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2021-2022学年湖北省武汉市新洲区邾城街九年级（上）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年湖北省武汉市新洲区邾城街九年级（上）期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉市新洲区邾城街九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）将方程3x（x﹣1）＝5（x+2）化成一元二次方程的一般形式后，一次项系数是（ ）
A．3 B．﹣8x C．﹣8 D．﹣10
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）抛物线y＝（x﹣6）2+3的顶点坐标为（ ）
A．（6，3） B．（﹣6，3） C．（3，3） D．（﹣3，）
4．（3分）方程2x2﹣3x﹣＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．（3分）将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
6．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为（ ）
A．18° B．20° C．24° D．28°
7．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，且＝，∠E＝70°，则∠ABC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．35° D．50°
8．（3分）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x2）＝196
B．50+50（1+x2）＝196
C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝196
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝196
9．（3分）如图，⊙O的直径AB为10，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D点，交AB于E点，则DE的长为（ ）
A．7 B． C． D．
10．（3分）函数y＝|ax2+bx|（a＜0）的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．方程|ax2+bx|＝k有四个不等的实数根
B．a+b＞1
C．2a+b＞0
D．5a+3b＜1
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）点A（2，﹣1）关于原点对称的点B的坐标为 ．
12．（3分）若关于x的一元二次方程ax2＝b（a≠0）一根为2，则另一根为 ．
13．（3分）把一个物体从地面以10m/s速度竖直上抛，那么物体经过x（s）时，离地面高度为h（m），h与x的函数关系为h＝10x﹣4.9x2，则物体回到地面的时间为 s．
14．（3分）芳芳家今年搬进了新房，新房外飘的凉台呈圆弧形（如图所示），她测得凉台的宽度AB为8m，凉台的最外端C点离AB的距离CD为2m，则凉台所在圆的半径为 ．
15．（3分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，下列结论：①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为x1，x2，且x1＞x2，则x1＞3，x2＜3；③若两个根为x1，x2，则（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3）；④若x＝（p为常数），则代数式（x﹣3）（x﹣2）的值为一个完全平方数，其中正确的结论是 ．
16．（3分）如图，∠ABC＝90°，AC＝6，以AB为边长向外作等边△ABM，连CM，则CM的最大值为 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．
18．（8分）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为18m．
（1）设垂直于墙的一边长为xm，则是菜园的面积为 ；
（2）若菜园的面积为100m2，求x的值．
19．（8分）如图，点A、P、B、C为⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC形状并证明；
（2）将△APB绕点B顺时针旋转60°至△CMB，请画出图形，直接写出PA，PB，PC三者之间的数量关系 ．
20．（8分）如图，在8×8的正方形网格中，点A，B，C，P都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
（1）△ABC的形状为 ；
（2）在图1中将线段BC绕点B逆时针旋转90°，画出图形；
（3）在图1中在AC上找一点M，使∠AMP＝45°；
（4）在图2中作PN⊥AC，且PN＝AC，若AC绕某一点旋转得到PN（P与C对应），在图中标出旋转中心O．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C为的中点，CD⊥AE交直线AE于D点．
（1）求证：OC∥AD；
（2）若DE＝1，CD＝2，求⊙O的直径．
22．（10分）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 元；
（2）当每个公司租出的汽车为 辆时，两公司的月利润相等；
（3）求两公司月利润差的最大值．
23．（10分）问题背景：（1）如图1，等边△ABC，点P在△ABC左侧且∠APC＝30°，将△APC绕点A顺时针旋转60°，画出图形．
探究思考：（2）在（1）的条件下，求证：PB＝AC；
拓展创新：（3）如图2，等边△ABC，∠AMC＝60°，AM＝6，CM＝4，直接写出BM的长 ．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线x＝m（0＜m＜4）交抛物线于M点，交BC于N点，且CM∥ON，求m的值；
（3）如图2，若点P为抛物线x轴下方一点，直线AP交y轴于M点，直线BP交y轴于N点，且OM•ON＝，求P点坐标．
2021-2022学年湖北省武汉市新洲区邾城街九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）将方程3x（x﹣1）＝5（x+2）化成一元二次方程的一般形式后，一次项系数是（ ）
A．3 B．﹣8x C．﹣8 D．﹣10
【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数即可．
【解答】解：方程整理得：3x2﹣8x﹣10＝0，其中一次项系数为﹣8，
故选：C．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．（3分）抛物线y＝（x﹣6）2+3的顶点坐标为（ ）
A．（6，3） B．（﹣6，3） C．（3，3） D．（﹣3，）
【分析】根据顶点式直接解答即可．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣6）2+3的顶点坐标为（6，3）．
故选：A．
4．（3分）方程2x2﹣3x﹣＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】直接根据一元二次方程根的判别式求出△的值即可作出判断．
【解答】解：∵方程2x2﹣3x﹣＝0中，
Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣）＝9+12＝21＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
5．（3分）将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2+3；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）2+3；
故选：D．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为（ ）
A．18° B．20° C．24° D．28°
【分析】由旋转的性质可得∠C＝∠C'，AB＝AB'，由等腰三角形的性质可得∠C＝∠CAB'，∠B＝∠AB'B，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】解：∵AB'＝CB'，
∴∠C＝∠CAB'，
∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，
∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，
∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，
∴3∠C＝180°﹣108°，
∴∠C＝24°，
∴∠C'＝∠C＝24°，
故选：C．
7．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，且＝，∠E＝70°，则∠ABC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．35° D．50°
【分析】如图，连接OD，BD．利用圆周角定理求出∠DOB，再求出∠OBD＝20°，可得结论．
【解答】解：如图，连接OD，BD．
∵＝，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠DOB＝2∠DEB＝140°，
∴∠OBD＝∠ODB＝20°，
∴∠ABC＝2∠OBD＝40°，
故选：B．
8．（3分）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x2）＝196
B．50+50（1+x2）＝196
C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝196
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝196
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【解答】解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝196．
故选：C．
9．（3分）如图，⊙O的直径AB为10，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D点，交AB于E点，则DE的长为（ ）
A．7 B． C． D．
【分析】过点E作EG⊥AC于点G，EJ⊥CB于J，连接OD．证明OD⊥AB，再证明＝＝，求出AE，OE，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：过点E作EG⊥AC于点G，EJ⊥CB于J，连接OD．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝8，
∵CD平分∠ACB，EG⊥AC，EJ⊥CB，
∴EG＝EJ，
∴＝＝＝，
∴AE＝×10＝，
∵OA＝5，
∴OE＝OA﹣AE＝5﹣＝，
∵∠ACD＝∠BCD，
∴＝，
∴OD⊥AB，
∴DE＝＝＝，
故选：C．
10．（3分）函数y＝|ax2+bx|（a＜0）的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．方程|ax2+bx|＝k有四个不等的实数根
B．a+b＞1
C．2a+b＞0
D．5a+3b＜1
【分析】A选项，由图象可得|ax2+bx|＝k有无实数根与k的大小有关，B选项，由图象可得x＝1时，y＜1，即|a+b|＜1．C选项由图象对称轴为直线x＝﹣可得0＜﹣＜1进行判断．D选项分别将x＝1和x＝2代入函数解析式由对应y的大小关系求解．
【解答】解：由图象可得|ax2+bx|＝k有无实数根与k的大小有关，实数根可能有0个，2个，3个，4个．
∴选项A错误，不符合题意．
∵x＝1时，y＜1，
∴|a+b|＜1，
∴﹣1＜a+b＜1，
∴选项B错误，不符合题意．
∵图象对称轴为直线x＝﹣，且0＜﹣＜1，a＜0，
∴b＜﹣2a，即2a+b＜0，
∴选项C错误，不符合题意．
由图象可得0＜x≤1时，y＝ax2+bx，
x≥2时，y＝﹣ax2﹣bx，
∴x＝1时，a+b＜1①，
x＝2时，﹣4a﹣2b＞0②，
由①﹣②得5a+3b＜1，
∴选项D正确，符合题意．
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）点A（2，﹣1）关于原点对称的点B的坐标为 （﹣2，1） ．
【分析】由关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数可知：点A（2，﹣1）关于原点的对称点的坐标．
【解答】解：∵关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
∴点A（2，﹣1）关于原点的对称点的坐标为（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
12．（3分）若关于x的一元二次方程ax2＝b（a≠0）一根为2，则另一根为 ﹣2 ．
【分析】设方程的另一根为m，根据根与系数的关系得到2+m＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：设方程的另一个根为m，
则2+m＝0，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
13．（3分）把一个物体从地面以10m/s速度竖直上抛，那么物体经过x（s）时，离地面高度为h（m），h与x的函数关系为h＝10x﹣4.9x2，则物体回到地面的时间为 s．
【分析】回到地面则h＝0，解方程求解即可．
【解答】解：回到地面则h＝0，即10x﹣4.9x2＝0，
解得：x1＝0，x2＝，
∴球从弹起至回到地面需s，
故答案为：．
14．（3分）芳芳家今年搬进了新房，新房外飘的凉台呈圆弧形（如图所示），她测得凉台的宽度AB为8m，凉台的最外端C点离AB的距离CD为2m，则凉台所在圆的半径为 5米 ．
【分析】先设出设凉台所在圆的半径为O，凉台所在圆的半径为r，过O作OD⊥AB交⊙O于点C，再利用勾股定理可得问题答案．
【解答】解：设凉台所在圆的半径为O，凉台所在圆的半径为r，
过O作OD⊥AB交⊙O于点C．
由题意可知CD＝2米，
在Rt△BOD中，B02＝OD2+BD2，
r2＝（r﹣2）2+42，得r＝5．
故答案为5米．
15．（3分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，下列结论：①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为x1，x2，且x1＞x2，则x1＞3，x2＜3；③若两个根为x1，x2，则（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3）；④若x＝（p为常数），则代数式（x﹣3）（x﹣2）的值为一个完全平方数，其中正确的结论是 ①③ ．
【分析】由Δ＝1+4p2＞0，可判定①正确；设p＝0，可得x1＝3，x2＝2，可判断②不正确；根据（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣p2，（x1﹣3）（x2﹣3）＝﹣p2，可判定③正确；由（x﹣3）（x﹣2）＝（）2，可判定④不正确．
【解答】解：由（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0得x2﹣5x+6﹣p2＝0，
①Δ＝25﹣4×（6﹣p2）＝1+4p2＞0，
∴（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0总有两个不等的实数根，故①正确；
②设p＝0，关于x的一元二次方程为（x﹣3）（x﹣2）＝0，若两个根为x1，x2，且x1＞x2，
则x1＝3，x2＝2，这与x1＞3不符合，故②不正确；
③若x2﹣5x+6﹣p2＝0两个根为x1，x2，则x1+x2＝5，x1•x2＝6﹣p2，
（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4＝6﹣p2﹣2×5+4＝﹣p2，
（x1﹣3）（x2﹣3）＝x1•x2﹣3（x1+x2）+9＝6﹣p2﹣3×5+9＝﹣p2，
∴（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3），故③正确；
④∵x＝（p为常数），
∴（x﹣3）（x﹣2）＝x2﹣5x+6＝（x﹣）2﹣＝（﹣）2﹣＝＝（）2，
当p为奇数时，不是整数，此时（x﹣3）（x﹣2）不是完全平方数，故④不正确；
故答案为：①③．
16．（3分）如图，∠ABC＝90°，AC＝6，以AB为边长向外作等边△ABM，连CM，则CM的最大值为 3+3 ．
【分析】过点M作MD⊥BC，交BC的延长线于点D，设AB＝x，利用勾股定理表示出BC，利用解直角三角形表示出MD，BD，再利用勾股定理求得CM的长，根据配方法利用非负数的性质即可得到CM的最大值．
【解答】解：过点M作MD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图，
设AB＝x，则BC＝＝．
∵△ABM是等边三角形，
∴BM＝AB＝x，∠ABM＝60°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠MBD＝30°．
∵MD⊥BC，
∴MD＝BM＝x，
BD＝BM＝x．
在Rt△MDC中，
∵CM＝
＝
＝
＝
＝，
∴当x2＝18时，CM有最大值．
∵＝＝3＝3＝3+3，
∴CM的最大值为：3+3．
故答案为：3+3．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．
【分析】移项后配方得出x2﹣4x+4＝7+4，推出（x﹣2）2＝11，开方后得出方程x﹣2＝±，求出方程的解即可．
【解答】解：移项得：x2﹣4x＝7，
配方得：x2﹣4x+4＝7+4，
即（x﹣2）2＝11，
开方得：x﹣2＝±，
∴原方程的解是：x1＝2+，x2＝2﹣．
18．（8分）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为18m．
（1）设垂直于墙的一边长为xm，则是菜园的面积为 x（30﹣2x）m2 ；
（2）若菜园的面积为100m2，求x的值．
【分析】（1）设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为（30﹣2x）m，利用矩形的面积计算公式，即可用含x的代数式表示出菜园的面积；
（2）根据菜园的面积为100m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的长度为18m，即可确定x的值．
【解答】解：（1）设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为（30﹣2x）m，
∴菜园的面积为x（30﹣2x）m2．
故答案为：x（30﹣2x）m2．
（2）依题意得：x（30﹣2x）m2＝100，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10．
当x＝5时，30﹣2x＝30﹣2×5＝20＞18，不合题意，舍去；
当x＝10时，30﹣2x＝30﹣2×10＝10＜18，符合题意．
答：x的值为10．
19．（8分）如图，点A、P、B、C为⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC形状并证明；
（2）将△APB绕点B顺时针旋转60°至△CMB，请画出图形，直接写出PA，PB，PC三者之间的数量关系 PC＝PB+PA ．
【分析】（1）结论：△ABC是等边三角形．证明三个内角都是60°即可；
（2）证明△PBM是等边三角形，可得结论．
【解答】解：（1）结论：△ABC是等边三角形．
理由：∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
（2）图形如图所示，点M恰好在CP上，
∵∠BPM＝∠PBM＝60°，
∴△PBM是等边三角形，
∴PB＝PM，
∴PC＝PM+CM＝PB+PA，
故答案为：PC＝PB+PA．
20．（8分）如图，在8×8的正方形网格中，点A，B，C，P都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
（1）△ABC的形状为 直角三角形 ；
（2）在图1中将线段BC绕点B逆时针旋转90°，画出图形；
（3）在图1中在AC上找一点M，使∠AMP＝45°；
（4）在图2中作PN⊥AC，且PN＝AC，若AC绕某一点旋转得到PN（P与C对应），在图中标出旋转中心O．
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判断即可；
（2）根据要求作出图形即可；
（3）取格点R，连接RP，延长RP交AC于点M，点M即为所求；
（4）利用数形结合的思想作出线段PN，作出线段PC，AN的垂直平分线的交点O即可．
【解答】解：（1）如图，∵AC＝2，BC＝，AB＝5，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形；
（2）如图，线段BC′即为所求；
（3）如图，点M即为所求；
（4）如图，线段PN，点O即为所求．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C为的中点，CD⊥AE交直线AE于D点．
（1）求证：OC∥AD；
（2）若DE＝1，CD＝2，求⊙O的直径．
【分析】（1）证明AD⊥BE，OC⊥BE，可得结论；
（2）设BE交OC于点T．证明四边形DETC是矩形，设OB＝OC＝r，利用勾股定理构建方程求解即可．
【解答】（1）证明：连接BE．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，即AD⊥BE，
∵点C为的中点，
∴＝，
∴OC⊥EB，
∴OC∥AD；
（2）解：设BE交OC于点T．
∵CD⊥AD，
∴∠D＝∠DET＝∠CTE＝90°，
∴四边形DETC是矩形，
∴CD＝ET＝2，DE＝CT＝1，
∵OC⊥EB，
∴BT＝TE＝2，
设OB＝OC＝r，
则r2＝（r﹣1）2+22，
∴r＝，
∴AB＝2r＝5，即⊙O的直径为5．
22．（10分）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 48000 元；
（2）当每个公司租出的汽车为 37 辆时，两公司的月利润相等；
（3）求两公司月利润差的最大值．
【分析】（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲公司的月利润；
（2）设每个公司租出的汽车为x辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；
（3）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，由题意可得y甲和y乙的表达式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y关于x的表达式，根据二次函数的性质，结合x的范围求出最值，再比较即可．
【解答】解：（1）[（50﹣10）×50+3000]×10﹣200×10＝48000元，
当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元，
故答案为：48000；
（2）设每个公司租出的汽车为x辆，
由题意可得：[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x＝3500x﹣1850，
解得：x＝37或x＝﹣1（舍），
∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等，
故答案为：37；
（3）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，
则y甲＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x，
y乙＝3500x﹣1850，
当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，
y＝y甲﹣y乙＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x﹣（3500x﹣1850）
＝﹣50x2+1800x+1850，
当x＝﹣＝18时，利润差最大，且为18050元；
当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，
y＝y乙﹣y甲＝3500x﹣1850﹣[（50﹣x）×50+3000]x+200x
＝50x2﹣1800x﹣1850，
∵对称轴为直线x＝﹣＝18，50＞0，
∴当37＜x≤50时，y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，利润差最大，且为33150元，
综上：两公司月利润差的最大值为33150元．
23．（10分）问题背景：（1）如图1，等边△ABC，点P在△ABC左侧且∠APC＝30°，将△APC绕点A顺时针旋转60°，画出图形．
探究思考：（2）在（1）的条件下，求证：PB＝AC；
拓展创新：（3）如图2，等边△ABC，∠AMC＝60°，AM＝6，CM＝4，直接写出BM的长 2或2 ．
【分析】（1）根据题意画出图形解答即可；
（2）连接PP'，由旋转的性质得证△APP'是等边三角形，然后证明△AP'B≌△PP'B，进而结合等边三角形的性质得证结果；
（3）分情况讨论，点M在AC的右侧和点M在AC的左侧两种情况，然后作出相对应的图象，利用相似三角形的性质进行求解．
【解答】（1）解：如图所示，
（2）证明：如图2，连接PP'，
由旋转得，AP'＝AP，∠PAP'＝60°，∠AP'B＝∠ABC＝30°，
∴△APP'是等边三角形，
∴∠AP'P＝60°，AP＝AP'＝PP'，
∴∠PP'B＝60°﹣30°＝30°，
∵AP'＝PP'，∠PP'B＝∠AP'B，BP'＝BP'，
∴△AP'B≌△PP'B（SAS），
∴PB＝AB，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
∴PB＝AC．
（3）解：当点M在AC的右侧时，
如图3，将△ACM绕点A顺时针旋转60°得到△ABG，连接CG，过点B作MH⊥BG，交BG的延长线于点H，设AG交BC于点T，
由旋转得，AG＝AM，∠MAG＝60°，∠AGB＝∠AMC＝60°，BG＝CM＝4，∠ABG＝∠ACM，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠AGB＝∠ACB＝60°，
∵∠BTG＝∠ATC，
∴△BTG∽△ATC，
∴，
∵∠ATB＝∠CTG，
∴△ATB∽△CTG，
∴∠BAT＝∠BCG，∠AGC＝∠ABC＝60°，
∵∠BAG+∠ABG+∠AGB＝180°，
∴∠BCG+∠ACM+∠ACB＝180°，
∴点G、C、M三点共线，
∵AG＝AM，∠MAG＝60°，
∴△AGM是等边三角形，
∴GM＝AM＝6，
∵∠AGM＝∠AGC＝60°，
∴∠MGH＝60°，
∵MH⊥BG，
∴GH＝GM＝3，MH＝GM＝3，
∴BH＝BG+GH＝4+3＝7，
∴BM＝＝2，
当点M在AC的左侧时，
如图4，将△ACM绕点A顺时针旋转60°得到△ABG，连接BM，
同图3理可证，点G、B、M三点共线，GM＝AM＝6，BG＝CM＝4，
∴BM＝GM﹣BG＝6﹣4＝2，
综上所述，BM的长为2或2．
故答案为：2或2．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线x＝m（0＜m＜4）交抛物线于M点，交BC于N点，且CM∥ON，求m的值；
（3）如图2，若点P为抛物线x轴下方一点，直线AP交y轴于M点，直线BP交y轴于N点，且OM•ON＝，求P点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法将A，B坐标代入即可求解；
（2）由已知条件可以判定四边形OCMN为平行四边形，则MN＝OC；利用直线与抛物线的解析式表示出点M，N的坐标，从而用m表示MN的长，得到关于m的方程，解方程即可求得结论；
（3）设P（t，），分别求得直线AP，BP的解析式，从而得到OM，ON的长，由已知条件列出方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为：y＝．
（2）令x＝0，则y＝﹣2．
∴C（0．﹣2）．
∴OC＝2．
∵直线x＝m平行于y轴，CM∥ON，
∴四边形OCMN为平行四边形．
∴MN＝OC＝2．
设直线BC的解析式为y＝kx+n，则：
，
解得：．
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣2．
∴N（m，m﹣2）．
∵M（m，），0＜m＜4，
∴MN＝（m﹣2）﹣（﹣2）＝﹣+2m．
∴﹣+2m＝2．
解得：m1＝m2＝2．
∴m＝2．
（3）设P（t，），
∵点P为抛物线x轴下方一点，
∴﹣1＜t＜4．
设直线AP的解析式为y＝cx+d，则：
，
解得：．
∴直线AP的解析式为y＝x+．
∴M（0，）．
∴OM＝﹣．
同理可得：ON＝．
∵OM•ON＝，
∴﹣＝．
∴﹣4（t2﹣3t﹣4）2＝25（t2﹣3t﹣4）．
∵﹣1＜t＜4，
∴t2﹣3t﹣4≠0．
∴﹣4（t2﹣3t﹣4）＝25．
整理得：4t2﹣12t+9＝0．
解得：t1＝t2＝．
∴P（，﹣）．
2021-2022学年湖北省武汉市新洲区邾城街九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）将方程3x（x﹣1）＝5（x+2）化成一元二次方程的一般形式后，一次项系数是（ ）
A．3 B．﹣8x C．﹣8 D．﹣10
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）抛物线y＝（x﹣6）2+3的顶点坐标为（ ）
A．（6，3） B．（﹣6，3） C．（3，3） D．（﹣3，）
4．（3分）方程2x2﹣3x﹣＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．（3分）将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
6．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为（ ）
A．18° B．20° C．24° D．28°
7．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，且＝，∠E＝70°，则∠ABC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．35° D．50°
8．（3分）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x2）＝196
B．50+50（1+x2）＝196
C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝196
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝196
9．（3分）如图，⊙O的直径AB为10，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D点，交AB于E点，则DE的长为（ ）
A．7 B． C． D．
10．（3分）函数y＝|ax2+bx|（a＜0）的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．方程|ax2+bx|＝k有四个不等的实数根
B．a+b＞1
C．2a+b＞0
D．5a+3b＜1
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）点A（2，﹣1）关于原点对称的点B的坐标为 ．
12．（3分）若关于x的一元二次方程ax2＝b（a≠0）一根为2，则另一根为 ．
13．（3分）把一个物体从地面以10m/s速度竖直上抛，那么物体经过x（s）时，离地面高度为h（m），h与x的函数关系为h＝10x﹣4.9x2，则物体回到地面的时间为 s．
14．（3分）芳芳家今年搬进了新房，新房外飘的凉台呈圆弧形（如图所示），她测得凉台的宽度AB为8m，凉台的最外端C点离AB的距离CD为2m，则凉台所在圆的半径为 ．
15．（3分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，下列结论：①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为x1，x2，且x1＞x2，则x1＞3，x2＜3；③若两个根为x1，x2，则（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3）；④若x＝（p为常数），则代数式（x﹣3）（x﹣2）的值为一个完全平方数，其中正确的结论是 ．
16．（3分）如图，∠ABC＝90°，AC＝6，以AB为边长向外作等边△ABM，连CM，则CM的最大值为 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．
18．（8分）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为18m．
（1）设垂直于墙的一边长为xm，则是菜园的面积为 ；
（2）若菜园的面积为100m2，求x的值．
19．（8分）如图，点A、P、B、C为⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC形状并证明；
（2）将△APB绕点B顺时针旋转60°至△CMB，请画出图形，直接写出PA，PB，PC三者之间的数量关系 ．
20．（8分）如图，在8×8的正方形网格中，点A，B，C，P都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
（1）△ABC的形状为 ；
（2）在图1中将线段BC绕点B逆时针旋转90°，画出图形；
（3）在图1中在AC上找一点M，使∠AMP＝45°；
（4）在图2中作PN⊥AC，且PN＝AC，若AC绕某一点旋转得到PN（P与C对应），在图中标出旋转中心O．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C为的中点，CD⊥AE交直线AE于D点．
（1）求证：OC∥AD；
（2）若DE＝1，CD＝2，求⊙O的直径．
22．（10分）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 元；
（2）当每个公司租出的汽车为 辆时，两公司的月利润相等；
（3）求两公司月利润差的最大值．
23．（10分）问题背景：（1）如图1，等边△ABC，点P在△ABC左侧且∠APC＝30°，将△APC绕点A顺时针旋转60°，画出图形．
探究思考：（2）在（1）的条件下，求证：PB＝AC；
拓展创新：（3）如图2，等边△ABC，∠AMC＝60°，AM＝6，CM＝4，直接写出BM的长 ．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线x＝m（0＜m＜4）交抛物线于M点，交BC于N点，且CM∥ON，求m的值；
（3）如图2，若点P为抛物线x轴下方一点，直线AP交y轴于M点，直线BP交y轴于N点，且OM•ON＝，求P点坐标．
2021-2022学年湖北省武汉市新洲区邾城街九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）将方程3x（x﹣1）＝5（x+2）化成一元二次方程的一般形式后，一次项系数是（ ）
A．3 B．﹣8x C．﹣8 D．﹣10
【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数即可．
【解答】解：方程整理得：3x2﹣8x﹣10＝0，其中一次项系数为﹣8，
故选：C．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．（3分）抛物线y＝（x﹣6）2+3的顶点坐标为（ ）
A．（6，3） B．（﹣6，3） C．（3，3） D．（﹣3，）
【分析】根据顶点式直接解答即可．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣6）2+3的顶点坐标为（6，3）．
故选：A．
4．（3分）方程2x2﹣3x﹣＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】直接根据一元二次方程根的判别式求出△的值即可作出判断．
【解答】解：∵方程2x2﹣3x﹣＝0中，
Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣）＝9+12＝21＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
5．（3分）将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2+3；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）2+3；
故选：D．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为（ ）
A．18° B．20° C．24° D．28°
【分析】由旋转的性质可得∠C＝∠C'，AB＝AB'，由等腰三角形的性质可得∠C＝∠CAB'，∠B＝∠AB'B，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】解：∵AB'＝CB'，
∴∠C＝∠CAB'，
∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，
∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，
∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，
∴3∠C＝180°﹣108°，
∴∠C＝24°，
∴∠C'＝∠C＝24°，
故选：C．
7．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，且＝，∠E＝70°，则∠ABC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．35° D．50°
【分析】如图，连接OD，BD．利用圆周角定理求出∠DOB，再求出∠OBD＝20°，可得结论．
【解答】解：如图，连接OD，BD．
∵＝，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠DOB＝2∠DEB＝140°，
∴∠OBD＝∠ODB＝20°，
∴∠ABC＝2∠OBD＝40°，
故选：B．
8．（3分）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x2）＝196
B．50+50（1+x2）＝196
C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝196
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝196
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【解答】解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝196．
故选：C．
9．（3分）如图，⊙O的直径AB为10，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D点，交AB于E点，则DE的长为（ ）
A．7 B． C． D．
【分析】过点E作EG⊥AC于点G，EJ⊥CB于J，连接OD．证明OD⊥AB，再证明＝＝，求出AE，OE，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：过点E作EG⊥AC于点G，EJ⊥CB于J，连接OD．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝8，
∵CD平分∠ACB，EG⊥AC，EJ⊥CB，
∴EG＝EJ，
∴＝＝＝，
∴AE＝×10＝，
∵OA＝5，
∴OE＝OA﹣AE＝5﹣＝，
∵∠ACD＝∠BCD，
∴＝，
∴OD⊥AB，
∴DE＝＝＝，
故选：C．
10．（3分）函数y＝|ax2+bx|（a＜0）的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．方程|ax2+bx|＝k有四个不等的实数根
B．a+b＞1
C．2a+b＞0
D．5a+3b＜1
【分析】A选项，由图象可得|ax2+bx|＝k有无实数根与k的大小有关，B选项，由图象可得x＝1时，y＜1，即|a+b|＜1．C选项由图象对称轴为直线x＝﹣可得0＜﹣＜1进行判断．D选项分别将x＝1和x＝2代入函数解析式由对应y的大小关系求解．
【解答】解：由图象可得|ax2+bx|＝k有无实数根与k的大小有关，实数根可能有0个，2个，3个，4个．
∴选项A错误，不符合题意．
∵x＝1时，y＜1，
∴|a+b|＜1，
∴﹣1＜a+b＜1，
∴选项B错误，不符合题意．
∵图象对称轴为直线x＝﹣，且0＜﹣＜1，a＜0，
∴b＜﹣2a，即2a+b＜0，
∴选项C错误，不符合题意．
由图象可得0＜x≤1时，y＝ax2+bx，
x≥2时，y＝﹣ax2﹣bx，
∴x＝1时，a+b＜1①，
x＝2时，﹣4a﹣2b＞0②，
由①﹣②得5a+3b＜1，
∴选项D正确，符合题意．
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）点A（2，﹣1）关于原点对称的点B的坐标为 （﹣2，1） ．
【分析】由关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数可知：点A（2，﹣1）关于原点的对称点的坐标．
【解答】解：∵关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
∴点A（2，﹣1）关于原点的对称点的坐标为（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
12．（3分）若关于x的一元二次方程ax2＝b（a≠0）一根为2，则另一根为 ﹣2 ．
【分析】设方程的另一根为m，根据根与系数的关系得到2+m＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：设方程的另一个根为m，
则2+m＝0，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
13．（3分）把一个物体从地面以10m/s速度竖直上抛，那么物体经过x（s）时，离地面高度为h（m），h与x的函数关系为h＝10x﹣4.9x2，则物体回到地面的时间为 s．
【分析】回到地面则h＝0，解方程求解即可．
【解答】解：回到地面则h＝0，即10x﹣4.9x2＝0，
解得：x1＝0，x2＝，
∴球从弹起至回到地面需s，
故答案为：．
14．（3分）芳芳家今年搬进了新房，新房外飘的凉台呈圆弧形（如图所示），她测得凉台的宽度AB为8m，凉台的最外端C点离AB的距离CD为2m，则凉台所在圆的半径为 5米 ．
【分析】先设出设凉台所在圆的半径为O，凉台所在圆的半径为r，过O作OD⊥AB交⊙O于点C，再利用勾股定理可得问题答案．
【解答】解：设凉台所在圆的半径为O，凉台所在圆的半径为r，
过O作OD⊥AB交⊙O于点C．
由题意可知CD＝2米，
在Rt△BOD中，B02＝OD2+BD2，
r2＝（r﹣2）2+42，得r＝5．
故答案为5米．
15．（3分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，下列结论：①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为x1，x2，且x1＞x2，则x1＞3，x2＜3；③若两个根为x1，x2，则（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3）；④若x＝（p为常数），则代数式（x﹣3）（x﹣2）的值为一个完全平方数，其中正确的结论是 ①③ ．
【分析】由Δ＝1+4p2＞0，可判定①正确；设p＝0，可得x1＝3，x2＝2，可判断②不正确；根据（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣p2，（x1﹣3）（x2﹣3）＝﹣p2，可判定③正确；由（x﹣3）（x﹣2）＝（）2，可判定④不正确．
【解答】解：由（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0得x2﹣5x+6﹣p2＝0，
①Δ＝25﹣4×（6﹣p2）＝1+4p2＞0，
∴（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0总有两个不等的实数根，故①正确；
②设p＝0，关于x的一元二次方程为（x﹣3）（x﹣2）＝0，若两个根为x1，x2，且x1＞x2，
则x1＝3，x2＝2，这与x1＞3不符合，故②不正确；
③若x2﹣5x+6﹣p2＝0两个根为x1，x2，则x1+x2＝5，x1•x2＝6﹣p2，
（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4＝6﹣p2﹣2×5+4＝﹣p2，
（x1﹣3）（x2﹣3）＝x1•x2﹣3（x1+x2）+9＝6﹣p2﹣3×5+9＝﹣p2，
∴（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3），故③正确；
④∵x＝（p为常数），
∴（x﹣3）（x﹣2）＝x2﹣5x+6＝（x﹣）2﹣＝（﹣）2﹣＝＝（）2，
当p为奇数时，不是整数，此时（x﹣3）（x﹣2）不是完全平方数，故④不正确；
故答案为：①③．
16．（3分）如图，∠ABC＝90°，AC＝6，以AB为边长向外作等边△ABM，连CM，则CM的最大值为 3+3 ．
【分析】过点M作MD⊥BC，交BC的延长线于点D，设AB＝x，利用勾股定理表示出BC，利用解直角三角形表示出MD，BD，再利用勾股定理求得CM的长，根据配方法利用非负数的性质即可得到CM的最大值．
【解答】解：过点M作MD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图，
设AB＝x，则BC＝＝．
∵△ABM是等边三角形，
∴BM＝AB＝x，∠ABM＝60°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠MBD＝30°．
∵MD⊥BC，
∴MD＝BM＝x，
BD＝BM＝x．
在Rt△MDC中，
∵CM＝
＝
＝
＝
＝，
∴当x2＝18时，CM有最大值．
∵＝＝3＝3＝3+3，
∴CM的最大值为：3+3．
故答案为：3+3．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．
【分析】移项后配方得出x2﹣4x+4＝7+4，推出（x﹣2）2＝11，开方后得出方程x﹣2＝±，求出方程的解即可．
【解答】解：移项得：x2﹣4x＝7，
配方得：x2﹣4x+4＝7+4，
即（x﹣2）2＝11，
开方得：x﹣2＝±，
∴原方程的解是：x1＝2+，x2＝2﹣．
18．（8分）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为18m．
（1）设垂直于墙的一边长为xm，则是菜园的面积为 x（30﹣2x）m2 ；
（2）若菜园的面积为100m2，求x的值．
【分析】（1）设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为（30﹣2x）m，利用矩形的面积计算公式，即可用含x的代数式表示出菜园的面积；
（2）根据菜园的面积为100m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的长度为18m，即可确定x的值．
【解答】解：（1）设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为（30﹣2x）m，
∴菜园的面积为x（30﹣2x）m2．
故答案为：x（30﹣2x）m2．
（2）依题意得：x（30﹣2x）m2＝100，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10．
当x＝5时，30﹣2x＝30﹣2×5＝20＞18，不合题意，舍去；
当x＝10时，30﹣2x＝30﹣2×10＝10＜18，符合题意．
答：x的值为10．
19．（8分）如图，点A、P、B、C为⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC形状并证明；
（2）将△APB绕点B顺时针旋转60°至△CMB，请画出图形，直接写出PA，PB，PC三者之间的数量关系 PC＝PB+PA ．
【分析】（1）结论：△ABC是等边三角形．证明三个内角都是60°即可；
（2）证明△PBM是等边三角形，可得结论．
【解答】解：（1）结论：△ABC是等边三角形．
理由：∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
（2）图形如图所示，点M恰好在CP上，
∵∠BPM＝∠PBM＝60°，
∴△PBM是等边三角形，
∴PB＝PM，
∴PC＝PM+CM＝PB+PA，
故答案为：PC＝PB+PA．
20．（8分）如图，在8×8的正方形网格中，点A，B，C，P都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
（1）△ABC的形状为 直角三角形 ；
（2）在图1中将线段BC绕点B逆时针旋转90°，画出图形；
（3）在图1中在AC上找一点M，使∠AMP＝45°；
（4）在图2中作PN⊥AC，且PN＝AC，若AC绕某一点旋转得到PN（P与C对应），在图中标出旋转中心O．
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判断即可；
（2）根据要求作出图形即可；
（3）取格点R，连接RP，延长RP交AC于点M，点M即为所求；
（4）利用数形结合的思想作出线段PN，作出线段PC，AN的垂直平分线的交点O即可．
【解答】解：（1）如图，∵AC＝2，BC＝，AB＝5，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形；
（2）如图，线段BC′即为所求；
（3）如图，点M即为所求；
（4）如图，线段PN，点O即为所求．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C为的中点，CD⊥AE交直线AE于D点．
（1）求证：OC∥AD；
（2）若DE＝1，CD＝2，求⊙O的直径．
【分析】（1）证明AD⊥BE，OC⊥BE，可得结论；
（2）设BE交OC于点T．证明四边形DETC是矩形，设OB＝OC＝r，利用勾股定理构建方程求解即可．
【解答】（1）证明：连接BE．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，即AD⊥BE，
∵点C为的中点，
∴＝，
∴OC⊥EB，
∴OC∥AD；
（2）解：设BE交OC于点T．
∵CD⊥AD，
∴∠D＝∠DET＝∠CTE＝90°，
∴四边形DETC是矩形，
∴CD＝ET＝2，DE＝CT＝1，
∵OC⊥EB，
∴BT＝TE＝2，
设OB＝OC＝r，
则r2＝（r﹣1）2+22，
∴r＝，
∴AB＝2r＝5，即⊙O的直径为5．
22．（10分）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 48000 元；
（2）当每个公司租出的汽车为 37 辆时，两公司的月利润相等；
（3）求两公司月利润差的最大值．
【分析】（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲公司的月利润；
（2）设每个公司租出的汽车为x辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；
（3）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，由题意可得y甲和y乙的表达式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y关于x的表达式，根据二次函数的性质，结合x的范围求出最值，再比较即可．
【解答】解：（1）[（50﹣10）×50+3000]×10﹣200×10＝48000元，
当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元，
故答案为：48000；
（2）设每个公司租出的汽车为x辆，
由题意可得：[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x＝3500x﹣1850，
解得：x＝37或x＝﹣1（舍），
∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等，
故答案为：37；
（3）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，
则y甲＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x，
y乙＝3500x﹣1850，
当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，
y＝y甲﹣y乙＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x﹣（3500x﹣1850）
＝﹣50x2+1800x+1850，
当x＝﹣＝18时，利润差最大，且为18050元；
当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，
y＝y乙﹣y甲＝3500x﹣1850﹣[（50﹣x）×50+3000]x+200x
＝50x2﹣1800x﹣1850，
∵对称轴为直线x＝﹣＝18，50＞0，
∴当37＜x≤50时，y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，利润差最大，且为33150元，
综上：两公司月利润差的最大值为33150元．
23．（10分）问题背景：（1）如图1，等边△ABC，点P在△ABC左侧且∠APC＝30°，将△APC绕点A顺时针旋转60°，画出图形．
探究思考：（2）在（1）的条件下，求证：PB＝AC；
拓展创新：（3）如图2，等边△ABC，∠AMC＝60°，AM＝6，CM＝4，直接写出BM的长 2或2 ．
【分析】（1）根据题意画出图形解答即可；
（2）连接PP'，由旋转的性质得证△APP'是等边三角形，然后证明△AP'B≌△PP'B，进而结合等边三角形的性质得证结果；
（3）分情况讨论，点M在AC的右侧和点M在AC的左侧两种情况，然后作出相对应的图象，利用相似三角形的性质进行求解．
【解答】（1）解：如图所示，
（2）证明：如图2，连接PP'，
由旋转得，AP'＝AP，∠PAP'＝60°，∠AP'B＝∠ABC＝30°，
∴△APP'是等边三角形，
∴∠AP'P＝60°，AP＝AP'＝PP'，
∴∠PP'B＝60°﹣30°＝30°，
∵AP'＝PP'，∠PP'B＝∠AP'B，BP'＝BP'，
∴△AP'B≌△PP'B（SAS），
∴PB＝AB，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
∴PB＝AC．
（3）解：当点M在AC的右侧时，
如图3，将△ACM绕点A顺时针旋转60°得到△ABG，连接CG，过点B作MH⊥BG，交BG的延长线于点H，设AG交BC于点T，
由旋转得，AG＝AM，∠MAG＝60°，∠AGB＝∠AMC＝60°，BG＝CM＝4，∠ABG＝∠ACM，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠AGB＝∠ACB＝60°，
∵∠BTG＝∠ATC，
∴△BTG∽△ATC，
∴，
∵∠ATB＝∠CTG，
∴△ATB∽△CTG，
∴∠BAT＝∠BCG，∠AGC＝∠ABC＝60°，
∵∠BAG+∠ABG+∠AGB＝180°，
∴∠BCG+∠ACM+∠ACB＝180°，
∴点G、C、M三点共线，
∵AG＝AM，∠MAG＝60°，
∴△AGM是等边三角形，
∴GM＝AM＝6，
∵∠AGM＝∠AGC＝60°，
∴∠MGH＝60°，
∵MH⊥BG，
∴GH＝GM＝3，MH＝GM＝3，
∴BH＝BG+GH＝4+3＝7，
∴BM＝＝2，
当点M在AC的左侧时，
如图4，将△ACM绕点A顺时针旋转60°得到△ABG，连接BM，
同图3理可证，点G、B、M三点共线，GM＝AM＝6，BG＝CM＝4，
∴BM＝GM﹣BG＝6﹣4＝2，
综上所述，BM的长为2或2．
故答案为：2或2．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线x＝m（0＜m＜4）交抛物线于M点，交BC于N点，且CM∥ON，求m的值；
（3）如图2，若点P为抛物线x轴下方一点，直线AP交y轴于M点，直线BP交y轴于N点，且OM•ON＝，求P点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法将A，B坐标代入即可求解；
（2）由已知条件可以判定四边形OCMN为平行四边形，则MN＝OC；利用直线与抛物线的解析式表示出点M，N的坐标，从而用m表示MN的长，得到关于m的方程，解方程即可求得结论；
（3）设P（t，），分别求得直线AP，BP的解析式，从而得到OM，ON的长，由已知条件列出方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为：y＝．
（2）令x＝0，则y＝﹣2．
∴C（0．﹣2）．
∴OC＝2．
∵直线x＝m平行于y轴，CM∥ON，
∴四边形OCMN为平行四边形．
∴MN＝OC＝2．
设直线BC的解析式为y＝kx+n，则：
，
解得：．
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣2．
∴N（m，m﹣2）．
∵M（m，），0＜m＜4，
∴MN＝（m﹣2）﹣（﹣2）＝﹣+2m．
∴﹣+2m＝2．
解得：m1＝m2＝2．
∴m＝2．
（3）设P（t，），
∵点P为抛物线x轴下方一点，
∴﹣1＜t＜4．
设直线AP的解析式为y＝cx+d，则：
，
解得：．
∴直线AP的解析式为y＝x+．
∴M（0，）．
∴OM＝﹣．
同理可得：ON＝．
∵OM•ON＝，
∴﹣＝．
∴﹣4（t2﹣3t﹣4）2＝25（t2﹣3t﹣4）．
∵﹣1＜t＜4，
∴t2﹣3t﹣4≠0．
∴﹣4（t2﹣3t﹣4）＝25．
整理得：4t2﹣12t+9＝0．
解得：t1＝t2＝．
∴P（，﹣）．
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