3 C．（a2）3＝a5 D．（﹣2a）2＝4a2
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方解决此题．
【解答】解：A．根据合并同类项法则，a3+a3＝2a3，那么A不正确，故A不符合题意．
B．根据同底数幂的乘法，a3•a3＝a6，那么B不正确，故B不符合题意．
C．根据幂的乘方，（a2）3＝a6，那么C不正确，故C不符合题意．
D．根据积的乘方，（﹣2a）2＝4a2，那么D正确，故D符合题意．
故选：D．
5．（3分）将一块含45°角的直角三角尺ABC按照如图所示的方式放置，点C落在直线a上，点B落在直线b上，a∥b，∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】由已知可得：∠ACB＝45°，∠1＝25°，∠ABC＝90°，利用a∥b，可得∠2+45°+90°+25°＝180°，即可求出答案．
【解答】解：由题意可得：∠ACB＝45°，∠1＝25°，∠ABC＝90°，
∵a∥b，
∴∠2+∠ACB+∠ABC+∠1＝180°．
∴∠2+45°+90°+25°＝180°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣45°﹣25°＝20°．
故选：B．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．20＝0 B． C． D．
【分析】利用零指数幂的意义，完全平方公式，立方根的意义，二次根式的性质对每个选项进行判断即可．
【解答】解：∵20＝1，
∴A选项错误；
∵，
∴B选项错误；
∵＝﹣2，
∴C选项错误；
∵，
∴D选项正确；
综上，正确的选项是：D．
故选：D．
7．（3分）某校组织七年级新生测试，抽查了部分学生每分钟跳绳次数（单位：次）．将所得数据统计如下（每组只含最低值，不含最高值）：
组别
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
70～90
90～110
110～130
130～150
150～170
人数
5
13
17
12
3
该样本的中位数落在（ ）
A．第二组 B．第三组 C．第四组 D．第五组
【分析】根据中位数的定义即可得到答案．
【解答】解：∵抽查的学生数＝5+13+17+12+3＝50，
∴第25个数和第26个数都在第三组，
∴样本的中位数落在第三组．
故选：B．
8．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点C的对应点为点C′，C′B′的延长线交BC于点D，连接AD．则下列说法错误的是（ ）
A．△ABC≌△AB'C' B．AB'∥BC
C．∠CDC'＝∠CAC' D．AD平分∠BDB'
【分析】由旋转的性质可得△ABC≌△AB'C'，由全等三角形的性质依次判断可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，
∴△ABC≌△AB'C'，故选项A不符合题意；
如图，连接CC'，
∵△ABC≌△AB'C'，
∴AC＝AC'，∠AC'D＝∠ACD，
∴点A，点D，点C，点C'四点共圆，
∴∠CDC'＝∠CAC'，∠ADC'＝∠ACC'，∠ADB＝∠AC'C，故选C不合题意；
∵AC＝AC'，
∴∠ACC'＝∠AC'C，
∴∠ADB＝∠ADC'，
∴AD平分∠BDB'，故选D不合题意；
故选：B．
9．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．2 B． C． D．8
【分析】根据矩形的性质得出OD＝OA，进而得出△AOD是等边三角形，利用勾股定理得出AB，进而解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DO＝OB＝AO＝OC，∠DAB＝90°，
∵∠AOD＝60°，AD＝2，
∴△AOD是等边三角形，
∴DO＝2，
∴DB＝4，
在Rt△ADB中，AB＝，
∴矩形ABCD的面积＝AB•AD＝，
故选：C．
10．（3分）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，且食堂在小明家和图书馆之间．小明先从家出发去食堂吃早餐，接着去图书馆看报，然后回家，所示图象反映了这个过程中，小明离家的距离y（km）与时间x（min）之间的对应关系．由此给出下列说法：
①小明家与食堂相距0.6km，小明从家去食堂用时8min．
②食堂与图书馆相距0.2km．
③小明从图书馆回家的速度是0.08km/min．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解；由图象可得，
小明家与食堂相距0.6km，小明从家去食堂用时8min，故①正确；
食堂与图书馆相距0.8﹣0.6＝0.2（km），故②正确；
小明从图书馆回家的速度为0.8÷（68﹣58）＝0.08（km/min），故③正确，
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分式有意义，则x的取值范围是 x≠0 ．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式即可．
【解答】解：由题意得：3x≠0，即x≠0，
故答案为：x≠0．
12．（3分）“无风才到地，有风还满空”，柳絮因其纤细轻灵，随风而舞，变化多端，据测定，柳絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为 1.05×10﹣5 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000105＝1.05×10﹣5．
故选：1.05×10﹣5．
13．（3分）小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛，她的演讲稿、语言表达、形象风度得分分别为85分，70分，80分，若依次按照40%，30%，30%的百分比确定成绩，则她的平均成绩是 79 分．
【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
85×40%+70×30%+80×30%
＝34+21+24
＝79（分）．
故答案为：79．
14．（3分）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题：
“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）
设木杆长x尺，依题意，列方程是 102+（x﹣1）2＝x2 ．
【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有（x﹣1）尺，根据勾股定理可列出方程．
【解答】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺，
在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴102+（x﹣1）2＝x2，
故答案为：102+（x﹣1）2＝x2．
15．（3分）如图，点A（0，1），平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2（x≥0）与y2＝x2（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则DE＝ 2 ．
【分析】根据点A的坐标依次求出A、B、C、D、E的坐标，从而求得DE的长．
【解答】解：∵点A（0，1），
∴把y＝1代入y1＝x2（x≥0）得，x2＝1，
解得：x＝1，
∴点B（1，1），
把y＝1代入y2＝x2（x≥0）得x2＝1（x≥0），
解得：x＝2，
∴C（2，1），
把x＝2代入y1＝x2（x≥0）得，y＝x2＝22＝4，
∴D（2，4），
把y＝4代入y2＝x2（x≥0）得x2＝4，
解得：x＝4，
∴E（4，4），
∴DE＝4﹣2＝2，
故答案为2．
16．（3分）△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是的中点，连接BD，CD，AB＝2，AC＝x，CD＝y，当0＜x＜2时，y关于x的函数解析式为 y＝ ．
【分析】连接OD，交BC于E，根据垂径定理得到OD⊥BC，BE＝EC，根据三角形中位线定理得到OE＝AC＝x，根据勾股定理求出BC，进而求出EC，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：连接OD，交BC于E，
∵D是的中点，
∴OD⊥BC，BE＝EC，
∴OE＝AC＝x，
∴DE＝1﹣x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝，
∴EC＝BC＝，
∴y＝CD＝＝＝，
故答案为：y＝．
三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）
17．（9分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：，
由①得，
由②得，
所以，此不等式组得解集为．
18．（9分）甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．
（1）从乙口袋中随机取一个球，取出的球是红色的概率是 ．
（2）从两个口袋中各随机取一个球，求取出的两个球是一红和一黄的概率．
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出两个球是一红和一黄的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，
∴从乙口袋中随机取一个球，取出的球是红色的概率是；
故答案为：；
（2）红色球记为R，黄色球记为Y，绿色球记为G，根据题意列表如下：
R
Y
G
R
（R，R）
（Y，R）
（G，R）
Y
（R，Y）
（Y，Y）
（G，Y）
由表可得，可能出现的结果共有6种，并且它们出现的可能性相等，小球颜色为一红和一黄的结果有2种，即（Y，R），（R，Y），
则P（一红一黄）＝＝．
19．（9分）如图，点A，F，E，D在一条直线上，AF＝DE，CF∥BE，AB∥CD．求证BE＝CF．
【分析】由“ASA”可证△ABE≌△DCF，可得BE＝CF．
【解答】证明：∵AF＝DE，
∴AF+EF＝DE+EF，
即AE＝DF，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠A，
∵CF∥BE，
∴∠CFD＝∠BEA，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴BE＝CF．
20．（12分）在新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.2元，且用7000元购买A型口罩的数量与用4200元购买B型口罩的数量相同．
（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，该公司需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3960元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
【分析】（1）设B型口罩的单价为x元，则A型口罩的单价为（x+1.2）元，根据“用7000元购买A型口罩的数量与用4200元购买B型口罩的数量相同”列出方程并解答；
（2）设增加购买A型口罩的数量是a个，根据“增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3960元”列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设B型口罩的单价为x元，则A型口罩的单价为（x+1.2）元，
根据题意，得：．
解方程，得：x＝1.8．
经检验：x＝1.8是原方程的根，且符合题意．
所以x+1.2＝3．
答：A型口罩的单价为3元，则B型口罩的单价为1.8元；
（2）设增加购买A型口罩的数量是a个，则购买B型口罩的数量是2a个．
根据题意，得：3a+1.8×2a≤3960．
解不等式，得：a≤600．
答：增加购买A型口罩的数量最多是600个．
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．（9分）如图，一艘海轮船位于灯塔P北偏东60°方向，与灯塔距离为80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P南偏东37°方向的B处，求此时轮船所在B处与灯塔P的距离．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.7，结果取整数）
【分析】过点P作PD⊥AB于D点，则在Rt△APD中易得PD的长，再在直角△BPD中求出PB．
【解答】解：过点P作PD⊥AB于D点，
由题意知，AB∥EF，∠ADP＝∠BDP＝90°，AP＝80nmile，
∴∠A＝∠EPA＝60°，∠B＝∠BPF＝37°，
Rt△ADP中，∵sinA＝，
∴PD＝AP•sinA＝AP•sin60°＝（nmile），
Rt△BDP中，∵sinB＝，
∴（nmile），
答：轮船所在B处与灯塔P的距离约为113nmile．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，BD⊥CD，DB的延长线与⊙O交于点E．
（1）求证：∠ABE＝2∠A；
（2）tanA＝，BD＝1，求BE的长．
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到∠OCD＝90°，再证明OC∥DE得到∠ABE＝∠COB，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC，从而得到结论；
（2）连接CE，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明∠A＝∠E＝∠BCD，接着在Rt△BCD中利用正切的定义求出CD，然后在Rt△CDE中利用正切的定义计算出DE，于是计算DE﹣BD得到BE的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵CD是的⊙O切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵BD⊥CD
∴∠D＝90°，
∴∠OCD+∠D＝180°，
∴OC∥DE，
∴∠ABE＝∠COB，
∵∠BOC＝2∠BAC，
∴∠ABE＝2∠A；
（2）解：连接CE，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵∠OCB+∠BCD＝90°
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠A＝∠BCD，
∵∠A＝∠E，
∴∠A＝∠E＝∠BCD，
在Rt△BCD中，tan∠BCD＝＝tanA＝，
∴CD＝2BD＝2，
在Rt△CDE中，tanE＝＝tanA＝，
∴ED＝2CD＝4，
∴BE＝DE﹣BD＝4﹣1＝3．
23．（10分）如图，平面直角坐标系中，点C在x轴上，点A的横坐标是1，以OA，OC为邻边作▱ABCO，点D是BC的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，点D．
（1）求点B的坐标（用含k的代数式表示）；
（2）连接AD，若AB＝AD，求k的值．
【分析】（1）作AE⊥x轴，垂足为点E，作DF⊥x轴，垂足为点F，直线DF与AB交于点G，先求得A（1，k），进而通过证得△DCF∽△AOE，求得，D（2，k），然后通过证得△DCF≌△DBG，得出，即可求得点B（，k）．
（2）先求得AG＝AB﹣BG＝1，再根据勾股定理求得DG＝，，由△DCF≌△DBG得出DF＝DG＝，进而即可求得AE＝FG＝2DG＝5，得到A（1，），代入y＝即可求得k的值．
【解答】解：（1）作AE⊥x轴，垂足为点E，作DF⊥x轴，垂足为点F，直线DF与AB交于点G
∴∠AEO＝∠DFC＝90°
当x＝1时，y＝k，
∴A（1，k），
∴AE＝k，OE＝1，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AO＝BC，AO∥BC，AB∥OC，
∴∠AOE＝∠DCF，
∴△DCF∽△AOE，
∴．
∵点D是BC的中点，
∴，
∴．
∴，
当时，x＝2，
∴D（2，k），
∴OF＝2，
∵AB∥OC，
∴∠B＝∠BCF，∠BGD＝∠CFD＝90°，
∴△DCF≌△DBG，
∴，
∴点B（，k）．
（2）∵OC＝OF﹣CF＝，
∴AB＝AD＝，
∴AG＝AB﹣BG＝1，
在Rt△ADG中，，
∵△DCF≌△DBG，
∴DF＝DG＝，
∴AE＝FG＝2DG＝，
∴A（1，），
代入代入y＝得k＝．
五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与坐标轴分别交于点A和点B，直线y＝x与AB交于点C，点P从点A出发，沿边AO→OC向终点C运动，过点P作y轴的垂线，交线段AC于点D．点P在AO上的速度为每秒1个单位长度，在OC上的速度为每秒a个单位长度．设点P的运动时间为t（s），△BPD的面积为S（单位长度2）．
（1）点C的坐标为 （，） ；
（2）当t＝时，点P到达终点C，求a的值；
（3）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【分析】（1）联立直线y＝﹣x+4与直线y＝x，解方程组即可得点C的坐标；
（2）根据路程＝速度×时间即可求解；
（3）分0＜t≤3；3＜t≤两种情况，根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）联立直线y＝﹣x+4与直线y＝x得，线，
解得：，
∴点C的坐标为（，），
故答案为：（，）；
（2）∵直线y＝﹣x+4与与坐标轴分别交于点A和点B，
∴点A（3，0），点B（0，4），
∵点C的坐标为（，），
∴OA＝3，OC＝＝，
∵点P在AO上的速度为每秒1个单位长度，在OC上的速度为每秒a个单位长度．
∴3+＝，解得：a＝，经检验，是原方程的解，
∴a的值为；
（3）当0＜t≤3时，如图，
△BPD的面积为S＝AP•OB＝t×4＝2t；
当3＜t≤时，如图，
∵OP＝（t﹣3），点P在直线y＝x上，
∴P（t﹣3，t﹣3），
∵过点P作y轴的垂线，交线段AC于点D．
∴点D的纵坐标为t﹣3，
∵点D在直线y＝﹣x+4上．
∴D（，t﹣3），
∴PD＝﹣（t﹣3）＝，
∵点B（0，4），
∴△BPD的PD边上的高为4﹣（t﹣3）＝7﹣t，
∴△BPD的面积为S＝××（7﹣t）＝t2﹣t+，
∴S＝．
25．（11分）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，点E在BC上，且EC＝AC．连接AE，F为AE的中点，CD⊥AB于D，过点E作EH∥CD交DF的延长线于点H，DH交BC于M．
（1）探究∠EAB和∠BCD之间的数量关系，并证明；
（2）求证：AD＝EH；
（3）若BC＝k•AC，求的值（用含有k的代数式表示）．
【分析】（1）由CD⊥AB，∠ACB＝90°可得∠BCD＝∠CAD，而AC＝CE，∠ACE＝90°，知∠CAE＝∠CEA＝45°，故∠BCD＝∠CAD＝∠BAE+45°；
（2）连接CF，作FN⊥DF，垂足为点F，FN交CD于点N，作EG∥AD，EG与DH交于点G，证明△ADF≌△CNF（ASA），可得FN＝FD，从而∠FDN＝∠FND＝45°，而HE∥CD，故∠H＝∠FDN＝45°，由∠FGD＝∠ADF＝135°，∠AFD＝∠EFG，AF＝EF，即得△ADF≌△EGF（AAS），有EG＝AD，又∠H＝∠EGH＝45°得EH＝EG，即可证明AD＝EH；
（3）设AC＝CE＝m，BC＝km，则BE＝BC﹣CE＝（k﹣1）m，由△ACD∽△ABC得，故＝k，由△MCD∽△MEH有，ME＝CM，而CM+ME＝CE，即得CM＝CE＝m，即可求出＝．
【解答】解：（1）∠BCD＝∠BAE+45°，证明如下：
∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDA＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠CAD，
∵AC＝CE，∠ACE＝90°，
∴∠CAE＝∠CEA＝45°，
∴∠BCD＝∠CAD＝∠BAE+∠CAE＝∠BAE+45°；
（2）证明：连接CF，作FN⊥DF，垂足为点F，FN交CD于点N，作EG∥AD，EG与DH交于点G，如图：
∵∠ACE＝90°，F是AE的中点，
∴CF＝AF＝EF，CF⊥AE，
∴∠AFC＝∠CFE＝90°，
∵FN⊥DF，
∴∠DFN＝90°，
∴∠AFD+∠AFN＝∠AFN+∠CFN＝90°，
∴∠AFD＝∠CFN，
∵∠BCD＝∠BAE+45°，∠FCE＝45°，
∴∠BAE＝∠FCN，
∴△ADF≌△CNF（ASA），
∴FN＝FD，
又∵∠DFN＝90°，
∴∠FDN＝∠FND＝45°，
∵HE∥CD，
∴∠H＝∠FDN＝45°，
∵∠ADF＝∠ADC+∠FDN＝135°，EG∥AD，
∴∠FGD＝∠ADF＝135°，
又∵∠AFD＝∠EFG，AF＝EF，
∴△ADF≌△EGF（AAS），
∴EG＝AD，
∵∠EGH＝180°﹣∠EGF＝180°﹣135°＝45°，
∴∠H＝∠EGH＝45°，
∴EH＝EG．
∴AD＝EH；
（3）如图：
设AC＝CE＝m，BC＝km，
∴BE＝BC﹣CE＝（k﹣1）m，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠DAC＝∠CAB，
∴△ACD∽△ABC
∴，
由（2）知AD＝HE，
∴＝k，
∵∠H＝∠FDN，∠HME＝∠DMC，
∴△MCD∽△MEH，
∴，
∴ME＝CM，
又∵CM+ME＝CE，
∴CM+CM＝CE，即CM＝CE，
∴CM＝CE，
而CE＝m，
∴CM＝m，
∴＝＝．
26．（12分）已知函数y＝，其中m为常数，该函数图象记为F．
（1）当m＝1，且﹣1≤x≤2时，求该函数的最大值；
（2）当≤m≤2时，函数图象F与直线y＝交于点T，与直线y＝﹣1至少有两个交点M、N（点M在左，点N在右），若∠TNM＝135°，求m的值；
（3）已知矩形ABCD各顶点坐标分别是A（﹣2m+1，1），B（﹣m+3，1），C（﹣m+3，﹣1），D（﹣2m+1，﹣1），当图象F与矩形ABCD的四边只有两个交点时，求的m的取值范围（直接写出结果）．
【分析】（1）分别讨论当1≤x≤2时和当﹣1＜x＜1时，y的最大值，综合可得结论；
（2）y＝2x2﹣4mx﹣2m＝2（x﹣m）2﹣2m2﹣2m，顶点为（m，﹣2m2﹣2m）可求出点T的坐标，当时，抛物线y＝2x2﹣4mx﹣2m与直线y＝﹣1交于点N时，N（2m﹣1，﹣1），点N代入解析式可得m的值，需舍去；当抛物线y＝2x2﹣4mx﹣2m与直线y＝﹣1交于点M，N时，可求出点N的坐标，两次点N的横坐标相等，进而可求出m的值．
（3）根据临界点可画出图形进行判断即可．
【解答】（1）解：当m＝1时，，
当1≤x≤2时，y＝2x2﹣4x﹣2＝2（x﹣1）2﹣4．
∴随着x的增大，函数值增大，当x＝2时，函数最大值﹣2，
当﹣1＜x＜1时，，随着x增大，函数值先增大后减小，在顶点处取最大值，即时，函数有最大值．
综上述，﹣1≤x≤2时，函数的最大值为．
（2）y＝2x2﹣4mx﹣2m＝2（x﹣m）2﹣2m2﹣2m，顶点为（m，﹣2m2﹣2m），
令﹣2m2﹣2m＝﹣1，解得（舍），
令，解得（舍），
∴，
作TQ⊥MN于点Q，垂足为点Q．
∵∠TNM＝135°，
∴∠TNQ＝45°，
∴TQ＝QN＝，
当时，抛物线y＝2x2﹣4mx﹣2m与直线y＝﹣1交于点N时，N（2m﹣1，﹣1），
∴2（2m﹣1）2﹣4m（2m﹣1）﹣2m＝﹣1，解得m＝，
此时N（0，﹣1）位于直线x＝m左侧，与题意不符，故舍掉．
当抛物线y＝2x2﹣4mx﹣2m与直线y＝﹣1交于点M，N时，
令y＝﹣x2﹣mx﹣m＝﹣1，解得x1＝﹣1，x2＝﹣m+1．
∵，
∴﹣1＜﹣m+1＜m，
∴点M（﹣1，﹣1），点N（﹣m+1，﹣1）．
∴2m﹣1＝﹣m+1，解得m＝．
综上述，当∠TNM＝135°时，m＝．
（3）根据题意，需要分以下几种情况：y＝2x2﹣4mx﹣2m，y＝﹣x2﹣mx﹣m，
①当点A在函数图象右半部分时，如图①，
把点A（﹣2m+1，1）代入y＝2x2﹣4mx﹣2m，
得2×（﹣2m+1）2﹣4m（﹣2m+1）﹣2m＝1，解得m＝；
②当y＝2x2﹣4mx﹣2m的顶点的纵坐标在函数图象上时，如图②，
即2m2﹣4m•m﹣2m＝﹣1，解得m＝；
③当点C在函数图象右半部分时，如图③，
将点C（﹣m+3，﹣1）代入y＝2x2﹣4mx﹣2m，
得2×（﹣m+3）2﹣4m（﹣m+3）﹣2m＝﹣1，解得m＝；
④当直线CD与函数图象左半部分相切，即y＝﹣x2﹣mx﹣m的顶点纵坐标为﹣1，如图④，
∴﹣（﹣）2﹣m（﹣）﹣m＝﹣1，解得m＝2+2；
⑤当直线AB与函数图象左半部分相切，即y＝﹣x2﹣mx﹣m的顶点纵坐标为1，如图⑤，
∴﹣（﹣）2﹣m（﹣）﹣m＝1，解得m＝2；
⑥当点B运动到函数图象左半部分时，如图⑥，
把点B（﹣m+3，1）代入y＝﹣x2﹣mx﹣m，
∴﹣（﹣m+3）2﹣m（﹣m+3）﹣m＝1，解得m＝5；根据点的运动可分别画出图象，如下图所示：
∴；．
2021年辽宁省大连市八区联考中考数学二模试卷
一、选择题（本题共10小题，毎小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列四个数中，比﹣1小的数是（ ）
A． B． C．0 D．1
3．（3分）平面直角坐标系中，点P（a，1）与点Q（3，b）关于x轴对称，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．a3•a3＝2a3 C．（a2）3＝a5 D．（﹣2a）2＝4a2
5．（3分）将一块含45°角的直角三角尺ABC按照如图所示的方式放置，点C落在直线a上，点B落在直线b上，a∥b，∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．20＝0 B． C． D．
7．（3分）某校组织七年级新生测试，抽查了部分学生每分钟跳绳次数（单位：次）．将所得数据统计如下（每组只含最低值，不含最高值）：
组别
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
70～90
90～110
110～130
130～150
150～170
人数
5
13
17
12
3
该样本的中位数落在（ ）
A．第二组 B．第三组 C．第四组 D．第五组
8．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点C的对应点为点C′，C′B′的延长线交BC于点D，连接AD．则下列说法错误的是（ ）
A．△ABC≌△AB'C' B．AB'∥BC
C．∠CDC'＝∠CAC' D．AD平分∠BDB'
9．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．2 B． C． D．8
10．（3分）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，且食堂在小明家和图书馆之间．小明先从家出发去食堂吃早餐，接着去图书馆看报，然后回家，所示图象反映了这个过程中，小明离家的距离y（km）与时间x（min）之间的对应关系．由此给出下列说法：
①小明家与食堂相距0.6km，小明从家去食堂用时8min．
②食堂与图书馆相距0.2km．
③小明从图书馆回家的速度是0.08km/min．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）“无风才到地，有风还满空”，柳絮因其纤细轻灵，随风而舞，变化多端，据测定，柳絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为 ．
13．（3分）小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛，她的演讲稿、语言表达、形象风度得分分别为85分，70分，80分，若依次按照40%，30%，30%的百分比确定成绩，则她的平均成绩是 分．
14．（3分）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题：
“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）
设木杆长x尺，依题意，列方程是 ．
15．（3分）如图，点A（0，1），平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2（x≥0）与y2＝x2（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则DE＝ ．
16．（3分）△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是的中点，连接BD，CD，AB＝2，AC＝x，CD＝y，当0＜x＜2时，y关于x的函数解析式为 ．
三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）
17．（9分）解不等式组：．
18．（9分）甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．
（1）从乙口袋中随机取一个球，取出的球是红色的概率是 ．
（2）从两个口袋中各随机取一个球，求取出的两个球是一红和一黄的概率．
19．（9分）如图，点A，F，E，D在一条直线上，AF＝DE，CF∥BE，AB∥CD．求证BE＝CF．
20．（12分）在新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.2元，且用7000元购买A型口罩的数量与用4200元购买B型口罩的数量相同．
（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，该公司需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3960元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．（9分）如图，一艘海轮船位于灯塔P北偏东60°方向，与灯塔距离为80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P南偏东37°方向的B处，求此时轮船所在B处与灯塔P的距离．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.7，结果取整数）
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，BD⊥CD，DB的延长线与⊙O交于点E．
（1）求证：∠ABE＝2∠A；
（2）tanA＝，BD＝1，求BE的长．
23．（10分）如图，平面直角坐标系中，点C在x轴上，点A的横坐标是1，以OA，OC为邻边作▱ABCO，点D是BC的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，点D．
（1）求点B的坐标（用含k的代数式表示）；
（2）连接AD，若AB＝AD，求k的值．
五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与坐标轴分别交于点A和点B，直线y＝x与AB交于点C，点P从点A出发，沿边AO→OC向终点C运动，过点P作y轴的垂线，交线段AC于点D．点P在AO上的速度为每秒1个单位长度，在OC上的速度为每秒a个单位长度．设点P的运动时间为t（s），△BPD的面积为S（单位长度2）．
（1）点C的坐标为 ；
（2）当t＝时，点P到达终点C，求a的值；
（3）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
25．（11分）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，点E在BC上，且EC＝AC．连接AE，F为AE的中点，CD⊥AB于D，过点E作EH∥CD交DF的延长线于点H，DH交BC于M．
（1）探究∠EAB和∠BCD之间的数量关系，并证明；
（2）求证：AD＝EH；
（3）若BC＝k•AC，求的值（用含有k的代数式表示）．
26．（12分）已知函数y＝，其中m为常数，该函数图象记为F．
（1）当m＝1，且﹣1≤x≤2时，求该函数的最大值；
（2）当≤m≤2时，函数图象F与直线y＝交于点T，与直线y＝﹣1至少有两个交点M、N（点M在左，点N在右），若∠TNM＝135°，求m的值；
（3）已知矩形ABCD各顶点坐标分别是A（﹣2m+1，1），B（﹣m+3，1），C（﹣m+3，﹣1），D（﹣2m+1，﹣1），当图象F与矩形ABCD的四边只有两个交点时，求的m的取值范围（直接写出结果）．
2021年辽宁省大连市八区联考中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，毎小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，画出从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层右边的一个小正方形．
故选：B．
2．（3分）下列四个数中，比﹣1小的数是（ ）
A． B． C．0 D．1
【分析】负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．据此判断即可．
【解答】解：∵|﹣|＝，|﹣1|＝1，|﹣|＝，而，
∴，
∴比﹣1小的数是．
故选：A．
3．（3分）平面直角坐标系中，点P（a，1）与点Q（3，b）关于x轴对称，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点P（a，﹣1）与点Q（3，b）关于x轴对称，
∴a＝3，b＝1，
则a＝3．
故选：C．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．a3•a3＝2a3 C．（a2）3＝a5 D．（﹣2a）2＝4a2
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方解决此题．
【解答】解：A．根据合并同类项法则，a3+a3＝2a3，那么A不正确，故A不符合题意．
B．根据同底数幂的乘法，a3•a3＝a6，那么B不正确，故B不符合题意．
C．根据幂的乘方，（a2）3＝a6，那么C不正确，故C不符合题意．
D．根据积的乘方，（﹣2a）2＝4a2，那么D正确，故D符合题意．
故选：D．
5．（3分）将一块含45°角的直角三角尺ABC按照如图所示的方式放置，点C落在直线a上，点B落在直线b上，a∥b，∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】由已知可得：∠ACB＝45°，∠1＝25°，∠ABC＝90°，利用a∥b，可得∠2+45°+90°+25°＝180°，即可求出答案．
【解答】解：由题意可得：∠ACB＝45°，∠1＝25°，∠ABC＝90°，
∵a∥b，
∴∠2+∠ACB+∠ABC+∠1＝180°．
∴∠2+45°+90°+25°＝180°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣45°﹣25°＝20°．
故选：B．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．20＝0 B． C． D．
【分析】利用零指数幂的意义，完全平方公式，立方根的意义，二次根式的性质对每个选项进行判断即可．
【解答】解：∵20＝1，
∴A选项错误；
∵，
∴B选项错误；
∵＝﹣2，
∴C选项错误；
∵，
∴D选项正确；
综上，正确的选项是：D．
故选：D．
7．（3分）某校组织七年级新生测试，抽查了部分学生每分钟跳绳次数（单位：次）．将所得数据统计如下（每组只含最低值，不含最高值）：
组别
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
70～90
90～110
110～130
130～150
150～170
人数
5
13
17
12
3
该样本的中位数落在（ ）
A．第二组 B．第三组 C．第四组 D．第五组
【分析】根据中位数的定义即可得到答案．
【解答】解：∵抽查的学生数＝5+13+17+12+3＝50，
∴第25个数和第26个数都在第三组，
∴样本的中位数落在第三组．
故选：B．
8．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点C的对应点为点C′，C′B′的延长线交BC于点D，连接AD．则下列说法错误的是（ ）
A．△ABC≌△AB'C' B．AB'∥BC
C．∠CDC'＝∠CAC' D．AD平分∠BDB'
【分析】由旋转的性质可得△ABC≌△AB'C'，由全等三角形的性质依次判断可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，
∴△ABC≌△AB'C'，故选项A不符合题意；
如图，连接CC'，
∵△ABC≌△AB'C'，
∴AC＝AC'，∠AC'D＝∠ACD，
∴点A，点D，点C，点C'四点共圆，
∴∠CDC'＝∠CAC'，∠ADC'＝∠ACC'，∠ADB＝∠AC'C，故选C不合题意；
∵AC＝AC'，
∴∠ACC'＝∠AC'C，
∴∠ADB＝∠ADC'，
∴AD平分∠BDB'，故选D不合题意；
故选：B．
9．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．2 B． C． D．8
【分析】根据矩形的性质得出OD＝OA，进而得出△AOD是等边三角形，利用勾股定理得出AB，进而解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DO＝OB＝AO＝OC，∠DAB＝90°，
∵∠AOD＝60°，AD＝2，
∴△AOD是等边三角形，
∴DO＝2，
∴DB＝4，
在Rt△ADB中，AB＝，
∴矩形ABCD的面积＝AB•AD＝，
故选：C．
10．（3分）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，且食堂在小明家和图书馆之间．小明先从家出发去食堂吃早餐，接着去图书馆看报，然后回家，所示图象反映了这个过程中，小明离家的距离y（km）与时间x（min）之间的对应关系．由此给出下列说法：
①小明家与食堂相距0.6km，小明从家去食堂用时8min．
②食堂与图书馆相距0.2km．
③小明从图书馆回家的速度是0.08km/min．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解；由图象可得，
小明家与食堂相距0.6km，小明从家去食堂用时8min，故①正确；
食堂与图书馆相距0.8﹣0.6＝0.2（km），故②正确；
小明从图书馆回家的速度为0.8÷（68﹣58）＝0.08（km/min），故③正确，
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分式有意义，则x的取值范围是 x≠0 ．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式即可．
【解答】解：由题意得：3x≠0，即x≠0，
故答案为：x≠0．
12．（3分）“无风才到地，有风还满空”，柳絮因其纤细轻灵，随风而舞，变化多端，据测定，柳絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为 1.05×10﹣5 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000105＝1.05×10﹣5．
故选：1.05×10﹣5．
13．（3分）小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛，她的演讲稿、语言表达、形象风度得分分别为85分，70分，80分，若依次按照40%，30%，30%的百分比确定成绩，则她的平均成绩是 79 分．
【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
85×40%+70×30%+80×30%
＝34+21+24
＝79（分）．
故答案为：79．
14．（3分）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题：
“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）
设木杆长x尺，依题意，列方程是 102+（x﹣1）2＝x2 ．
【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有（x﹣1）尺，根据勾股定理可列出方程．
【解答】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺，
在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴102+（x﹣1）2＝x2，
故答案为：102+（x﹣1）2＝x2．
15．（3分）如图，点A（0，1），平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2（x≥0）与y2＝x2（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则DE＝ 2 ．
【分析】根据点A的坐标依次求出A、B、C、D、E的坐标，从而求得DE的长．
【解答】解：∵点A（0，1），
∴把y＝1代入y1＝x2（x≥0）得，x2＝1，
解得：x＝1，
∴点B（1，1），
把y＝1代入y2＝x2（x≥0）得x2＝1（x≥0），
解得：x＝2，
∴C（2，1），
把x＝2代入y1＝x2（x≥0）得，y＝x2＝22＝4，
∴D（2，4），
把y＝4代入y2＝x2（x≥0）得x2＝4，
解得：x＝4，
∴E（4，4），
∴DE＝4﹣2＝2，
故答案为2．
16．（3分）△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是的中点，连接BD，CD，AB＝2，AC＝x，CD＝y，当0＜x＜2时，y关于x的函数解析式为 y＝ ．
【分析】连接OD，交BC于E，根据垂径定理得到OD⊥BC，BE＝EC，根据三角形中位线定理得到OE＝AC＝x，根据勾股定理求出BC，进而求出EC，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：连接OD，交BC于E，
∵D是的中点，
∴OD⊥BC，BE＝EC，
∴OE＝AC＝x，
∴DE＝1﹣x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝，
∴EC＝BC＝，
∴y＝CD＝＝＝，
故答案为：y＝．
三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）
17．（9分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：，
由①得，
由②得，
所以，此不等式组得解集为．
18．（9分）甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．
（1）从乙口袋中随机取一个球，取出的球是红色的概率是 ．
（2）从两个口袋中各随机取一个球，求取出的两个球是一红和一黄的概率．
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出两个球是一红和一黄的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，
∴从乙口袋中随机取一个球，取出的球是红色的概率是；
故答案为：；
（2）红色球记为R，黄色球记为Y，绿色球记为G，根据题意列表如下：
R
Y
G
R
（R，R）
（Y，R）
（G，R）
Y
（R，Y）
（Y，Y）
（G，Y）
由表可得，可能出现的结果共有6种，并且它们出现的可能性相等，小球颜色为一红和一黄的结果有2种，即（Y，R），（R，Y），
则P（一红一黄）＝＝．
19．（9分）如图，点A，F，E，D在一条直线上，AF＝DE，CF∥BE，AB∥CD．求证BE＝CF．
【分析】由“ASA”可证△ABE≌△DCF，可得BE＝CF．
【解答】证明：∵AF＝DE，
∴AF+EF＝DE+EF，
即AE＝DF，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠A，
∵CF∥BE，
∴∠CFD＝∠BEA，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴BE＝CF．
20．（12分）在新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.2元，且用7000元购买A型口罩的数量与用4200元购买B型口罩的数量相同．
（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，该公司需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3960元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
【分析】（1）设B型口罩的单价为x元，则A型口罩的单价为（x+1.2）元，根据“用7000元购买A型口罩的数量与用4200元购买B型口罩的数量相同”列出方程并解答；
（2）设增加购买A型口罩的数量是a个，根据“增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3960元”列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设B型口罩的单价为x元，则A型口罩的单价为（x+1.2）元，
根据题意，得：．
解方程，得：x＝1.8．
经检验：x＝1.8是原方程的根，且符合题意．
所以x+1.2＝3．
答：A型口罩的单价为3元，则B型口罩的单价为1.8元；
（2）设增加购买A型口罩的数量是a个，则购买B型口罩的数量是2a个．
根据题意，得：3a+1.8×2a≤3960．
解不等式，得：a≤600．
答：增加购买A型口罩的数量最多是600个．
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．（9分）如图，一艘海轮船位于灯塔P北偏东60°方向，与灯塔距离为80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P南偏东37°方向的B处，求此时轮船所在B处与灯塔P的距离．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.7，结果取整数）
【分析】过点P作PD⊥AB于D点，则在Rt△APD中易得PD的长，再在直角△BPD中求出PB．
【解答】解：过点P作PD⊥AB于D点，
由题意知，AB∥EF，∠ADP＝∠BDP＝90°，AP＝80nmile，
∴∠A＝∠EPA＝60°，∠B＝∠BPF＝37°，
Rt△ADP中，∵sinA＝，
∴PD＝AP•sinA＝AP•sin60°＝（nmile），
Rt△BDP中，∵sinB＝，
∴（nmile），
答：轮船所在B处与灯塔P的距离约为113nmile．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，BD⊥CD，DB的延长线与⊙O交于点E．
（1）求证：∠ABE＝2∠A；
（2）tanA＝，BD＝1，求BE的长．
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到∠OCD＝90°，再证明OC∥DE得到∠ABE＝∠COB，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC，从而得到结论；
（2）连接CE，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明∠A＝∠E＝∠BCD，接着在Rt△BCD中利用正切的定义求出CD，然后在Rt△CDE中利用正切的定义计算出DE，于是计算DE﹣BD得到BE的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵CD是的⊙O切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵BD⊥CD
∴∠D＝90°，
∴∠OCD+∠D＝180°，
∴OC∥DE，
∴∠ABE＝∠COB，
∵∠BOC＝2∠BAC，
∴∠ABE＝2∠A；
（2）解：连接CE，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵∠OCB+∠BCD＝90°
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠A＝∠BCD，
∵∠A＝∠E，
∴∠A＝∠E＝∠BCD，
在Rt△BCD中，tan∠BCD＝＝tanA＝，
∴CD＝2BD＝2，
在Rt△CDE中，tanE＝＝tanA＝，
∴ED＝2CD＝4，
∴BE＝DE﹣BD＝4﹣1＝3．
23．（10分）如图，平面直角坐标系中，点C在x轴上，点A的横坐标是1，以OA，OC为邻边作▱ABCO，点D是BC的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，点D．
（1）求点B的坐标（用含k的代数式表示）；
（2）连接AD，若AB＝AD，求k的值．
【分析】（1）作AE⊥x轴，垂足为点E，作DF⊥x轴，垂足为点F，直线DF与AB交于点G，先求得A（1，k），进而通过证得△DCF∽△AOE，求得，D（2，k），然后通过证得△DCF≌△DBG，得出，即可求得点B（，k）．
（2）先求得AG＝AB﹣BG＝1，再根据勾股定理求得DG＝，，由△DCF≌△DBG得出DF＝DG＝，进而即可求得AE＝FG＝2DG＝5，得到A（1，），代入y＝即可求得k的值．
【解答】解：（1）作AE⊥x轴，垂足为点E，作DF⊥x轴，垂足为点F，直线DF与AB交于点G
∴∠AEO＝∠DFC＝90°
当x＝1时，y＝k，
∴A（1，k），
∴AE＝k，OE＝1，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AO＝BC，AO∥BC，AB∥OC，
∴∠AOE＝∠DCF，
∴△DCF∽△AOE，
∴．
∵点D是BC的中点，
∴，
∴．
∴，
当时，x＝2，
∴D（2，k），
∴OF＝2，
∵AB∥OC，
∴∠B＝∠BCF，∠BGD＝∠CFD＝90°，
∴△DCF≌△DBG，
∴，
∴点B（，k）．
（2）∵OC＝OF﹣CF＝，
∴AB＝AD＝，
∴AG＝AB﹣BG＝1，
在Rt△ADG中，，
∵△DCF≌△DBG，
∴DF＝DG＝，
∴AE＝FG＝2DG＝，
∴A（1，），
代入代入y＝得k＝．
五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与坐标轴分别交于点A和点B，直线y＝x与AB交于点C，点P从点A出发，沿边AO→OC向终点C运动，过点P作y轴的垂线，交线段AC于点D．点P在AO上的速度为每秒1个单位长度，在OC上的速度为每秒a个单位长度．设点P的运动时间为t（s），△BPD的面积为S（单位长度2）．
（1）点C的坐标为 （，） ；
（2）当t＝时，点P到达终点C，求a的值；
（3）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【分析】（1）联立直线y＝﹣x+4与直线y＝x，解方程组即可得点C的坐标；
（2）根据路程＝速度×时间即可求解；
（3）分0＜t≤3；3＜t≤两种情况，根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）联立直线y＝﹣x+4与直线y＝x得，线，
解得：，
∴点C的坐标为（，），
故答案为：（，）；
（2）∵直线y＝﹣x+4与与坐标轴分别交于点A和点B，
∴点A（3，0），点B（0，4），
∵点C的坐标为（，），
∴OA＝3，OC＝＝，
∵点P在AO上的速度为每秒1个单位长度，在OC上的速度为每秒a个单位长度．
∴3+＝，解得：a＝，经检验，是原方程的解，
∴a的值为；
（3）当0＜t≤3时，如图，
△BPD的面积为S＝AP•OB＝t×4＝2t；
当3＜t≤时，如图，
∵OP＝（t﹣3），点P在直线y＝x上，
∴P（t﹣3，t﹣3），
∵过点P作y轴的垂线，交线段AC于点D．
∴点D的纵坐标为t﹣3，
∵点D在直线y＝﹣x+4上．
∴D（，t﹣3），
∴PD＝﹣（t﹣3）＝，
∵点B（0，4），
∴△BPD的PD边上的高为4﹣（t﹣3）＝7﹣t，
∴△BPD的面积为S＝××（7﹣t）＝t2﹣t+，
∴S＝．
25．（11分）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，点E在BC上，且EC＝AC．连接AE，F为AE的中点，CD⊥AB于D，过点E作EH∥CD交DF的延长线于点H，DH交BC于M．
（1）探究∠EAB和∠BCD之间的数量关系，并证明；
（2）求证：AD＝EH；
（3）若BC＝k•AC，求的值（用含有k的代数式表示）．
【分析】（1）由CD⊥AB，∠ACB＝90°可得∠BCD＝∠CAD，而AC＝CE，∠ACE＝90°，知∠CAE＝∠CEA＝45°，故∠BCD＝∠CAD＝∠BAE+45°；
（2）连接CF，作FN⊥DF，垂足为点F，FN交CD于点N，作EG∥AD，EG与DH交于点G，证明△ADF≌△CNF（ASA），可得FN＝FD，从而∠FDN＝∠FND＝45°，而HE∥CD，故∠H＝∠FDN＝45°，由∠FGD＝∠ADF＝135°，∠AFD＝∠EFG，AF＝EF，即得△ADF≌△EGF（AAS），有EG＝AD，又∠H＝∠EGH＝45°得EH＝EG，即可证明AD＝EH；
（3）设AC＝CE＝m，BC＝km，则BE＝BC﹣CE＝（k﹣1）m，由△ACD∽△ABC得，故＝k，由△MCD∽△MEH有，ME＝CM，而CM+ME＝CE，即得CM＝CE＝m，即可求出＝．
【解答】解：（1）∠BCD＝∠BAE+45°，证明如下：
∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDA＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠CAD，
∵AC＝CE，∠ACE＝90°，
∴∠CAE＝∠CEA＝45°，
∴∠BCD＝∠CAD＝∠BAE+∠CAE＝∠BAE+45°；
（2）证明：连接CF，作FN⊥DF，垂足为点F，FN交CD于点N，作EG∥AD，EG与DH交于点G，如图：
∵∠ACE＝90°，F是AE的中点，
∴CF＝AF＝EF，CF⊥AE，
∴∠AFC＝∠CFE＝90°，
∵FN⊥DF，
∴∠DFN＝90°，
∴∠AFD+∠AFN＝∠AFN+∠CFN＝90°，
∴∠AFD＝∠CFN，
∵∠BCD＝∠BAE+45°，∠FCE＝45°，
∴∠BAE＝∠FCN，
∴△ADF≌△CNF（ASA），
∴FN＝FD，
又∵∠DFN＝90°，
∴∠FDN＝∠FND＝45°，
∵HE∥CD，
∴∠H＝∠FDN＝45°，
∵∠ADF＝∠ADC+∠FDN＝135°，EG∥AD，
∴∠FGD＝∠ADF＝135°，
又∵∠AFD＝∠EFG，AF＝EF，
∴△ADF≌△EGF（AAS），
∴EG＝AD，
∵∠EGH＝180°﹣∠EGF＝180°﹣135°＝45°，
∴∠H＝∠EGH＝45°，
∴EH＝EG．
∴AD＝EH；
（3）如图：
设AC＝CE＝m，BC＝km，
∴BE＝BC﹣CE＝（k﹣1）m，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠DAC＝∠CAB，
∴△ACD∽△ABC
∴，
由（2）知AD＝HE，
∴＝k，
∵∠H＝∠FDN，∠HME＝∠DMC，
∴△MCD∽△MEH，
∴，
∴ME＝CM，
又∵CM+ME＝CE，
∴CM+CM＝CE，即CM＝CE，
∴CM＝CE，
而CE＝m，
∴CM＝m，
∴＝＝．
26．（12分）已知函数y＝，其中m为常数，该函数图象记为F．
（1）当m＝1，且﹣1≤x≤2时，求该函数的最大值；
（2）当≤m≤2时，函数图象F与直线y＝交于点T，与直线y＝﹣1至少有两个交点M、N（点M在左，点N在右），若∠TNM＝135°，求m的值；
（3）已知矩形ABCD各顶点坐标分别是A（﹣2m+1，1），B（﹣m+3，1），C（﹣m+3，﹣1），D（﹣2m+1，﹣1），当图象F与矩形ABCD的四边只有两个交点时，求的m的取值范围（直接写出结果）．
【分析】（1）分别讨论当1≤x≤2时和当﹣1＜x＜1时，y的最大值，综合可得结论；
（2）y＝2x2﹣4mx﹣2m＝2（x﹣m）2﹣2m2﹣2m，顶点为（m，﹣2m2﹣2m）可求出点T的坐标，当时，抛物线y＝2x2﹣4mx﹣2m与直线y＝﹣1交于点N时，N（2m﹣1，﹣1），点N代入解析式可得m的值，需舍去；当抛物线y＝2x2﹣4mx﹣2m与直线y＝﹣1交于点M，N时，可求出点N的坐标，两次点N的横坐标相等，进而可求出m的值．
（3）根据临界点可画出图形进行判断即可．
【解答】（1）解：当m＝1时，，
当1≤x≤2时，y＝2x2﹣4x﹣2＝2（x﹣1）2﹣4．
∴随着x的增大，函数值增大，当x＝2时，函数最大值﹣2，
当﹣1＜x＜1时，，随着x增大，函数值先增大后减小，在顶点处取最大值，即时，函数有最大值．
综上述，﹣1≤x≤2时，函数的最大值为．
（2）y＝2x2﹣4mx﹣2m＝2（x﹣m）2﹣2m2﹣2m，顶点为（m，﹣2m2﹣2m），
令﹣2m2﹣2m＝﹣1，解得（舍），
令，解得（舍），
∴，
作TQ⊥MN于点Q，垂足为点Q．
∵∠TNM＝135°，
∴∠TNQ＝45°，
∴TQ＝QN＝，
当时，抛物线y＝2x2﹣4mx﹣2m与直线y＝﹣1交于点N时，N（2m﹣1，﹣1），
∴2（2m﹣1）2﹣4m（2m﹣1）﹣2m＝﹣1，解得m＝，
此时N（0，﹣1）位于直线x＝m左侧，与题意不符，故舍掉．
当抛物线y＝2x2﹣4mx﹣2m与直线y＝﹣1交于点M，N时，
令y＝﹣x2﹣mx﹣m＝﹣1，解得x1＝﹣1，x2＝﹣m+1．
∵，
∴﹣1＜﹣m+1＜m，
∴点M（﹣1，﹣1），点N（﹣m+1，﹣1）．
∴2m﹣1＝﹣m+1，解得m＝．
综上述，当∠TNM＝135°时，m＝．
（3）根据题意，需要分以下几种情况：y＝2x2﹣4mx﹣2m，y＝﹣x2﹣mx﹣m，
①当点A在函数图象右半部分时，如图①，
把点A（﹣2m+1，1）代入y＝2x2﹣4mx﹣2m，
得2×（﹣2m+1）2﹣4m（﹣2m+1）﹣2m＝1，解得m＝；
②当y＝2x2﹣4mx﹣2m的顶点的纵坐标在函数图象上时，如图②，
即2m2﹣4m•m﹣2m＝﹣1，解得m＝；
③当点C在函数图象右半部分时，如图③，
将点C（﹣m+3，﹣1）代入y＝2x2﹣4mx﹣2m，
得2×（﹣m+3）2﹣4m（﹣m+3）﹣2m＝﹣1，解得m＝；
④当直线CD与函数图象左半部分相切，即y＝﹣x2﹣mx﹣m的顶点纵坐标为﹣1，如图④，
∴﹣（﹣）2﹣m（﹣）﹣m＝﹣1，解得m＝2+2；
⑤当直线AB与函数图象左半部分相切，即y＝﹣x2﹣mx﹣m的顶点纵坐标为1，如图⑤，
∴﹣（﹣）2﹣m（﹣）﹣m＝1，解得m＝2；
⑥当点B运动到函数图象左半部分时，如图⑥，
把点B（﹣m+3，1）代入y＝﹣x2﹣mx﹣m，
∴﹣（﹣m+3）2﹣m（﹣m+3）﹣m＝1，解得m＝5；根据点的运动可分别画出图象，如下图所示：
∴；．
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