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2021-2022学年湖北省孝感市安陆市八年级（上）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年湖北省孝感市安陆市八年级（上）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了精心选择，一锤定音，细心填一填，试试自己的身手！，用心做一做，显显自己的能力！等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省孝感市安陆市八年级（上）期中数学试卷
一、精心选择，一锤定音（本大题共8道小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个答案是正确的，请将正确答案的序号直接填入下表中）
1．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列图形具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．钝角三角形
3．（3分）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条角平分线的交点
4．（3分）一个十边形的内角和等于（ ）
A．1800° B．1660° C．1440° D．1200°
5．（3分）下来三条线段中，能构成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，5，10 D．5，6，7
6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3，则BD的长是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
7．（3分）已知△ABC的∠A＝80°，剪去∠A后得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．100° B．160° C．260° D．280°
8．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为（ ）
A．45° B．α﹣45° C．α D．90°﹣α
二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共8小题，每小题3分，共24分。）
9．（3分）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量A′B′的长度即可，该做法的依据是 ．
10．（3分）点M（3，﹣4）关于x轴的对称点的坐标是 ．
11．（3分）等腰三角形的两边分别4和9．则这个等腰三角形的周长为 ．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若CD＝3，则点D到AB的距离是 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，直线DE是AB的垂直平分线，若BE+CE＝12，BC＝8，则△ABC的周长为 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别在BC，AC，AB上的点，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则∠A的度数是 度．（用含α的代数式表示）
15．（3分）如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是 ．
16．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，现有下列结论：
①DE＝DF；②DE+DF＝AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC＝2AE；其中正确的有 ．（填写序号）
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共8小题，满分72分.）
17．（6分）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝70°，∠C＝50°，求∠DAE的度数．
18．（8分）如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB
求证：AE＝CE．
19．（8分）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角”．
请补全上述命题的证明．
已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．
求证： ．
证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在上图中补全图形）
∵AD＝AB
∴∠ABD＝∠ ，（ ）（填推理的依据）
∵∠ADB是△BCD的外角，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC，（ ）（填推理的依据）
∴∠ADB＞∠C，
∴∠ABD＞∠C．
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，
∴∠ABC＞∠ABD，
∴ ．
20．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE＝FC，BD＝FD，求证：AD是∠BAC的平分线．
21．（10分）问题：在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是线段BC，AC上的一点，且AD＝AE．探究∠BAD和∠CDE的数量关系．
（1）特殊情况，如图1，若∠BAC＝90°，D是BC中点，则∠BAD的度数为 ，∠CDE的度数为 ．
（2）一般情况，借助图2，猜想∠BAD，∠CDE之间的数量关系，并证明你的结论．
22．（8分）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝90°，B，C，E在同一条直线上，连结CD．求∠ACD的度数．
23．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F．
（1）∠ABF的度数为 ；
（2）求证：AD＝CF；
（3）连接DF，求证：AB垂直平分DF．
24．（12分）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．
（1）如图1，当点D在边BC上时．
①求证：△ABD≌△ACE；
②直接判断结论BC，DC，CE的关系 （不需证明）；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．
2021-2022学年湖北省孝感市安陆市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选择，一锤定音（本大题共8道小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个答案是正确的，请将正确答案的序号直接填入下表中）
1．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
2．（3分）下列图形具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．钝角三角形
【分析】根据三角形具有稳定性即可得出答案．
【解答】解：具有稳定性的是钝角三角形．
故选：D．
3．（3分）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条角平分线的交点
【分析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
【解答】解：
∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选：D．
4．（3分）一个十边形的内角和等于（ ）
A．1800° B．1660° C．1440° D．1200°
【分析】根据多边形的内角和等于（n﹣2）•180°即可得解．
【解答】解：根据多边形内角和公式得，
十边形的内角和等于：（10﹣2）×180°＝8×180°＝1440°，
故选：C．
5．（3分）下来三条线段中，能构成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，5，10 D．5，6，7
【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．
【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A，3+4＝7＜8，不能组成三角形；
B，5+6＝11＝11，不能组成三角形；
C，5＝5＝10，不能够组成三角形；
D，5+6＝11＞7，能组成三角形．
故选：D．
6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3，则BD的长是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【分析】根据三角形的内角和求出∠A，根据余角的定义求出∠ACD，根据含30度角的直角三角形性质求出AC＝2AD，AB＝2AC，求出AB即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∵∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，
∵AD＝3，
∴AC＝2AD＝6，
∴AB＝2AC＝12，
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣3＝9，
故选：B．
7．（3分）已知△ABC的∠A＝80°，剪去∠A后得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．100° B．160° C．260° D．280°
【分析】根据四边形内角和等于360°，得∠1+2＝360°﹣（∠B+∠C），欲求∠1+∠2，需求∠B+∠C．根据三角形内角和定理，由∠A＝80°，得∠B+∠C＝180°﹣∠A＝100°．
【解答】解：∵∠A＝80°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝100°．
又∵∠1+∠2+∠B+∠C＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣100°＝260°．
故选：C．
8．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为（ ）
A．45° B．α﹣45° C．α D．90°﹣α
【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE＝∠BAD＝，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣．
【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB＝AB'，
∴∠BAC＝∠B'AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE＝∠BAD＝，
又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，
∴四边形AOB'E中，∠EB'O＝180°﹣，
∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°﹣﹣90°＝90°﹣，
∴∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣，
故选：D．
二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共8小题，每小题3分，共24分。）
9．（3分）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量A′B′的长度即可，该做法的依据是 根据SAS证明△AOB≌△A′OB′ ．
【分析】根据测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一SAS，只需要测量易测量的边A′B′上，进而得出答案．
【解答】解：连接AB，A′B′，如图，
∵点O分别是AA′、BB′的中点，
∴OA＝OA′，OB＝OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS）．
∴A′B′＝AB．
答：需要测量A′B′的长度，即为工件内槽宽AB．
其依据是根据SAS证明△AOB≌△A′OB′；
故答案为：根据SAS证明△AOB≌△A′OB′．
10．（3分）点M（3，﹣4）关于x轴的对称点的坐标是 （3，4） ．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点M（3，﹣4）关于x轴的对称点M′的坐标是（3，4）．
故答案为：（3，4）．
11．（3分）等腰三角形的两边分别4和9．则这个等腰三角形的周长为 22 ．
【分析】已知了等腰三角形两边长为4和9，但是没有明确腰长和底长，因此要分类讨论．
【解答】解：①当腰长为4时，三角形的三边长为9、4、4，不符合三角形三边关系，因此这种情况不成立；
②当腰长为9时，三角形的三边长为9、9、4，能构成三角形，则其周长＝9+9+4＝22．
故答案为：22．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若CD＝3，则点D到AB的距离是 3 ．
【分析】作DM⊥AB于点M，由作图知AD平分∠BAC且CD＝3，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DM＝DC＝3．
【解答】解：如图所示，过点D作DM⊥AB于点M，
由作图知AD平分∠BAC，且CD＝3，
∴DM＝DC＝3，
故答案为：3．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，直线DE是AB的垂直平分线，若BE+CE＝12，BC＝8，则△ABC的周长为 32 ．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质求出AE＝BE，再通过等量代换求出AC的长，进而求出△ABC的周长．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵BE+CE＝12，
∴AE+CE＝12，
∴AC＝12，
∵AB＝AC，
∴AB＝12，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝12+12+8＝32，
故答案为：32．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别在BC，AC，AB上的点，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则∠A的度数是 180°﹣2α 度．（用含α的代数式表示）
【分析】根据已知条件可推出BDF≌△CDE，从而可知∠EDC＝∠FDB，则∠EDF＝∠B．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDF和△CED中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS）
∴∠EDC＝∠DFB
∴∠EDF＝∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝90°﹣∠A，
∵∠FDE＝α，
∴∠A＝180°﹣2α，
故答案为：180°﹣2α
15．（3分）如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是 （4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1） ．
【分析】因为△ABD与△ABC有一条公共边AB，故本题应从点D在AB的上边、点D在AB的下边两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案．
【解答】解：△ABD与△ABC有一条公共边AB，
当点D在AB的下边时，点D有两种情况：①坐标是（4，﹣1）；②坐标为（﹣1，﹣1）；
当点D在AB的上边时，坐标为（﹣1，3）；
点D的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）．
16．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，现有下列结论：
①DE＝DF；②DE+DF＝AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC＝2AE；其中正确的有 ①②④ ．（填写序号）
【分析】①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD＝∠FAD＝30°，故此可知ED＝AD，DF＝AD，从而可证明②正确；③若DM平分∠EDF，则∠EDM＝90°，从而得到∠ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE＝FC，从而可证明④．
【解答】解：如图所示：连接BD、DC．
①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED＝DF．故①正确．
②∵∠EAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD＝30°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°．
∵∠AED＝90°，∠EAD＝30°，
∴ED＝AD．
同理：DF＝AD．
∴DE+DF＝AD．故②正确．
③由题意可知：∠EDA＝∠ADF＝60°．
假设MD平分∠ADF，则∠ADM＝30°．则∠EDM＝90°，
又∵∠E＝∠BMD＝90°，
∴∠EBM＝90°．
∴∠ABC＝90°．
∵∠ABC是否等于90°不知道，
∴不能判定MD平分∠EDF．故③错误．
④∵DM是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC．
在Rt△BED和Rt△CFD中
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD．
∴BE＝FC．
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+FC
又∵AE＝AF，BE＝FC，
∴AB+AC＝2AE．故④正确．
故答案为①②④
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共8小题，满分72分.）
17．（6分）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝70°，∠C＝50°，求∠DAE的度数．
【分析】由三角形的内角和定理，求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，再根据三角形的内角和定理得出∠BAD的度数，即可得出∠DAE．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠CAE＝30°．
又∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
在△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠B＝20°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°，
故答案为10°．
18．（8分）如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB
求证：AE＝CE．
【分析】根据平行线的性质得出∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠CFE，再根据全等三角形的判定定理AAS得出△ADE≌△CFE，即可得出答案．
【解答】证明：∵FC∥AB，
∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠CFE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AE＝CE．
19．（8分）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角”．
请补全上述命题的证明．
已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．
求证： ∠ABC＞∠C ．
证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在上图中补全图形）
∵AD＝AB
∴∠ABD＝∠ ADB ，（ 等边对等角 ）（填推理的依据）
∵∠ADB是△BCD的外角，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC，（ 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 ）（填推理的依据）
∴∠ADB＞∠C，
∴∠ABD＞∠C．
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，
∴∠ABC＞∠ABD，
∴ ∠ABC＞∠C ．
【分析】根据文字题目的要求写出已知，求证，利用等腰三角形的性质以及三角形的我觉得性质解决问题即可．
【解答】解：已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．
求证：∠ABC＞∠C．
证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）．
∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB（等边对等角），
∵∠ADB是△BCD的外角，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠ADB＞∠C，
∴∠ABD＞∠C，
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，
∴∠ABC＞∠ABD，
∴∠ABC＞∠C．
故答案为：∠ABC＞∠C，ADB，等边对等角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．∠ABC＞∠C．
20．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE＝FC，BD＝FD，求证：AD是∠BAC的平分线．
【分析】利用“HL”可证明Rt△CDF≌Rt△EDB，则DC＝DE，然后根据角平行线性质定理的逆定理可判断AD是∠BAC的平分线．
【解答】证明：在Rt△CDF和Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴DC＝DE，
而DC⊥AC，DE⊥AB，
∴∠DAC＝∠DAB，
即AD是∠BAC的平分线．
21．（10分）问题：在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是线段BC，AC上的一点，且AD＝AE．探究∠BAD和∠CDE的数量关系．
（1）特殊情况，如图1，若∠BAC＝90°，D是BC中点，则∠BAD的度数为 45° ，∠CDE的度数为 22.5° ．
（2）一般情况，借助图2，猜想∠BAD，∠CDE之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，进而得出∠BAD＝2∠CDE．
（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，进而得出∠BAD＝2∠CDE．
【解答】解：（1）∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵∠B＝∠C，∠BAC＝90°，D是BC中点，
∴∠BAD＝45°，
∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD＝2∠CDE，
∴∠CDE＝22.5°；
故答案为：45°；22.5°．
（2）∠BAD＝2∠CDE．
证明：∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD＝2∠CDE．
22．（8分）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝90°，B，C，E在同一条直线上，连结CD．求∠ACD的度数．
【分析】根据SAS证明△ACD≌△ABE，由全等三角形的性质得出∠ACD＝∠B，则可得出答案．
【解答】解：∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS）．
∴∠ACD＝∠B，
∵∠B＝45°，
∴∠ACD＝45°．
23．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F．
（1）∠ABF的度数为 45° ；
（2）求证：AD＝CF；
（3）连接DF，求证：AB垂直平分DF．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质及平行线的性质可得出答案；
（2）欲证AD＝CF，可证△ACD≌△CBF．由CE⊥AD于E，得∠AEC＝90°，那么∠CAE+∠ACE＝180°﹣∠AEC＝90°，故∠CAD＝∠BCF．由BF∥AC，得∠ACD+∠CBF＝180°，那么∠CBF＝180°﹣∠ACD＝90°，故∠ACD＝∠CBF，从而证得△ACD≌△CBF．
（3）欲证AB垂直平分DF，即证OB⊥DF及DO＝FO，由△ACD≌△CBF，得CD＝BF．由D为BC中点，得CD＝DB，那么BD＝BF．由AC＝BC，得∠CAB＝∠CBA．由∠ACB＝90°，得∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠ACB＝90°，那么∠CAB＝∠CBA＝45°．由∠CBF＝90°，得∠OBF＝∠CBF﹣∠CBA＝45°，那么∠DBO＝∠OBF，进而证得△OBD≌△OBF，故OB⊥DF，DO＝FO．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
∵BF∥AC，
∴∠FBC＝90°，
∴∠ABF＝45°，
故答案为：45°；
（2）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°．
∵CE⊥AD于E，
∴∠AEC＝90°．
∴∠CAE+∠ACE＝180°﹣∠AEC＝90°．
∴∠CAD＝∠BCF．
∵BF∥AC，
∴∠ACD+∠CBF＝180°．
∴∠CBF＝180°﹣∠ACD＝90°．
∴∠ACD＝∠CBF．
在△ACD和△CBF中，
，
∴△ACD≌△CBF（ASA）．
∴AD＝CF．
（2）证明：由（1）知：△ACD≌△CBF．
∴CD＝BF．
∵D为BC中点，
∴CD＝DB．
∴BD＝BF．
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA．
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠ACB＝90°．
∴∠CAB＝∠CBA＝45°．
连接DF交AB于点O，
由（1）知：∠CBF＝90°．
∴∠OBF＝∠CBF﹣∠CBA＝90°﹣45°＝45°．
∴∠DBO＝∠OBF．
在△OBD和△OBF中，
，
∴△OBD≌△OBF（SAS）．
∴DO＝FO，∠DOB＝∠FOB．
又∵∠DOB+∠FOB＝180°，
∴2∠DOB＝180°．
∴∠DOB＝90°．
∴OB⊥DF．
又∵DO＝FO，
∴AB垂直平分DF．
24．（12分）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．
（1）如图1，当点D在边BC上时．
①求证：△ABD≌△ACE；
②直接判断结论BC，DC，CE的关系 BC＝CE+CD （不需证明）；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．
【分析】（1）①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE；②由△ABD≌△ACE就可以得出BC＝DC+CE；
（2）由等边三角形的性质就可以得出∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BC+CD＝CE．
【解答】解：（1）①证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE．
∵BC＝BD+CD，
∴BC＝CE+CD．
故答案为BC＝CE+CD．
（2）BC+CD＝CE．
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD＝CE．
∵BD＝BC+CD，
∴CE＝BC+CD．
2021-2022学年湖北省孝感市安陆市八年级（上）期中数学试卷
一、精心选择，一锤定音（本大题共8道小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个答案是正确的，请将正确答案的序号直接填入下表中）
1．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列图形具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．钝角三角形
3．（3分）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条角平分线的交点
4．（3分）一个十边形的内角和等于（ ）
A．1800° B．1660° C．1440° D．1200°
5．（3分）下来三条线段中，能构成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，5，10 D．5，6，7
6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3，则BD的长是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
7．（3分）已知△ABC的∠A＝80°，剪去∠A后得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．100° B．160° C．260° D．280°
8．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为（ ）
A．45° B．α﹣45° C．α D．90°﹣α
二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共8小题，每小题3分，共24分。）
9．（3分）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量A′B′的长度即可，该做法的依据是 ．
10．（3分）点M（3，﹣4）关于x轴的对称点的坐标是 ．
11．（3分）等腰三角形的两边分别4和9．则这个等腰三角形的周长为 ．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若CD＝3，则点D到AB的距离是 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，直线DE是AB的垂直平分线，若BE+CE＝12，BC＝8，则△ABC的周长为 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别在BC，AC，AB上的点，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则∠A的度数是 度．（用含α的代数式表示）
15．（3分）如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是 ．
16．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，现有下列结论：
①DE＝DF；②DE+DF＝AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC＝2AE；其中正确的有 ．（填写序号）
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共8小题，满分72分.）
17．（6分）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝70°，∠C＝50°，求∠DAE的度数．
18．（8分）如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB
求证：AE＝CE．
19．（8分）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角”．
请补全上述命题的证明．
已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．
求证： ．
证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在上图中补全图形）
∵AD＝AB
∴∠ABD＝∠ ，（ ）（填推理的依据）
∵∠ADB是△BCD的外角，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC，（ ）（填推理的依据）
∴∠ADB＞∠C，
∴∠ABD＞∠C．
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，
∴∠ABC＞∠ABD，
∴ ．
20．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE＝FC，BD＝FD，求证：AD是∠BAC的平分线．
21．（10分）问题：在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是线段BC，AC上的一点，且AD＝AE．探究∠BAD和∠CDE的数量关系．
（1）特殊情况，如图1，若∠BAC＝90°，D是BC中点，则∠BAD的度数为 ，∠CDE的度数为 ．
（2）一般情况，借助图2，猜想∠BAD，∠CDE之间的数量关系，并证明你的结论．
22．（8分）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝90°，B，C，E在同一条直线上，连结CD．求∠ACD的度数．
23．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F．
（1）∠ABF的度数为 ；
（2）求证：AD＝CF；
（3）连接DF，求证：AB垂直平分DF．
24．（12分）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．
（1）如图1，当点D在边BC上时．
①求证：△ABD≌△ACE；
②直接判断结论BC，DC，CE的关系 （不需证明）；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．
2021-2022学年湖北省孝感市安陆市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选择，一锤定音（本大题共8道小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个答案是正确的，请将正确答案的序号直接填入下表中）
1．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
2．（3分）下列图形具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．钝角三角形
【分析】根据三角形具有稳定性即可得出答案．
【解答】解：具有稳定性的是钝角三角形．
故选：D．
3．（3分）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条角平分线的交点
【分析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
【解答】解：
∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选：D．
4．（3分）一个十边形的内角和等于（ ）
A．1800° B．1660° C．1440° D．1200°
【分析】根据多边形的内角和等于（n﹣2）•180°即可得解．
【解答】解：根据多边形内角和公式得，
十边形的内角和等于：（10﹣2）×180°＝8×180°＝1440°，
故选：C．
5．（3分）下来三条线段中，能构成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，5，10 D．5，6，7
【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．
【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A，3+4＝7＜8，不能组成三角形；
B，5+6＝11＝11，不能组成三角形；
C，5＝5＝10，不能够组成三角形；
D，5+6＝11＞7，能组成三角形．
故选：D．
6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3，则BD的长是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【分析】根据三角形的内角和求出∠A，根据余角的定义求出∠ACD，根据含30度角的直角三角形性质求出AC＝2AD，AB＝2AC，求出AB即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∵∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，
∵AD＝3，
∴AC＝2AD＝6，
∴AB＝2AC＝12，
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣3＝9，
故选：B．
7．（3分）已知△ABC的∠A＝80°，剪去∠A后得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．100° B．160° C．260° D．280°
【分析】根据四边形内角和等于360°，得∠1+2＝360°﹣（∠B+∠C），欲求∠1+∠2，需求∠B+∠C．根据三角形内角和定理，由∠A＝80°，得∠B+∠C＝180°﹣∠A＝100°．
【解答】解：∵∠A＝80°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝100°．
又∵∠1+∠2+∠B+∠C＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣100°＝260°．
故选：C．
8．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为（ ）
A．45° B．α﹣45° C．α D．90°﹣α
【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE＝∠BAD＝，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣．
【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB＝AB'，
∴∠BAC＝∠B'AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE＝∠BAD＝，
又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，
∴四边形AOB'E中，∠EB'O＝180°﹣，
∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°﹣﹣90°＝90°﹣，
∴∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣，
故选：D．
二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共8小题，每小题3分，共24分。）
9．（3分）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量A′B′的长度即可，该做法的依据是 根据SAS证明△AOB≌△A′OB′ ．
【分析】根据测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一SAS，只需要测量易测量的边A′B′上，进而得出答案．
【解答】解：连接AB，A′B′，如图，
∵点O分别是AA′、BB′的中点，
∴OA＝OA′，OB＝OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS）．
∴A′B′＝AB．
答：需要测量A′B′的长度，即为工件内槽宽AB．
其依据是根据SAS证明△AOB≌△A′OB′；
故答案为：根据SAS证明△AOB≌△A′OB′．
10．（3分）点M（3，﹣4）关于x轴的对称点的坐标是 （3，4） ．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点M（3，﹣4）关于x轴的对称点M′的坐标是（3，4）．
故答案为：（3，4）．
11．（3分）等腰三角形的两边分别4和9．则这个等腰三角形的周长为 22 ．
【分析】已知了等腰三角形两边长为4和9，但是没有明确腰长和底长，因此要分类讨论．
【解答】解：①当腰长为4时，三角形的三边长为9、4、4，不符合三角形三边关系，因此这种情况不成立；
②当腰长为9时，三角形的三边长为9、9、4，能构成三角形，则其周长＝9+9+4＝22．
故答案为：22．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若CD＝3，则点D到AB的距离是 3 ．
【分析】作DM⊥AB于点M，由作图知AD平分∠BAC且CD＝3，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DM＝DC＝3．
【解答】解：如图所示，过点D作DM⊥AB于点M，
由作图知AD平分∠BAC，且CD＝3，
∴DM＝DC＝3，
故答案为：3．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，直线DE是AB的垂直平分线，若BE+CE＝12，BC＝8，则△ABC的周长为 32 ．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质求出AE＝BE，再通过等量代换求出AC的长，进而求出△ABC的周长．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵BE+CE＝12，
∴AE+CE＝12，
∴AC＝12，
∵AB＝AC，
∴AB＝12，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝12+12+8＝32，
故答案为：32．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别在BC，AC，AB上的点，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则∠A的度数是 180°﹣2α 度．（用含α的代数式表示）
【分析】根据已知条件可推出BDF≌△CDE，从而可知∠EDC＝∠FDB，则∠EDF＝∠B．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDF和△CED中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS）
∴∠EDC＝∠DFB
∴∠EDF＝∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝90°﹣∠A，
∵∠FDE＝α，
∴∠A＝180°﹣2α，
故答案为：180°﹣2α
15．（3分）如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是 （4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1） ．
【分析】因为△ABD与△ABC有一条公共边AB，故本题应从点D在AB的上边、点D在AB的下边两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案．
【解答】解：△ABD与△ABC有一条公共边AB，
当点D在AB的下边时，点D有两种情况：①坐标是（4，﹣1）；②坐标为（﹣1，﹣1）；
当点D在AB的上边时，坐标为（﹣1，3）；
点D的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）．
16．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，现有下列结论：
①DE＝DF；②DE+DF＝AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC＝2AE；其中正确的有 ①②④ ．（填写序号）
【分析】①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD＝∠FAD＝30°，故此可知ED＝AD，DF＝AD，从而可证明②正确；③若DM平分∠EDF，则∠EDM＝90°，从而得到∠ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE＝FC，从而可证明④．
【解答】解：如图所示：连接BD、DC．
①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED＝DF．故①正确．
②∵∠EAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD＝30°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°．
∵∠AED＝90°，∠EAD＝30°，
∴ED＝AD．
同理：DF＝AD．
∴DE+DF＝AD．故②正确．
③由题意可知：∠EDA＝∠ADF＝60°．
假设MD平分∠ADF，则∠ADM＝30°．则∠EDM＝90°，
又∵∠E＝∠BMD＝90°，
∴∠EBM＝90°．
∴∠ABC＝90°．
∵∠ABC是否等于90°不知道，
∴不能判定MD平分∠EDF．故③错误．
④∵DM是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC．
在Rt△BED和Rt△CFD中
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD．
∴BE＝FC．
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+FC
又∵AE＝AF，BE＝FC，
∴AB+AC＝2AE．故④正确．
故答案为①②④
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共8小题，满分72分.）
17．（6分）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝70°，∠C＝50°，求∠DAE的度数．
【分析】由三角形的内角和定理，求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，再根据三角形的内角和定理得出∠BAD的度数，即可得出∠DAE．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠CAE＝30°．
又∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
在△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠B＝20°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°，
故答案为10°．
18．（8分）如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB
求证：AE＝CE．
【分析】根据平行线的性质得出∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠CFE，再根据全等三角形的判定定理AAS得出△ADE≌△CFE，即可得出答案．
【解答】证明：∵FC∥AB，
∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠CFE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AE＝CE．
19．（8分）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角”．
请补全上述命题的证明．
已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．
求证： ∠ABC＞∠C ．
证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在上图中补全图形）
∵AD＝AB
∴∠ABD＝∠ ADB ，（ 等边对等角 ）（填推理的依据）
∵∠ADB是△BCD的外角，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC，（ 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 ）（填推理的依据）
∴∠ADB＞∠C，
∴∠ABD＞∠C．
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，
∴∠ABC＞∠ABD，
∴ ∠ABC＞∠C ．
【分析】根据文字题目的要求写出已知，求证，利用等腰三角形的性质以及三角形的我觉得性质解决问题即可．
【解答】解：已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．
求证：∠ABC＞∠C．
证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）．
∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB（等边对等角），
∵∠ADB是△BCD的外角，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠ADB＞∠C，
∴∠ABD＞∠C，
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，
∴∠ABC＞∠ABD，
∴∠ABC＞∠C．
故答案为：∠ABC＞∠C，ADB，等边对等角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．∠ABC＞∠C．
20．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE＝FC，BD＝FD，求证：AD是∠BAC的平分线．
【分析】利用“HL”可证明Rt△CDF≌Rt△EDB，则DC＝DE，然后根据角平行线性质定理的逆定理可判断AD是∠BAC的平分线．
【解答】证明：在Rt△CDF和Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴DC＝DE，
而DC⊥AC，DE⊥AB，
∴∠DAC＝∠DAB，
即AD是∠BAC的平分线．
21．（10分）问题：在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是线段BC，AC上的一点，且AD＝AE．探究∠BAD和∠CDE的数量关系．
（1）特殊情况，如图1，若∠BAC＝90°，D是BC中点，则∠BAD的度数为 45° ，∠CDE的度数为 22.5° ．
（2）一般情况，借助图2，猜想∠BAD，∠CDE之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，进而得出∠BAD＝2∠CDE．
（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，进而得出∠BAD＝2∠CDE．
【解答】解：（1）∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵∠B＝∠C，∠BAC＝90°，D是BC中点，
∴∠BAD＝45°，
∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD＝2∠CDE，
∴∠CDE＝22.5°；
故答案为：45°；22.5°．
（2）∠BAD＝2∠CDE．
证明：∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD＝2∠CDE．
22．（8分）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝90°，B，C，E在同一条直线上，连结CD．求∠ACD的度数．
【分析】根据SAS证明△ACD≌△ABE，由全等三角形的性质得出∠ACD＝∠B，则可得出答案．
【解答】解：∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS）．
∴∠ACD＝∠B，
∵∠B＝45°，
∴∠ACD＝45°．
23．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F．
（1）∠ABF的度数为 45° ；
（2）求证：AD＝CF；
（3）连接DF，求证：AB垂直平分DF．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质及平行线的性质可得出答案；
（2）欲证AD＝CF，可证△ACD≌△CBF．由CE⊥AD于E，得∠AEC＝90°，那么∠CAE+∠ACE＝180°﹣∠AEC＝90°，故∠CAD＝∠BCF．由BF∥AC，得∠ACD+∠CBF＝180°，那么∠CBF＝180°﹣∠ACD＝90°，故∠ACD＝∠CBF，从而证得△ACD≌△CBF．
（3）欲证AB垂直平分DF，即证OB⊥DF及DO＝FO，由△ACD≌△CBF，得CD＝BF．由D为BC中点，得CD＝DB，那么BD＝BF．由AC＝BC，得∠CAB＝∠CBA．由∠ACB＝90°，得∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠ACB＝90°，那么∠CAB＝∠CBA＝45°．由∠CBF＝90°，得∠OBF＝∠CBF﹣∠CBA＝45°，那么∠DBO＝∠OBF，进而证得△OBD≌△OBF，故OB⊥DF，DO＝FO．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
∵BF∥AC，
∴∠FBC＝90°，
∴∠ABF＝45°，
故答案为：45°；
（2）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°．
∵CE⊥AD于E，
∴∠AEC＝90°．
∴∠CAE+∠ACE＝180°﹣∠AEC＝90°．
∴∠CAD＝∠BCF．
∵BF∥AC，
∴∠ACD+∠CBF＝180°．
∴∠CBF＝180°﹣∠ACD＝90°．
∴∠ACD＝∠CBF．
在△ACD和△CBF中，
，
∴△ACD≌△CBF（ASA）．
∴AD＝CF．
（2）证明：由（1）知：△ACD≌△CBF．
∴CD＝BF．
∵D为BC中点，
∴CD＝DB．
∴BD＝BF．
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA．
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠ACB＝90°．
∴∠CAB＝∠CBA＝45°．
连接DF交AB于点O，
由（1）知：∠CBF＝90°．
∴∠OBF＝∠CBF﹣∠CBA＝90°﹣45°＝45°．
∴∠DBO＝∠OBF．
在△OBD和△OBF中，
，
∴△OBD≌△OBF（SAS）．
∴DO＝FO，∠DOB＝∠FOB．
又∵∠DOB+∠FOB＝180°，
∴2∠DOB＝180°．
∴∠DOB＝90°．
∴OB⊥DF．
又∵DO＝FO，
∴AB垂直平分DF．
24．（12分）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．
（1）如图1，当点D在边BC上时．
①求证：△ABD≌△ACE；
②直接判断结论BC，DC，CE的关系 BC＝CE+CD （不需证明）；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．
【分析】（1）①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE；②由△ABD≌△ACE就可以得出BC＝DC+CE；
（2）由等边三角形的性质就可以得出∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BC+CD＝CE．
【解答】解：（1）①证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE．
∵BC＝BD+CD，
∴BC＝CE+CD．
故答案为BC＝CE+CD．
（2）BC+CD＝CE．
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD＝CE．
∵BD＝BC+CD，
∴CE＝BC+CD．
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