2021-2022学年江西省上饶市余干县八年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年江西省上饶市余干县八年级（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江西省上饶市余干县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项，请将正确答案的代号填入题后括号内）
1．（3分）如图，△ABC≌△DEC，B，C，D三点在同一直线上，若CE＝6，AC＝9，则BD的长为（　　）

A．3 B．9 C．12 D．15
2．（3分）如图，在△BCD中，CD边上的高是（　　）

A．BD B．AD C．AF D．CD
3．（3分）下列图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CB于点T，连接AT，∠CAT＝24°，则∠C的度数是（　　）

A．66° B．32° C．42° D．48°
5．（3分）有一题目：“如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE＝DF，由图形的对称性可得∠DFB＝∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB＝140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（　　）

A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°
B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值
C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°
D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（6，6），点B在坐标轴上，且△OAB是等腰直角三角形，则点B的坐标不可能是（　　）

A．（0，6） B．（6，0） C．（12，0） D．（0，﹣6）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）若一个多边形的每个外角都为40°，则它的边数是　 　．
8．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝85°，∠C＝30°，∠DAC＝15°，则∠EAC的度数为 　 　．

9．（3分）如图，已知A（0，3），B（2，1），C（2，﹣3），若点P是△ABC三边垂直平分线的交点，则点P的坐标为　 　．

10．（3分）如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE＝4cm，则△ABD的周长是 　 　．

11．（3分）如图，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2，△ABC的面积是 　 　．

12．（3分）如图，有一个三角形纸片ABC，∠C＝30°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得的两纸片均为等腰三角形，则∠A的度数可以是 　 　．

三.（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）如图1，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
（2）如图2，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．


14．（6分）如图，在△ABC中，∠1＝100°，∠C＝80°，∠2＝∠3，BE平分∠ABC交AD于E，求∠4的度数．

15．（6分）如图，在5×5的正方形网格中，线段AB的两个端点都在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度直尺按以下要求作图．
（1）在图1中作出线段AB的中点．
（2）在图2中以AB为直角边作一个等腰直角三角形．

16．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC．
求证：BC＝DC．

17．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，AC＝BE，求∠B的度数．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，3），B（﹣1，﹣2），C（﹣4，1）．
（1）求△ABC的面积．
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．
（3）写出点A1，B1，C1的坐标．

19．（8分）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．
求证：（1）△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE．

20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点A在直线l上，BM⊥l，CN⊥l，垂足分别为M，N．
（1）你能找到一对全等的三角形吗？并说明理由．
（2）线段BM，CN，MN之间有何数量关系？并说明理由．

五.（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）如图，将△ABC分别沿AB，AC翻折得到△ABD和△AEC，线段BD与AE交于点F，连接BE．
（1）若∠ABC＝20°，∠ACB＝30°，求∠DAE及∠BFE的度数．
（2）若BD所在的直线与CE所在的直线互相垂直，求∠CAB的度数．

22．（9分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3cm，∠B＝30°，点D在BC边上由C向B匀速运动（D不与B、C重合），匀速运动速度为1cm/s，连接AD，作∠ADE＝30°，DE交线段AC于点E．
（1）在此运动过程中，∠BDA逐渐变　 　（填“大”或“小”）；D点运动到图1位置时，∠BDA＝75°，则∠BAD＝　 　．
（2）点D运动3s后到达图2位置，则CD＝　 　．此时△ABD和△DCE是否全等，请说明理由；
（3）在点D运动过程中，△ADE的形状也在变化，判断当△ADE是等腰三角形时，∠BDA等于多少度（请直接写出结果）

六、（本大题共12分）
23．（12分）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做对顶三角形．如图1，在△OAB与△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD．
（1）如图1，△OAB与△OCD是对顶三角形，且A，O，C三点共线请判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，△OAB与△OCD是对顶三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AC，BD，试探究线段AC，BD之间的关系，并说明理由．
（3）如图3，△OAB与△OCD是对顶三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AD，BC，取AD的中点E，连接EO并延长交BC于点F，延长OE至点G，使EG＝OE，连接AG，求证：EF⊥BC．



2021-2022学年江西省上饶市余干县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项，请将正确答案的代号填入题后括号内）
1．（3分）如图，△ABC≌△DEC，B，C，D三点在同一直线上，若CE＝6，AC＝9，则BD的长为（　　）

A．3 B．9 C．12 D．15
【分析】关键是根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，CE＝6，AC＝9，
∴BC＝CE＝6，CD＝AC＝9，
∴BD＝BC+CD＝6+9＝15，
故选：D．
2．（3分）如图，在△BCD中，CD边上的高是（　　）

A．BD B．AD C．AF D．CD
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：在△BCD中，CD边上的高是BD，
故选：A．
3．（3分）下列图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CB于点T，连接AT，∠CAT＝24°，则∠C的度数是（　　）

A．66° B．32° C．42° D．48°
【分析】根据作图得出△BTA是等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：由题意可得BT＝AB，
∴△BTA是等腰三角形，∠BAT＝∠BTA，
∵∠CAB＝90°，∠CAT＝24°，
∴∠BAT＝90°﹣24°＝66°，
∴∠B＝180°﹣66°×2＝48°，
∴∠C＝90°﹣48°＝42°．
故选：C．
5．（3分）有一题目：“如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE＝DF，由图形的对称性可得∠DFB＝∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB＝140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（　　）

A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°
B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值
C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°
D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值
【分析】以D为圆心，以DE长为半径画圆交AB于F，F'点，连接DF，DF'，则DE＝DF＝DF'，由图形的对称性可得∠DFB＝∠DEB，结合平行线的性质可求解∠DFB＝140°，当点F位于点F'处时，由DF＝DF'可求解∠DF'B的度数．
【解答】解：以D为圆心，以DE长为半径画圆交AB于F，F'点，连接DF，DF'，则DE＝DF＝DF'，
∴∠DFF'＝∠DF'F，
∵BD平分∠ABC，由图形的对称性可知∠DFB＝∠DEB，
∵DE∥AB，∠ABC＝40°，
∴∠DEB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠DFB＝140°；
当点F位于点F'处时，
∵DF＝DF'，
∴∠DF'B＝∠DFF'＝40°，
故选：A．

6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（6，6），点B在坐标轴上，且△OAB是等腰直角三角形，则点B的坐标不可能是（　　）

A．（0，6） B．（6，0） C．（12，0） D．（0，﹣6）
【分析】画出图形，由等腰直角三角形的性质可得出答案．
【解答】解：如图1，△OAB是等腰直角三角形，

∵A（6，6），
∴OB＝6，
∴B（6，0）；
如图2，△OAB是等腰直角三角形，

∵A（6，6），
∴OB＝12，
∴B（12，0）；
如图3，△OAB是等腰直角三角形，

∵A（6，6），
∴OB＝6，
∴B（0，6）．
故B点的坐标不可能是（0，﹣6），
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）若一个多边形的每个外角都为40°，则它的边数是　9　．
【分析】多边形的外角和是360°，又有多边形的每个外角都等于40°，所以可以求出多边形外角的个数，进而得到多边形的边数．
【解答】解：这个多边形的边数是：360÷40＝9，
故答案为：9．
8．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝85°，∠C＝30°，∠DAC＝15°，则∠EAC的度数为 　50°　．

【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据全等三角形的性质得出∠DAE＝∠BAC，再求出答案即可．
【解答】解：∵∠B＝85°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝65°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝65°，
∵∠DAC＝15°，
∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC＝65°﹣15°＝50°，
故答案为：50°．
9．（3分）如图，已知A（0，3），B（2，1），C（2，﹣3），若点P是△ABC三边垂直平分线的交点，则点P的坐标为　（﹣2，﹣1）　．

【分析】根据线段垂直平分线的性质解答．
【解答】解：如图所示：分别作线段AB、BC的垂直平分线交于点P，
点P的坐标为（﹣2，﹣1），
故答案为：（﹣2，﹣1）．

10．（3分）如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE＝4cm，则△ABD的周长是 　22cm　．

【分析】首先根据折叠方法可得AE＝CE，AD＝CD，再根据AE的长可以计算出AB+CB，进而可得△ABD的周长．
【解答】解：根据折叠方法可得AE＝CE，AD＝CD，
∵AE＝4cm，
∴CE＝4cm，
∵△ABC的周长为30cm，
∴AB+CB＝30﹣8＝22（cm），
△ABD的周长是：AB+BD+AD＝AB+BC＝22cm，
故答案为：22cm．
11．（3分）如图，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2，△ABC的面积是 　20　．

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以2，代入求出即可．
【解答】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE＝OF＝OD＝2，
∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD＝2，
∴S△ABC＝×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF
＝×（AB+BC+AC）×2
＝×20×2
＝20，
故答案为：20．
12．（3分）如图，有一个三角形纸片ABC，∠C＝30°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得的两纸片均为等腰三角形，则∠A的度数可以是 　30°或15°或60°　．

【分析】分BC＝CD或BC＝BD或CD＝BD三种情况，求出∠ADB，再分AB＝AD或AB＝BD或AD＝BD三种情况根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠A即可得解．
【解答】解：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，
①BC＝CD，此时∠CDB＝∠DBC＝（180°﹣∠C）÷2＝75°，
∴∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣75°＝105°，
AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝30°；
②BC＝BD，此时∠CDB＝∠C＝30°，
∴∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣30°＝150°，
AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝15°；
③CD＝BD，此时∠CDB＝180°﹣2∠C＝120°，
∴∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣120°＝60°，
AB＝AD时，∠A＝180°﹣2∠ADB＝60°；
或AB＝BD，∠A＝60°；
或AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝60°．
综上所述，∠A的度数可以是30°或15°或60°．
故答案为：30°或15°或60°．

三.（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）如图1，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
（2）如图2，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．


【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的性质求解即可；
（2）由“SAS”可证△ABF≌△CDE，可得结论．
【解答】解：（1）在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，且∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAE＝∠EAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝（180°﹣40°﹣60°）＝40°．
在△ACD中，∠ADC＝90°，∠C＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝40°﹣30°＝10°．
证明：（2）∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，且AB＝CD，∠B＝∠C，
在△ABF与△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴∠A＝∠D．
14．（6分）如图，在△ABC中，∠1＝100°，∠C＝80°，∠2＝∠3，BE平分∠ABC交AD于E，求∠4的度数．

【分析】首先根据三角形的外角的性质求得∠3，再根据已知条件求得∠2，进而根据三角形的内角和定理求得∠ABD，再根据角平分线的定义求得∠ABE，最后根据三角形的外角的性质求得∠4．
【解答】解：∵∠1＝∠3+∠C，∠1＝100°，∠C＝80°，
∴∠3＝20°，
∵∠2＝∠3，
∴∠2＝10°，
∴∠ABC＝180°﹣100°﹣10°＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝35°，
∵∠4＝∠2+∠ABE，
∴∠4＝45°．
15．（6分）如图，在5×5的正方形网格中，线段AB的两个端点都在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度直尺按以下要求作图．
（1）在图1中作出线段AB的中点．
（2）在图2中以AB为直角边作一个等腰直角三角形．

【分析】（1）根据题意画出1×3格对角线即可作出线段AB的中点；
（2）根据等腰直角三角形的性质画出△ABC即可．
【解答】解：（1）如图1，点O即为线段AB的中点；

（2）如图2，△ABC即为所求．
16．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC．
求证：BC＝DC．

【分析】连接BD，根据AB＝AD，可得∠ABD＝∠ADB，再根据∠ABC＝∠ADC，可证∠CBD＝∠CDB即可．
【解答】证明：连接BD，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
又∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD，∠CDB＝∠ADC﹣∠ADB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴BC＝DC
17．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，AC＝BE，求∠B的度数．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质得到∠EAD＝∠B，根据直角三角形的性质列式计算，得到答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，
∴CD＝DE，AE＝AC，
∵AC＝BE，
∴AE＝BE，
∴E为AB的中点，
∵DE⊥AB于点E，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠EAD＝∠B，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠EAD，
∵∠C＝90°，
∴∠B＝∠CAD＝∠EAD＝30°．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，3），B（﹣1，﹣2），C（﹣4，1）．
（1）求△ABC的面积．
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．
（3）写出点A1，B1，C1的坐标．

【分析】（1）利用三角形的面积公式求解即可；
（2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（3）根据所作图形即可得出答案．
【解答】解：（1）△ABC的面积为×5×3＝7.5；
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．

（3）点A1（1，3），B1（1，﹣2），C1（4，1）．
19．（8分）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．
求证：（1）△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE．

【分析】（1）根据平行线性质求出∠A＝∠B，根据SAS推出即可．
（2）根据全等三角形性质推出CD＝CE，根据等腰三角形性质求出即可．
【解答】证明：（1）∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ACD和△BEC中
，
∴△ACD≌△BEC（SAS）；

（2）∵△ACD≌△BEC，
∴CD＝CE，
又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点A在直线l上，BM⊥l，CN⊥l，垂足分别为M，N．
（1）你能找到一对全等的三角形吗？并说明理由．
（2）线段BM，CN，MN之间有何数量关系？并说明理由．

【分析】（1）根据题意证明∠MBA＝∠NAC，利用AAS定理证明△ABM≌△CAN；
（2）根据全等三角形的性质得到CN＝AM，BM＝AN，结合图形解答．
【解答】解：（1）△ABM≌△CAN，
理由如下：∵∠BAC＝90°，
∴∠MAB+∠NAC＝90°，
∵BM⊥MN，
∴∠MAB+∠MBA＝90°，
∴∠MBA＝∠NAC，
在△ABM和△CAN中，
，
∴△ABM≌△CAN（AAS）；
（2）BM+CN＝MN，
理由如下：∵△ABM≌△CAN，
∴CN＝AM，BM＝AN，
∴MN＝AM+AN＝BM+CN．
五.（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）如图，将△ABC分别沿AB，AC翻折得到△ABD和△AEC，线段BD与AE交于点F，连接BE．
（1）若∠ABC＝20°，∠ACB＝30°，求∠DAE及∠BFE的度数．
（2）若BD所在的直线与CE所在的直线互相垂直，求∠CAB的度数．

【分析】（1）由折叠的性质可得∠2＝∠1＝30°，∠4＝∠3＝20°，由周角的性质和外角性质可求解；
（2）由三角形内角和定理可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC沿AC、AB翻折得到△AEC和△ABD，

∴△AEC≌△ABC，△ABD≌△ABC．
∴∠2＝∠1＝30°，∠4＝∠3＝20°，
∠EAC＝∠BAD＝∠BAC＝180°﹣30°﹣20°＝130°，
∵∠DAC＝360°﹣∠BAD﹣∠BAC，
∴∠DAC＝360°﹣130°﹣130°＝100°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝130°﹣100°＝30°，
∴∠BFE＝∠DFA＝180°﹣∠DAE﹣∠D＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
（2）∵BD⊥CE，
∴∠DBC+∠ECB＝90°．
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠DBC+∠ECB＝2∠3+2∠1＝90°．
∴∠3+∠1＝45°，
在△ABC中，∠CAB＝180°﹣（∠3+∠1）＝180°﹣45°＝135°．
22．（9分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3cm，∠B＝30°，点D在BC边上由C向B匀速运动（D不与B、C重合），匀速运动速度为1cm/s，连接AD，作∠ADE＝30°，DE交线段AC于点E．
（1）在此运动过程中，∠BDA逐渐变　大　（填“大”或“小”）；D点运动到图1位置时，∠BDA＝75°，则∠BAD＝　75°　．
（2）点D运动3s后到达图2位置，则CD＝　3cm　．此时△ABD和△DCE是否全等，请说明理由；
（3）在点D运动过程中，△ADE的形状也在变化，判断当△ADE是等腰三角形时，∠BDA等于多少度（请直接写出结果）

【分析】（1）根据点D的运动情况判断∠BDA的变化情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BAD；
（2）根据点D的运动情况求出CD，利用ASA定理证明△ABD≌△DCE；
（3）分AD＝AE、DA＝DE、EA＝ED三种情况，根据等腰三角形的性质结合角的计算求出∠BDA的度数．
【解答】解：（1）在此运动过程中，∠BDA逐渐变大，
D点运动到图1位置时，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝75°，
故答案为：大；75°；
（2）点D运动3s后到达图2位置，CD＝3cm，此时△ABD≌△DCE，
理由如下：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝30°，
∵CD＝CA＝3cm，
∴∠CAD＝∠CDA＝×（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ADB＝105°，∠EDC＝75°﹣30°＝45°，
∴∠DEC＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
故答案为：3cm；
（3）△ADE为等腰三角形分三种情况：
①当AD＝AE时，∠ADE＝30°，
∴∠AED＝∠ADE＝30°，∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝120°，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，D不与B、C重合，
∴AD≠AE；
②当DA＝DE时，∠ADE＝30°，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝75°，
∴∠BDA＝∠DEC＝180°﹣∠AED＝105°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝30°，
∴∠EAD＝∠EDA＝30°，
∴∠AED＝180°﹣∠EAD﹣∠EDA＝120°，
∴∠BDA＝∠DEC＝180°﹣∠AED＝60°．
综上可知：在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形，此时∠BDA的度数为60°或105°．
六、（本大题共12分）
23．（12分）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做对顶三角形．如图1，在△OAB与△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD．
（1）如图1，△OAB与△OCD是对顶三角形，且A，O，C三点共线请判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，△OAB与△OCD是对顶三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AC，BD，试探究线段AC，BD之间的关系，并说明理由．
（3）如图3，△OAB与△OCD是对顶三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AD，BC，取AD的中点E，连接EO并延长交BC于点F，延长OE至点G，使EG＝OE，连接AG，求证：EF⊥BC．


【分析】（1）结论：AB∥CD．证明∠OCD＝∠OAB，可得结论；
（2）结论：AC＝BD，AC⊥BD．如图2中，设BD交AB于点M，交OC于点J．证明△AOC≌△BOD（SAS），推出AC＝BD，∠OCM＝∠ODJ，可得结论；
（3）证明△AEG≌△DEO（SAS），推出AG＝OD，∠G＝∠DOE，推出AG∥OD，推出∠OAG+∠AOD＝180°，由∠COD＝∠AOB＝90°，推出∠AOD+∠BOC＝180°，推出∠GAO＝∠COB，再证明△GAO≌△COB（SAS），可得结论．
【解答】（1）解：结论：AB∥CD．
理由：如图1中，∵△OAB，△OCD是对顶三角形，
∴OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，
∠OCD＝∠ODC＝（180°﹣∠COD），∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB），
∴∠OCD＝∠OAB，
∵A，O，C共线，
∴AB∥CD；

（2）解：结论：AC＝BD，AC⊥BD．
理由：如图2中，设BD交AB于点M，交OC于点J．

∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD，∠OCM＝∠ODJ，
∵∠DJO＝∠CJM，
∴∠DOJ＝∠CMJ＝90°，即AC⊥BD；

（3）证明：如图3中，

在△AEG和△DEO中，
，
∴△AEG≌△DEO（SAS），
∴AG＝OD，∠G＝∠DOE，
∴AG∥OD，
∴∠OAG+∠AOD＝180°，
∵∠COD＝∠AOB＝90°，
∴∠AOD+∠BOC＝180°，
∴∠GAO＝∠COB，
∵OD＝OC，
∴AG＝OC，
在△GAO和△COB中，
，
∴△GAO≌△COB（SAS），
∴∠AOG＝∠OBC，
∵∠AOG+∠BOF＝90°，
∴∠OBC+∠BOF＝90°，
∴∠BFO＝90°，即EF⊥BC．